2.2基本不等式专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式 目录 知识点概要 0 考点1 利用基本不等式比较大小 1 考点2 利用基本不等式证明不等式 4 考点3 利用基本不等式求最值 8 考点4 利用基本不等式求解恒成立问题 13 考点5 利用基本不等式的应用 16 知识点概要 1．基本不等式 （1） （2）基本不等式： （3）基本不等式的推广 2．基本不等式链 记为：调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3．利用基本不等式求最值 已知，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值，最小值是. （简记为：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值，最大值是 （简记为：和定积最大） 考点1 利用基本不等式比较大小 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 4．（24-25高三上·江苏连云港·阶段练习）若实数满足，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本不等式和重要不等式将放缩后，求解不等式即可. 【详解】根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，因此，故选项A正确，选项B不正确； 根据重要不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，故选项C正确； 当异号时，，所以，选项D不正确； 故选：AC. 5．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式证明求解判断各选项. 【详解】， 对A，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，A正确； 对B，，当且仅当时取等号，因此最小值是36，B错； 对C，由三元均值不等式知C正确； 对D， ，当且仅当时取等号， 所以，D正确， 故选：ACD. 6．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质可逐项判断. 【详解】对于A，不等式的同向同正可乘，未强调正， 例如：，故A错误； 对于B，，，则，即，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，所以，故D正确； 故选：BD. 7．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可得选项A错误；通过配方结合选项A可得选项B正确；通过计算结合选项A可得C正确；利用“1”的代换可得选项D正确. 【详解】A.∵，且， ∴，当且仅当时，等号成立，解得，A错误． B.由A得，， 当且仅当时，等号成立，B正确． C.由A得，， ∴，当且仅当时，等号成立，C正确． D.∵， ∴，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：BCD. 考点2 利用基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 3．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由对称性知，当时两式相等，借助基本不等式的变形可得. （2）由对称性知，当时等号成立，借助基本不等式的变形可证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由均值不等式或者柯西不等式即可得证. 【详解】，，，，． 两式相乘，得到． 另证：根据柯西不等式，得 ． 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）化简所求不等式，结合基本不等式来证得不等式成立. （2）通过对进行展开，结合已知条件以及基本不等式来证明. （3）利用综合法以及基本不等式来证得不等式成立. 【详解】（1）要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. （2）根据二项式，将，代入可得： 整理得 因为，所以 已知，可得，即 ，当且仅当时取等号. 同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）. 将和代入可得： ，当且仅当时等号成立. 综上，若，得证. （3）因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 考点3 利用基本不等式求最值 1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 2．（江苏省盐城市2025-2026学年高三上学期三校调研考试数学试卷）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D． 【详解】由，，， 对于选项A，由，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于选项B，由， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于选项C，由B选项可知，，所以， 当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于选项D，由， 则，当且仅当，即且时等号成立， 联立，整理得到，由，则，无实数解， 所以等号取不到，即，即无最小值，故D错误． 故选：AC． 3．（25-26高三上·山东烟台·开学考试）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可判断AB，由，利用基本不等式即可判断C，利用(当且仅当时，等号成立)，即可判断D. 【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B：由，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：由，又， 当且仅当时，等号成立，所以，故C正确； 对于D：由，所以， 当且仅当时，所以等号不成立，故D错误. 故选：BC. 4．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 5．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 6．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 7．（25-26高一上·江苏南京·开学考试）（1）已知实数满足，则的取值范围是 ． （2）已知，，求x的最大值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据，，，得到，由完全平方公式可得，由此可得结论； （2）由条件可得，结合基本不等式证明，由此可得，解不等式可得的范围，由此可得结论. 【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 所以，当且仅当或时等号成立， 又， 所以，当且仅当，且时等号成立（例如时等号成立）， 所以的取值范围为， （2）因为，， 所以， 所以， 因为，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当或时等号成立， 所以， 所以，故， 所以， 所以的最大值为， 故答案为：；. 8．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 9．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式求最值判断A、B；根据不等式性质及充分、必要性定义判断C；取，可判断D. 【详解】A：由，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为，A错； B：，当且仅当时取等号，即的最小值为，B对； C：若，显然，则；若，时，不成立， 所以是的充分不必要条件，C对； D：取，可得，D对. 故选：BCD 考点4 利用基本不等式求解恒成立问题 1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 2．（2025高一上·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 3．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 5．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 考点5 利用基本不等式的应用 1．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2)3万元 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    【答案】 【分析】设的长为，总造价为元，根据面积关系得阴影部分面积为，草坪面积为，花坛面积，进而得到，利用基本不等式求最值，得到答案. 【详解】设的长为，总造价为元，因为四个小矩形，，，与小正方形面积之和为， 且，小正方形的面积为， 其中矩形的面积为，则， 因为所以，阴影部分面积为， 因为，，， 所以草坪面积是面积的（倍） 所以草坪面积为， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式“1”的代换可求得的最小值. 法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 目录 知识点概要 0 考点1 利用基本不等式比较大小 1 考点2 利用基本不等式证明不等式 4 考点3 利用基本不等式求最值 8 考点4 利用基本不等式求解恒成立问题 13 考点5 利用基本不等式的应用 16 知识点概要 1．基本不等式 （1） （2）基本不等式： （3）基本不等式的推广 2．基本不等式链 记为：调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3．利用基本不等式求最值 已知，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值，最小值是. （简记为：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值，最大值是 （简记为：和定积最大） 考点1 利用基本不等式比较大小 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏连云港·阶段练习）若实数满足，则（　 　） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 6．（24-25高二下·山东济宁·期末）已知，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 7．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 考点2 利用基本不等式证明不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 3．（2025高一·全国·专题练习）（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，求证：． 5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 考点3 利用基本不等式求最值 1．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（江苏省盐城市2025-2026学年高三上学期三校调研考试数学试卷）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（25-26高三上·山东烟台·开学考试）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 4．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 5．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知正数满足，则的最大值为 . 6．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 7．（25-26高一上·江苏南京·开学考试）（1）已知实数满足，则的取值范围是 ． （2）已知，，求x的最大值是 ． 8．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 9．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． 考点4 利用基本不等式求解恒成立问题 1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 3．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 5．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 考点5 利用基本不等式的应用 1．（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 4．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $