第二十四章 圆 达标测试卷-2025-2026学年新教材九年级上册数学单元测试(人教版2024)

.∠BAF+∠EAB=90°，即∠FAE= 90°，∴.△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90°得到. (3)解：BC=8,∴.AD=8. 在Rt△ADE中，DE=6,AD=8, ∴.AE=√AD2+DE=10: .△ABF可以由△ADE绕旋转中心A 点按顺时针方向旋转90°得到， ∴.AE=AF,∠EAF=90°， “△AEF的面积=2AE=号×10=50. 20.解：设降价x元，则售价为(60一x)元，销 售量为(300十20x)件，根据题意得(60 x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1, x2=4,又顾客得实惠，故取x=4,所以 60一x=56.答：应将销售单价定为56元. 21.解：(1)△=[-(m-3)]2-4(-m)=m2 2m+9=(m-1)2+8,.(m-1)2≥0， ∴.△=(m-1)2+8>0, ∴.原方程有两个不相等的实数根。 (2)存在，由题意知x1,x2是原方程的两个 根，∴.x1十x2=m一3，x1·x2=一m. .AB=x1-x2,.AB2=(x1-x2)2= (x1十x2)2-4x1x2=(m-3)2-4(-m)= (m-1)2+8,∴.当m=1时，AB2有最小值 8,∴.AB有最小值，即AB=√⑧=2√2. 22.解：(1).矩形OABC, ∴.∠AOC=∠OAB=90°. .OD平分∠AOC, ∴.∠AOD=∠DOQ=45°. .AO=AD=2,.OD=2√2， 1=22=2. √2 (2)要使△PQB为直角三角形，显然只有 ∠PQB=90°或∠PBQ=90°.如答图，作 PG⊥OC于点G,在Rt△POG中， .∠POQ=45°，∴.∠OPG=45. .OP=√2t,∴.OG=PG=t,.点P(t,t). 又Q(2t,0),B(6,2),根据勾股定理可 得：PB2=(6一t)2+(2-t)2,BQ= (6-2t)2+22,PQ=(2t-t)2+t2=2t. 第22题答图 ①若∠PQB=90°，则有PQ+BQ= PB,即2t+[(6-2t)2+22]=(6-t)2+ (2-t)2,整理得4t一8t=0, 解得t1=0(舍去)，t2=2,∴.t=2. ②若∠PBQ=90°，则有PB+BQ= PQ,.[(6-t)2+(2-t)2]+[(6-2t)2 +22]=2t2,整理得t一10t十20=0，解得 t=5士√5.∴.当t=2或t=5+/5或t=5 √5时，△PQB为直角三角形 (3)存在这样的t值.理由如下：将△PQB 绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落 在抛物线上，则旋转中心为PQ的中点，此 时四边形PBQB为平行四边形..PO= PQ,由P(t,t),Q(2t,0),知旋转中心坐标 可表示为（侵，小：点5坐标为(6,2）. .点B的坐标为(3t一6，t一2)，代入y= -}(x-)+得2F-13+18=0,解得 9 t1=2t。=2. 第二十四章达标测试卷 1.D2.A3.D4.B5.D6.B7.B 8.C9.D10.D11.C 12.B点拨：如答图，作N关于AB的对称点 N',连接MN',NN',ON',ON.N关于 AB的对称点N',.MN'与AB的交点P 即为△PMN周长最小时的点..'N是 MB的中点，∴.∠A=∠NOB=∠MON= 20°，∴.∠MON'=60°，.△MON'为等边 三角形，∴.MN'=OM=4,∴.△PMN周 长的最小值为4十1=5.故选B. 第12题答图 2 13.6014.13015.3元16.3<<5 17.112.5 18(分，- )点拨：如答图，连接OE, 由正六边形是轴对称图形知： 在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1, 6=号0G-9 A(-1,0.B(-合，-9) C2-),D(1,0).E(,5). F(-号)故答案为- 第18题答图 19.(1)证明：EF∥AB,.∠E=∠CAB, ∠EFA=∠FAB.,∠E=∠EFA, .∠FAB=∠CAB. (AF=AC, 在△ABC和△ABF中，∠FAB=∠CAB, AB=AB, ∴.△ABC≌△ABF. (2)解：当∠CAB=60°时，四边形ADFE 为菱形.证明如下： .∠CAB=60°， ∴.∠FAB=∠EAF=∠CAB=60°， ∴.EF=AD=AE=DF=AF, .四边形ADFE是菱形. 20.(1)证明：如答图，连接OE, 第20题答图 .OA=OE,.∠EAO=∠AEO. .AE平分∠FAH, .∠EAO=∠FAE, .∠FAE=∠AEO,∴.AF∥OE, ∴.∠AFE+∠OEF=180°. .AF⊥GF, ∴.∠AFE=∠OEF=90°， ∴.OE⊥GF.点E在圆上，OE是半径， ∴.GF是⊙O的切线. (2)解：.四边形ABCD是矩形，CD=10, ∴.AB=CD=10,∠ABE=90° 设OA=OE=x,则OB=10-x. 在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5, 由勾股定理得OB2+BE2=OE, 10-x)2+52=x2,解得c=25 4 AH=2X空-空00的宜径为号 21.(1)解：.BC=DC, ∴.∠CBD=∠CDB=39°. .∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD= ∠CBD=39°， .∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+ 39°=78° (2)证明：EC=BC,.∠CEB=∠CBE 又.∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE= ∠1+∠CBD, ∴.∠2+∠BAE=∠1+∠CBD. .∠BAE=∠CBD,∴.∠1=∠2 22.解：(1)如答图，过点A作AD⊥ON于点D, .'∠NOM=30°，AO=80m, ∴.AD=40m,即对学校A的噪声影响最 大时卡车P与学校A的距离为40m. (2)以50m为半径画圆，分别交ON于 B,C两点，ADLBC,BD=CD=BC. OA=80 m. .'在Rt△AOD中，∠AOB=30°， AD-=20A=2×80=40(m). 在Rt△ABD中，AB=50m,AD=40m, 由勾股定理得BD=√AB一AD'= √502-402=30(m), 故BC=2×30=60(m),即重型运输卡车 在经过BC过程中对学校产生影响. ,重型运输卡车的速度为18km/h,即 18000=300(m/min),.重型运输卡车经 60 过BC时需要60÷300=0.2(min).即卡 车P沿道路ON方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为0.2min. & 030 第22题答图 23.解：(1)如答图a所示，连接OF. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6, ∴.AC=√AB2-BC=√102-62=8. .O是AC的中点，.AO=CO=4. OF⊥AC,∴.OF∥BC, 0F=2BC=3, ∴.AF=√AO+OF=√/42+32=5. 第23题答图 (2)①当CD⊥AB时，点O到AB的距离 最小，由三角形面积公式可得 Ser=7AC·Bc=7ABCG. ..CG-AC.BC_8X6_24 AB 10-5 0G=G-0c-号 “点O到AB距离的最小值是青， ②如答图b所示，当半圆O与BC相切时， 设切点为K,连接OK,AK,则∠OKC=90°. 在Rt△OCK中，OK=3,OC=4, .CK=√OC-OK?=√/42-32=√7. 在Rt△ACK中，AC=8, .AK=√AC+CK=√82+√/7=√/7I. 第23题答图 如答图c所示，当半圆O与AC相切时， 设切点为K,连接OK, ∴.∠OKC=90°，在Rt△OCK中，OK=3, 0C=4. .CK=√OC-OK=√42-32=√7， ∴.AK=AC-CK=8-√7. 综上所述，AK的长为√/71或8-一√7. 第二十五章达标测试卷 1.C2.A3.B4.A5.C6.B7.D 8.C9.B10.C 11.B点拨：利用树状图解答此题比较简单， 如答图所示，具体结论如下：通过树状图 可以知道能组成分式的概率是普-号 分子 分母（结论） a+1 a+2(分式) 2 (整式) 开始 -a+2< a+1（分式) 2（整式) 2 a+1(分式) a+2（分式) 第11题答图 12.C点拨：.四边形ABCD为平行四边 形，∴.△OEH和△OFG关于点O成中心 对称，∴.S△OEH=S△OFG,.S阴影部分= S6e=}Sw,.飞镖恰好落在阴影 区城的摄率==子故选心 SABCD 13.514.9 15.3 1 16.2 17.2018. 2 5 19.解：这个游戏对双方不公平.理由如下：列 表如下： 1 2 3 4 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 所有等可能的情况有16种，其中数字之 和大于5的情况有(2,4)，(3,3)，(3,4)， (4,2),(4,3),(4,4)共6种，故小颖获胜 的概率为。=骨则小丽获胜的概率为 合：<骨“这个游龙对双方不公平 20.解：(1)设红球的个数为x个，则根据题 意，得2十子2立解得1=1.经险貌， x=1符合题意，.布袋里红球有1个. (2)画树状图如答图： 开始 白 白2 白2红黑白红黑白白，黑白白，红 第20题答图 .两次摸球共有12种等可能结果，两次 摸到的球都是白球的情况有2种，∴.两次 21 摸到的球都是白球的概率为2一6： 21.解：(1)分别用A,B,C表示芝麻馅、水果 馅、花生馅的大汤圆，画树状图如答图①. 开始 个个 第21题答图① .共有12种等可能的结果，明明吃前两 个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况， ∴.明明吃前两个汤圆刚好都是花生馅的 21 概率为：2一61 (2)会增大.理由如下：分别用A,B,C表 示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树 状图如答图②. 开始 CC CA CC CA B CC A B CC 第21题答图②九年级数学·上册（人教版） 第二十四章达标测试卷 时间：90分钟满分：100分 题号 三 总分 得分 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB和CD所对的圆心角分别 为90°和50°，则∠P的度数是( A.45° B.40° C.25 D.20 2.如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB,∠BOC=50°，则∠OAB的度数为() A.25° B.50° C.60° D.30 D CL d B A 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=82°，则∠BCD的度数是( A.829 B.92 C.106° D.139° 4.如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm,OC⊥AB于点C,则OC的长为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E,则下列结论中不成立的是 () A.∠A=∠D B.CB=BD C.∠ACB=90° D.∠COB=3∠D 6.如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，⊙O与BC相切于点 C,与AC相交于点E,则CE的长为() A.4cm B.3 cm C.2 cm D.1.5 cm 7.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD是⊙O的切线，A为切点， 连接BC并延长交过点A的切线于点D,若∠AOC=70°，则∠ADB的 度数为( ) A.45° B.55 C.60 D.20° D 8.已知圆的半径是2√3，则该圆的内接正六边形的面积是( ) 第7题图 A.3√3 B.9√3 C.18√3 D.36√3 9.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O,半径为4，则这个正六边形的边心距OM和弧BC的 长分别为( ) A.25营 B.2√3、π C后 D.2万 B 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10.如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁 丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( A.6 B.7 C.8 D.9 11.如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成 一个圆锥，圆锥的高是() A.4√2m B.5m C.√/30m D.2/15m 12.如图，AB是⊙O的直径，AB=8,点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是 直径AB上的一动点，若MN=1,则△PMN周长的最小值为( A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题（每小题3分，共18分） 13.如图，已知点A(0,1),B(0,一1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点 C,则∠BAC等于 度 14.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD= 0 120° 第13题图 第14题图 第15题图 15.如图，已知C,D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2,∠COD= 120°，则图中阴影部分的面积等于 16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三 个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 17.如图，AB是⊙O的直径，OA=1,AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D, 若BD=√2-1，则∠ACD= D 第16题图 第17题图 第18题图 18.如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为 (一1,0)，则点C的坐标为 三、解答题（共46分） 19.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A,交AB于点 D,交CA的延长线于点E,过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F,连接AF,BF,DF (1)求证：△ABC≌△ABF; (2)当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明 第19题图 20.(8分)如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH,交⊙O于点E,过点E的直线FG⊥AF, 垂足为F,B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上 (1)求证：直线FG是⊙O的切线； (2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直径. 第20题图 21.(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上，EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数； (2)求证：∠1=∠2. A ●0 第21题图 22.(10分)如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80m处有一所 学校A,当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50m长为半径的圆形 区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，重型运 输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18km/h. (1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间， 030 80m A M 第22题图 23.(12分)如图a,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,O是AC的中点，以O为圆心 在AC的右侧作半径为3的半圆O,分别交AC于点D,E,交AB于点G,F. (1)求AO及AF的长； (2)如图b,将线段CD连同半圆O绕点C旋转. ①求旋转过程中，点O到AB距离的最小值； ②若半圆O与Rt△ABC的直角边相切时，设切点为K,连接AK,求出AK的长. 第23题图