1.3全等三角形的判定（2）讲义-2025-2026学年苏科版数学（2024版）八年级上册

1.3全等三角形的判定（2） 📚基础知识 1. 直角三角形全等的判定定理 · 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”） 2. 关于三角形全等的条件 · 三角形有三条边、三个角这六个元素，只有一个或两个元素分别相等的两个三角形不一定全等，两个三角形有三个元素分别相等有下列四种种情况： 1."三角分别相等"实质上是"两角分别相等"，不能由此条件判定两个三角形全等 2."一边和两角分别相等"包括两种情况：两角及其夹边分别相等、两角分别相等且其中一组等角的对边相等，可以分别通过" ASA "和" AAS "判定两个三角形全等 3."两边和一角分别相等"包括两种情况：如果这个角是两边的夹角，那么可以通过" SAS "判定两个三角形全等；如果这个角是其中一边的对角，那么这两个三角形不一定全等． 4."三边分别相等"可以通过" SSS "判定两个三角形全等 一个补充：直角三角形有直角相等，所以还需两个条件 ✨基础题型 1 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】用HL证全等 【题型2】全等的性质和HL综合 【题型3】全等三角形的判定综合 【题型4】全等三角形的辅助线问题（倍长中线模型） 【题型5】全等三角形的辅助线问题（旋转模型） 【题型6】全等三角形的辅助线问题（垂线模型） 【题型7】全等三角形的辅助线问题（其他模型） 【题型8】全等三角形的辅助线问题（证一条线段等于两条线段的和差问题） 【题型9】全等三角形的综合问题 🔍例题精讲 【题型1】用HL证全等（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点D，于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键． 直接用定理得出结论即可． 【详解】证明：∵，， ∴和为直角三角形． 和中， ∵ ∴． 【题型2】全等的性质和HL综合 （2025·陕西汉中·一模）如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，再证明即可得证． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 【题型3】全等三角形的判定综合 1.（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是 （请写出一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 2.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 3.（八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【题型4】全等三角形的辅助线问题（倍长中线模型）（七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ． 【答案】1＜x＜3 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：如图所示，AB＝2，AC＝4， 延长AD至E，使AD＝DE， 在△BDE与△CDA中， ∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE， ∴△BDE≌△CDA， ∴AE＝2x，BE＝AC＝4， 在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2， ∴1＜x＜3． 故答案为：1＜x＜3． 【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 【题型5】全等三角形的辅助线问题（旋转模型）（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 【题型6】全等三角形的辅助线问题（垂线模型）（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【题型8】全等三角形的辅助线问题（证一条线段等于两条线段的和差问题）（19-20八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【答案】（1）；（2）BE+CP=BC，理由见解析． 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论； （2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论； 【详解】（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴∠ACD=， ∵， ∴∠BAC=∠ACD=； （2）BE+CP=BC，理由如下： 在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示： ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBE=∠OBM=∠ABC， 在△BEO和△BMO中，， ∴△BEO△BMO(SAS)， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∵∠BAC =60， ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120， ∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120， ∴∠BOE=60， ∴∠COP=∠BOE=60 ∵△BEO≌△BMO， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60， ∴∠COM=∠COP=60， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠OCM=∠OCP， 在△OCM和△OCP中， ∴△OCM≌△OCP（ASA）， ∴CM=CP， ∴BC=CM+BM=CP+BE， ∴BE+CP=BC． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 【题型9】全等三角形的综合问题（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论中正确的有 、 和 ．（请填写正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】 ① ② ③ 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．想办法证明，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：， ， ，， ，故①正确， ，故②正确， ， ， ， ，故③正确， 无法判断， 故答案为①②③． 课堂巩固 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，，，平分交于点E，于点D． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】用HL证全等（HL）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练利用上述性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）证明为等腰三角形即可解答． 【详解】（1）解：，平分，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：， ∵, , ,    ， ． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题． 【详解】解：，， ， 即， ， ，故A选项不符合题意； 补充不能证明，故B选项符合题意； ， ，故C选项不符合题意； ， ，故D选项不符合题意； 故选B． 4．（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【答案】② 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； ④，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②， 故答案为：②． 5．（18-19七年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围. 解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD． 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________). 因为AB+BE>AE(_____________________)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>_______cm. 【答案】答案见解析 【知识点】全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案. 【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD. 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS). 所以BE=AC(全等三角形的性质). 因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>8cm. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理. 6．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 7．（2025·河北石家庄·一模）如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键． 如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 课后作业 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ）． A．     B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握运用“”证明直角三角形全等成为解题的关键. 题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等即可证明结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 所以需要添加的条件是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，与相交于点，，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．连接，证明即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ，， ， 在与中， ， ， ． 3．（2025·四川·二模）如图，已知，添加以下条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∵ ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； ∵，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】全等三角形的性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、线段的和与差、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 5．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 6．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 7．（20-21九年级上·重庆巴南·期末）如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）50° 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边对等角 【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得 ，即可求解． 【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合， ∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°， ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC， ∴△BAE≌△CAD， ∴EB=DC； （2）∵△BAE≌△CAD， ∴∠BEA=∠ADC=115°， ∵∠DAE=50°，AD=AE， ∴ ， ∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°． 【点睛】本题主要考查了图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 8．（20-21九年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】根据旋转的性质，可得，，进而根据同角的余角相等可得，根据AAS证明，进而即可证明． 【详解】证明：绕点顺时针旋转得线段， ，， ，， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了性质的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 11．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】求一个角的余角、全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可． （2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 14．（2025·江苏宿迁·一模）如图：在等腰梯形中，，对角线、相交于． (1)图中共有 对全等三角形； (2)写出你认为全等的一对三角形，并证明． 【答案】(1)3 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的判定定理． （1）利用腰梯形的性质，全等三角形的判定定理和性质即可求解； （2）腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：3； （2）解：①根据等腰梯形的性质得： ， ∴； ②根据等腰梯形的性质得： ， ∴； ③结合①②可得： 和， ∴， 又， ． 15．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形综合问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意判定，可得，进而求解； 【详解】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． $$ 1.3全等三角形的判定（2） 📚基础知识 1. 直角三角形全等的判定定理 · 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”） 2. 关于三角形全等的条件 · 三角形有三条边、三个角这六个元素，只有一个或两个元素分别相等的两个三角形不一定全等，两个三角形有三个元素分别相等有下列四种种情况： 1."三角分别相等"实质上是"两角分别相等"，不能由此条件判定两个三角形全等 2."一边和两角分别相等"包括两种情况：两角及其夹边分别相等、两角分别相等且其中一组等角的对边相等，可以分别通过" ASA "和" AAS "判定两个三角形全等 3."两边和一角分别相等"包括两种情况：如果这个角是两边的夹角，那么可以通过" SAS "判定两个三角形全等；如果这个角是其中一边的对角，那么这两个三角形不一定全等． 4."三边分别相等"可以通过" SSS "判定两个三角形全等 一个补充：直角三角形有直角相等，所以还需两个条件 ✨基础题型 1 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】用HL证全等 【题型2】全等的性质和HL综合 【题型3】全等三角形的判定综合 【题型4】全等三角形的辅助线问题（倍长中线模型） 【题型5】全等三角形的辅助线问题（旋转模型） 【题型6】全等三角形的辅助线问题（垂线模型） 【题型7】全等三角形的辅助线问题（其他模型） 【题型8】全等三角形的辅助线问题（证一条线段等于两条线段的和差问题） 【题型9】全等三角形的综合问题 🔍例题精讲 【题型1】用HL证全等（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点D，于点，且，，求证：． 【题型2】全等的性质和HL综合 （2025·陕西汉中·一模）如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，连接、，．求证：． 【题型3】全等三角形的判定综合 1.（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是 （请写出一个答案即可）． 2.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 3.（八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【题型4】全等三角形的辅助线问题（倍长中线模型）（七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ． 【题型5】全等三角形的辅助线问题（旋转模型）（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【题型6】全等三角形的辅助线问题（垂线模型）（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【题型8】全等三角形的辅助线问题（证一条线段等于两条线段的和差问题）（19-20八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【题型9】全等三角形的综合问题（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，已知，，，点、、、共线．则下列结论中正确的有 、 和 ．（请填写正确结论的序号） ①；②；③；④ 课堂巩固 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，，，平分交于点E，于点D． (1)求证： (2)若，，求的长． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 5．（18-19七年级上·山东淄博·阶段练习）仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围. 解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD． 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________). 因为AB+BE>AE(_____________________)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>_______cm. 6．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 7．（2025·河北石家庄·一模）如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 课后作业 1．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ）． A．     B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，与相交于点，，于点，于点，求证：． 3．（2025·四川·二模）如图，已知，添加以下条件仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 5．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 6．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 7．（20-21九年级上·重庆巴南·期末）如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 8．（20-21九年级上·云南玉溪·期中）如图，将的斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交延长线于点．求证：． 9．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 11．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 13．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 14．（2025·江苏宿迁·一模）如图：在等腰梯形中，，对角线、相交于． (1)图中共有 对全等三角形； (2)写出你认为全等的一对三角形，并证明． 15．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． $$