专题07 期中真题百练最值问题通关（11大压轴题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题07 期中真题百练最值问题通关（11大压轴题型） 题型1 完全平方公式中最值问题 题型7 等腰三角形的性质与判定线段最值问题 题型2 乘法公式中最值问题（解答题） 题型8 等腰三角形的性质与判定周长最值问题 题型3 完全平方公式与几何综合最值问题 题型9 等腰三角形的性质与判定与线段和有关最值问题 题型4 全等三角形的判定中线段和（差）最值问题 题型10 与垂直平分线相关的最值问题 题型5 全等三角形的判定中周长最值问题 题型11与角平分线相关的最值问题 题型6 全等三角形的判定中线段最值问题 题型一 完全平方公式中最值问题（选填）（共6小题） 1．(24-25八上·陕西西安灞桥区铁一中陆港初级中学·月考)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ． 2．(24-25八下·陕西西安西咸新区沣东新城第一初级中学·月考)已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是 ． 3．(24-25八上·西安灞桥区滨河学校·月考)已知，则的最小值是 ． 4．(24-25八上·湖南株洲第二中学·期末)若为有理数，且满足，当取到最小值时，则代数式的值为 ． 5．(24-25八上·四川成都锦江区师一学校·期中)已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为 ；最小值为 ． 6．(24-25八上·陕西西安灞桥区滨河学校·期中)已知有最小值，求的最大值为 ． 题型二 乘法公式中最值问题（解答题）（共10小题） 1．(24-25八上·安徽阜阳实验中学·期中)王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是所以所以当时，的值最小，最小值是所以的最小值是     依据上述方法，解决下列问题： (1)多项式有最______填“大”或“小”值，该多项式的最值是 ； (2)已知三角形的三边长都是正整数，且满足，求当时，三角形的周长． 2．【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 3．(24-25八上·江苏南京致远初级中学·期末)问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你 能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ， 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 根据上面的经验，求代数式的最大值． 推广运用 某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量） 4．(25-26八上·黑龙江绥化明水县明水县第二中学·期中)阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为___________； (2)求代数式的最大值或最小值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 5．先阅读下面的内容，再解答问题． [阅读] 例题：求多项式的最小值． 解： ， ∵ ∴多项式的最小值是4． [解答问题] (1)例题解答过程中因式分解运用的公式是　　　　； (2)求多项式的最大值． 6．(24-25八上·湖南湘西州永顺县·期末)（1）猜想：试猜想与的大小关系，并说明理由； （2）应用：已知，求的值； （3）拓展：代数式是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值． 7．(24-25八上·福建泉州安溪县·期中)老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴， 当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 8．我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 9．(24-25七下·湖南永州冷水滩区京华中学·期中)配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数) 的形式，则称这个数为 “和美数”．例如，10 是 “和美数”．理由：因为10= ．再如，(x，y是整数)，所以M也是 “和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数” ；并判断40是否为“和美数” ； （2）若二次三项式(x是整数) 是 “和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是____． 10．(24-25八上·江苏江阴周庄中学·期中)完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题，解决下列问题： (1)，，则的值为______； (2)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积； (3)若，求的值． (4)当 时，有最小值 ． 题型三 完全平方公式与几何综合最值问题（解答题）（共5小题） 1．(24-25八上·辽宁鞍山第五十一中学·月考)【发现问题】 我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值． 【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由． 【解决问题】 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为___________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值． (4)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？ 2．(24-25八上·浙江宁波大学青藤书院·月考)【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 3．(24-25八上·甘肃天水第七中学·期中)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ，，的最小值是． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 4．(24-25八上·江苏苏州工业园区金鸡湖学校·月考)阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 5．(24-25八下·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·月考)【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1是一组邻边长分别为5，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个中间隔有一道栅栏的长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 题型四 全等三角形的判定中线段和（差）最值问题（共6小题） 1．(24-25八上·广东佛山南海区桂城街道灯湖初级中学·月考)如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ． 2．(24-25八上·陕西咸阳永寿县马坊中学·月考)如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 3．(24-25七下·山西晋中祁县·期末)如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 4．(24-25八上·河北张家口桥西区·期末)在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 5．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中)如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是 ． 6．(24-25八上·广东中山迪茵公学·月考)如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 题型五 全等三角形的判定中周长最值问题（共3小题） 1．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 2．(23-24七下·陕西西安碑林区铁一中学·月考)如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当的周长最小时，，则 .    3．(24-25八上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知，如图，长方形，，．N为上一点，，M为上一动点，将绕点N顺时针旋转得线段，连接，则当周长最小时，的度数为 ． 题型六 全等三角形的判定中线段最值问题（共3小题） 1．(24-25八上·四川巴中巴中中学·月考)已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是 ．    2．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期末)如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ． 3．(24-25八上·贵州六盘水盘州·期末)如图，在中，，点为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ． 题型七 等腰三角形的性质与判定线段最值问题（共5小题） 1．(24-25八上·湖北孝感安陆·期中)如图，边长为4的等边中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接A．则在点M运动过程中，的度数是 ，线段长度的最小值是 ． 2．(24-25八上·贵州贵阳清镇·期中)如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是 ．    3．(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)如图，在边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点旋转得到，连接，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是 4．(24-25七下·上海静安区西初级中学·期末)如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 5．(24-25八上·江苏泰州实验初级中学·月考)如图，直线l于点A，，点B是直线l上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为 ． 题型八 等腰三角形的性质与判定周长最值问题（共5小题） 1．(25-26八上·江苏无锡·月考)如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若，当周长最小时，则= ． = ．                 2．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 3．(23-24八上·广东汕头潮阳实验学校·期中)如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 4．(24-25七下·陕西西安高新区第三初级中学·月考)如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 5．(24-25八下·广西南宁第三十七中学·期中)如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 题型九 等腰三角形的性质与判定与线段和有关最值问题（共8小题） 1．(25-26八上·广东深圳部分学校·开学考)如图，等边三角形中，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，， 则的最小值为 （用含有m或n的式子表示）． 2．(2025·湖北省武汉市·调研)如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 3．如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ． 4．如图，在等腰中，顶角，点为边上一定点，，分别为边和上两动点，当的值最小时，的大小是 ． 5．(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 6．(24-25七下·四川达州外国语学校·月考)如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 7．(24-25八上·陕西汉中南郑区·期末)如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 8．如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 题型十 与垂直平分线相关的最值问题（共5小题） 1．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 2．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 4．(24-25八上·江西赣州·期末)如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 5．(24-25七下·陕西西安莲湖区·期末)如图，在中，，O为边的中点，，延长到点D，使得，且，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，连接，，则的最小值为 ． 题型十一 与角平分线相关的最值问题（共6小题） 1．(24-25八上·广东中山华辰实验中学·月考)如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是 ． 2．(25-26八上·甘肃武威天祝藏族自治县第二中学·期中)如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 3．(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是 ． 4．(24-25七下·陕西西安碑林区·期末)如图，在四边形中，，连接，，且，，点E是边上一动点，则的最小值是 ． 5．(24-25七下·陕西咸阳永寿县·期末)如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ． 6．(24-25七下·四川达州达川区·期末)如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中真题百练最值问题通关（11大压轴题型） 题型1 完全平方公式中最值问题 题型7 等腰三角形的性质与判定线段最值问题 题型2 乘法公式中最值问题（解答题） 题型8 等腰三角形的性质与判定周长最值问题 题型3 完全平方公式与几何综合最值问题 题型9 等腰三角形的性质与判定与线段和有关最值问题 题型4 全等三角形的判定中线段和（差）最值问题 题型10 与垂直平分线相关的最值问题 题型5 全等三角形的判定中周长最值问题 题型11与角平分线相关的最值问题 题型6 全等三角形的判定中线段最值问题 题型一 完全平方公式中最值问题（选填）（共6小题） 1．(24-25八上·陕西西安灞桥区铁一中陆港初级中学·月考)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】本题主要考查了通过对完全平方公式变形求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依据题意得，，从而可得当时，代数式取最小值为2；又，从而可得当时，代数式取最大值为3，进而得解． 【详解】解：由题意得，， 对于任意实数m都有， ， 当时，则，即， 故代数式取最小值为， 依题意，， 对于任意实数m都有， ∴， 当时，则，即， 故代数式取最大值为 故答案为：2； 2．(24-25八下·陕西西安西咸新区沣东新城第一初级中学·月考)已知的三边长，，都是正整数，且满足，则边长的最大值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得的最大值是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴的最大值是， 故答案为：6． 3．(24-25八上·西安灞桥区滨河学校·月考)已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，代入消元法，先整理原式，再把代入，化简整理得，根据当时，则原式，故，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 当时，则 ∴， 则的最小值是， 故答案为： 4．(24-25八上·湖南株洲第二中学·期末)若为有理数，且满足，当取到最小值时，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据题意，运用完全平方公式判定其最小值，得到的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴取到最小值为，此时， 解得，， ∴ 故答案为： ． 5．(24-25八上·四川成都锦江区师一学校·期中)已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 78 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解二元一次方程，设的最大值为A，不妨设，由于，，则可推出取最大值时，，同理可得，则，据此可得最大值；设的最小值为B，不妨设，由于 ，且由，得 ，故可得当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是可得，则，据此可得最小值． 【详解】解：设的最大值为A，不妨设． 若，则因，且， ∴用，，，…，代替，它们的和仍为46，但它们的平方和却增加了，这与已使取最大值矛盾，故． 同理，于是， ∴的最大值为． 设的最小值为B，不妨设． 对任意，有， 假设存在，使，因为 ，且由，得 ， 所以，用和分别代替和，其他的数不变，它们的和仍为46，但它们的平方和却减少了，这与已取得最小值矛盾． 于是，当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是， ∴， ∵a为正整数，k为非负整数， ∴ 所以，时，取最小值， ∴ ． 故答案为：318；78． 6．(24-25八上·陕西西安灞桥区滨河学校·期中)已知有最小值，求的最大值为 ． 【答案】65 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 首先数轴上两点之间的距离得到，，然后求出，，然后利用完全平方公式将原式变形，进而求解即可． 【详解】∵可以表示为数轴上x到的距离加上x到2的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∵可以表示为数轴上y到的距离加上y到1的距离 ∴当时，有最小值； ∴ ∴ ∴当，时，有最大值 ∴原式． ∴的最大值为65． 故答案为：65． 题型二 乘法公式中最值问题（解答题）（共10小题） 1．(24-25八上·安徽阜阳实验中学·期中)王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为，所以当时，的最小值是所以所以当时，的值最小，最小值是所以的最小值是     依据上述方法，解决下列问题： (1)多项式有最______填“大”或“小”值，该多项式的最值是 ； (2)已知三角形的三边长都是正整数，且满足，求当时，三角形的周长． 【答案】(1)大， (2)9 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）仿照题干的方法，结合完全平方的非负性，进行求解即可； （2）将转化为两个完全平方的和等于0的形式，非负性求出的值，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴多项式有最大值，该多项式的最值是22； （2）解：， ， ， ∴，， ，， ， 的周长． 2．【提出问题】当时，如何求代数式的最大值或最小值？ 【分析问题】前面我们刚刚学过配方的相关知识，例如，所以当时，此多项式有最小值1． 【解决问题】 (1)实践操作：填写下表． x … 1 2 3 … … … (2)观察猜想：当_______时，有最_____值（填“大”或“小”），是_____； (3)推理论证：利用配方法求的最大（或最小）值，以证明你的猜想； (4)综合应用：求代数式的最大（或最小）值，并求出此时x的值． 【答案】(1)，，2，， (2)1，小，2 (3)有最小值，是2 (4)有最小值，是3，此时 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解决此题的关键是正确的计算； （1）把x的值代入得到答案即可； （2）根据表格数据观察可知当时，式子取得最大值； （3）根据完全平方公式配方即可； （4）把当作一个整体，再运用完全平方公式配方即可； 【详解】（1）解：填表如下： x … 1 2 3 … … 2 … （2）解：当时，有最小值，是2； 故答案为：1    小    2 （3）解∶． ， ∴当时，有最小值，是2． （4）解： ． ， 有最小值，是3，此时，即， 有最小值，是3，此时． 3．(24-25八上·江苏南京致远初级中学·期末)问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你 能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ， 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 根据上面的经验，求代数式的最大值． 推广运用 某商品现在每件盈利10元，每天可卖出20件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件．当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？（注：总利润每件利润销量） 【答案】代数式的最大值为14；当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法． 仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为，仿照例题构建完全平方即可求解． 【详解】解： 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为14， 设每件商品涨价x元，则涨价后每天获得的总利润为： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为225， 即当每件商品涨价5元时，每天的利润最大值为225元． 4．(25-26八上·黑龙江绥化明水县明水县第二中学·期中)阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为___________； (2)求代数式的最大值或最小值； (3)试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)最大值为10 (3)，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减运算，完全平方公式： （1）参照范例的解题方法进行分析解答即可； （2）参照范例的解题方法进行分析解答即可； （3）先求出两个代数式的差，再用范例中的方法判断所得差的值的正负即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值为3； 故答案为：3 （2）， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． （3），理由如下： ； ∵， ∴， ∴． 5．先阅读下面的内容，再解答问题． [阅读] 例题：求多项式的最小值． 解： ， ∵ ∴多项式的最小值是4． [解答问题] (1)例题解答过程中因式分解运用的公式是　　　　； (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式 (2)16． 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方公式解答； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； （2）解： ， ∵，， ∴多项式的最大值是16． 6．(24-25八上·湖南湘西州永顺县·期末)（1）猜想：试猜想与的大小关系，并说明理由； （2）应用：已知，求的值； （3）拓展：代数式是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3）存在最小值，最小值为2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）利用作差法，结合完全平方公式即可得到结论； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）结合（1）所得结论求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ， ； （2）， ， ； （3）由（1）可知，， ， 存在最小值，最小值为2． 7．(24-25八上·福建泉州安溪县·期中)老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴， 当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将用含的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 【详解】（1）解：依题意，∵，∴， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解：， ∵，∴， 则当时，有最小值，是， 则代数式的最小值是 8 ； （3）解：∵， ， ， ∴的最小值是． 8．我们把多项式叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对其变形使之成为一个完全平方式，如：先添加一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．即把一个非完全平方式的多项式，通过变形成为一个完全平方式与一个单项式的和．这种方法是数学中一种重要的解题方法，通过这样的变形，可以解决数学中代数式的最大值、最小值的问题． 例：求代数式的最小值． 通过变形得到． 是非负数，， ， 的最小值为． 阅读上面的材料，回答下列问题： (1)填空：； (2)求多项式的最小值； (3)多项式是否存在最值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9，9，，9 (2) (3)存在，最大值为227 【分析】本题考查了完全平方公式和配方法． （1）根据材料中的方法，利用完全平方公式配方即可； （2）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得答案； （3）根据材料中的方法，先利用完全平方公式配方，进而可得结论． 【详解】（1）解：， 故答案为：9，9，，9； （2）解：， ， ， 多项式的最小值是； （3）解：存在． ， ， ， ， 多项式存在最大值，最大值为227． 9．(24-25七下·湖南永州冷水滩区京华中学·期中)配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数) 的形式，则称这个数为 “和美数”．例如，10 是 “和美数”．理由：因为10= ．再如，(x，y是整数)，所以M也是 “和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数” ；并判断40是否为“和美数” ； （2）若二次三项式(x是整数) 是 “和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是____． 【答案】（1）4，是；（2）2；（3）；（4）4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据题意可得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，，，，，， ∴小于10的“和美数”有：0或1或2或4或5或8或9（写出一个即可）； ∵， ∴是“和美数” 故答案为：4（答案不唯一）；是； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵，，， ∴要使S为“和美数”， 则； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是4， 故答案为：4． 10．(24-25八上·江苏江阴周庄中学·期中)完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题，解决下列问题： (1)，，则的值为______； (2)如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积； (3)若，求的值． (4)当 时，有最小值 ． 【答案】(1)23 (2)4 (3)14 (4) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、偶次方、完全平方公式的几何背景，解题关键是熟练掌握完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行解答． （1）根据已知条件，利用完全平方公式进行解答即可； （2）根据已知条件求出两个正方形边长的平方和与两个正方形边长的和，然后利用完全平方公式求出两边的积，最后利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）设，求出，再利用完全平方公式进行解答即可； （4）依据题意得，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ，则， ∴， ∴， 故答案为： 23 ； （2）解：∵， ， ， ， ， 则， ∴， ∴， ∴， ． （3）解：设， ，， ． （4）解：由题意得，． ∴当时，有最小值． 故答案为：． 题型三 完全平方公式与几何综合最值问题（解答题）（共5小题） 1．(24-25八上·辽宁鞍山第五十一中学·月考)【发现问题】 我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值． 【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由． 【解决问题】 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为___________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值． (4)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？ 【答案】(1) (2) (3) (4)米 【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，列代数式． （1）由完全平方公式，结合，可得当，时，，从而可得当时，的最小值． （2）对进行整理，利用，即可求得最小值； （3）根据题意可知，，设，可得的表达式，利用，即可求得的最小值； （4）设花园的长为米，则宽为米，可得篱笆总长为，利用，即可求得所需篱笆总长的最小值． 【详解】（1）解：∵当，时，， ∴， ∴， ∴当，时，，当且仅当时取等号， ∴当时，， ∴当时，的最小值为． 故答案为：． （2）解：∵当，时，， ∴当时，， ∴当时，求的最小值为． （3）解：用表示图形的面积，例如，四边形的面积为， 根据题意可知，， 设， ∵、的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为． （4）解：设花园的长为米，，则宽为米， 篱笆总长为（米） ∴为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为米． 2．(24-25八上·浙江宁波大学青藤书院·月考)【阅读理解】配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即. 当且仅当，即时等号成立． 【小试牛刀】（1）若，代数式的最小值为______，此时______． 【实际应用】（2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ 【灵活应用】（3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6； （2）所用的篱笆至少为36米 （3）最小值为 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】解：（1）由题意，设， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即时取等号． 四边形面积的最小值为25． 3．(24-25八上·甘肃天水第七中学·期中)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题． 例题：求代数式的最小值． 解：． ，，的最小值是． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最大值． (3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）多项式配方后，可得，根据完全平方式恒大于等于，即可求出最小值． （2）多项式配方后，可得，根据完全平方式恒大于等于，可得，即可求出最大值． （3）根据题意列出关系式，配方后可得，根据完全平方式恒大于等于，可得，即可求出最大值以及此时的值． 【详解】（1）解：， ， ， 代数式的最小值是． （2）解：， ， ， 代数式的最大值是． （3）解：由题意，得花园的面积是， ， ， 代数式的最大值是，此时， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 4．(24-25八上·江苏苏州工业园区金鸡湖学校·月考)阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若多项式，试求M的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)围成的菜地的最大面积是 【分析】本题主要考查了完全平方式，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 对于任意实数x都有， ∴， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：． （2）解：由题意，∵ ， 当，时，M有最小值，最小值为； （3）解：由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， ， 当时，S有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 5．(24-25八下·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·月考)【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，，，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1是一组邻边长分别为5，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由； (3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个中间隔有一道栅栏的长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值 (2) (3)当时，有最大值243 【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质； （1）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）根据矩形的面积公式、正方形的面积公式用表示出、，利用配方法得到，判断即可； （3）用表示出长方形场地的面积，利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：当时，有最大值243．理由如下： 由题意，设的长为米，四边形的面积为，则米， 则 ∴当时，有最大值243． 题型四 全等三角形的判定中线段和（差）最值问题（共6小题） 1．(24-25八上·广东佛山南海区桂城街道灯湖初级中学·月考)如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了长方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为18，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为18， 故答案为：18． 2．(24-25八上·陕西咸阳永寿县马坊中学·月考)如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．(24-25七下·山西晋中祁县·期末)如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出 时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 4．(24-25八上·河北张家口桥西区·期末)在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中)如图，在中，，平分，点D、E分别为线段、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；根据题意可以画出相应的图形，然后根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可以解答本题． 【详解】解：如图所示，作于点F，在上取一点，使，连接 、， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且与重合时，最小，最小值是， ∴， 故答案为：6． 6．(24-25八上·广东中山迪茵公学·月考)如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 题型五 全等三角形的判定中周长最值问题（共3小题） 1．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 2．(23-24七下·陕西西安碑林区铁一中学·月考)如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当的周长最小时，，则 .    【答案】/度 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，作P关于，的对称点，连接．则当M，N是与的交点时，的周长最小．根据对称的性质和全等三角形的性质与判定可以证得：，，根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】如图，作P关于，的对称点，连接．则当M，N是与的交点时，的周长最小． ∵P，关于对称，，    ∴，． 同理，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 3．(24-25八上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知，如图，长方形，，．N为上一点，，M为上一动点，将绕点N顺时针旋转得线段，连接，则当周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，过点P作于Q，可证明得到，则点P在平行于的直线上，且该直线到的距离为1，过点P作交于H，交于T，作点A关于的对称点G，连接，连接交于，可证明当P、D、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时点P与点重合，证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点P作于Q， 由长方形的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点P在平行于的直线上，且该直线到的距离为1， 如图所示，过点P作交于H，交于T，作点A关于的对称点G，连接，连接交于， ∴， ∴的周长， ∴当P、D、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时点P与点重合， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六 全等三角形的判定中线段最值问题（共3小题） 1．(24-25八上·四川巴中巴中中学·月考)已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，数形结合是解题的关键． 根据勾股定理计算，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，判断出C、N、M三点共线时的值最小，即可得解． 【详解】解：∵ ∴， 连接，    ∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴ 由三角形三边关系得，， ∴当C、N、M三点共线时的值最小， 此时，， 故答案为：4． 2．(24-25八上·辽宁铁岭部分学校·期末)如图，正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段，平分交射线于．在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】先结合旋转性质，正方形的性质得出，根据角平分线的定义，得，证明，再得出，然后得出是的垂直平分线，即，当时，，此时面积最大，运用勾股定理算出线段的值，即可作答． 【详解】解：依题意，连接，过点作的延长线一点，如图所示： ∵正方形的边长为2，将绕点顺时针旋转一定角度得到线段， ∴， ∵平分交射线于． ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， 当时，，此时面积最大， 则点E与点A重合，点F与点D重合， ∴， 此时有最大值，且． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．(24-25八上·贵州六盘水盘州·期末)如图，在中，，点为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形中的动点问题，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次函数图象与性质等知识，过点作于，由四边形是正方形，得，，可证明，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得取得最小值时，，即可得到答案．熟记二次函数表图象与性质，用含的代数式表示是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，如图所示： 四边形是正方形， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， 当时，最小，则也最小， 此时， 故答案为：． 题型七 等腰三角形的性质与判定线段最值问题（共5小题） 1．(24-25八上·湖北孝感安陆·期中)如图，边长为4的等边中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接A．则在点M运动过程中，的度数是 ，线段长度的最小值是 ． 【答案】 /度 【分析】根据等边三角形的性质得，，，由旋转的性质得，，进而可证明，据此可依据“”判定和全等，则，取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：是等边三角形，且边长为， ，， 是边上的高， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， 取的中点，连接，如图所示： 旋转角为， ， 又， ， 是等边的高线， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时即最短， ，， 在中，，，， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 2．(24-25八上·贵州贵阳清镇·期中)如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，，，如图所示，首先由菱形性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质证明是等边三角形，构建垂线段最短，可知当时，最短，即最短． 【详解】解：连接，，，如图所示：   四边形是菱形， ， ， ，都是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 时，线最小，最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题． 3．(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)如图，在边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点旋转得到，连接，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是 【答案】 【分析】取 的中点 ，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴ ， 又∵是等边三角形， ∴，即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴ ， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时 ， ∴， ∴ ， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30度角的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 4．(24-25七下·上海静安区西初级中学·期末)如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 5．(24-25八上·江苏泰州实验初级中学·月考)如图，直线l于点A，，点B是直线l上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由含度角的直角三角形的性质，可得出答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点，   和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线上的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型八 等腰三角形的性质与判定周长最值问题（共5小题） 1．(25-26八上·江苏无锡·月考)如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若，当周长最小时，则= ． = ．                 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质和判定，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．连接，根据轴对称的性质可得，， ，，可求，则可求，利用三角形全等可求；利用等腰三角形性质可知，则，计算即可． 【详解】解：，分别是关于、的对称点，交于点，交于点， ，， 的周长， ∴当共线时，的周长最小． 如图，连接， 根据轴对称的性质可得，， ，； ∵， ∴， 在中， ， ∴， 在和中，， ∴， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 2．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 3．(23-24八上·广东汕头潮阳实验学校·期中)如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【答案】 120 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 4．(24-25七下·陕西西安高新区第三初级中学·月考)如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段和的最小值问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 作点E关于的对称点G，点E关于的对称点H，利用轴对称的性质，推出当G、D、F、H四点共线时，的周长最小， 为的长，再利用题中条件证明是等边三角形，可得，当时，最短，此时的周长最小， 再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】如图，作点E关于的对称点G，点E关于的对称点H，连接， 由对称性可知，， 的周长为， 当G、D、F、H四点共线时，的周长最小，为的长． ，，， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 当时，最短，此时的周长最小， 由，得， 解得， 的周长最小值为． 故答案为：． 5．(24-25八下·广西南宁第三十七中学·期中)如图，，点P在内部，，点M，点N分别是上的动点，若存在点M，点N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、，由轴对称的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为． 【详解】解：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点、，连接、、， 点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ，，，，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为， 故答案为： 题型九 等腰三角形的性质与判定与线段和有关最值问题（共8小题） 1．(25-26八上·广东深圳部分学校·开学考)如图，等边三角形中，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接．若，， 则的最小值为 （用含有m或n的式子表示）． 【答案】n 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质．连接，证，可得，作点D关于的对称点G，连接、，则，， ，当B、F、G三点共线，的最小值为，再证明得． 【详解】解：连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、，则，， ， ∴，， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为， 在和中， ， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 2．(2025·湖北省武汉市·调研)如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 3．如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ． 【答案】105 【来源】20.4 课题学习 最短路径问题（练习）数学人教版五四制八年级上册 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点F的位置，有难度． 作于点C，且，连接交于M，连接，证明，得，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点C，且，连接交于M，连接， ∵为等边的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值， 此时， ∴， 故答案为：105． 4．如图，在等腰中，顶角，点为边上一定点，，分别为边和上两动点，当的值最小时，的大小是 ． 【答案】/138度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键；过点B作并延长，过点A作的平行线，与的延长线交于点Q，过点D作于N，交于点H，过点D作于G，作点E关于的对称点M，则点M在上，连接，要使的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且，此时点M与点H，点F与点N重合，则点E与点G重合，进而问题可求解． 【详解】解：过点B作并延长，过点A作的平行线，与的延长线交于点Q，如图所示： ∵是等腰三角形，且顶角， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点D作于N，交于点H，过点D作于G，作点E关于的对称点M，则点M在上，连接，要使的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且，此时点M与点H重合，点F与点N重合，则点E与点G重合，如图所示， ∴此时点H与点G关于对称，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，． 故答案为：． 5．(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作，使得，连接，，利用等边三角形的性质结合平行线的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出即可得出，即可知三点共线时，的值最小，再利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质得出，最后再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，作，使得，连接，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， 三点共线时，，此时这个值最小， ， ， ， ． 故答案为：15． 6．(24-25七下·四川达州外国语学校·月考)如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，理解转化思想和掌握三角形的面积公式是解题的关键．先根据轴对称的性质和垂线段最短确定最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：过A作于F，交于E，连接， ∵是边的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值即为线段的长， ∵的面积为：， 解得：， 则的最小值为， 故答案为：． 7．(24-25八上·陕西汉中南郑区·期末)如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质．过点A作于点H，根据题意求得，得到是等腰三角形的中线，得到，根据，当共线时，有最小值，得到，根据等面积法求出的长． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴点C关于的对称为点A， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴则的最小值为， 故答案为：． 8．如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， 的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ， ∵， 为等边三角形， ， 即的值最小为3； 故答案为：3． 题型十 与垂直平分线相关的最值问题（共5小题） 1．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，根据等腰三角形的三线合一得到，，求出的面积，再根据垂直平分线的性质得到，求出的周长，得到当，，三点共线时，的值最小，进而求出结果即可 【详解】解：如图，连接，． 在中，，是边的中点， ， ， 解得． 垂直平分， 的周长为． 当，，三点共线时，的值最小， 即当最小值为的长时，的周长最小，为， 故答案为：9 2．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，，为的垂直平分线，为直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则由三角形周长公式可得的周长，则当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为的垂直平分线，点为直线上的任意一点， ∴， ∴的周长， 当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 4．(24-25八上·江西赣州·期末)如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 5．(24-25七下·陕西西安莲湖区·期末)如图，在中，，O为边的中点，，延长到点D，使得，且，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系，先得出，再结合，，则，根据，则，得出，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，即． 【详解】解：连接，且与交于点，如图所示： 在中，，O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点， ∴， ∵， ∴， 当P运动到点H时，则， 则的最小值为6， 故答案为：6 题型十一 与角平分线相关的最值问题（共6小题） 1．(24-25八上·广东中山华辰实验中学·月考)如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．利用角平分线的性质，找到点M到的距离，从而确定的最小值． 【详解】解：过点M作于点F． ∵点M是平分线上一点，，， ∴ ∵垂线段最短， ∴线段的最小值是 故答案为： 2．(25-26八上·甘肃武威天祝藏族自治县第二中学·期中)如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 3．(23-24八上·点福建福州第十九中学·期中)如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点，推出当最小时，点P，点Q分别位于点，点处，的度数为的度数，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点， ∵是的平分线， ∴是的对称轴， ∴， ∴， ∴最小值为， ∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴当最小时，的度数是， 故答案为：． 4．(24-25七下·陕西西安碑林区·期末)如图，在四边形中，，连接，，且，，点E是边上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】过点C作于点H，证明，利用角的平分线性质定理，垂线段最短，解答即可． 本题考查了角的平分线性质定理，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点H， ∵，，， ∴， ∴， 根据垂线段最短， 故的最小值是6， 故答案为：6． 5．(24-25七下·陕西咸阳永寿县·期末)如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，构造辅助线是解题的关键．过点作于点．此时是点到直线的垂线段，根据“垂线段最短”， 的最小值等于的长度． 【详解】解：过点作于点．如图， ， 的平分线交于点，， ， 点为上一动点， 的最小值为的长，即的最小值是2， 故答案为：2． 6．(24-25七下·四川达州达川区·期末)如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解: 过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $