专题01 三角形（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的基本性质 掌握三角形中三边关系、边角关系以及三角形中特殊的线段并能解决相关问题 基础必考点，常出现在选择题和填空题 全等三角形的判定与性质 熟练运用全等三角形的判定方法，解决证明与计算问题 高频易错点，容易忽视对应边、对应角的匹配条件 角平分线与垂直平分线 理解角平分线和垂直平分线的性质与判定，并能应用于实际问题 综合题常见考点，常与全等三角形结合考查 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形（等边三角形）的性质与判定方法，解决相关问题 常作为综合题的背景，易忽略分类讨论 知识点01 三角形的基本性质 （1）三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）边角关系：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。 ·示例：（1）已知三条线段长度分别为3cm、4cm、5cm，判断能否组成三角形。 【解答】∵3+4>5，3+5>4，4+5>3，且|3-4|<5，|3-5|<4，|4-5|<3，∴能组成三角形 （2） 在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，请比较三角形三个内角的大小。 【解答】∵AC>BC>AB，∴∠B>∠A>∠C（大边对大角） ·易错点：（1）忽略三边关系的“任意”二字，只检查两边之和大于第三边，未考虑两边之差小于第三边。 （2）应用边角关系时，未确保比较的边和角在同一个三角形中。 知识点02 全等三角形的性质与判定 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HL（仅适用于直角三角形） ·示例：1．如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出、则所画三角形不一定与△ABC全等的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、根据“ASA”可证明与原三角形全等，所以此选项正确，不符合题意； B、根据“SAS”可证明与原三角形全等，所以此选项正确，不符合题意； C、根据“SSS”可证明与原三角形全等，所以此选项正确，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，所以此选项错误，符合题意； 故选：D． 2．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，OF＝OC，在△ABC和△DEF中，还需再添加一个条件才能使△ABC≌△DEF，则不能添加的条件是（　　） A． AO＝DO B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠A＝∠D 【解答】解：∵BF＝CE，∴BC＝EF，∵OF＝OC，∴∠ACB＝∠DFE， A、∵AO＝DO得出AC＝DF，由SAS得出△ABC≌△DEF，故不符合题意； B、AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，SSA不能证明全等，符合题意； C、∵BC＝EF，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，由ASA得出△ABC≌△DEF，故不符合题意； D、∵∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，由AAS得出△ABC≌△DEF，故不符合题意； 故选：B． 3．下列说法正确的是（　　） A．面积相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个直角三角形全等 D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 【解答】解：A、面积相等的两个直角三角形全等，错误，本选项不符合题意； B、周长相等的两个直角三角形全等，错误，本选项不符合题意； C、斜边相等的两个直角三角形全等，错误，本选项不符合题意； D、有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，正确，本选项符合题意． 故选：D． ·易错点： 在证明全等时，忽略对应边、对应角的顺序，导致判定错误。 知识点03 角平分线与垂直平分线的性质与判定 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ·易错点：混淆角平分线与垂直平分线的性质与判定，错误应用定理。 ·示例：1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，下列结论：①∠FDE＝90°；②DF∥AC；③∠B＝∠CAE；④∠EAD＝∠EDA，其中正确的有（　　） A． ①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【解答】解：∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED，FA＝FD，∴∠EAD＝∠EDA，④结论正确；∵FA＝FD，∴∠FDA＝∠FAD，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC，②结论正确；∵∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，∴∠B＝∠CAE，③结论正确；∵FD与BE不一定互相垂直，∴∠FDE＝90°不成立，①结论不正确；故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，t的值为 　 　 ． 【解答】解：如图，AB的垂直平分线交AC和AB于P1、P2，∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC8（cm），当P运动到P1时，∵AP1＝t cm，∴P1C＝（8﹣t）cm，∵P1P2垂直平分AB，∴AP1＝BP1，由勾股定理可得：，∴（8﹣t）2+62＝t2，∴t；当P运动到P2时，∵P2A＝P2B，∴t﹣14，∴t＝19，综上所述：t的值为或19， 3．如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，N．若BC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 【解答】解：∵在△ABC中，MD垂直平分AB，NE垂直平分AC，垂足分别是M，N，∴根据线段的垂直平分线的性质，DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝BD+CE+DE＝BC＝10 知识点04 等腰三角形、等边三角形的性质与判定 等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（“等边对等角”）；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（“三线合一”）。 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。 等边三角形的性质：等边三角形的内角都等于60° 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ·示例：1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70° 2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．求证：． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC， ∴AD＝DC，∠A＝∠ABC＝60°，AB＝AC， ∵DE∥AB， ∴∠AED＝∠ABC＝60° ∴∠A＝∠AED＝∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE＝ADACAB． ·易错点：在应用“三线合一”时，忽略其前提是等腰三角形；在判定等腰三角形时，忽略等角对等边的条件。 题型一 全等三角形的判定与证明 解｜题｜技｜巧 1. 分解图形，找准三角形 2. 利用变换，找到对应关系 3. 分析已知条件，证明缺失条件 4. 选择合适的判定方法进行证明 易｜错｜点｜拨 忽略HL定理仅适用于直角三角形的条件 【典例1】 如图，在△ABC和△EDF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝EF，A、D、B、E四点在同一直线上，AC、EF交于点O．请从①BE＝AD；②∠A＝∠E；③BC＝DF中选择一个选项作为已知条件，使得△ABC≌△EDF． 你添加的条件是：　 　 （只填写一个序号），并写出证明过程． 【解答】添加的条件是：②，证明：在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（ASA），（答案不唯一）． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，连接BD，AE⊥AB交BD于点E，CF⊥CD交BD于点F，DE＝BF，求证：△ABE≌△CDF． 【解答】证明：∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DF，∵AE⊥AB，CF⊥CD，∴∠BAE＝∠DCF＝90°，又∵AB∥CD∴∠ABD＝∠CDB在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）． 【变式2】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．求证：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． 题型二 角平分线与垂直平分线的性质与判定的应用 解｜题｜技｜巧 1.识别角平分线或垂直平分线。 2.应用性质定理，得出距离相等或线段相等。 3.结合全等三角形进行证明或计算。 4.若需判定角平分线或垂直平分线，需验证点到角两边或线段两端的距离相等。 【典例1】如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DEAC，则△ABC的面积为　 　 cm2． 【解答】解：∵，∴，如图，作DF⊥BC于点F， ∵CD是∠ACB的平分线，∴DF＝DE＝4cm， ∴ ＝42（cm2）． 【典例2】已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．求证：； 【解答】证明：∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴设，∠， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β，∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β， ∴； 【变式1】已知△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D，BE与CD交于点O，连接OA．求证：OA平分∠BAC． 【解答】证明：过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，∵BE平分∠ABC，∴OF＝OG，∵CD平分∠ACB，∴OG＝OH， ∴OF＝OH（等量代换）． ∴OA平分∠BAC． 【变式2】如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线PD，PE相交于点P． （1）求证：PA＝PB＝PC； （2）请判断点P是否也在边AC的垂直平分线上？并说明理由； （3）由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【解答】（1）证明：在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线PD，PE相交于点P． ∴PA＝PB．同理PB＝PC．∴PA＝PB＝PC； （2）解：点P在边AC的垂直平分线上． ∵PA＝PC， ∴点P在边AC的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 题型三 等腰三角形（等边三角形）的性质与判定的综合应用 解｜题｜技｜巧 1.识别等腰三角形，应用等边对等角或等角对等边。 2.用“三线合一”简化证明过程。 3.结合全等三角形进行证明或计算。 易｜错｜点｜拨 在未明确腰和底的情况下，需分类讨论。 【典例1】等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．3cm B．5cm C．3cm或5cm D．4cm或5cm 【解答】当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝8÷2＝4（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝13﹣10＝3（cm），能够组成三角形， 综上所述，只有选项C正确，符合题意． 【典例2】如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝BC．求∠A的度数． 【解答】设∠ABD＝x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝2x，由三角形内角和定理可得，2x+2x+x＝180°，解得：x＝36°，∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝2x﹣x＝x＝36° 【变式1】如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝BC，点E为线段AB的中点，连接DE，判断直线DE与AB的位置关系，并说明理由． 【解答】DE⊥AB，由典例2可得∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵点E为线段AB的中点，∴DE⊥AB． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【解答】若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C． 2. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　 ． 【解答】如图所示，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA+PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4，即点P到BC的距离是4． 3.如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，BC＝DE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 　 　 ． 【解答】解：根据题意分情况讨论：若添加条件：∠ACB＝∠FED，∵AC＝EF，AB＝DF，∴，∴△ABC≌△FDE（SAS）；若添加条件：AB＝FD，∵AC＝EF，AB＝DF，∴，∴△ABC≌△FDE（SSS）； 4.已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：AC＝BD． 【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB，∴∠ADE＝∠BCF＝90°，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△ADE与△BCF中，，∴△ADE≌△BCF，∴AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，即AC＝BD． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求AB的长． 【解答】解：（1）∵DE的垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A． 又∵BE平分∠ABC，∴∠EBA＝∠CBE，∵∠C＝90°， 又∵∠CBE+∠EBA+∠A＝90°，∴∠A＝30°． （2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∴BC＝1，∴AB＝2． 6．用直尺和圆规做一个三角形，使它和已知三角形全等（要求用两种方法作图，保留作图痕迹，不必写做法）． 【解答】方法一：如图，△DEF即为所求． 方法二：如图，△DEF即为所求． 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分线段AC． （1）求证：△BCE是等边三角形． （2）若BC＝3，求DE的长． 【解答】证明：（1）在△ABC中，∵∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵DE垂直平分AC，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形；（2）由（1）得，EC＝BC＝3，Rt△ECD中，∵∠ECD＝30°，∴DEEC． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 【解答】∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C70°，由题意得：BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝70°，∵∠BDC是△ABD的一个外角，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°，故选：B． 2．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是斜边AB的中点，若∠ACD＝5∠BCD，则∠ECD＝　 　 ． 【解答】∵∠ACD＝5∠BCD，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝75°，∠BCD＝15°，∵CD⊥AB， ∴∠B＝90°﹣∠BCD＝90°﹣15°＝75°， 又∵E是斜边AB的中点，∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝75°（等边对等角）， ∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝75°﹣15°＝60°，即∠ECD的度数为60°． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°．求证：△ABD≌△ECB． 【解答】证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°， ∴∠ADB＝∠CBE， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（AAS）． 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为42cm，∴AB+BC+AC＝42cm， ∵AC＝16cm，∴AB+BC＝26cm，∵AB＝EC，BD＝DE， ∴． 5.图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：如图2，在△ADF和△AEF中，，∴△ADF≌△AEF（SSS），∴∠DAF＝∠EAF，∴AP平分∠BAC； （2）如图3，过点P作PM⊥AC于点M，∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，∴PM＝PQ＝4， ∴S△APCAC•PM6×4＝12． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，，∵DE是AB的垂直平分线， ∴，∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形； （2）证明：DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，DE⊥AB，∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°，∴∠BAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝EC，∵△ADC是等边三角形，∴AD＝AC， ∴点E在线段CD的垂直平分线上． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝30°，∴A1B1＝OA1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝∠B2A3A2＝60°＝∠B1A1A2＝∠B1A2A1，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推：△A7B7A8的边长为27＝128，故选：C． 2．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，∠AEC＝∠BFD． （1）求证：AC＝DB； （2）求证：△ADE≌△BCF． 【解答】（1）证明：∵AE∥BF， 由平行线的性质得到∠EAC＝∠FBD，在△ACE和△BDF中， ，∴△ACE≌△BDF（ASA），∴AC＝DB； （2）证明：点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，∠AEC＝∠BFD．∴AD＝BC， 在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS）． 3.如图1，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． 1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下：∵点P，Q的运动的速度都是3cm/s，∴当运动的时间t＝1时，AP＝BQ＝3cm，∵AB＝10cm，∴BP＝AB﹣AP＝7（cm），∵AC＝7cm，∴AC＝BP＝7cm，∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，在△ACP与△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠C＝∠BPQ，在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°，∴∠BPQ+∠APC＝90°，∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，∴PC⊥PQ； （2）∵点P运动的速度是3cm/s，点Q的运动速度为x cm/s，运动的时间为t s，∴AP＝3t cm，BQ＝xt xm，∵AC＝7cm，AB＝10cm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm，又∵∠CAB＝∠DBA，∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AP＝BQ，AC＝BC时，△ACP≌△BPQ（SAS），由AC＝BC，得：7＝10﹣3t，解得：t＝1，由AP＝BQ，得：3t＝xt，解得：x＝3，∴相应的x与t的值为：x＝3cm/s，t＝1s；②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP（SAS），由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t，解得：t，由AC＝BQ，得：7＝xt，将t代入7＝xt，得：x，∴相应的x与t的值为：xcm/s，ts，综上所述：相应的x与t的值为x＝3cm/s，t＝1s或xcm/s，ts． 4.请你设计“线段的垂直平分线”的仪器． （1）材料：描述所需材料及要求； （2）请你设计“线段的垂直平分线”的仪器方案，方案包括画出“仪器”的平面几何图形，写出图形中条件的符号语言，再写出“仪器”的操作说明； （3）说明你设计方案的合理性． 【解答】解：（1）4根细木条，要求两两相等； （2）仪器的平面几何图形如图1，其中AD＝AB，CD＝CB，操作说明：如图2， 将仪器的点D和点B分别放置在一条线段的两个端点上，画直线AC；AC就是这条线段DB的垂直平分线；（3）合理性∵AD＝AB， ∴点A在线段DB的垂直平分线上， ∵CD＝CB， ∴点C在线段DB的垂直平分线上， ∵经过两点有且只有一条直线， ∴直线AC是线段DB的垂直平分线 5．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形． （2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°， ∴△AOD是直角三角形． （3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°． ①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°． ②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°． ③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°． 综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形． 6.【问题解决】 （1）如图1，BD平分∠ABC，E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC，交BD于点F，请直线写出一个与∠1相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，G为BC上一点，连接FG，且∠BGF＝2∠1，求证：EF＝FG； 【操作探究】 （3）如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD＝2∠DBC，E是AB边上任意一点，以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F，以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M，连接EM．根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系． 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠1，∵EF∥BC，∴∠BFE＝∠1，∴与∠1相等的角是∠ABD（或∠BFE）． （2）证明：如图，延长GF，交AB于点H，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠1， ∵∠BGF＝2∠1，∴∠BGF＝∠ABC，∴HB＝HG，∵EF∥BC，∴∠HEF＝∠ABC，∠HFE＝∠BGF， ∴∠HEF＝∠HFE，∴HE＝HF，∴HB﹣HE＝HG﹣HF，即BE＝FG， 由（1）已得：∠ABD＝∠1，∠BFE＝∠1，∴∠ABD＝∠BFE， ∴EF＝BE，∴EF＝FG． （3）解：①当点M在线段BF上时，补全图形如下： 延长EM，交BC于点H，设∠DBC＝x，则∠ABD＝2x， ∵以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F， ∴EB＝EF， ∴∠EFB＝∠ABD＝2x， ∵以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M， ∴EF＝MF，∴∠FEM＝∠FME， ∵∠FEM+∠FME+∠EFB＝180°， ∴， ∴∠BMH＝∠FME＝90°﹣x， ∴∠EHC＝∠DBC+∠BMH＝90°， ∴EM⊥BC； ②当点M在射线FD上时，补全图形如下： 由作图可知，EB＝EF，∴∠EFB＝∠ABD， ∵以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F， ∴EF＝MF，∴∠FEM＝∠FME， ∵∠EFB＝∠FEM+∠FME，∴∠EFB＝2∠FME，∴∠ABD＝2∠FME，又∵∠ABD＝2∠DBC， ∴∠FME＝∠DBC，∴EM∥BC； 综上，当点M在线段BF上时，EM⊥BC；当点M在射线FD上时，EM∥BC． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的基本性质 掌握三角形中三边关系、边角关系以及三角形中特殊的线段并能解决相关问题 基础必考点，常出现在选择题和填空题 全等三角形的判定与性质 熟练运用全等三角形的判定方法，解决证明与计算问题 高频易错点，容易忽视对应边、对应角的匹配条件 角平分线与垂直平分线 理解角平分线和垂直平分线的性质与判定，并能应用于实际问题 综合题常见考点，常与全等三角形结合考查 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形（等边三角形）的性质与判定方法，解决相关问题 常作为综合题的背景，易忽略分类讨论 知识点01 三角形的基本性质 （1）三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （2）边角关系：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。 ·示例：（1）已知三条线段长度分别为3cm、4cm、5cm，判断能否组成三角形。 （2）在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，请比较三角形三个内角的大小。 ·易错点：（1）忽略三边关系的“任意”二字，只检查两边之和大于第三边，未考虑两边之差小于第三边。 （2）应用边角关系时，未确保比较的边和角在同一个三角形中。 知识点02 全等三角形的性质与判定 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HL（仅适用于直角三角形）。 ·示例：1．如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出、则所画三角形不一定与△ABC全等的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，OF＝OC，在△ABC和△DEF中，还需再添加一个条件才能使△ABC≌△DEF，则不能添加的条件是（　　） A． AO＝DO B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠A＝∠D 3．下列说法正确的是（　　） A．面积相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个直角三角形全等 D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 ·易错点： 在证明全等时，忽略对应边、对应角的顺序，导致判定错误。 知识点03 角平分线与垂直平分线的性质与判定 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ·易错点：混淆角平分线与垂直平分线的性质与判定，错误应用定理。 ·示例：1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，下列结论：①∠FDE＝90°；②DF∥AC；③∠B＝∠CAE；④∠EAD＝∠EDA，其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，t的值为 　 　 ． 3．如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，N．若BC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 知识点04 等腰三角形、等边三角形的性质与判定 等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（“等边对等角”）；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（“三线合一”）。 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。 等边三角形的性质：等边三角形的内角都等于60° 等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. ·示例：1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 2．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．求证：． ·易错点：在应用“三线合一”时，忽略其前提是等腰三角形；在判定等腰三角形时，忽略等角对等边的条件。 题型一 全等三角形的判定与证明 解｜题｜技｜巧 1. 分解图形，找准三角形 2. 利用变换，找到对应关系 3. 分析已知条件，证明缺失条件 4. 选择合适的判定方法进行证明 易｜错｜点｜拨 忽略HL定理仅适用于直角三角形的条件 【典例1】 如图，在△ABC和△EDF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝EF，A、D、B、E四点在同一直线上，AC、EF交于点O．请从①BE＝AD；②∠A＝∠E；③BC＝DF中选择一个选项作为已知条件，使得△ABC≌△EDF． 你添加的条件是：　 　 （只填写一个序号），并写出证明过程． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，连接BD，AE⊥AB交BD于点E，CF⊥CD交BD于点F，DE＝BF，求证：△ABE≌△CDF． 【变式2】如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．求证：Rt△ABE≌Rt△BCD． 题型二 角平分线与垂直平分线的性质与判定的应用 解｜题｜技｜巧 1.识别角平分线或垂直平分线。 2.应用性质定理，得出距离相等或线段相等。 3.结合全等三角形进行证明或计算。 4.若需判定角平分线或垂直平分线，需验证点到角两边或线段两端的距离相等。 【典例1】如图，在△ABC中，BC＝9cm，AC＝12cm，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DEAC，则△ABC的面积为　 　 cm2． 【典例2】已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．求证：； 【变式1】已知△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D，BE与CD交于点O，连接OA．求证：OA平分∠BAC． 【变式2】如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线PD，PE相交于点P． （1）求证：PA＝PB＝PC； （2）请判断点P是否也在边AC的垂直平分线上？并说明理由； （3）由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 题型三 等腰三角形（等边三角形）的性质与判定的综合应用 解｜题｜技｜巧 1.识别等腰三角形，应用等边对等角或等角对等边。 2.用“三线合一”简化证明过程。 3.结合全等三角形进行证明或计算。 易｜错｜点｜拨 在未明确腰和底的情况下，需分类讨论。 【典例1】等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．3cm B．5cm C．3cm或5cm D．4cm或5cm 【典例2】如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝BC．求∠A的度数． 【变式1】如图，△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝BC，点E为线段AB的中点，连接DE，判断直线DE与AB的位置关系，并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 2. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　 ． 3.如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC＝EF，BC＝DE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 　 　 ． 4.已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE∥BF，且AE＝BF．求证：AC＝BD． 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分∠ABC． （1）求∠A的度数； （2）若CB＝1，求AB的长． 6．用直尺和圆规做一个三角形，使它和已知三角形全等（要求用两种方法作图，保留作图痕迹，不必写做法）． 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分线段AC． （1）求证：△BCE是等边三角形． （2）若BC＝3，求DE的长． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 2．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是斜边AB的中点，若∠ACD＝5∠BCD，则∠ECD＝　 　 ． 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD，点E在BD上，∠A＝∠BEC＝90°．求证：△ABD≌△ECB． 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 5.图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： （1）△ADC是等边三角形； （2）点E在线段CD的垂直平分线上． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 2．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，∠AEC＝∠BFD． （1）求证：AC＝DB； （2）求证：△ADE≌△BCF． 3.如图1，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． 1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； （2）如图2，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 4.请你设计“线段的垂直平分线”的仪器． （1）材料：描述所需材料及要求； （2）请你设计“线段的垂直平分线”的仪器方案，方案包括画出“仪器”的平面几何图形，写出图形中条件的符号语言，再写出“仪器”的操作说明； （3）说明你设计方案的合理性． 5．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD． （1）求证：△OCD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形． 6.【问题解决】 （1）如图1，BD平分∠ABC，E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC，交BD于点F，请直线写出一个与∠1相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，G为BC上一点，连接FG，且∠BGF＝2∠1，求证：EF＝FG； 【操作探究】 （3）如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD＝2∠DBC，E是AB边上任意一点，以点E为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F，以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M，连接EM．根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $