专题03 一元二次方程（必备知识+9题型24类型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期北师大版

专题03 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的相关概念 能准确表述一元二次方程的定义，识别方程的一般形式及各项系数 基础必考点，多在选择题、填空题中考查概念辨析 解一元二次方程 熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解方程的方法，并能根据方程特点选择恰当方法求解 高频考点，在各种题型中都有涉及，是解决一元二次方程问题的核心技能 根的判别式 理解根的判别式与一元二次方程根的情况之间的关系，能运用判别式判断方程根的情况，以及解决与根的存在性相关的问题 重要考点，常与方程的求解、函数等知识结合，在选择题、填空题、解答题中考查 一元二次方程根与系数的关系 掌握根与系数的关系（韦达定理），并能运用该关系解决已知方程的根求代数式的值、构造新方程等问题 重要考点，常与代数式求值、函数等知识综合，在解答题中考查 一元二次方程与实际问题 能将实际问题中的等量关系转化为一元二次方程，求解并对结果的合理性进行检验 高频考点，常以实际生活中的问题（如增长率、面积问题等）为背景，在解答题中考查 知识点01 一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 3. 一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程的根；反之，它就不是一元二次方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 知识点02 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 2. 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 【解读】 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 典例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 方程两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 即 四开 开平方求根 利用平方根的定义直接开平方 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【解读】求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 方法 典例 将一元二次方程整理成一般形式； 将原方程化为一般形式： 确定公式中a、b、c的值； （易错点：忽略系数前面的符号） 求出的值； 当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 4. 因式分解法 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 典例 移项 将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0 化积 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 原方程变形为 转化 令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程 求解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 知识点03 根的判别式 定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【解读】 1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定. 2）一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 3）已知一元二次方程有两个根，隐含着. 知识点04 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 知识点05 一元一次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案. 题型一 一元二次方程的定义 解｜题｜技｜巧 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 【易错】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 类型一 一元二次方程的识别 1．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）下列方程：①； ②； ③；④； ⑤中，一元二次方程的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐个判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②当时，是一元二次方程； ③由得，不是一元二次方程； ④是一元二次方程； ⑤不是整式方程，故不是一元二次方程， 故①④是一元二次方程，共2个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 3．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 类型二 根据一元二次方程的定义求参数 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 题型二 一元二次方程根的应用 解｜题｜技｜巧 1）判断已知值是否为方程的根:分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是. 2）已知方程的根求字母的值: 将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解. 类型一 判断已知值是否为方程的根 7．（21-22九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 类型二 已知方程的根求字母的值 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程得到，再解关于a的方程即可得到答案． 【详解】解：将代入一元二次方程， 得， 解得：， 故答案为：1． 11．（19-20九年级上·广东惠州·阶段练习）已知是方程的一根，则另一根为 ，c为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解及因式分解法解一元二次方程，理解概念，掌握因式分解的技巧正确计算是解题关键．将代入原方程求出c，再利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：把代入方程，得， ∴， ∴原方程为， 解得， 即另一根为． 故答案是：；． 12．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的意义． 将方程的根代入方程求参数，然后进行验证即可． 【详解】解：将代入得， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 类型三 已知方程的根求代数式的值 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查一元二次方程的根及求代数的值，根据a是方程的解可求出，将化为即可代值计算出答案． 【详解】若a是方程的解， 则， ∴， ∴， 故答案为：2023． 14．（21-22九年级上·四川内江·期中）已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握一元二次方程解的意义是解题关键．根据方程的解代入方程得出，即，再整体代入计算求值即可； 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：0； 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是、，那么，． 根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将变形后得到，代入求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ，， ， ∴ 故答案为：． 类型四 估算一元二次方程的解 16．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 17．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 【答案】 【分析】看0在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间． 【详解】解：， 当时，随增大而减小， 根据表格得，当时，，即， ∵0距近一些， ∴方程的一个近似根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 题型三 解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 类型一 选用合适的方法解一元二次方程 18．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程： (1) (2) (3)解方程， 某同学的解题步骤如下： 解：①         ②          ③ ④ 方程无实数根⑤ ①问：这位同学解方程过程中从第______步开始写错了； ②请你帮他将方程的正确解题过程完整的书写出来． 【答案】(1)，； (2)，； (3)③；②，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先整理，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）①根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； ②根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ，； （2）解： ， ，， ，； （3）解：①根据一元二次方程的解法可知两边同时加，③开始出现了错误． 故答案为：③； ②解方程， 某同学的解题步骤如下： 解：①         ②          ③ ④ ， ， ，． 19．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）解方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）根据公式法求解即可； （3）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：，； （2）解： ， ， ， ∴； （3）解： ， 或 解得：，． 20．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 21．（24-25九年级上·青海西宁·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接平开方法、公式法，配方法，因式分解法是解题的关键． （1）直接用开平方法求解即可； （2）用公式法求解，先求得，得出方程无解即可； （3）用配方法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解：， ， ∴， ∴方程没有实数根； （3）解：， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， 或， ，． 类型二 一元二次方程拓展解法-换元法 22．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)， 【分析】（1）利用整体代换的思想把原一元二次方程化简单的一元二次方程； （2）用直接开平方法解关于的方程，然后求出对应的的值得到原方程的解： （3）先把原方程变形为，令，则原方程可化为，再解关于的方程得到，，然后计算出对应的的值即可． 本题考查了换元法解一元二次方程以及解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】（1）解：依题意，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想； 故选：C； （2）解：∵， ∴， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，； （3）解：原方程变形为， 令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为，． 24．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 类型三 一元二次方程拓展解法-绝对值方程 25．（2022-2023学年湘教版九年级上册数学期中复习试卷）先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解含有绝对值符号的一元二次方程，根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】解：当时，， ∴， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ∴， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 26．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 类型四 一元二次方程拓展解法-高次/分式/无理方程 27．（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1)；；； (2)， 【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换； （1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可； （2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可； 【详解】（1）设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为：；；；． （2）设，则有， 原方程可化为：， 解得（舍）或， ， ， 解得或； 经检验：，是原方程的解． 28．（20-21九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设， 则原方程换元为． ， 或， 解得，， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观，难度适中．同时也考查了无理方程的解法． （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，把原方程化为，然后求解，同时注意． 【详解】（1）解：设，则原方程可变形为， ， 或． 当时，，； 当时，，． ∴原方程的解为，，，． （2）解：设，则， 所以原方程可化为， ， 或（舍去）． 当时，． 两边平方，得． ． ． ，． 经检验，，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 题型四 配方法的应用 类型一 利用配方法求代数式的最值 解题方法：此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方，再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系. 29．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是4． 【详解】解：， ，则， ， ， ∴（当时取等号）， 则， 当时，代数式有最小值等于4， 故答案为：4． 31．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3） ， ， ， 当时，代数式有最大值． 类型二 利用配方法比较大小 解题方法：此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方，再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系. 32．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究： （1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用： （2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）利用配方法，将原式变形为，即可解答； （2）利用作差法，再将计算的结果变形，即可解答． 【详解】解：（1） ， ，， ∴无论x取何值，代数式的值一定是负数； （2） 理由：由题意，得，， ， ，即， . 类型三 用配方法解决多元二次方程问题 解题方法：用配方法将条件式变形为两个完全平方和的形式，再利用“两个非负数之和为0，则两者均为0”这个结论解题. 34．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可． 【详解】， ， ， ，， 边长c的范围为． 边长c的值为奇数， ， 的周长为． 故答案为8． 【点睛】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． 35．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 36．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 题型五 一元二次方程根的判别式 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【易错点】 1）根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围时，若二次项系数含有所求的字母参数，则不要忽略隐含条件a≠0，否则这个参数的取值范围会增大，导致解题错误. 2）对于形如的方程有实数根的问题，要从a=0和a≠0两个方面去考虑. 类型一 不解方程，由根的判别式的正负性可直接判定根的情况 37．（25-26九年级上·全国·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 38．（24-25九年级上·福建福州·期末）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，则原方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，则原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，则原方程无实数根，符合题意； 故选：D． 39．（24-25九年级上·四川资阳·期中）关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，，，， ∴ ， 由于，因此， 即对所有实数恒成立． 因此，方程总有两个不相等的实数根， 故选：B． 类型二 根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围 40．（2025·山东·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，时，方程有两个不相同的根；时，方程有两个相同的根；时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根，由，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 41．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的整数值可以为 （填一个）． 【答案】答案不唯一（且的整数），如4 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知有实根即为根的判别式大于等于0． 根据一元二次方程根的定义及判别式即可求解 【详解】解：依题意可得 ，解得且， 故答案为：4（答案不唯一） 42．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得且，再求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得． 故答案为：2． 43．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握是解决问题的关键．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根． 根据方程无实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 类型三 应用判别式证明方程根的情况 44．（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 【答案】见详解 【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系． 分类讨论：当，即，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当，即，计算判别式得到，利用得到，则根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，然后可判断不论取何值，方程总有实数根； 【详解】证明：当，即， 方程变形为， 解得； 当，即 ， 由于，则， 所以方程有两个不相等的实数根，所以不论取何值，方程总有实数根． 45．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2)，方程的另一个根为 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式计算解答； （2）把代入原方程，解得k的值．再解方程求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 不论为何值总有，即， 所以，不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得：，解得：． 解方程得：，． 所以方程的另一个根为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识点是解题的关键． 46．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由求解即可． 【详解】证明： ，，， ， 无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 类型一 不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数 47．（24-25九年级上·全国·期末）若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．可设另一个根为t，根据根与系数关系得到，然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设另一个根为t， 根据题意得， 所以， 故选：C． 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 49．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据关于x的一元二次方程有一个根的值是，可以得到，然后求解即可． 【详解】解：方程有一个根是 ， 解得． 故答案为：． 类型二 不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求含、的代数式的值 50．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解；∵ ∴， ∴ 故答案为：11 51．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知是一元二次方程的两个不相等实数根，则代数式的值是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可．根据方程根的定义，分别把，代入方程可得，，再把代数式变形代值则可． 【详解】解： 是一元二次方程的两个不相等实数根， ，，， ，， ． 故答案为：36 52．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了根与系数的关系； （1）先利用根与系数的关系得到，，利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：，， 原式； （2）解：． ． 类型三 已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围 53．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）首先判断出两根均大于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵， ∴． 54．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 55．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后求解即可； （2）由题意易得，然后根据完全平方公式可得，进而代入进行求解即可 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：m的值为． 题型七 一元二次方程与实际问题 类型一 两两碰面类问题 56．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 【答案】这次会议到会的人数为9人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这次会议到会的人数为x人，则每个人都要与人握手一次，且相同两人之间的握手只算作一次，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为9人． 57．（24-25九年级上·云南红河·期中）根据题意列出方程或函数并解答． (1)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ (2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)共有10个队参加比赛 (2)每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设每件涨价x元，则每件的利润是元，所售件数是件，总利润为y；设每件降价a元，则每件的利润是元，所售件数是件，总利润为w；根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】（1）解：设共有x个队参加比赛， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：共有10个队参加比赛； （2）解：解：设涨价x元，利润为y， 则 ， 因此当时，y有最大值6250； 元， 即每件定价为65元时利润最大，最大值6250； 设每件降价a元，总利润为w， 则 ， 因此当时，w有最大值6125， 即每件定价为57.5元时利润最大，最大值6125； 综上所知每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250． 类型二 变化率问题 58．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）年我国新增高效节水灌溉面积万，如果要使年至年三年新增高效节水灌溉面积总和为万，那么年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为． 59．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【答案】(1)这两年粮食产量的平均增长率约为； (2)预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及近似数，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年粮食产量的平均增长率为，根据年和年我国粮食产量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据题意列式计算，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两年粮食产量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为； （2）解：（万亿斤）， ， 答：预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 类型三 销售类问题 60．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天元的利润． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为元，销售份数为份， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 61．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每涨价1元，日销售量将减少，现该商场要保证每天盈利元， 同时又要使顾客得到实惠，那么涨价之后，每天的销售量必须达到多少？ 【答案】每天的销售量必须达到 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．理解题意列出正确的方程是解题的关键． 先设出涨价的金额，然后根据每千克的盈利和销售量的变化关系列出方程，求解出涨价的金额，再根据涨价金额求出销售量即可． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 解得，， 根据题意应选择较小的涨价金额，即， 将代入， 得到， 答：每天的销售量必须达到． 类型四 几何图形类问题 62．（24-25九年级上·全国·期中）学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设，则；，则，求解之后根据题中条件取舍，最后可得出的值． 【详解】解：设， 则，， 则， 解得：或（舍去）, ∵, ∴不合题意，舍去， ∴ ∴当长度是时，矩形花园的面积为． 63．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 类型五 动态几何问题 64．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 65．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 题型八 本章涉及的新定义类问题 66．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用： (1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 【答案】(1)方程②是方程①的倒根方程 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及题目所给倒根方程的定义． （1）分别求出两个方程的解，根据倒根方程的定义进行判断即可； （2）先求出的根，再求出其根的倒数，最后根据倒根方程的定义即可解答． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ②， ， ， ． ∴方程②是方程①的倒根方程； （2）解：， ， ， ， ∴，， ∴方程的倒根方程为， 整理得：． 67．（2020·河北·模拟预测）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ，即， ∴ 解得：，， ∴的值为； （2）解：∵的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 题型九 本章涉及的阅读材料类问题 68．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 69．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料后解答问题： 材料1：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根，∴，，∴ ． 材料2：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以，即：有最小值1，此时；同样，因为，所以，即有最大值6，此时． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)拓展提升：当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ． 【答案】(1)3， (2) (3)，大， 【分析】（1）依据题意，由一元二次方程的两个根为和，从而可得，，进而可以得解； （2）依据题意，由一元二次方程的两根分别为m，n，从而，，，进而代入计算可以得解； （3）依据题意得，，结合，从而，则，进而可得当当时，代数式有最大值为，进而可以得解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为和， ∴， 故答案为：3；． （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴，， ∴， （3）解：由题意得， 又∵ ∴ ∴ ∴当时，代数式有最大值为． 故答案为：，大，． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、分式的化简求值、根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 70．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【答案】【理解应用】② 【类比迁移】 【拓展应用】；3；1或 【分析】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：； [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或． 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 2．（23-24九年级上·湖北·期中）m为何值时，方程有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？ 【答案】，负根的绝对值大 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，欲保证方程有一个正根，一个负根，则必须保证，且两根之积小于零．欲比较方程的正根与负根绝对值的大小，可以比较两根之和与零的关系．若两根之和大于零，则正根大于负根的绝对值，反之则负根的绝对值大于正根． 【详解】解：方有一个正根，一个负根的条件为： 且， 解得， 根据两根之和公式可得， 又∵， ∴， 即此时负根的绝对值大． 3．（24-25九年级下·福建南平·期中）已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再证明，根据（1）所证明的结论可得，则，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵实数m、n满足，，且， ∴实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴的值恒为正数； （2）证明：由（1）可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)无整数根，见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根，理由如下： 假设有整数根， 若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3）解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，    ∴，， ∴． 5（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答． （2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答． （3）先得出，再因为 ，解得：， ，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2， （2）解：∵一元二次方程， ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解： ， 则 解得： 整理得： ∴． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程 (1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根； (2)当时， ①若代数式，则___________； ②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值； (3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小． 【答案】(1)，另一根为； (2)①；②0或1 (3) 【分析】（1）把代入方程求得a的值，再把a的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根； （2）①把代入方程，根据多项式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，进而求得代数式的值； ②求出原式，由原式的值为正整数，得代数式的值为1，2，算出和的解即可； （3）根据已知条件用m、n分别表示，，再得出，根据差的正负判断，的大小． 【详解】（1）解：把代入原方程， 得， 解得， 把代入原方程， 得， ， 解得，，， ∴方程的另一根为； （2）①把代入， 得， 即， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； ②原式 ， ∵不论x为何值， ∴原式 ∵代数式的值为正整数， ∴代数式的值为1，2， 当时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去； 当时，或1， 故x的值是0或1； （3）解：当时，得， ∴， 当时，得， ∴， ∴ ∵，，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，配方法的应用，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，灵活应用配方法和差值法解题． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的相关概念 能准确表述一元二次方程的定义，识别方程的一般形式及各项系数 基础必考点，多在选择题、填空题中考查概念辨析 解一元二次方程 熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解方程的方法，并能根据方程特点选择恰当方法求解 高频考点，在各种题型中都有涉及，是解决一元二次方程问题的核心技能 根的判别式 理解根的判别式与一元二次方程根的情况之间的关系，能运用判别式判断方程根的情况，以及解决与根的存在性相关的问题 重要考点，常与方程的求解、函数等知识结合，在选择题、填空题、解答题中考查 一元二次方程根与系数的关系 掌握根与系数的关系（韦达定理），并能运用该关系解决已知方程的根求代数式的值、构造新方程等问题 重要考点，常与代数式求值、函数等知识综合，在解答题中考查 一元二次方程与实际问题 能将实际问题中的等量关系转化为一元二次方程，求解并对结果的合理性进行检验 高频考点，常以实际生活中的问题（如增长率、面积问题等）为背景，在解答题中考查 知识点01 一元二次方程的相关概念 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 【注意】 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 3. 一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程的根；反之，它就不是一元二次方程的根. 【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明． 知识点02 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法 定义：先把方程化为的形式，那么可得.像这样利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 【解读】用直接开平方求一元二次方程的解，一定要正确运用平方根的性质，即正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 适合用直接开平方法解一元二次方程有三种类型： 1） 2） 3） 2. 配方法 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法. 【解读】 1）配方法的理论依据：完全平方公式的逆用； 2）用配方法解一元二次方程，实际就是由二次项和一次项来配常数项. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 典例 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二化 二次项系数化为1 方程两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式 【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误. 即 四开 开平方求根 利用平方根的定义直接开平方 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【解读】求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 方法 典例 将一元二次方程整理成一般形式； 将原方程化为一般形式： 确定公式中a、b、c的值； （易错点：忽略系数前面的符号） 求出的值； 当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解. 4. 因式分解法 定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 典例 移项 将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0 化积 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式 原方程变形为 转化 令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程 求解 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 知识点03 根的判别式 定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【解读】 1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定. 2）一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 3）已知一元二次方程有两个根，隐含着. 知识点04 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则有：+＝，＝.特别地，如果方程的两个根为，则有+＝， ＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 知识点05 一元一次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案. 题型一 一元二次方程的定义 解｜题｜技｜巧 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 【易错】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 类型一 一元二次方程的识别 1．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）下列方程：①； ②； ③；④； ⑤中，一元二次方程的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，， 类型二 根据一元二次方程的定义求参数 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知是一元二次方程，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值 题型二 一元二次方程根的应用 解｜题｜技｜巧 1）判断已知值是否为方程的根:分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是. 2）已知方程的根求字母的值: 将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解. 类型一 判断已知值是否为方程的根 7．（21-22九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 类型二 已知方程的根求字母的值 10．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 ． 11．（19-20九年级上·广东惠州·阶段练习）已知是方程的一根，则另一根为 ，c为 ． 12．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ． 类型三 已知方程的根求代数式的值 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程的解，则式子的值为 ． 14．（21-22九年级上·四川内江·期中）已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·广东广州·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 类型四 估算一元二次方程的解 16．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 17．（22-23九年级上·山东青岛·期中）根据下表得知，方程的一个近似解为 （精确到0.1） x … … … 0.56 1.25 1.96 … 题型三 解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 对于配方法、公式法和因式分解法，一般来说因式分解法较为简单，应优先考虑;对于整系数的一元二次方程，若一次项系数为偶数，则可以考虑用配方法；若以上两种方法都不太方便的话，则用公式法. 类型一 选用合适的方法解一元二次方程 18．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）解方程： (1) (2) (3)解方程， 某同学的解题步骤如下： 解：①         ②          ③ ④ 方程无实数根⑤ ①问：这位同学解方程过程中从第______步开始写错了； ②请你帮他将方程的正确解题过程完整的书写出来． 19．（21-22九年级上·辽宁鞍山·期中）解方程． (1)； (2)； (3)． 20．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（24-25九年级上·青海西宁·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4) 类型二 一元二次方程拓展解法-换元法 22．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 23．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： ． 第一步：原方程可变形为：； 第二步：令； 第三步：第一步的方程可变形为； 第四步：……； 根据的值可以求出，． 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元一次方程，因此，这种方法称为均值换元法，我们在解决形如（其中，，，是常数，且）的方程时可以利用均值换元法求解． (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是_________； A．分类讨论思想   B．数形结合思想   C．整体代换思想   D．类比思想 (2)完成材料中第三步以后求值的过程； (3)利用均值换元法解方程：． 24．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 类型三 一元二次方程拓展解法-绝对值方程 25．（2022-2023学年湘教版九年级上册数学期中复习试卷）先阅读例题，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，，解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 26．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 类型四 一元二次方程拓展解法-高次/分式/无理方程 27．（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 28．（20-21九年级上·云南昆明·期末）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设， 则原方程换元为． ， 或， 解得，， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 题型四 配方法的应用 类型一 利用配方法求代数式的最值 解题方法：此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方，再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系. 29．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）代数式的最小值是 ． 30．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 31．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 类型二 利用配方法比较大小 解题方法：此类题型解法为先作差，将得到的多项式进行配方，再利用非负性与0比较大小，即可得到式子之间的大小关系. 32．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 33．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答： 例： ， 请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题； 探究：（1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数； 应用：（2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由． 类型三 用配方法解决多元二次方程问题 解题方法：用配方法将条件式变形为两个完全平方和的形式，再利用“两个非负数之和为0，则两者均为0”这个结论解题. 34．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为 ． 35．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 36．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 题型五 一元二次方程根的判别式 解｜题｜技｜巧 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实数根:； 2）方程有两个相等的实数根：； 3）方程没有实数根. 【易错点】 1）根据一元二次方程根的情况确定字母参数的值或取值范围时，若二次项系数含有所求的字母参数，则不要忽略隐含条件a≠0，否则这个参数的取值范围会增大，导致解题错误. 2）对于形如的方程有实数根的问题，要从a=0和a≠0两个方面去考虑. 类型一 不解方程，由根的判别式的正负性可直接判定根的情况 37．（25-26九年级上·全国·期中）方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 38．（24-25九年级上·福建福州·期末）下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·四川资阳·期中）关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 类型二 根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围 40．（2025·山东·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的整数值可以为 （填一个）． 42．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知关于的一元二次方程有两个相等实数根，则 ． 43．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 类型三 应用判别式证明方程根的情况 44．（23-24九年级上·广东河源·期中）证明：无论k取何值，关于x的方程恒有实数根 45．（21-22九年级上·河南平顶山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 46．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为何值，方程都有两个不相等的实数根． 题型六 一元二次方程根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 类型一 不解方程，已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数 47．（24-25九年级上·全国·期末）若1是方程的一个根，则另一个根为（　　） A． B．2 C．1 D．0 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ． 类型二 不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求含、的代数式的值 50．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 51．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知是一元二次方程的两个不相等实数根，则代数式的值是 ． 52．（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． (1)； (2)． 类型三 已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围 53．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 54．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 55．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 题型七 一元二次方程与实际问题 类型一 两两碰面类问题 56．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 57．（24-25九年级上·云南红河·期中）根据题意列出方程或函数并解答． (1)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ (2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 类型二 变化率问题 58．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）年我国新增高效节水灌溉面积万，如果要使年至年三年新增高效节水灌溉面积总和为万，那么年、年两年新增高效节水灌溉面积年均增长率为多少？ 59．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 类型三 销售类问题 60．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 61．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利元，每天可售出，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每涨价1元，日销售量将减少，现该商场要保证每天盈利元， 同时又要使顾客得到实惠，那么涨价之后，每天的销售量必须达到多少？ 类型四 几何图形类问题 62．（24-25九年级上·全国·期中）学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 63．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 类型五 动态几何问题 64．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 65．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型八 本章涉及的新定义类问题 66．（24-25九年级上·江苏常州·期中） 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用：(1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 67．（2020·河北·模拟预测）定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 题型九 本章涉及的阅读材料类问题 68．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 69．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读材料后解答问题： 材料1：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根，∴，，∴ ． 材料2：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以，即：有最小值1，此时；同样，因为，所以，即有最大值6，此时． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)拓展提升：当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ． 70．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 期中重难突破练（测试时间：25分钟） 1．（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为 ． 2．（23-24九年级上·湖北·期中）m为何值时，方程有一个正根，一个负根；此时，哪一个根的绝对值大？ 3．（24-25九年级下·福建南平·期中）已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证： 4．（24-25九年级上·福建宁德·期中）已知：实数满足． (1)求证：； (2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； (3)若，，，求的值． 5（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．(1)两个根的平方和为12；(2)两个根均大于；(3)． 6．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）已知关于x的一元二次方程 (1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根； (2)当时，①若代数式，则___________； ②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值； (3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $