专题04 概率的进一步认识（必备知识+7题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期北师大版

专题04 概率的进一步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用列举法求概率 熟练掌握列表法、树状图法，能准确列举出所有等可能的结果，进而计算简单随机事件的概率；能根据不同情境，选择合适的列举方法解决概率问题。 高频考点，常以解答题形式出现，结合摸球、掷骰子、抽奖等实际场景考查，注重对列举过程完整性和准确性的考查。 用频率估计概率 理解频率的稳定性，明确大量重复试验时频率可作为概率的估计值；能根据试验数据，用频率估计概率，并解决相关实际问题。 常以解答题形式考查，常结合统计图表（如折线图、表格等）呈现试验数据；强调对 “大量重复试验” 这一前提条件的理解，以及利用频率估计概率解决实际决策类问题。 概率的应用 能运用概率知识分析、解决实际生活中的问题，如游戏公平性判断、获奖概率计算、决策合理性分析等，体会概率在实际决策中的作用。 核心考点，贯穿概率实际应用类题目，在计算、决策类问题中高频出现，常与其他知识（如统计）综合考查。 知识点01 用列举法求概率 1. 列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的条件：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 用列举法求事件概率的“三步骤”： 1）求出该试验所包含的所有结果数n. 2）求出该事件所包含的结果数m. 3）利用 ，求得答案. 2. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表求概率的“三步骤”： 1）列表：分清一次试验中所涉及的两个因素，一个为行标，另一个为列标. 2）计数：通过表格的数据，分别求出等可能的结果总数n，和事件包含的结果数 m. 3）计算：代入公式，计算求出结果. 3. 树状图法 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求事件发生的概率 用画树状图法求概率的“四步骤”： 1）定：确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果. 2）画：列举每一环节可能产生的结果，得到树状图. 3）数：数出全部均等的结果数n和该事件出现的结果数m. 4）算：代入公式，计算求出结果. 知识点02 用频率估计概率 1. 频率的稳定性 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 2. 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 题型一 用直接列举法求概率 解｜题｜技｜巧 用列举法求概率的条件：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 1．（25-26九年级上·全国·随堂练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母，和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球． (1)取出的个小球上恰好有个、个和个元音字母的概率分别是多少？ (2)取出的个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 【答案】(1)取出的个小球上恰好有个元音字母的概率是，恰好有个元音字母的概率是，恰好有个元音字母的概率是； (2)取出的个小球上全是辅音字母的概率是． 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题关键是正确理解题意． （1）根据题意列举所有可能，再用概率公式计算即可； （2）根据题意列举所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，列举所有可能如下： ，，，，，，，，，，，， 共有种情况， 元音字母有：，，， 辅音字母有：，，，， 取出的个小球上恰好有个元音字母：，，，，，共种情况， 取出的个小球上恰好有个元音字母：，，，，共种情况， 取出的个小球上恰好有个元音字母：，共种情况， 取出的个小球上恰好有个元音字母的概率为， 取出的个小球上恰好有个元音字母的概率为， 取出的个小球上恰好有个元音字母的概率为， 答：取出的个小球上恰好有个元音字母的概率是，恰好有个元音字母的概率是，恰好有个元音字母的概率是． （2）解：由（1）可知，共有种情况， 取出的个小球上全是辅音字母：，，共种情况， ∴取出的个小球上全是辅音字母的概率为， 答：取出的个小球上全是辅音字母的概率是． 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 【答案】能让灯泡发光的概率为． 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法表示随机事件等可能结果是解题的关键． 根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算方法即可求解． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个的情况有，，共3种情况， 其中能让灯泡发光的是， ∴能让灯泡发光的概率为． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了列举法求概率． （1）根据题意列举出所有等可能结果即可； （2）利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件的所有等可能的结果有，，，，，，，，，． （2）解：由（1）得基本事件的总数为， 其中抽取的3件产品中没有次品的结果有种． ∴抽得的3件产品中至少含1件次品的概率为． 4．（2024·江苏南京·三模）用抽签的方法从水平相当的3名同学甲、乙、丙中选1名去参加校文化节，事先准备3张相同的小纸条依次画上A、B、C．把3张纸条折叠后放入一个不透明的盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，摸得画A的纸条的同学去参加校文化节． 小磊说：先抽的人中签的概率大，后抽的人中签的概率小． 你同意他的说法吗？请说明理由． 【答案】不同意，理由见详解 【分析】本题考查了列举法求概率，先利用列举法不重不漏地列举出所有可能的结果数，再从中选出符合事件A结果数目，求出概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 先列出所有的等可能结果数，其中甲、乙、丙中签（分别记为事件）各有2种结果，故． 【详解】解：不同意， 不妨按照甲、乙、丙的顺序抽签， 共有这6种等可能的结果数，其中甲、乙、丙中签（分别记为事件）各有2种结果， ∴， ∴甲、乙、丙中签概率相同． 题型二 用列表法求概率 解｜题｜技｜巧 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件包含的各种情况出现的次数和方式，并求出该事件概率的方法. 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率： （1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为； （2）解：根据题意，列出表格如下： 美 丽 灵 武 美 丽美 灵美 武美 丽 美丽 灵丽 武丽 灵 美灵 丽灵 武灵 武 美武 丽武 灵武 一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种， 所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率为． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“塔”，“山”，“石”，除文字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，摸到文字恰好是“石”的概率 (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其文字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球记录其文字，求两次记录的文字有“塔”、“山”的概率．（要求列表或画树状图说明） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式和列表法求概率； （1）根据概率公式直接求解； （2）列表，找到所有情况及需要情况求解即可得到答案； 【详解】（1）解：从布袋里任意摸出一个小球，摸到文字恰好是“石”的概率为； （2）解：列表如下， 塔 山 石 塔 塔塔 山塔 石塔 山 塔山 山山 石山 石 塔石 山石 石石 共有9种等可能结果，其中两次记录的文字有“塔”、“山”的有2种， 两次记录的文字有“塔”、“山”的概率为：． 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）在一个布袋中装有一个黄球、两个白球（它们只有颜色不同），从中摸出两个球，求两个球都是白球的概率？（请用画树状图或列表法分析求解） 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】依题意列表得： 二 一 黄 白 白 黄 —— （黄，白） （黄，白） 白 （白，黄） —— （白，白） 白 （白，黄） （白，白） —— ∴共有6种等可能的结果，其中两个球都是白球的有2种， ∴（两个白球）． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）某校数学组准备了4个探究活动．活动1：在具体情境中探究抛物线模型；活动2：用变换设计图案；活动3：探究圆周角与圆心角的关系；活动4：探究图形与坐标的关系．九（1）班数学老师将这4个活动分别写在4张一样的卡片上，并把卡片放进箱子里，摇匀后每个学生都依次从中随机抽取1张，抽完后放回． (1)该班学生小明抽到活动2是________事件；（填序号） A．不可能    B．必然        C．随机 (2)请用列表的方法求小明和刘红抽到不同活动的概率． 【答案】(1)C； (2)． 【分析】（1）直接根据事件的定义求解即可； （2）设四个活动分别为、、、，根据题意，可以列出如下的表格，从表格中找到两个人不在同一活动的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）该班学生小明抽到活动2是随机事件； 故选：C. （2）设4个活动分别为A，B，C，D，列表如下： A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表可知，共有16种等可能的结果，其中小明和刘红抽到不同活动的结果有12种， （小明和刘红抽到不同活动）． 【点睛】本题考查了列举法求概率，正确的运算是解题的关键． 题型三 用树状图法求概率 解｜题｜技｜巧 用树状图可将试验结果像树枝分叉一样一层一层表示出来，每个分支对应一种可能结果.这样由“树根”到“树梢”能帮助我们有序地思考，不重复、不遗漏地得出所有结果. 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查，请用画树状图或列表的方法求甲组抽到 A 小区同时乙组抽到C小区的概率． 【答案】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率．根据题意列出树状图，找到甲组抽到 A 小区同时乙组抽到C小区的情况数和所有等可能的情况数，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中甲组抽到A小区同时乙组抽到C小区的结果只有1种， ∴甲组抽到A小区同时乙组抽到C小区的概率为 ． 10．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． (1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ (2)先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，一元二次方程根的判别式，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）根据判别式可得，且，再画树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到满足，且的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个小球，每个小球被摸出的概率相同，且数字是奇数的小球有2个， ∴从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是奇数的概率为； （2）解：∵a，b能使有两个实数根成立， ∴， ∴，且， 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中满足，且的结果数有3种， ∴a，b能使有两个实数根成立的概率为． 11．（24-25九年级上·河南开封·期末）小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． (1)妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． (2)请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求概率即可． （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有四个礼品盒， ∴妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是； （2）解：根据题意画树状图如下， 由树状图得共有种等可能的结果，其中剩下的是A，D两款摆件的结果有种， 剩下的是A，D两款摆件的概率是． 12．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为； （2）解：画树状图下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种， 则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为． 题型四 几何概型 解｜题｜技｜巧 解决几何概型问题的关键是根据几何概型问题的实际背景准确找出事件的几何度量，然后利用几何概型公式（随机事件A的概率(常用的几何度量值有长度、面积)）求解.解这类问题时，应选准观察角度，把总的基本事件及设问中的事件转化为与之对应的几何度量. 13．（23-24九年级上·广东东莞·期末）玩具厂商生产了一款由大小相等的小正方形格子构成的飞镖游戏板，还对其设计了两种玩法．一种是向飞镖板（如图1）随机投掷一枚飞镖，另一种是将飞镖板对折（如图2），并先后随机投掷两枚飞镖．请判断这两种玩法中飞镖投中黑色区域的概率是否相等，并说明理由． 【答案】不相等．理由见解析 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．先直接根据概率公式求出投掷一枚飞镖投中黑色区域的概率，然后再用列表法求出先后随机投掷两枚飞镖投中黑色区域的概率，进行比较即可． 【详解】解：不相等．理由如下： 投掷一枚飞镖投中黑色区域的概率为：； 先后投掷两枚飞镖的结果可列表为： 白 白 白 黑 白 (白，白) (白，白) (白，白) (白，黑) 白 (白，白) (白，白) (白，白) (白，黑) 白 (白，白) (白，白) (白，白) (白，黑) 黑 (黑，白) (黑，白) (黑，白) (黑，黑) ∵共有16种等可能的结果，飞镖投中黑色区域的结果有7种， ∴先后随机投掷两枚飞镖投中黑色区域的概率为：， ∵， ∴这两种玩法对飞镖投中黑色区域的概率不相等. 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求    (1)第一次指针落在白色区域的概率为__________． (2)用画树状图或列表法求指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是： （1）根据白色区域所占比例，利用概率公式可得答案． （2）将转盘分成4个圆心角为的部分，画树状图得出所有等可能的结果数以及指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：转盘灰色扇形和白色扇形的圆心角分别为和， 白色扇形区域面积是总区域的， 第一次指针落在白色区域的概率是． （2）如图，将转盘分成4个圆心角为的部分，    画树状图如下：    共有16种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的结果有6种， 指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率为． 15．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) (4)不公平，见解析 【分析】（1）根据甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份，再根据概率公式即可得出答案； （2）根据甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份，再根据概率公式即可得出答案； （3）根据乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份，然后根据概率公式即可得出答案； （4）根据概率公式先求出小明和小颖转出的颜色为红色的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲盘被平均分成6等份，其中红色有1等份， 小明转出的颜色为红色的概率为； 故答案为：； （2）解：甲盘被平均分成6等份，其中黄色有3等份， 小转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （3）解：乙盘被平均分成4等份，其中黄色有2等份， 小颖转出的颜色为黄色的概率为； 故答案为：； （4）解：不公平， 因为小明转出的颜色为红色的概率为，小颖转出的颜色为红色的概率为， 而， 所以不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．（21-22七年级下·山东淄博·期中）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)2个，理由见解析 【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得． 【详解】（1）解：图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个， ∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是， 故答案为：； （2）解：涂黑2个； ∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为， ∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个， ∴还需要涂黑2个； 如图所示： 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率． 题型五 利用频率估计概率 解｜题｜技｜巧 频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在;而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化.当试验的重复次数充分大时，频率在概率附近摆动.为了求出随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计概率. 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）由表格的数据可得， “摸到红球”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）(个)， 答：除红球外，还有大约个其它颜色的小球． 18．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 19．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ． (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95 (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05 (3)46元 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法： （1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）根据6次次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣合格的频率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95，即可； （3）用2乘以被抽检出一件不合格产品的数量，即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：475，0.95 （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计衬衣合格的概率为0.95， ∴估计衬衣不合格的概率为 故答案为0.05． （3）解：（元）， 即估计要在他奖金中扣除46元材料损失费． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这种花卉成活9000棵；②估计还要移植100000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用10000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵）， 答：估计这种花卉成活9000棵； ②（棵）， 答：估计还要移植100000棵． 题型六 游戏公平性 解｜题｜技｜巧 游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 21．（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率的计算与游戏公平性的判断，具体涉及以下知识点：等可能事件概率的计算，游戏公平性的标准，轴对称图形的概念应用，理解这些是计算相关概率的关键前提． 分别计算出小华获胜和妹妹获胜的概率，通过找出妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的所有情况，来计算小华获胜的概率；用总情况数减去小华获胜的情况数得到妹妹获胜的情况数，进而计算妹妹获胜的概率 【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章， 所以总共有 6 种等可能的结果． 通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种， 小华获胜的概率：． 妹妹获胜的概率：． 因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率， 所以此游戏规则不公平． 22．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 23．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 【答案】(1) (2)不公平，规则见解析 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； 修改使双方获胜的概率相等即可． 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 一共有6种等可能结果，其中两个数的积为2的倍数有4种结果， 所以，积为2的倍数， 因此小王获胜的概率是 （2）解：不公平， 游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加， 如果和为2的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜答案不唯一 24．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个 (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是根据概率求数量和游戏公平性的判断． （1）根据概率计算出各小球的数量即可； （2）列表求出甲、乙获胜的概率，然后比较解答即可． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 题型七 概率中的“放回”与“不放回”问题 解｜题｜技｜巧 对于“放回”和“不放回”的题目，易错点在于不知道如何判断是“放回”还是“不放回”，只要判断正确，然后结合树状图等方法就能迎刃而解. 25．（24-25九年级上·全国·期末）一个不透明的袋子中装有两个黄球和两个红球，任意摸出一球后放回，再任意摸出一球，求两次都摸到红球的概率． 【答案】 【分析】通过列表将两次摸球的所有组合情况呈现出来，然后找出满足两次都摸到红球的组合数量，最后依据概率公式计算出两次都摸到红球的概率．本题主要考查利用列表法求概率，熟练掌握用列表法不重不漏地列出所有等可能的结果，并根据概率公式准确计算是解题的关键． 【详解】解：设两个黄球为黄、黄，两个红球为红、红 ，列表如下： 第一次摸球第二次摸球 黄 黄 红 红 黄 （黄，黄） （黄，黄） （黄，红） （黄，红） 黄 （黄，黄） （黄，黄） （黄，红） （黄，红） 红 （红，黄） （红，黄） （红，红） （红，红） 红 （红，黄） （红，黄） （红，红） （红，红） 从表中可以看出，总共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有种． ∴两次都摸到红球的概率． 故答案为：． 26．（22-23九年级上·全国·期中）将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； (2)从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是________； (3)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）根据概率公式计算即可得解； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：2，3，4，5共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为； 故答案为：； （2）解：2，3，4，5共有4张牌，从中随机抽出两张牌，结果有：和，和，和，和，和，和，共种情况，其中两张牌面数字的和是5的情况有种为和， 故从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是； 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种可能结果：22，23，24，25，32，33，34，35，42，43，44，45，52，53，54，55，其中恰好是4的倍数的共有4种，即24，32，44，52， 所以两位数恰好是4的倍数的概率是． 27．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平． 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 28．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 【答案】(1)0.4 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法，列表法与树状图法求概率，理解频率和概率的意义以及用频率估计概率的方法是解决问题的关键． （1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论； （2）先求出袋中红白球的个数，再列表得出所有等可能的结果，继而利用概率公式求解即可． 【详解】（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （2）∵袋子中红球的个数约为（个）， ∴袋子中白球有3个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有20种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有12种结果， ∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为： 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 29．（2024·广东广州·中考真题）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 (1)求组同学得分的中位数和众数； (2)现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 【答案】(1)组同学得分的中位数为分，众数为分； (2) 【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可． 【详解】（1）解：由题意可知，每组学生人数为10人， 中位数为第5、6名同学得分的平均数， 组同学得分的中位数为分， 分出现了两次，次数最多， 众数为分； （2）解：由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名， 令组的2名同学为、，组的2名同学为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种， 这2名同学恰好来自同一组的概率． 30．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 31．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 【答案】(1) (2)填表见解析， 【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可； （2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ，，， ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：； （2）解：补全表格如下： ∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种， ∴和为单项式的概率为． 【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键． 32．（2024·江苏苏州·中考真题）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； (2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 33．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1)0.3 (2) 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； （2）解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 34．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由 【答案】(1) (2)应往袋中加入黄球，见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解． 【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果． 记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种， 所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为． （2）他应往袋中加入黄球． 理由如下： 记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新 红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新 黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新 黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新 黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新 新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③ 共有种等可能结果． （）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率； （）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率； 因为，所以，所以他应往袋中加入黄球． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键． 35．（2023·辽宁丹东·中考真题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】(1)50，7 (2)条形统计图见解析， (3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 (4) 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：50，7； （2）解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； （4）解：根据题意，列出表格如下：    第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 36．（2023·四川资阳·中考真题）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500，补全图形见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． （1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图； （2）用乘以的人数所占比例即可解答； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【详解】（1）解：本次调查共抽取了（名）． 选项B的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）解：A所在扇形的圆心角度数为； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 概率的进一步认识（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用列举法求概率 熟练掌握列表法、树状图法，能准确列举出所有等可能的结果，进而计算简单随机事件的概率；能根据不同情境，选择合适的列举方法解决概率问题。 高频考点，常以解答题形式出现，结合摸球、掷骰子、抽奖等实际场景考查，注重对列举过程完整性和准确性的考查。 用频率估计概率 理解频率的稳定性，明确大量重复试验时频率可作为概率的估计值；能根据试验数据，用频率估计概率，并解决相关实际问题。 常以解答题形式考查，常结合统计图表（如折线图、表格等）呈现试验数据；强调对 “大量重复试验” 这一前提条件的理解，以及利用频率估计概率解决实际决策类问题。 概率的应用 能运用概率知识分析、解决实际生活中的问题，如游戏公平性判断、获奖概率计算、决策合理性分析等，体会概率在实际决策中的作用。 核心考点，贯穿概率实际应用类题目，在计算、决策类问题中高频出现，常与其他知识（如统计）综合考查。 知识点01 用列举法求概率 1. 列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的条件：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 用列举法求事件概率的“三步骤”： 1）求出该试验所包含的所有结果数n. 2）求出该事件所包含的结果数m. 3）利用 ，求得答案. 2. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表求概率的“三步骤”： 1）列表：分清一次试验中所涉及的两个因素，一个为行标，另一个为列标. 2）计数：通过表格的数据，分别求出等可能的结果总数n，和事件包含的结果数 m. 3）计算：代入公式，计算求出结果. 3. 树状图法 当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求事件发生的概率 用画树状图法求概率的“四步骤”： 1）定：确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果. 2）画：列举每一环节可能产生的结果，得到树状图. 3）数：数出全部均等的结果数n和该事件出现的结果数m. 4）算：代入公式，计算求出结果. 知识点02 用频率估计概率 1. 频率的稳定性 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 2. 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 题型一 用直接列举法求概率 解｜题｜技｜巧 用列举法求概率的条件：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 1．（25-26九年级上·全国·随堂练习）甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母，和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球． (1)取出的个小球上恰好有个、个和个元音字母的概率分别是多少？ (2)取出的个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）在如图所示的电路图中，随机闭合开关，，中的两个，请用列表法或画树状图法求出能让灯泡发光的概率． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 4．（2024·江苏南京·三模）用抽签的方法从水平相当的3名同学甲、乙、丙中选1名去参加校文化节，事先准备3张相同的小纸条依次画上A、B、C．把3张纸条折叠后放入一个不透明的盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，摸得画A的纸条的同学去参加校文化节． 小磊说：先抽的人中签的概率大，后抽的人中签的概率小． 你同意他的说法吗？请说明理由． 题型二 用列表法求概率 解｜题｜技｜巧 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件包含的各种情况出现的次数和方式，并求出该事件概率的方法. 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“塔”，“山”，“石”，除文字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，摸到文字恰好是“石”的概率 (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其文字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球记录其文字，求两次记录的文字有“塔”、“山”的概率．（要求列表或画树状图说明） 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）在一个布袋中装有一个黄球、两个白球（它们只有颜色不同），从中摸出两个球，求两个球都是白球的概率？（请用画树状图或列表法分析求解） 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）某校数学组准备了4个探究活动．活动1：在具体情境中探究抛物线模型；活动2：用变换设计图案；活动3：探究圆周角与圆心角的关系；活动4：探究图形与坐标的关系．九（1）班数学老师将这4个活动分别写在4张一样的卡片上，并把卡片放进箱子里，摇匀后每个学生都依次从中随机抽取1张，抽完后放回． (1)该班学生小明抽到活动2是________事件；（填序号） A．不可能    B．必然        C．随机 (2)请用列表的方法求小明和刘红抽到不同活动的概率． 题型三 用树状图法求概率 解｜题｜技｜巧 用树状图可将试验结果像树枝分叉一样一层一层表示出来，每个分支对应一种可能结果.这样由“树根”到“树梢”能帮助我们有序地思考，不重复、不遗漏地得出所有结果. 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查，请用画树状图或列表的方法求甲组抽到 A 小区同时乙组抽到C小区的概率． 10．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． (1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ (2)先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 11．（24-25九年级上·河南开封·期末）小颖去洛阳旅游时购买了A，B，C，D四款摆件，如图所示．每款摆件均装在一个不透明的礼品盒内，且这四个礼品盒完全相同．小颖先让妈妈从四盒礼品中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走． (1)妈妈拿走的礼品盒里装的是A款摆件的概率是 ． (2)请用画树状图法或列表法求妈妈和爸爸拿走后剩下的是A，D两款摆件的概率． 12．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 题型四 几何概型 解｜题｜技｜巧 解决几何概型问题的关键是根据几何概型问题的实际背景准确找出事件的几何度量，然后利用几何概型公式（随机事件A的概率(常用的几何度量值有长度、面积)）求解.解这类问题时，应选准观察角度，把总的基本事件及设问中的事件转化为与之对应的几何度量. 13．（23-24九年级上·广东东莞·期末）玩具厂商生产了一款由大小相等的小正方形格子构成的飞镖游戏板，还对其设计了两种玩法．一种是向飞镖板（如图1）随机投掷一枚飞镖，另一种是将飞镖板对折（如图2），并先后随机投掷两枚飞镖．请判断这两种玩法中飞镖投中黑色区域的概率是否相等，并说明理由． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求    (1)第一次指针落在白色区域的概率为__________． (2)用画树状图或列表法求指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率． 15．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图是一大一小的两个可以自由转动的转盘，甲盘被平均分成6等份，乙盘被平均分成4等份，每个转盘均被涂上红、黄、蓝三种颜色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色，小明与小颖参与游戏；小明转动甲盘，小颖转动乙盘．    (1)小明转出的颜色为红色的概率为______； (2)小明转出的颜色为黄色的概率为______； (3)小颖转出的颜色为黄色的概率为______； (4)两人均转动转盘，如果转出的颜色为红色，则胜出，你认为该游戏公平吗？为什么？ 16．（21-22七年级下·山东淄博·期中）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 题型五 利用频率估计概率 解｜题｜技｜巧 频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在;而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化.当试验的重复次数充分大时，频率在概率附近摆动.为了求出随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计概率. 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 (1)上表中的 ， ； (2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 18．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 19．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ． (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 题型六 游戏公平性 解｜题｜技｜巧 游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 21．（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 22．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 23．（24-25九年级上·广东潮州·期末）如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． (1)用列表法或画树状图求小王获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 24．（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 题型七 概率中的“放回”与“不放回”问题 解｜题｜技｜巧 对于“放回”和“不放回”的题目，易错点在于不知道如何判断是“放回”还是“不放回”，只要判断正确，然后结合树状图等方法就能迎刃而解. 25．（24-25九年级上·全国·期末）一个不透明的袋子中装有两个黄球和两个红球，任意摸出一球后放回，再任意摸出一球，求两次都摸到红球的概率． 26．（22-23九年级上·全国·期中）将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； (2)从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是________； (3)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 27．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． 28．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，在一个不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的红球和白球共5个，组员小华做摸球试验，他将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再放回布袋中，不断重复上述过程．下表是试验中的部分统计数据． 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，估计这个球恰好是红球的概率约为________（保留一位小数）； (2)从这个布袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图法或列表法求摸出的两个球恰好是“一红一白”的概率． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 29．（2024·广东广州·中考真题）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）： 组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95 组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96 (1)求组同学得分的中位数和众数； (2)现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率． 30．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 31．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 32．（2024·江苏苏州·中考真题）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； (2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 33．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 34．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由 35．（2023·辽宁丹东·中考真题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 36．（2023·四川资阳·中考真题）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； (2)求A所在扇形的圆心角度数； (3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $