精品解析：山西省太原市小店区山西大学附属中学2025-2026学年八年级上学期9月学情诊断数学试卷

2025-2026学年第一学期初二年级9月巩固 数学试题 （时间：90分钟） 一、选择题 1. 下列各数中，哪个是无理数（ ） A. B. …（相邻两个1之间有1个0） C. 3.97 D. 0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数叫无理数，熟记定义是解题关键． 根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； B、…（相邻两个1之间有1个0）是无限循环小数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； C、3.97是有限小数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； D、0.12345678910111213…（小数部分由连续的正整数组成）是无限不循环小数，是无理数，符合题意． 故选：D． 2. 9的平方根是，用下列式子表示正确的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据平方根的定义和性质解答即可． 【详解】解： ． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 3. 纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据负整数指数幂、科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．根据面积求得两个较大正方形的边长，再根据勾股定理求出字母A所代表的正方形边长即可得到答案． 【详解】解：两个较大正方形的面积分别为225、289，则它们的边长分别为，， 由勾股定理可得：字母A所代表的正方形的边长为， 则字母A所代表的正方形的面积为， 故选：D． 5. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断三边能否组成直角三角形，利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：B． 6. 含的三角板和含的三角板如图摆放，若，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】于交于，作，可得，从而可求，，即可求解． 【详解】解：如图，于交于，作， 因为， 所以， 所以， ， 所以 ； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 7. 五一黄金周期间，程林约上苏晟开车出去游玩，早上6：10程林开车从家出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间到达苏晟家停车，苏晟上车后，程林开车加速行驶，一段时间后又开始匀速行驶． 下列选项能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得： 刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加， 然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加， 过了一段时间到达苏晟家停车，则速度减少到0， 苏晟上车后，程林开车加速行驶，速度从0开始增加， 一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， ∴能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是A 故选A． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解本题的关键． 先证明，再证明，结合，从而可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长是13， ∴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 9. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 10. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．根据左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，可得，再根据勾股定理得出和的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴， ∴， ∴按此手势解锁一次的路径长为：． 故选：B． 二、填空题 11. 的平方根为___________；的立方根为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念．分别根据平方根和立方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：的平方根为，的立方根为， 故答案为：，． 12. 如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 13. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故答案为：． 14. 如图，点A在数轴上所表示的数为2，ABOA于点A，且AB=1，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C，那么点C表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再根据即可得． 【详解】解：点在数轴上所表示的数为2， ， ， ， 由作图可知，， 则点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 15. 在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置， 若，则等于___________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）1 （3） （4）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则， （1）根据二次根式的性质化简和加减法则运算即可； （2）根据平方差公式进行运算； （3）根据完全平方公式进行运算； （4）根据二次根式的乘法和除法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】x﹣2y，0 【解析】 【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ＝（x2﹣4xy+4y2﹣2x2+2y2﹣6y2）÷（2x） ＝（﹣x2﹣4xy）÷（2x） ＝x﹣2y， 当x＝2，y＝时， 原式＝×2﹣2×（） ＝﹣1+1 ＝0． 【点睛】此题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 18. 请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数； （2）可使一条直角边长为边长1与2的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为2和4的长方形的对角线，由此得到图形； （3）可使两条直角边长均为边长为1和2的长方形的对角线，连接即可得到图形． 【详解】解：（1）如图， （2）如图， （3） 【点睛】此题考查作图能力，掌握知识点：无理数的定义，画无理数线段，直角三角形的定义，正确掌握无理数的确定方法是解题的关键． 19. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是________，函数是________；小明家到文华公园的路程为________； （2）小明在书城停留的时间为________h，小明从家出发到达文化公园的平均速度为________； （3）请你说一说图中的B点表示什么意思？（言之有理即可） 【答案】（1）小明离开家的时间，离家的路程，30 （2）1.7， （3）表示爸爸出发1小时后到达文华公园（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义． （1）根据图象进行判断，即可得出自变量与函数以及小明家到达文华公园的距离； （2）根据图象中数据进行计算，即可得到时间、速度； （3）根据自变量、因变量表示的意义以及B点坐标即可得到B点坐标表示的意义． 【小问1详解】 解：由图象可得自变量是小明离开家的时间，函数是离家的路程，小明家到达文华公园的路程为； 故答案为：小明离开家的时间，离家的路程，30． 【小问2详解】 解：小明在书城停留的时间为， 小明从家出发到达文化公园的平均速度为 故答案为：1.7，． 【小问3详解】 解：由图象可得，B点坐标为，表示爸爸出发（小时）后到达文华公园（答案不唯一）． 21. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C的距离，已测得，，，米，米，的长为______米． 【答案】（1）；； （2），理由见解析； （3）米． 【解析】 【分析】（）证即可证出，再求得； （）先证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，米， ∴（米）， ∴米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初二年级9月巩固 数学试题 （时间：90分钟） 一、选择题 1. 下列各数中，哪个是无理数（ ） A. B. …（相邻两个1之间有1个0） C. 3.97 D. 0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成） 2. 9的平方根是，用下列式子表示正确的是 A. B. C. D. 3. 纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 5. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，2 B. C. 4，5，6 D. 6. 含的三角板和含的三角板如图摆放，若，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 五一黄金周期间，程林约上苏晟开车出去游玩，早上6：10程林开车从家出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间到达苏晟家停车，苏晟上车后，程林开车加速行驶，一段时间后又开始匀速行驶． 下列选项能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A. 8 B. C. D. 1 二、填空题 11. 的平方根为___________；的立方根为___________． 12. 如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 _____． 13. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据的符号信息，九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码上随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为______． 14. 如图，点A在数轴上所表示的数为2，ABOA于点A，且AB=1，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C，那么点C表示的数是______． 15. 在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置， 若，则等于___________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形： （1）使它的三边中有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数． 19. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 20. 周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是________，函数是________；小明家到文华公园的路程为________； （2）小明在书城停留的时间为________h，小明从家出发到达文化公园的平均速度为________； （3）请你说一说图中的B点表示什么意思？（言之有理即可） 21. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为______，位置关系为______； （2）类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C的距离，已测得，，，米，米，的长为______米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $