第二十四章 圆 期末复习题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章圆 期末复习综合练习题 一、单选题 1．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 2．如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，周长为的三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 4．如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 5．如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点．若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转，使点恰好旋转到点的位置，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 10．等腰直角三角形中，，的外接圆圆心为，为上一点（不与重合），作射线交于，分别过作的垂线段．当在上运动时，其中结论正确的序号有（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为 ． 12．如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 13．如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ． 14．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 ． 15．如图，，分别切于点A，B，若的半径为1，，则的长度为 ，求阴影部分面积 ． 三、解答题 16．如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 17．如图，是直径，C为上一点，连接． (1)尺规作图：在上找一点D，使得点D到、的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，已知于点E，求证：是的切线． 18．如图，是的直径，平分分别与相交于点． (1)求证； (2)若，求的直径． 19．如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆． (1)如图1，若，求； (2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长． 20．如图，点为的外接圆上的一动点（点不在上，且不与点，重合），． (1)求的度数． (2)过点A作，交延长线于点E，求证：是的切线． (3)是否存在常数，使存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十四章圆 期末复习综合练习题 2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C C C C D D B 1．C 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离d和圆的半径r. 本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解题的关键. 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在外， 故选：C. 2．A 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据圆周角定理可知，进而根据平角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查切线长定理． 设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理，等量代换，即可得三角形的周长． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可得，，，，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长是． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算得到的半径即可． 【详解】解：如图切于点， ． ，， ． 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形，等腰三角形的性质，圆周角和圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据圆的内接四边形对角互补，可得，连接，根据等角对等边可得，再根据圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵，四边形是的内接四边形， ∴， 连接，如图所示： 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等，正确作出辅助线是解题的关键．连接，可得，进而得，即得是等边三角形，得到，，再根据弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴劣弧的长， 故选：． 7．C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图： 由旋转可知，旋转前后半圆面积相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，掌握圆周角定理是解题关键． 先通过圆周角定理和，求出的度数，再结合，利用平行线的内错角相等，得到的度数． 【详解】解：点为圆心，， ， ， ． 故选：． 9．D 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，连接，求解，可得，求解，结合，可得答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10．B 【分析】先结合等腰三角形的性质，以及过作的垂线段，证明，故，运用勾股定理得；再根据圆内接四边形对角互补，得，又因为，得，即，故；当与重合时，则，结合为上一点（不与重合），得，当点与圆心重合时，即图中，此时在图中的位置，运用勾股定理得；然后整理得，故，即可作答． 【详解】解：∵等腰直角三角形中，，的外接圆圆心为， ∴， ∴， ∵分别过作的垂线段， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确，符合题意； 连接，如图所示： ∵点四点在上， ∴， ∵， ∴， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当与重合时，则， ∵为上一点（不与重合）， ∴ 即， 当点与圆心重合时，即图中，此时在图中的位置，如图所示： ∴是的直径， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵直径相等， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故④正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关知识的联系与运用是解题的关键． 11． 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 利用公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．8 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，由垂径定理求出AD的长是解题的关键．根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的半径为10， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 13． 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键.由为的直径，根据圆周角定理的推论得到，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及扇形面积公式的应用，解题的关键是求出直角三角形面积与两个扇形面积之和，再作差得到阴影部分面积． 先由勾股定理求的长，得扇形半径；再算的面积，结合，求两个扇形组成的扇形面积；最后用三角形面积减去该扇形面积，得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，， ，， 剩余（阴影）部分的面积为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了切线的性质，弧长的计算，扇形面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据切线的性质，求得的度数，可求弧长，再求得的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接、，如图， ，分别切于点、， ，， ， 而， ， 的长度， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 阴影部分面积为， 故答案为：；． 16．(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理，即可得出答案； （2）设半径为r， 则，根据垂径定理得，即，然后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，是直径， ， ∴； （2）解：设半径为r， 则， ∵，是直径， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即半径为5． 17．(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，切线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据点D到、的距离相等，得到平分，尺规作的角平分线，交于点即可； （2）连接，证明，推出，即可得证； 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：连接，则：， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． 18．(1)见详解 (2) 【分析】主要考查角平分线的定义以及圆周角定理(同圆中相等的圆周角所对的弧相等)，等弧的性质、垂径定理，还结合勾股定理与方程思想解决线段长度计算问题，同时体现了圆性质与直角三角形知识的综合应用． （）利用角平分线的定义得到，再依据圆周角定理中“相等的圆周角所对的弧相等”，即可证明； （）由等弧推出垂直平分，结合已知条件求出的长度，设圆的半径为表示出，再在中利用勾股定理列方程求解半径，进而得到圆的直径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵对应，对应， ∴． （2）解：∵， ∴，且， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 代入得：， 解得：， ∴的直径． 19．(1) (2) 【分析】（1）由圆的切线定理可知，进而得出，由平行线的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由同弧与等弧所对的圆周角相等可得出，，等量代换可得出． （2）连接，由圆内接四边形对角互补结合可得出，由同角的余角相等可得出，结合可得出，再利用等角对等边可证出，由，可证出，利用全等三角形的性质可求出的长，设，在中，利用勾股定理可求出x的值，此题得 【详解】（1）解：连接并延长交于点E，连接． ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵，为的外接圆． ∴垂直平分， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 设， 在中，，， ∴ 由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 20．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查“切线的判定”“圆周角定理”“圆内接四边形的性质定理”，构造合适的辅助线和全等三角形，从而建立题目中各线段、角度之间的联系是解题关键． （1）利用同弧所对角相等，推出的度数，再通过三角形内角和计算即可； （2）已知半径证垂直，连半径，借助平行的条件，通过证明得到即可； （3）通过在所在直线上构造与相等的线段，建立与相关联的线段，再通过全等三角形，找到角度或线段关系，从而得到该线段与的关系即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1），得，， ∴为直径，为等腰直角三角形， ∴点为的中点，， 又∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：如图，在的延长线上截取，连接， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，     又，                                ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴存在常数m，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $