专题06 与相似三角形有关的热考模型（必备知识+8题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期北师大版

专题06 与相似三角形有关的热考模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 A 字模型 能识别 A 字模型（即两个三角形有一组公共角，且另外一组角分别相等，呈 “A” 型结构），并利用相似三角形的判定与性质解决相关线段比例、角度计算问题 常作为相似三角形的基础模型考查，多在几何证明题或与线段长度相关的计算题中出现，是后续复杂相似模型的基础 8 字模型 能识别 8 字模型（即两条直线相交，形成对顶的两个三角形，呈 “8” 型结构），利用对顶角相等、平行线性质等，结合相似三角形判定与性质解决问题 常与平行线结合考查相似三角形，在几何中档题中较为常见，也可用于推导线段之间的比例关系 母子型相似 掌握母子型相似三角形的结构特征（一个三角形内部有一个小三角形，与原三角形相似，形似 “母子”），能熟练运用其判定和性质解决与线段比例、面积相关的问题 属于相似三角形的典型模型，在几何综合题中经常出现，常与勾股定理、圆的相关知识结合考查 三角形内接矩形模型 能根据三角形内接矩形的特点，结合相似三角形的知识，建立方程求解矩形的边长、面积等，以及分析矩形面积的最值情况 多在与几何图形面积、最值相关的应用题或综合题中考查，需要较强的建模和计算能力 一线三等角模型 识别 “一线三等角” 的结构（一条直线上有三个相等的角），能利用角的关系证明三角形相似，进而解决线段比例、长度计算等问题 是相似三角形的重要模型，在中考几何题中出现频率较高，常作为解题的关键突破口 手拉手模型 掌握手拉手模型的特征（两个共顶点的等腰三角形，顶角相等，形似 “手拉手”），能利用全等三角形或相似三角形的判定与性质，解决线段和角的数量关系问题 常与等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形结合，在几何证明与计算中考查，是几何变换类题目中的常见模型 对角互补相似模型 理解对角互补的两个三角形相似的条件，能利用角的互补关系和其他角的条件证明相似，解决相关比例、角度问题 在涉及圆内接四边形、角度互补的几何综合题中考查，需要灵活运用相似三角形的判定定理 角含半角模型 掌握角含半角模型的结构（一个角内部含一个半角，如正方形中∠BAC 内部含∠EAF，且∠EAF = 1/2∠BAC），能利用旋转、全等三角形等知识，将分散的线段集中，解决线段和差、长度计算等问题 常与正方形、等腰三角形等特殊图形结合，在几何综合题中考查，需要较强的图形变换和逻辑推理能力，是中考几何中的难点模型之一 模型01 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 【小结】A字型有一个公共角或角有公共部分，只要再设法证明另一组角相等或公共角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似.遇到两三角形有一公共角或者出现平行线，可以考虑A字型.注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，发挥基本图形的作用，依据基本图形对图形进行分解、组合，或作辅助线构造相似三角形. 【补充】共边反A字模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型. 模型02 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 【小结】“8”字相字型有一组隐含的等角(对顶角)，只要再设法证明另一组角相等或等角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似，必要时可根据题目中的条件和问题构造相似图形. 模型03 母子型相似 类型 母子相似模型 构造母子相似模型 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 延长BE交AC于点F ∆ABF∽∆ACB 过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G， ∆ABC∽∆ACG 【母子型相似模型小结】在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛.有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似，双垂直模型可看作特例.深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率. 类型 射影定理 作高用射影定理 条件 ∠ABC=∠ADB=90° F，A，B三点共线，C，A，E三点共线，∠ACB=∠AFE=90° 图示 结论 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 过点C作CD⊥AB于点D ∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB 模型04 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 模型05 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 模型06 手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 模型07 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 模型08 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 题型一 A 字模型 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ． 2．（2020·吉林长春·模拟预测）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于 ． 3．（2023九年级·浙江宁波·竞赛）如图，在中，为边上一点，，，若，，则的面积为 ． 4．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 5．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 7．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长 题型二 8 字模型 8．（内蒙古包头市东河区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷）如图，在正方形中，G为的中点，连结并延长，交边的延长线于点E，对角线交于点F，已知，则线段的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（山西省长治市沁源县部分学校2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ） A． B．2 C． D．3 10．（2024年河北省中考数学模拟示范卷）如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 11．（上海音乐学院实验学校2025-2026学年九年级上学期期初测试数学试题）如图，平行四边形中，E在边上，与交于点F，若，则 ． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中BC边上的“比中项妙点”． (1)如图①，点D是中BC边上的“比中项妙点”，若，则的长为______； (2)如图②，中，，若点D是中边上的“比中项妙点”，请直接写出的长； (3)如图③，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②若点E为边的中点，则的值为______． 13．（19-20九年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 15．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 题型三 母子型相似 16．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 17．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 18．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 19．（2020·安徽合肥·三模）如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 20．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．    下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 题型四 三角形内接矩形模型 21．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 22．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知：如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．求正方形的边长． 23．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点E，H分别在AB，AC上．已知，． (1)求证：． (2)求这个正方形的边长与周长． (3)若四边形是矩形，且，则的长为_______． 题型五 一线三等角模型 24．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 25．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 26．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 27．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 28．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 29．（24-25八年级下·山东烟台·期末）我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． (1)如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； (2)如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； (3)平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 题型六 手拉手模型 30．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 31．（21-22九年级上·河南周口·期末）观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 32．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 33．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 题型七 对角互补相似模型 34．（20-21九年级上·山西晋城·期末）在中，，，将一直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边、或其延长线交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长）．如图1，图2、表示三角板旋转过程中的两种情形． (1)直角三角板绕点P旋转过程中，当 时，是等腰三角形； (2)直角三角板绕点P旋转到图1的情形时，求证：； (3)如图3．若将直角三角板的直角顶点放在斜边的点M处．设（m，n为正数），试判断，的数量关系． 并说明理由． 35．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，为中点，直角三角板的直角顶点恰在边的中点处．边分别与边相交于点两点． (1)如图1，当四边形为矩形时，求对角线的长； (2)如图2，连接，当平分时，求证：； (3)当是等腰三角形时，求的值． 36．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 操作二：如图3，将直角三角板从图示位置绕点顺时针旋转． （3）若，当与矩形的一边平行时，直接写出的值． 37．（2023·贵州铜仁·一模）点在四边形的对角线上，直角三角板绕直角顶点旋转，其边、分别交、边于点、． 操作发现：如图①，若四边形是正方形，当时，可知四边形是正方形，显然．当与不垂直时，判断确定、之间的数量关系；______．（直接写出结论即可） 类比探究：如图②，若四边形是矩形，试说明． 拓展应用：如图③，改变四边形、的形状，其他条件不变，且满足，，，时，求的值． 题型八 角含半角模型 38．（2023年广西桂林市平乐县中考数学一模试题）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与的边分别交于M、N两点． (1)老师提了一个问题：试证明． 小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题． 请帮小丽继续完成证明过程． 证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结； (2)如图2，小昆另取一块与相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、． ①小昆猜想：，请帮他给出证明； ②图2中始终与相等的线段有 ； ③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论： ． 39．（湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年九年级下学期期末数学试题）已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于． (1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：； (2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论： (3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长． 40．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 41．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）【建立模型】（1）已知中，点分别在，边上，，如图（1）．求的值． 【初步应用】（2）若内接于，边落在边上，点分别在，边上，如图（2）．若，，，求的值． 【拓展提升】（3）直线与正的边，交于点，取线段的中点，连接并延长交于点，如图（3）．若，．求值． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 5．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 与相似三角形有关的热考模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 A 字模型 能识别 A 字模型（即两个三角形有一组公共角，且另外一组角分别相等，呈 “A” 型结构），并利用相似三角形的判定与性质解决相关线段比例、角度计算问题 常作为相似三角形的基础模型考查，多在几何证明题或与线段长度相关的计算题中出现，是后续复杂相似模型的基础 8 字模型 能识别 8 字模型（即两条直线相交，形成对顶的两个三角形，呈 “8” 型结构），利用对顶角相等、平行线性质等，结合相似三角形判定与性质解决问题 常与平行线结合考查相似三角形，在几何中档题中较为常见，也可用于推导线段之间的比例关系 母子型相似 掌握母子型相似三角形的结构特征（一个三角形内部有一个小三角形，与原三角形相似，形似 “母子”），能熟练运用其判定和性质解决与线段比例、面积相关的问题 属于相似三角形的典型模型，在几何综合题中经常出现，常与勾股定理、圆的相关知识结合考查 三角形内接矩形模型 能根据三角形内接矩形的特点，结合相似三角形的知识，建立方程求解矩形的边长、面积等，以及分析矩形面积的最值情况 多在与几何图形面积、最值相关的应用题或综合题中考查，需要较强的建模和计算能力 一线三等角模型 识别 “一线三等角” 的结构（一条直线上有三个相等的角），能利用角的关系证明三角形相似，进而解决线段比例、长度计算等问题 是相似三角形的重要模型，在中考几何题中出现频率较高，常作为解题的关键突破口 手拉手模型 掌握手拉手模型的特征（两个共顶点的等腰三角形，顶角相等，形似 “手拉手”），能利用全等三角形或相似三角形的判定与性质，解决线段和角的数量关系问题 常与等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形结合，在几何证明与计算中考查，是几何变换类题目中的常见模型 对角互补相似模型 理解对角互补的两个三角形相似的条件，能利用角的互补关系和其他角的条件证明相似，解决相关比例、角度问题 在涉及圆内接四边形、角度互补的几何综合题中考查，需要灵活运用相似三角形的判定定理 角含半角模型 掌握角含半角模型的结构（一个角内部含一个半角，如正方形中∠BAC 内部含∠EAF，且∠EAF = 1/2∠BAC），能利用旋转、全等三角形等知识，将分散的线段集中，解决线段和差、长度计算等问题 常与正方形、等腰三角形等特殊图形结合，在几何综合题中考查，需要较强的图形变换和逻辑推理能力，是中考几何中的难点模型之一 模型01 A字模型 类型 基础 变形 A字模型 反A字模型 共边反A字模型 剪刀反A字模型 条件 DE∥BC ∠1=∠B ∠1=∠B ∠1=∠2 图示 结论 ∆ADE∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC AD•AC=AE•AB ∆ACD∽∆ABC ∆ADE∽∆ABC 【小结】A字型有一个公共角或角有公共部分，只要再设法证明另一组角相等或公共角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似.遇到两三角形有一公共角或者出现平行线，可以考虑A字型.注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，发挥基本图形的作用，依据基本图形对图形进行分解、组合，或作辅助线构造相似三角形. 【补充】共边反A字模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型. 模型02 8字模型 类型 基础 变形 正8字模型 反8字模型 剪刀反8字模型 条件 AB∥CD ∠A=∠D或∠B=∠C ∠B=∠C或 ∠BAO=∠ODC 图示 结论 ∆AOB∽∆COD ∆AOB∽∆DOC ∆BDE∽∆CAE ∆AOB∽∆DOC 【小结】“8”字相字型有一组隐含的等角(对顶角)，只要再设法证明另一组角相等或等角的两边对应成比例，就可证得两个三角形相似，必要时可根据题目中的条件和问题构造相似图形. 模型03 母子型相似 类型 母子相似模型 构造母子相似模型 条件 点D在AC边上，∠1=∠2 ∠ABE=∠C 图示 结论 ∆ACD∽∆ABC， 延长BE交AC于点F ∆ABF∽∆ACB 过点C作CG∥BE，交AB延长线于点G， ∆ABC∽∆ACG 【母子型相似模型小结】在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛.有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似，双垂直模型可看作特例.深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率. 类型 射影定理 作高用射影定理 条件 ∠ABC=∠ADB=90° F，A，B三点共线，C，A，E三点共线，∠ACB=∠AFE=90° 图示 结论 1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD 2) ， ， 3）AB•BC=BD•AC（面积法） 过点C作CD⊥AB于点D ∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB 模型04 三角形内接矩形模型 类型 三角形内接正方形 三角形内接矩形 图示 解题大招 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na， 则 在正方形GFED中，边长为a，则 模型05 一线三等角模型 类型 一线三等角模型（同侧型） 一线三垂直模型（同侧型） 条件 ∠B=∠D=∠ACE=α ∠B=∠D=∠ACE=90° 图示 结论 ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE ∆ABC∽∆CDE 或BC•CD=AB•DE 模型06 手拉手模型 条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE， 图示： 解题策略：连接BD，CE，根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 模型07 对角互补相似模型 条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE 图示： 解题策略： 方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以， 由于，则. 方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G， 由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则 结论： 模型08 角含半角模型 类型 90°含45° 120°含60° 条件 ∠BAC=90°，∠DAE=45°，BA=AC ∠BAC=120°，∠DAE=60°，AD=AE 图示 结论 ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA ∆BAE∽∆ADE∽∆CDA 题型一 A 字模型 1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 ,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴ ， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 2．（2020·吉林长春·模拟预测）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于 ． 【答案】4.5 【分析】设之间的距离为x米，根据题意可得，，即，，代入数值解得x=2，进而求得AB，即可求得路灯的高度． 【详解】如图，设之间的距离为x米， 根据题意可得，， ∴ ∴，， ∴，， 即，， ∴， 解得，经检验是所列方程的解， ∴，解得， 经检验是所列方程的解， 故路灯的高为4.5米． 故答案为：4.5． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键． 3．（2023九年级·浙江宁波·竞赛）如图，在中，为边上一点，，，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用相似三角形的判定定理与性质定理得到，过点作于点，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质求得线段，，的长度，计算得到三角形的面积，代入上式运算即可得出结论． 【详解】解：，， ， ． 过点作于点，如图， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质是解题的关键． 4．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2024·广东·二模）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)， (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3），， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 方程，解得或3， 方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 7．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论； （2）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （3）先求出，再由勾股定理求出，设设，则，再由勾股定理得出°，求出，从而得到是等边三角形，然后求出． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 所以四边形是菱形． （2）证明：因为四边形是菱形， 所以， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， 由（2）知，， ， 由（2）知， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ， ， ∴， ∴， 是等边三角形， 又四边形是菱形， ， ， 即的长为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是构建相似三角形，证明三角形相似． 题型二 8 字模型 8．（内蒙古包头市东河区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷）如图，在正方形中，G为的中点，连结并延长，交边的延长线于点E，对角线交于点F，已知，则线段的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得，进而可得出，再根据相似三角形的性质可得，再根据，得出为的中位线，进而即可求出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， G为的中点， ， ， ， ， 为的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键． 9．（山西省长治市沁源县部分学校2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10．（2024年河北省中考数学模拟示范卷）如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 由题意可得：是的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出，再证明得成比例的线段即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ， 由题意可得：是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 11．（上海音乐学院实验学校2025-2026学年九年级上学期期初测试数学试题）如图，平行四边形中，E在边上，与交于点F，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．由平行四边形对边平行且相等，可得，，进而可得，再证，根据对应边长成比例，可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， 即， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中BC边上的“比中项妙点”． (1)如图①，点D是中BC边上的“比中项妙点”，若，则的长为______； (2)如图②，中，，若点D是中边上的“比中项妙点”，请直接写出的长； (3)如图③，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②若点E为边的中点，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)① 见解析；② 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，正确找出相似三角形探究线段间的关系是解题的关键． （1）根据新定义直接代入计算即可； （2）连接，根据勾股定理确定，再由题意得出，利用直角三角形中线的性质即可求解； （3）①根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，利用等量代换即可证明； ②根据题意得出，由①得：，利用相似三角形的性质确定，结合题意求解即可 【详解】（1）解：∵点D是中BC边上的“比中项妙点”， ， ∴， ∵， ∴， ∴，（负值舍去）， 故答案为：； （2）连接，如图所示： ∵， ∴， ∵点D是中边上的“比中项妙点”， ∴， 当点D为中点时，，满足条件， ∴； （3）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点” ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ②解：∵平行四边形中，E为边的中点， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13．（19-20九年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，，证得，得出 ，求出，则，由，得出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 14．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 15．（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 题型三 母子型相似 16．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 18．（21-22九年级上·安徽合肥·期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 19．（2020·安徽合肥·三模）如图，中，点分别是的中点，与点． （1）求证：； （2）求的大小； （3）若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2． 【分析】（1）先根据相似三角形的判定可得，再根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据角的和差即可得； （3）设，从而可得，再根据相似三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出a的值，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ， ， ； （2）， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，， ， 点E是AC的中点， ， ， 在和中，， ， ， 又， ， ； （3）设， 是等腰直角三角形， ， 点分别是的中点， ， 在中，， ， 由（1）知，， ，即， 解得， 在中，， ， 在和中，， ， ，即， 解得， 又， ， 解得， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 题型四 三角形内接矩形模型 21．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 22．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知：如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．求正方形的边长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设正方形的边长为，根据正方形的性质可得，，再证出四边形是矩形，则可得，，然后证出，根据相似三角形对应高的比等于相似比求解即可得． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：正方形的边长为． 23．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点E，H分别在AB，AC上．已知，． (1)求证：． (2)求这个正方形的边长与周长． (3)若四边形是矩形，且，则的长为_______． 【答案】(1)见解析 (2)边长为，周长为 (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，得到，进而得出，，即可判定； （2）设正方形的边长为，则分别表示出、，根据，根据相似三角形的性质得到关于的方程，进而解得，即可得出正方形的边长与周长； （3）与（2）相同，通过相似三角形对应高之比等于相似比列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴； （2）如图，设与交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为， 则，， ∵， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为cm，周长为cm． （3）如上图，设与交于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形、矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是运用相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比列方程求解． 题型五 一线三等角模型 24．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 25．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 26．（21-22九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 27．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 28．（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 29．（24-25八年级下·山东烟台·期末）我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． (1)如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； (2)如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； (3)平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）由，，得出； （2）作于，可证得，从而，，进而推出，进一步得出结论； （3）①在上截取，根据（2）得，从而，从而得出，，进而得出，从而； ②延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接，可证得，从而，设，根据得出，从而得出，，根据得出方程，求得，进而得出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）证明：如图， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：如图， 在上截取， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ； 如图， 延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接， 可得，， ， ， ， 设， 由知，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 题型六 手拉手模型 30．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 31．（21-22九年级上·河南周口·期末）观察猜想 (1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______． (2)类比探究 如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立 (3) 【分析】（1）利用可证明，继而得出结论； （2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：结论仍成立； 理由如下：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （3）解：； 理由如下：，， ∴， 又∵， ， ∴， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 32．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 33．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 【答案】（1）（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】（1）证即可求解；（2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解；（3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解；（4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题以“手拉手”模型为几何背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，旨在考查学生的推理论证能力和“举一反三”的能力． 题型七 对角互补相似模型 34．（20-21九年级上·山西晋城·期末）在中，，，将一直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边、或其延长线交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长）．如图1，图2、表示三角板旋转过程中的两种情形． (1)直角三角板绕点P旋转过程中，当 时，是等腰三角形； (2)直角三角板绕点P旋转到图1的情形时，求证：； (3)如图3．若将直角三角板的直角顶点放在斜边的点M处．设（m，n为正数），试判断，的数量关系． 并说明理由． 【答案】(1)0或2或或 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据是等腰三角形，分类进行讨论即可； （2）连接，首先证明，然后证明，于是证明出； （3）过M作于点G，作于点H，首先根据角之间的关系求出，进而证明出，根据相似三角形对应边成比例，得到，再求出、关于m、n的表达式，三式结合求出、之间的比例关系． 【详解】（1）解：（1）①当时，即点B和点E重合， ∵点P是的中点， ∴， ∴是等腰三角形． ②如图，当时，是等腰三角形， ∵在中，，， ∴， ， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③当时，是等腰三角形， 若点E在上，如图，则 ． 若点E在的延长线上，如图，则 ． 综上所述，当或2或或时，是等腰三角形． 故答案为：0或2或或 （2）证明：连接． ∵且， ∴， ∵P是中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． （3）解：过M作于点G，作于点H． ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即②， 同理， ∵， ∴③ ②③代入①得：． 35．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，为中点，直角三角板的直角顶点恰在边的中点处．边分别与边相交于点两点． (1)如图1，当四边形为矩形时，求对角线的长； (2)如图2，连接，当平分时，求证：； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先证明，再由斜边中线可得，最后由矩形性质可得； （2）过作交于，交于，由角平分线的性质可得，再证明即可； （3）延长至，使，连接，，，设，则，由倍长中线模型即可得到，得到，，再由勾股定理可得，，根据，可得，，最后再根据是等腰三角形分类讨论求的值即可． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵为中点， ∴， 连接，， ∵四边形为矩形 ∴； （2）证明：过作交于，交于， ∵直角三角板， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：延长至，使，连接，，，设，则， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，， 在中，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 整理得， ∴，， ∵是等腰三角形 ∴当时，，，则； 当时，与重合，此时由可得在边之外，不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴，，则； 综上所述，当是等腰三角形时，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，直角三角形斜边中线，考查的知识点比较多，难度比较大，难点在第三问，先根据倍长中线模型和勾股定理得到，． 36．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 操作二：如图3，将直角三角板从图示位置绕点顺时针旋转． （3）若，当与矩形的一边平行时，直接写出的值． 【答案】（1）；4 （2）①，理由见解析 ② （3）或或或 【分析】（1）过点P作，垂足分别为G，H，则，证明四边形是正方形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解； （2）①如图，过点P作，垂足分别为L，K，则，证明，可得，再证明，可得，从而得到，即可；②解答方法同①； （3）分四种情况讨论，即可求解 ． 【详解】解：（1）如图，过点P作，垂足分别为G，H，则， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；4 （2）①，理由如下： 如图，过点P作，垂足分别为L，K，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； ②同理①得：， ∵， ∴； （3）在矩形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 如图，当， 且点E在点P的下方时，此时， ∴； 即； 如图，当， 且点E在点P右边时， 此时， ∴， 即； 如图，当， 且点E在点P上方时， ∴； 如图，当， 且点E在点P左边时，此时， ∴； 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，涉及了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，勾股定理，利用类比思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 37．（2023·贵州铜仁·一模）点在四边形的对角线上，直角三角板绕直角顶点旋转，其边、分别交、边于点、． 操作发现：如图①，若四边形是正方形，当时，可知四边形是正方形，显然．当与不垂直时，判断确定、之间的数量关系；______．（直接写出结论即可） 类比探究：如图②，若四边形是矩形，试说明． 拓展应用：如图③，改变四边形、的形状，其他条件不变，且满足，，，时，求的值． 【答案】操作发现：；类比探究：见解析；拓展应用： 【分析】操作发现：如图2过作于，作于，则，，证明，推出，由，可得，，推出，可得结论； 类比探究：先过作于，作于，判定，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可； 拓展应用：先过作，作，并结合条件，判定，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可． 【详解】操作发现：解：如图2，结论：． 理由：过作于，作于，则，， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 类比探究：证明：如图3，过作于，作于，则，， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：解：如图4，过作，交于，作，交于，则， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴①， ∵，， ∴， ∴②， 由①②可得，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 题型八 角含半角模型 38．（2023年广西桂林市平乐县中考数学一模试题）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与的边分别交于M、N两点． (1)老师提了一个问题：试证明． 小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题． 请帮小丽继续完成证明过程． 证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结； (2)如图2，小昆另取一块与相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、． ①小昆猜想：，请帮他给出证明； ②图2中始终与相等的线段有 ； ③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论： ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）①由“”可证，可得，根据直角三角形中运用勾股定理，即可得结论； （2）①证明A，C，N，H四点共圆即可解题； ②证明，得到，然后根据等角对等边得到即可得到结论 ③连接，推导，则可得到，然后根据即可证明结论． 【详解】（1）由旋转可知：，，，， ∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∴A，C，N，H四点共圆， ∴， ∵， ∴； ②解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ， 由①可知， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：、； ③连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 39．（湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年九年级下学期期末数学试题）已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于． (1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：； (2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论： (3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)或，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，等腰直角三角板的性质可得，，根据旋转的性质可证，可得，根据即可求证； （2）分类讨论，第一种情况，当点在点左边，点在点下方，将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点，可得，再证，即可求解；第二种情况，当点在点右边，点在点上方，将绕点顺时针旋转得，同理，，可证，由此即可求解； （3）连接，运用勾股定理可得，，，根据三角形相似的判定和性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 根据直角三角板的性质可得，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：或，理由如下， 第一种情况，当点在点左边，点在点下方，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点， ∴， ∴，，，， 根据等腰直角三角板可得，， ∴， ∴， ∴平分，且， ∴，且平分，即，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点右边，点在点上方，如图所示， 将绕点顺时针旋转得， 同理，， ∴， 根据等腰直角三角版可得，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，则， 在中，， ∴， 由（2）中可得，，且， ∴，即， 解得，， ∴在中，，且， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握上述知识，合理作出辅助线，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 40．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 41．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的判定与性质证出，即可通过全等的性质解答； （2）连接，证出得到，证出得到，证出得到，通过边的比值关系转化求解即可； （3）连接，分类讨论和时两种情况，利用边的比值关系求出和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： ∵四边形是正方形， ∴，对角线与互相垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时，如图④所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 综上所述，线段的长度为：或． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点P，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（2）可得， 在上取一点P使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）【建立模型】（1）已知中，点分别在，边上，，如图（1）．求的值． 【初步应用】（2）若内接于，边落在边上，点分别在，边上，如图（2）．若，，，求的值． 【拓展提升】（3）直线与正的边，交于点，取线段的中点，连接并延长交于点，如图（3）．若，．求值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）首先证明，易得，进而可得，结合，即可获得答案； （2）作，交于点，首先证明四边形是平行四边形，易得，，进而证明，即可证明，由全等三角形的性质可得，结合，可知，，再证明，由相似三角形的性质证明，然后证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （3）过点D作，交于，则，由等边三角形的性质可得也是正三角形，再证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，即可证明，结合为的中点，易得，设，，可知，，可得，整理可得，求得即可获得答案． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）作，交于点， 在中，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点D作，交于， 则有， ∵是正三角形，则也是正三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，即：， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）图③的情况面积大；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高，然后根据题意得到正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】证明：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）如图所示， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小，则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方，此时内接正方形的面积最大． 5．（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】 （1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证： ； 【模型应用】 （2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值． 【变式拓展】 （3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度． 【答案】（1）见解析   （2）  （3）或 【分析】（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1，易证，，，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3，易证四边形是矩形，由（1）中的结论可得．设，，则，，根据勾股定理列出方程组解出x，y，问题得以解决． （3）分两种情况，①沿l折叠后点重合，过作垂线垂足为，构造矩形，由（1）的结论可得；②沿l折叠后点 重叠，过作垂线垂足为，由（1）的结论可得． 【详解】解：（1）过点作，交于，过点作，交于，如图1， 四边形是矩形， ∴，． 四边形、四边形都是平行四边形， ，． 又， ， ． 四边形是矩形， ， ， ． ， ， ， （2）过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图2，则四边形是平行四边形． ，是矩形， ，，． ， 由（1）中的结论可得 ， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 由②①得③， 解方程组，得 ， ， ． （3）①若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴； ②若沿l折叠，点重叠，设l与的交点为．则垂直，过作垂线垂足为， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在中 由探究结论可得， ∴， ∴． 所以，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $