专题03 轴对称（5知识&8题型&7易错&5方法清单）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称（5知识&8题型&7易错&5方法清单） 【清单01】轴对称及其性质 1.轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 2. 常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 等边三角形 3 各边上的高(或各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 对边中点的连线所在的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 3.成轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 4. 成轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 成轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条对称轴 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 5. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 6. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 7. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线 【清单02】线段的垂直平分线 1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 2. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 4.互逆命题和互逆定理 定义 关系 互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 (1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题； (2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 5.尺规作图——作线段的垂直平分线 1）作线段的垂直平分线 (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线. 2）经过直线外一点作这条直线的垂线 (1)以C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； (3)作直线CF，CF就是所求作的垂线． 6.作对称轴 1）作对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 2）作对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对称点； (2)连：连接这对对称点； (3)作：作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到对称轴. 【清单03】画轴对称图形 1.轴对称变换定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换. 轴对称变换的实质就是图形的折叠，折叠前后(即成轴对称)的两个图形全等. 2.轴对称变换性质 (1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，即成轴对称的两个图形全等； (2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； (3)连接任意一对对称点的线段均被对称轴垂直平分. 这是画轴对称图形的依据. 3.画轴对称图形 （1）方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （2）步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画三连”. 找 —在原图形上找特殊点； 画 —画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连 —依次连接各对称点. 4. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 5. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 6.在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 【清单04】等腰三角形 1.等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. ①∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； ②∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； ③∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 2.等腰三角形的判定方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC 3.等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质(等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等 这两边所对的角也相等 证明角相等 判定(等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等 这两个角所对的边也相等 证明线段相等 4. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 (1)作线段AB=a； (2)作线段AB 的垂直平分线MN，交AB 于点D； (3)在MN 上取一点C，使DC=h； (4)连接AC，BC，则△ ABC 就是求作的等腰三角形． 【清单05】等边三角形 1.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 2. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 3.含30°角的直角三角形的性质 （1）性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . （2）作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 【题型一】轴对称图形与轴对称 【例1-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【例1-2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在我国北京市和张家口市联合举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计．下列四个图案是历届会徽图案上的一部分，其中不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【题型二】线段的垂直平分线的性质与判定 【例2-1】（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点， 故选：D 【例2-2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 【例2-3】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 【答案】见解析 【详解】解：分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧（这样两弧能相交，保证作出垂直平分线 ），两弧分别相交于两点． 过这两个交点作直线（此直线为 的垂直平分线，依据是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ），该直线与直线 的交点即为所求的 点． ∵ 所作直线是 的垂直平分线， 在该直线上 ∴ ． 【变式2-1】（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【变式2-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，在中，直线是边的垂直平分线且交于D，若，，则的周长为 ． 【答案】14 【详解】解：直线是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：14 【变式2-3】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【题型三】逆命题与逆定理 【例3-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：①“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ③“两个正实数的积是正实数”的逆命题是“若两个实数的积是正实数，则这两个实数是正实数”，是假命题，所以本选项不符合题意； ④“5是25的平方根”的逆命题是“25的平方根是5”，是假命题，所以本选项不符合题意． 故选：A． 【例3-2】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【答案】A 【详解】解：A． 命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此命题一定有逆命题，正确，符合题意； B． 定理的逆命题不一定为真，即不一定有逆定理，例如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”不成立，故错误，不符合题意； C． 真命题的逆命题不一定是真命题．例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”为假，错误，不符合题意； D． 假命题的逆命题不一定是真命题．例如“若两个角相等，则它们是对顶角”是假命题，其逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真；但若原命题为“若今天下雨，则地湿”，其逆命题“若地湿，则今天下雨”可能为假，故错误，不符合题意． 故选A． 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 【答案】D 【详解】解：A．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故A不符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据还可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：，，，那么，根据条件，无法判定，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故D符合题意； 故选：D 【变式3-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果，那么， 假 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：如果，那么，假． 【题型四】用坐标表示轴对称 【例4-1】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点 关于 轴对称的点 的坐标为 ． 故选：B． 【例4-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将沿y轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (3)用尺规在x轴上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【详解】（1）解：如图所示，点坐标； （2）解：如图所示，点的坐标； （3）解：如图所示，点P即为所求． ； 【变式4-1】（23-24八年级上·福建福州·期中）已知点与点关于轴对称，若点在第三象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵点在第三象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为负数， ∵点与点关于轴对称， ∴点与点的纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴点在第四象限， 故选：． 【变式4-2】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如果点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：向右平移5个单位长度得到点，则点坐标为，即：， ∴坐标为关于轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，直接写出点、、的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：由在坐标系中的位置得：、、． 【题型五】等腰三角形的性质与判定 【例5】（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，，是等腰直角三角形，，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴（）， ∴，故此结论正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故此结论不正确； ③∵， ∴， ∴， 则，故此结论正确； ④∵， ∴，故此结论正确， 正确的个数是个， 故选：． 【变式5-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等腰直角中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作，交的延长线于点F，连接，交于点G． (1)求证； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：在等腰直角三角形中， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵D为的中点， ∴．即． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． 即． （2）是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， 由（1）得 ∴是等腰直角三角形，且是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型六】等边三角形的性质与判定 【例6-1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 【例6-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，和均为等边三角形，连接、交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴， （2）解：是等边三角形， ， ， ， ． 【例6-3】（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【详解】（1）解：如图所示，角平分线即为所求； （2）证明：由（）知，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形． 【变式6-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 【题型七】含30°角的直角三角形的性质 【变式7-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【例7-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 同理，， 记各等边三角形的边长依次为：， ， ， ， ， ， ∴的边长为， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，四边形中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【题型八】最短路径问题 【例8-1】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 【例8-2】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 【变式8-1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 【变式8-2】（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【变式8-3】（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解： ； （3）解：如图，点P即为所求． 【题型一】当顶角和底角不确定时要分类讨论 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：①如图，当时，就是等腰三角形； ∴顶角； ②如图，当时，为等腰三角形； ∵， ∴， ∴顶角； ③如图，当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴顶角； ④如图，在上，当时，为等腰三角形， ∵， ∴顶角； 故答案为：或或． 【题型二】当底和腰不确定时要分类讨论 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．18 B．21 C．16或20 D．18或21 【答案】D 【详解】解：当8为为腰长时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5为腰长时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 故选：D． 4．（24-25八年级上·天津·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：当等腰三角形的腰是时， ， ∴根据三角形的三边关系，不能组成三角形，故舍去， 当等腰三角形的腰是时， 周长为， 综上所述，它的周长为， 故选：． 5．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为 ． 【答案】10 【详解】解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 【题型三】当高的位置不确定时要分类讨论 6．（23-24八年级上·广西贵港·期中）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知， ∴； ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知， ∴． 综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：D． 7．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，    由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 8．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 【答案】或 【详解】解：已知，且，是边上的高； ①当等腰三角形是锐角三角形时，如图， ∵， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时，如图， ∵， ∴； 综上，等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 【题型四】由腰的垂直平分线引起的分类讨论 9．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： ①当为锐角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为钝角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴.， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，底角为或， 故答案为：或． 10．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，求各角的度数． 【详解】解：如图：      如图1，当为锐角时， 的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，即， ， ， ， ，，； 如图2，当为钝角时， 的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，即， ， ， ． ，，． 【题型五】由腰上的中线引起的分类讨论 11．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 12．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【详解】解：设腰，底边， ∵一腰上的中线将它的周长分成和两部分， ∴或 ∴或， ∴等腰三角形的三边长分别为，，或，， ∵， ∴两种情况下，三角形都存在， ∴等腰三角形的腰长为或， 故答案为：或．    13．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成差为3cm的两部分，求AB的长． 【答案】AB为7cm 【详解】解：当底比较长时，依题意得AB+AD=CD+BC-3， ∵AD=CD， ∴AB=4-3=1(cm)， 三边为4cm，1cm，1cm，1+1＜4，不能构成三角形，这种情况不成立； 当腰比较长时；依题意得AB+AD=CD+BC+3， ∵AD=CD， ∴AB=4+3=7(cm)， 三边为4cm，7cm，7cm，4+7＞7，能构成三角形． 故腰长AB为7cm． 【题型六】由动态问题引起的分类讨论 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（    ）s时，是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 【答案】D 【详解】解：分两种情况：（1）当点在线段上时， 设秒后是等腰三角形， 有， 即， 解得，； （2）当点在的延长线上时， 当是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得，， 故选：D． 15．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴，， 过点作于，于， ∴， ∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 16．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； ∵， ∴， 连接， ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，如图，点与点重合， ∴； 当时，如图， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，点A与P重合， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 【题型七】由三角形分割引起的分类讨论 17．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，，射线、上分别有点和点，点在线段上，连接，．若线段将分割为两个等腰三角形，则称线段为的“角等分线”． (1)如图1，当时，画出的“90角等分线”，此时_______． (2)当时，若存在线段为的“角等分线”，则_______． 【详解】（1）解：如图，作出线段的中点，连接，线段为的“90角等分线”， 中，是斜边上的中线， ， 线段将分割为两个等腰三角形， 线段为的“90角等分线”， ， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， 若线段将分割为等腰和等腰， ①如图，当在等腰中，时， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴或或， ∴或或， 解得（符合题意）或（不符合题意，舍去）或（符合题意）； ②如图，当在等腰中，时， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴ ， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当在等腰中，时， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， 解得，符合题意； 综上，或或， 故答案为：72或108或126． 18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．    示例：如图1，在中，，，， 把分割成和两个小三角形， 其中，，，． ∵， ∴，即为等腰三角形； 又∵，，， ∴与三个角分别相等； ∴为的“等角分割线” (1)如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； (2)在中，，是的等角分割线，求的度数． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴与三个角分别相等， ∴为的等角分割线； （2）解：∵，是的等角分割线， ∴为等腰三角形或者为等腰三角形， 当是等腰三角形时， ①当，时，如图，    则， ∴， ； ②当，时，如图，    则， ∴， ； ③当，时， 则， ∴，故此情况不存在； 当是等腰三角形时， ④当，时，如图，    则， 由得，， ∴， ∴； ⑤当，时，如图，    则， 设， 则， 由得， ， ∴， ∴； ⑥当，时， 则， ∴，故此情况不存在； 综上所述：或或或． 构造等腰三角形的常见辅助线 【题型一】角平分线+垂线→等腰三角形 方法指导 1．（22-23八年级上·山东德州·期中）如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：沿长与交于点D， ∵平分，， ∴点P是线段中点， ∴，， ∴． 故选C． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，D为内一点，平分，于点D．，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴, 故答案为：B． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【题型二】等腰三角形+平行线→ 等腰三角形 方法指导 条件：<m></m> 策略： 作腰的平行线 ① 作底边的平行线② 结论:是等腰三角形； 是等腰三角形 4．（22-23八年级上·浙江·期中）如图1，在中，，点D在上，点E在的延长线上，，连接交于F． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的面积． 【详解】（1）证明：如图，过点D作交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，且，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点D作，交于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型三】倍长中线→等腰三角形 6．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 【详解】（1）解：是的中线， ∴， ∵延长到，使，， ∴， ∴运用的是“边角边”判定定理证明， 故答案为：边角边． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． （3）证明：如图所示，延长至点，使得， ∵是中点，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 7．（24-25八年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】八年级某同学遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． （1）①小红证明的判定方法是_______； ②的取值范围是_______； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是_______． ①；        ②； ③；        ④． 【详解】解：（1）①如图，AD是中线， 在与中， ； ②由①得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至点，使，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵ ∴ （3）延长，取，连接，如图所示： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，故②③正确； 无法证明，，故①④错误， 故答案为：②③． 【题型四】倍角关系→ 等腰三角形 方法指导 在<中，<. 方法一：如图①，外构等腰三角形，作 . 方法二：如图②，内构等腰三角形，作 . 方法三：如图③，作平分 . 8.如图，是的高线， ，若，，求 的长. 解：将沿折叠，则点刚好落在边上的点 处，由折叠得 ，， ， ， . 又 ， ， ， . 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）在八年级上册“轴对称”一章中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． (1)【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．……请你画出图形并写出完整的解题过程； (2)【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； (3)【拓展】如图3，在四边形中，平方，，，，则的长为 ． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【题型五】截长补短→等腰三角形 10．【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上取，连接， ∵于 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 过作，交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又 ∴ ∴ ，， 而， ∴， 又∵ ∴ ∴     即　． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称（5知识&8题型&7易错&5方法清单） 【清单01】轴对称及其性质 1.轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 2. 常见的轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 底边上的高(或底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 等边三角形 3 各边上的高(或各边上的中线或各内角平分线)所在的直线 等腰梯形 1 过上、下底中点的直线 长方形 2 对边中点的连线所在的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线； ②过对边中点的直线 圆 无数条 过圆心的直线 3.成轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称. 同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 4. 成轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 成轴对称 轴对称图形 区 别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条对称轴 联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠； (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称 5. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 6. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 7. 由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线 【清单02】线段的垂直平分线 1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 2. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等. 4.互逆命题和互逆定理 定义 关系 互逆命题 两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 (1)命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题； (2)每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理 5.尺规作图——作线段的垂直平分线 1）作线段的垂直平分线 (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，CD就是线段AB的垂直平分线. 2）经过直线外一点作这条直线的垂线 (1)以C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F； (3)作直线CF，CF就是所求作的垂线． 6.作对称轴 1）作对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 2）作对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对称点； (2)连：连接这对对称点； (3)作：作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到对称轴. 【清单03】画轴对称图形 1.轴对称变换定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫作轴对称变换. 轴对称变换的实质就是图形的折叠，折叠前后(即成轴对称)的两个图形全等. 2.轴对称变换性质 (1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，即成轴对称的两个图形全等； (2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； (3)连接任意一对对称点的线段均被对称轴垂直平分. 这是画轴对称图形的依据. 3.画轴对称图形 （1）方法：几何图形都可以看作由点组成. 对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （2）步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画三连”. 找 —在原图形上找特殊点； 画 —画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连 —依次连接各对称点. 4. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1) 点(x，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2) 点(x，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数. 5. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展) (1)点(，)关于直线x =m 对称的点为(2m－，)； (2)点(，)关于直线y =n 对称的点为(，2n－)； (3)点(，)关于原点对称的点为(－，－). 6.在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤 (1)计算——计算已知图形特殊点的对称点的坐标； (2)描点——根据对称点的坐标描点； (3)连接——按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形. 【清单04】等腰三角形 1.等腰三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“ 等边对等角”) 如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC. ①∵ AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC且BD＝CD； ②∵ AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC 且BD＝CD； ③∵ BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC 且AD⊥BC 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形， 底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 2.等腰三角形的判定方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC，∴△ABC 为等腰三角形 判定定理法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 如图，在△ABC中， ∵∠B= ∠C， ∴ AB=AC 3.等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质(等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等 这两边所对的角也相等 证明角相等 判定(等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等 这两个角所对的边也相等 证明线段相等 4. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 (1)作线段AB=a； (2)作线段AB 的垂直平分线MN，交AB 于点D； (3)在MN 上取一点C，使DC=h； (4)连接AC，BC，则△ ABC 就是求作的等腰三角形． 【清单05】等边三角形 1.等边三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 等边三角形的三个角都相等， 并且每一个角都等于60° 如图，在△ABC中， ∵ AB=AC=BC， ∴∠A= ∠B= ∠C=60° 性质2 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“ 三线合一” 如图，在△ABC中，①∵△ABC 为等边三角形，AD平分∠BAC，∴ AD⊥BC且BD=CD；②∵△ ABC为等边三角形，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC且BD=CD；③ ∵ △ABC为等边三角形，BD=CD，∴ AD平分∠BAC且AD⊥BC 轴对称性 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线(或三个角的平分线所在直线或三边上的高所在直线) 2. 等边三角形的判定方法 方法 文字语言 符号语言 图示 定义法 三边都相等的三角形是等边三角形 如图，∵ AB=AC=BC， ∴△ ABC 为等边三角形 判定方法1 三个角都相等的三角形是等边三角形 如图，∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC为等边三角形 判定方法2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 如图，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC为等边三角形 3.含30°角的直角三角形的性质 （1）性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . （2）作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度. 拓展：该性质反过来说也成立. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°. 【题型一】轴对称图形与轴对称 【例1-1】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在以下四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在我国北京市和张家口市联合举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计．下列四个图案是历届会徽图案上的一部分，其中不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】线段的垂直平分线的性质与判定 【例2-1】（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【例2-2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 【变式2-1】（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【变式2-2】（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，在中，直线是边的垂直平分线且交于D，若，，则的周长为 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【题型三】逆命题与逆定理 【例3-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【例3-2】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【变式3-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．如果，那么 C．若，则，， D．若，则 【变式3-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【题型四】用坐标表示轴对称 【例4-1】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将沿y轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (3)用尺规在x轴上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【变式4-1】（23-24八年级上·福建福州·期中）已知点与点关于轴对称，若点在第三象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（23-24八年级上·河南安阳·期中）如果点向右平移5个单位长度得到点，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 【变式4-3】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，直接写出点、、的坐标． 【题型五】等腰三角形的性质与判定 【例5】（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，，是等腰直角三角形，，，三点在同一条直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等腰直角中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作，交的延长线于点F，连接，交于点G． (1)求证； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【题型六】等边三角形的性质与判定 【例6-1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例6-2】（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，和均为等边三角形，连接、交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【例6-3】（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【变式6-1】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型七】含30°角的直角三角形的性质 【变式7-1】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例7-2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，四边形中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【题型八】最短路径问题 【例8-1】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【例8-2】（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【变式8-1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【变式8-3】（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【题型一】当顶角和底角不确定时要分类讨论 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 2．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 ． 【题型二】当底和腰不确定时要分类讨论 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．18 B．21 C．16或20 D．18或21 4．（24-25八年级上·天津·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 5．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为 ． 【题型三】当高的位置不确定时要分类讨论 6．（23-24八年级上·广西贵港·期中）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 7．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 【题型四】由腰的垂直平分线引起的分类讨论 9．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为 ． 10．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，求各角的度数． 【题型五】由腰上的中线引起的分类讨论 11．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 12．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 13．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成差为3cm的两部分，求AB的长． 【题型六】由动态问题引起的分类讨论 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（    ）s时，是等腰三角形． A． B．6 C．或6 D．或8 15．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 16．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 【题型七】由三角形分割引起的分类讨论 17．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，，射线、上分别有点和点，点在线段上，连接，．若线段将分割为两个等腰三角形，则称线段为的“角等分线”． (1)如图1，当时，画出的“90角等分线”，此时_______． (2)当时，若存在线段为的“角等分线”，则_______． 18．（23-24八年级上·福建厦门·期中）规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．    示例：如图1，在中，，，， 把分割成和两个小三角形， 其中，，，． ∵， ∴，即为等腰三角形； 又∵，，， ∴与三个角分别相等； ∴为的“等角分割线” (1)如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； (2)在中，，是的等角分割线，求的度数． 构造等腰三角形的常见辅助线 【题型一】角平分线+垂线→等腰三角形 方法指导 1．（22-23八年级上·山东德州·期中）如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，D为内一点，平分，于点D．，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 【题型二】等腰三角形+平行线→ 等腰三角形 方法指导 条件：<m></m> 策略： 作腰的平行线 ① 作底边的平行线② 结论:是等腰三角形； 是等腰三角形 4．（22-23八年级上·浙江·期中）如图1，在中，，点D在上，点E在的延长线上，，连接交于F． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的面积． 5．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【题型三】倍长中线→等腰三角形 6．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 7．（24-25八年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】八年级某同学遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． （1）①小红证明的判定方法是_______； ②的取值范围是_______； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是_______． ①；        ②； ③；        ④． 【题型四】倍角关系→ 等腰三角形 方法指导 在<中，<. 方法一：如图①，外构等腰三角形，作 . 方法二：如图②，内构等腰三角形，作 . 方法三：如图③，作平分 . 8.如图，是的高线， ，若，，求 的长. 9．（23-24八年级上·山东德州·期中）在八年级上册“轴对称”一章中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． (1)【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．……请你画出图形并写出完整的解题过程； (2)【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； (3)【拓展】如图3，在四边形中，平方，，，，则的长为 ． 【题型五】截长补短→等腰三角形 10．【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $