专项突破01 三角形中的线段和角（知识技巧点拨+11种高频考察题型 共44题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版2024数学八年级上册考前冲刺

专项突破01 三角形中的线段和角 （知识技巧点拨+11种高频考察题型 共44题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：三角形的三边关系 1 知识点梳理02：三角形的边和角的关系 2 知识点梳理03：三角形的中线、角平分线、高 3 优选题型 考点讲练 4 题型1 三角形的个数问题 4 题型2 构成三角形的条件 5 题型3 确定第三边的取值范围 6 题型4 三角形三边关系的应用 6 题型5 根据三角形中线求长度 7 题型6 根据三角形中线求面积 9 题型7 重心的概念 10 题型8 三角形角平分线的定义 12 题型9 画三角形的高 14 题型10 与三角形的高有关的计算问题 15 题型11 利用网格求三角形面积 17 知识点梳理01：三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 知识点梳理02：三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对 大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 知识点梳理03：三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 题型1 三角形的个数问题 1．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 2．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 4．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，图中共有 个三角形． 题型2 构成三角形的条件 5．（23-24八年级上·全国·开学考试）若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 7．（2025七年级上·广东·专题练习）能围成三角形的一组线段是（   ）．（单位：厘米） A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1 8．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段练习）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 题型3 确定第三边的取值范围 9．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习），，分别为的三边， (1)当，时，求的取值范围； (2)化简． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 12．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为 ． 题型4 三角形三边关系的应用 13．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为奇数，求c的值． 14．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）已知的三边长为． (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 15．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）若是三角形的三边，化简： ． 16．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 题型5 根据三角形中线求长度 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 19．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若的面积为48，，求点B到线段的距离． 20．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 题型6 根据三角形中线求面积 21．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是的中点，则四边形AFDG的面积是（    ）    A．6 B．5 C．4.5 D．4 22．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)画出中边上的高，垂足为． (2)画出中边上的中线． (3)直接写出 ． 23．（24-25七年级下·河南·阶段练习）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 24．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，点E是上一点，，点D是的中点，若，则 ． 题型7 重心的概念 25．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 26．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 27．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 28．（21-22八年级上·天津西青·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型8 三角形角平分线的定义 29．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 31．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 题型9 画三角形的高 34．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 35．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上． (1)平移，使点A与重合，画出平移后得到的； (2)连接、，四边形的面积是___________． (3)画出的高． 36．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将经过一次平移得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，仅用无刻度的直尺画图： (1)补全，则的面积为__________； (2)画出的中线、高线； (3)若连接、，则线段、的关系为__________． 题型10 与三角形的高有关的计算问题 37．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 38．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 40．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 题型11 利用网格求三角形面积 41．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上． (1)作出 关于y轴对称的 ，并写出点的坐标； (2)作出 关于x轴对称的 ； (3)求 的面积． 42．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位的图形，并写出顶点的坐标； (2)已知为轴上一点，若与的面积相等，直接写出点的坐标． 43．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小正方形的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在小正方形的顶点上）的面积为_________； (2)画出格点关于直线l对称的图形； (3)在直线l上画出点P，使最小． 44．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 三角形中的线段和角 （知识技巧点拨+11种高频考察题型 共44题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：三角形的三边关系 1 知识点梳理02：三角形的边和角的关系 2 知识点梳理03：三角形的中线、角平分线、高 3 优选题型 考点讲练 4 题型1 三角形的个数问题 4 题型2 构成三角形的条件 6 题型3 确定第三边的取值范围 8 题型4 三角形三边关系的应用 11 题型5 根据三角形中线求长度 13 题型6 根据三角形中线求面积 17 题型7 重心的概念 21 题型8 三角形角平分线的定义 24 题型9 画三角形的高 28 题型10 与三角形的高有关的计算问题 32 题型11 利用网格求三角形面积 37 知识点梳理01：三角形的三边关系 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边.我们可以从不同的角度理解，列表如下： 文字语音 表达方式 理论依据 图形 三角形的任意两边 之和大于第三边 a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b 两点之 间，线 段最短 三角形的任意两边 之差小于第三边 a－b<c，b－c<a，a－c<b (a>b>c) 2.三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否组成三角形； (2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值 范围； (3)当三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围； (4)证明线段的不等关系； (5)化简含绝对值的式子. 特别解读 1. 三角形中的“两边”指任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较. 2. 已知三角形两边长分别为a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b. 知识点梳理02：三角形的边和角的关系 1. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对 大角”. 证明如下： 如图1.1 -1 ，在△ABC中，AB>AC， 我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小. 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折，如图1.1 -2， 因为AB>AC， 所以点C落在边AB上的点C′处. 所以∠AC′D＝∠C. 由∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，可得∠AC′D>∠B， 所以∠C>∠B. 2. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 解题通法 利用“大边对大角”得出角的大小关系，再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 知识点梳理03：三角形的中线、角平分线、高 1. 三角形的中线、角平分线和高是三角形的三种重要线段，它们是研究三角形的一些特征的基础，我们需要从不同的角度进行理解，列表如下： 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的高 文字 语言 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 在三角形中，一个内角的平分线与这 个角的对边相交，这个角的顶点与交 点之间的线段叫作三角形的角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 特别解读 1. 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： (1)两个三角形的面积相等； (2)两个三角形的周长的差等于原三角形另两边的差. 2.中线是一条线段，一个端点是顶点，另一个端点是中点. 3. 三角形三条高的位置 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高 的位置 三条高都在 三角形内部 有两条高恰好是三角形的两条直角边，还有一条高在三角形内部 钝角两边上的高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上，最长边上的高在三角形内部 题型1 三角形的个数问题 1．（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）如图，已知点A，B，C在直线a上，点D，E，F，G在直线b上，以点A，B，C，D，E，F，G中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ） A．9个 B．30个 C．20个 D．27个 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形．根据三角形的概念即可解答． 【规范解答】解：在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、、、、，共6个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有6个； 在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有、、，共3个， 同样在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个；在直线上一点，在直线上取两点，可构成的三角形有3个； 所以一共可以组成三角形的个数为个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【规范解答】解：有，，，，，共5个三角形． 故答案为：A． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【答案】 8 【思路引导】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【规范解答】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 4．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，图中共有 个三角形． 【答案】116 【思路引导】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可． 【规范解答】解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 题型2 构成三角形的条件 5．（23-24八年级上·全国·开学考试）若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，由题意可知：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，进而可知一定有厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，据此即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【规范解答】解：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，由任意3条线段都不能构成三角形，可知须满足（）。当时，可构造一个各项取值最小的数列：取最小整数，后续项取，得到数列。由于此数列的第9项恰好为，与题干条件相符，且任何其他满足条件的数列都会导致，故该数列是唯一解。因此， 故选：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，设第三根木棒的长为x，根据三角形的三边关系，得到，再根据题意，得到，求解即可． 【规范解答】解：设第三根木棒的长为x， ∵两根木棒的长分别是m和， ∴， ∴． ∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务， ∴， ∴． 7．（2025七年级上·广东·专题练习）能围成三角形的一组线段是（   ）．（单位：厘米） A．1，1，2 B．3，3，4 C．1，2，3 D．4，3，1 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握任意两边之和必须大于第三边是解题的关键．根据任意两边之和必须大于第三边，逐一选项判断是否符合． 【规范解答】A、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； B、，，满足条件，可以构成三角形； C、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形； D、，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形。 故选B． 8．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段练习）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 【答案】(1)4根火柴不能搭成三角形 (2)12根火柴能搭成三种不同的三角形，示意图见解析 【思路引导】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系为解题关键． （1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【规范解答】（1）解：把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， 根火柴不能搭成三角形； （2）12根火柴能搭成三种不同的三角形， 第一种边长分别为：4，4，4； 第二种边长分别为：5，5，2； 第三种边长分别为：3，4，5， 示意图如下： 题型3 确定第三边的取值范围 9．（25-26八年级上·江西赣州·阶段练习），，分别为的三边， (1)当，时，求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，绝对值意义，整式加减，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行整式化简即可． 【规范解答】（1）解：∵，，分别为的三边， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵，，分别为的三边， ∴，，， ∴ ． 10．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）设的三边分别为a，b，c，其中a，b满足，则最长边c的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 本题主要考查了非负数的性质，三角形三边的关系，解二元一次方程组，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【规范解答】解：∵，且，， ∴， 解得， ∴，即， ∴， 又∵c为最长边， ∴ 故答案为：． 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 【答案】，，． 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 12．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值，即可求出周长． 【规范解答】解：∵a，b满足， ∴，， 解得， ∵，， ∴， 又∵c为奇数， ∴或或 ∴当时， 当时， 当时， 的周长为或或． 故答案为：或或． 题型4 三角形三边关系的应用 13．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为奇数，求c的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，c为奇数，求解即可求得答案． 【规范解答】（1）解：，，是的三边长， ，，， ； （2）∵，， ， 即， c为奇数， ． 14．（25-26八年级上·四川南充·阶段练习）已知的三边长为． (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【规范解答】（1）解：∵的三边长为，且， ∴，即； （2）解：∵是的三边长， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 15．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）若是三角形的三边，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可． 【规范解答】解：∵是三角形的三边， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 16．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【规范解答】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 题型5 根据三角形中线求长度 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高等相关知识， 根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行一一判断即可得出答案． 【规范解答】解：①∵， ∴平分． ∴是的角平分线，故①正确； ②F为的中点，但F不是的边对边的顶点， ∴不是的边上的中线；故②错误； ③④根据三角形的高的概念可知不是的边上的高，是的边上的高．故③错误，④正确， 综上所述，正确的个数是2个． 故选B． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底与底的比． （1）根据三角形的中线得，然后利用三角形的面积即可求出； （2）根据，两个三角形的高相等可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 19．（25-26八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若的面积为48，，求点B到线段的距离． 【答案】(1)28 (2)6 【思路引导】本题考查了三角形的面积，三角形的中线． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可求的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【规范解答】（1）∵AD是的中线， ∴． ∵的周长，， ∴的周长； （2）∵和的高为同一条，， ∴． 同理可得，． 设点B到线段AD的距离为h， 则， 解得， ∴点B到线段AD的距离为6． 20．（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【规范解答】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 题型6 根据三角形中线求面积 21．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，的面积是12，点D，E，F，G分别是的中点，则四边形AFDG的面积是（    ）    A．6 B．5 C．4.5 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形中线的定义，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，据此即可求出，同理可以求出，，，，即可求出． 【规范解答】解：∵点D为中点， ∴， ∴与等底同高， ∴， 同理可得，， ，，，， ∴． 故选：A 22．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知． (1)画出中边上的高，垂足为． (2)画出中边上的中线． (3)直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【思路引导】本题考查作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键． （1）找到所在水平网格线与点C所在竖直网格线的交点即为D点； （2）根据长为6个小方格对角线，从点B或点C向数3格对角线长的位置即为的中点K，连接； （3）根据可得，根据的长可求出，即可得的值． 【规范解答】（1）解：在网格上找所在水平网格线与点C所以竖直网格线的交点即为D点，连接、， ∵水平网格线与竖直网格线互相垂直， ∴， 即是边上的高． （2）解：∵长为6个小方格的对角线， ∴从点B沿数3个小格的对角线，此点即为的中点K，连接，则是边上的中线． （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 23．（24-25七年级下·河南·阶段练习）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 24．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，点E是上一点，，点D是的中点，若，则 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查根据三角形中线求面积，证明是解题的关键． 连接，由点D是的中点，可设，由，设，则，再根据，可得，进而可得． 【规范解答】解：如图，连接， 点D是的中点， 设， ， ，， 设，则， ， ， 即， ， ， 故答案为：6． 题型7 重心的概念 25．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【思路引导】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义； （2）利用三角形面积公式即可解答； （3）根据重心的定义即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：，，， ，边上的高为， ； （3）解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 26．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【规范解答】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 27．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 28．（21-22八年级上·天津西青·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据角平分线的性质可以判断①；证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDA，可以判断②；根据∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°，可得∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，即可判断③；根据点A，D都在线段EF的垂直平分线上，即可判断④；根据只有当AB=AC时，AD才是中线，即可判断⑤． 【规范解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAG=∠FAG，故①正确， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，故②正确； ∵∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°， ∴∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，故③正确； ∵AE=AF，ED=FD， ∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上， ∴AD是EF的垂直平分线，故④正确； ∵AD是△ABC的角平分线，只有当AB=AC时，AD才是中线， ∴点G不一定是△ABC的重心，故⑤错误； 故选D． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质． 题型8 三角形角平分线的定义 29．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 30．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了角平分线的定义、垂直的判定、平行线的判定与性质以及角度的计算．解题的关键是熟练运用相关几何性质，通过角之间的关系建立等式求解． （1）根据角平分线性质表示出相关角，再利用平角为推导出为，从而判定． （2）由等角对等边判定结合平行线性质和角平分线定义得到角之间的倍数关系，再根据已知角度关系列方程求出，最后结合 的度数求出． 【规范解答】（1）证明：∵分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 31．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 32．（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【思路引导】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【考点剖析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上性质，并理解新定义． 题型9 画三角形的高 34．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【思路引导】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点H即可； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得D点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：． 35．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点、点都在网格的格点上． (1)平移，使点A与重合，画出平移后得到的； (2)连接、，四边形的面积是___________． (3)画出的高． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图—平移变换、四边形的面积、三角形的高等知识点，掌握平移变换的性质以及利用割补法求四边形的面积是解题的关键． （1）根据点A到，可知平移方式为先向右移动三个单位，再向上移动一个单位，利用平移规律分别作出B、C的对应点，然后顺次连接即可； （2）连接、，把四边形的面积看成长方形的面积减去周围的四个三角形面积即可； （3）根据三角形高的定义以及网格的特点即可解答． 【规范解答】（1）解：由图形可知：先向右移动三个单位，再向上移动一个单位得到，则如图：即为所求． （2）解：四边形的面积是． 故答案为：5． （3）解：如图：线段即为所求． 36．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将经过一次平移得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，仅用无刻度的直尺画图： (1)补全，则的面积为__________； (2)画出的中线、高线； (3)若连接、，则线段、的关系为__________． 【答案】(1)图见详解，7 (2)见详解 (3)平行且相等 【思路引导】（1）根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可； （2）根据三角形的中线和高的定义画图即可； （3）根据平移的性质可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． 的面积为． 故答案为：7． （2）如图，中线、高线即为所求； （3）由平移性质得，线段、的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等． 【考点剖析】本题考查作图平移变换、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握平移的性质、三角形的中线和高的定义是解答本题的关键． 题型10 与三角形的高有关的计算问题 37．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算．根据垂线段最短，得出当时，最小，利用等积法求出最小值即可． 【规范解答】解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵此时， ∴． 故答案为：． 38．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)60 (2)24 【思路引导】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）求出的面积，再根据三角形的中线平分面积求出的面积； （2）利用面积公式求出的长即可． 【规范解答】（1）解：∵的边上的高为， ∴， ∵为的中线， ∴； （2）解：∵为的高， ∴， ∴． 39．（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”． (1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由； (2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______． 【答案】(1)不是“比高三角形”，理由见解析 (2)3或2 【思路引导】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形三边关系的应用等知识． （1）先根据题意得出为最短边上的高，为最长边上的高，再根据等面积法求出，最后根据“比高三角形”的定义判断即可． （2）根据三角形三边关系结合“比高三角形”的定义得出的三边长分别为，，或，，．设最短边上的高为，最长边上的高为，再结合三角形的面积计算以及“比高三角形”的定义即可得出答案． 【规范解答】（1）解：不是“比高三角形”，理由如下： ∵， ∴为最短边上的高，为最长边上的高， ∵， ∴， ∴，k不是整数， ∴不是“比高三角形”； （2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为， ∴为的最长边， 当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件， 故的三边长分别为，，或，，． 设最短边上的高为，最长边上的高为， 当三边长分别为，，时， ， 解得：，即， 当三边长分别为，，．时， ， 解得：，即， 综上所述， 的“比高系数"k为3或2． 40．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，数形结合是解题的关键； （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）分在上，分别表示出的长，即可求解； （3）根据 ，则在上，代入（2）的式子，即可求解； （4）根据得出，进而分在上，分别列出方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）∵，点是边的中点， ∴， ∵点速度为每秒2个单位长度， 当时，在上，， 当时，在上，， ∴； （3）解：∵， ∴ ，则在上， ∴， 解得：； （4）解：∵，点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在上时，， 解得：， ∴， 当在上时，∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 题型11 利用网格求三角形面积 41．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B、C三点在格点上． (1)作出 关于y轴对称的 ，并写出点的坐标； (2)作出 关于x轴对称的 ； (3)求 的面积． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了作图—轴对称变换，解题的关键是熟记作图方法：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形． （1）根据画轴对称图形的方法进行作图即可得，再根据用坐标表示轴对称即可得点的坐标； （2）根据画轴对称图形的方法进行作图即可； （3）根据三角形的面积公式进行解答即可． 【规范解答】（1） 解：如图，即为所求，点的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图，． 答：的面积为16． 42．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位的图形，并写出顶点的坐标； (2)已知为轴上一点，若与的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 【思路引导】本题考查作图-平移变换、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）分别作出A，B，C的对应点，顺次连接即可得，再写出顶点的坐标； （2）设，构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作， 由图可知，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：由图可知，， ∵点P为y轴上一点， 不妨设， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 43．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小正方形的边长是1）图中完成下列各题． (1)格点（顶点均在小正方形的顶点上）的面积为_________； (2)画出格点关于直线l对称的图形； (3)在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【思路引导】本题考查了网格，轴对称变换，两点之间线段最短等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用割补法即可求解； （2）分别作出点关于直线的对称点，依次连接，即为所求； （3）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． 【规范解答】（1）解：由网格可得： ， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，点P即为所求， 44．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，，D为边上一点，过点D作的垂线，分别交边，的延长线于点E，F，且． (1)求证：点D在的平分线上； (2)连接，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，由垂线的性质可得，由可得，则，于是可得，利用可证得，于是可得，再根据角平分线的判定定理即可得出结论； （2）由（1）可得，，，然后利用三角形的面积公式可得，于是得解． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 点D在的平分线上； （2）解：由（1）可得：，，， ， 的值为． 【考点剖析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的判定定理及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $