专题05 图形的相似（必备知识+8题型18类型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期北师大版

专题05 图形的相似（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例 基础考点，多在选择题或填空题中考查线段比例的判断 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段比例相关问题 重要考点，常与三角形相似等知识结合，在选择题、填空题及证明题中出现 认识相似图形 理解相似图形的概念，能识别生活中的相似图形，明确相似图形的性质 基础考点，多以选择题形式考查相似图形的识别与性质理解 相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的判定定理（如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及性质（对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方），并能灵活运用解决问题 核心高频考点，贯穿相似三角形相关题目，在选择题、填空题、证明题、计算题中均有大量考查，是相似图形知识的重点与难点 相似三角形与实际问题 能运用相似三角形的知识解决实际生活中的测量、投影等问题 重要考点，常以应用题形式考查，体现数学知识在实际中的应用，难度中等 图形的位似 理解位似图形的概念、性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，会画位似图形 重要考点，常与相似三角形结合，在作图题、选择题、填空题中考查位似图形的性质与作图 知识点01 成比例线段 1. 两条线段的比 两条线段的比：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 线段的比与长度单位的关系：线段的比与线段的长度单位选取无关，但计算线段比时应将长度单位统一. 2. 成比例线段 成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，简称比例线段. 比例的项：在比例式中，a，b，c，d叫做比例的项，其中：线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 3. 比例的性质： 1）基本性质： 2）更比性质： 【拓展】 ① 合比性质：， ② 分比性质：， ③ 合分比性质： ④ 等比性质：如果 3）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），若满足，那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【易错点】未对黄金分割点的位置分类讨论而致错. 知识点02 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等. 2）若将AB称为上，BC称为下，AC称为全，上述的比例式可用形象的语言简述为：等. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 知识点03 认识相似图形 1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 【补充】1）相似图形强调形状相同，它与图形的大小、位置无关； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同； 2. 相似三角形 定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 记法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】 1）表示两个三角形相似时，要把对应顶点写在对应的位置上，以指明对应角、对应边.如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 2）【易错】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 确定相似三角形的对应角、对应边的方法：最大（小）角与最大（小）角对应，最长（短）边与最长（短）边对应. 知识点04 相似三角形的性质与判定 1）两个三角形相似的判定定理 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似． 2）相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 知识点05 图形的位似 1. 位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 【解读】位似与相似的关系： 1）相似只要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上还要求对应点的连线相交于一点； 2）如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定是相似图形，但两个相似图形不一定是位似图形，即位似是相似的特殊情况. 2. 位似的坐标变换 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 3. 位似图形的性质 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 4. 位似图形的画法 一般步骤：1）确定位似中心. 2）分别连接位似中心和原图关键点，并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 题型一 相似多边形的判定 解｜题｜技｜巧 在判定两个多边形相似时，需满足3个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例. 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（   ） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 题型二 线段的比与成比例线段 解｜题｜技｜巧 1）求两条线段的比时，两条线段的长度单位要一致，如果不一致，首先把它们化为同一长度单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 2) 判断成比例线段的“三步骤” 1）统一单位.将四条线段单位统一. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于后两个的比； ②方法二：前后两个的积是否等于中间两个的积. 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 5．（24-25九年级上·全国·期末）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 6．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如果，，，按顺序是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则 题型三 比例性质的应用 解｜题｜技｜巧 与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.特别地，设未知数能极大简化推导过程，口诀:见比设k. 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值为 ． 9．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知，若，则 ． 10．（22-23九年级上·全国·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 12．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，，，且． (1)求的值； (2)若线段，，满足，求的值． 题型四 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 平行线分线段成比例的基本事实，重点培养 “对应” 思想： 1）两条被截线上，夹在相同两条平行线间的线段是对应线段. 2）对应线段成比例的应用方式： ① （等号的左、右两边各在一条直线上）. ② （等号的左、右两边各在两条直线上）. 类型一 由平行判断成比例线段 14．（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，中，点在的延长线上，直线交于点，交于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，D，E分别是上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 类型二 由平行截线求相关线段的长或比值 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则（　　） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 19．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 20．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 类型三 作平行线构造成比例线段 21．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，则 ． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则 ． 23．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 题型五 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： ①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； ②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； ③两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； ④条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； ⑤条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 类型一 选择或补充条件使两个三角形相似 24．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 25．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为 ． 26．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 类型二 选用合适的方法判定两个三角形形似 27．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 28．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    29．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 30．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 题型六 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 易错分析：用错公式，误以为相似三角形面积的比等于相似比. 类型一 利用相似三角形的性质求解 31．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，则长为（    ）    A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 33．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 34．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 类型二 利用相似求坐标 35．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    36．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 37．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 38．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 类型三 相似三角形在动态几何问题中的应用 39．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 40．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 41．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 题型七 相似三角形判定与性质 解｜题｜技｜巧 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 类型一 利用“三点定形法”证明比例式或等积式 42．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 43．（20-21九年级上·陕西延安·期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． (1)求的度数； (2)交于点E，求证：． 44．（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 类型二 相似三角形判定与性质综合 45．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 46．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 47．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 48．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，点E是上一点，点F为矩形外一点，且，，与相交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的值． 类型三 相似三角形的实际应用 49．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 50．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组          说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 51．（24-25九年级上·河南新乡·期末）临颍县小商桥是一座比赵州桥还要早的古桥，位于河南省漯河市临颍县与郾城区交界的小商河（颍河故道）上，距今已有一千四百多年的历史．实践小组成员在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集小商桥的相关数据．在河岸的一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E，F，使得，测得，，点E到河岸的距离为．请根据上述数据，计算小商桥的长． 类型四 利用相似三角形列函数关系式 52．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图①，在中，，沿折线A→B→C→A匀速运动一周，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长为，v与t的函数图象如图②所示，当恰好是的一条三等分线时，t的值为（　　） A． 或5 B． 或6 C． 或5 D． 或6 53．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1） ； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 54．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，，点是边的中点，点是上的动点（不与点，重合），过点作与，分别交于点，，，．设，若的面积为是的函数，则这个函数表达式是 ． 55．（24-25九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值． 类型五 在网格中画已知三角形相似的三角形 56．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出一个，使； (2)在边上确定一点，使．（保留作图轨迹） 57．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 58．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 题型八 位似图形 类型一 位似图形的识别 解题方法：识别两个相似多边形是不是位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心；否则不是位似图形. 59．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A．B．C． D． 60．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 61．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 类型二 利用位似图形的性质求解 解题方法：位似三角形是特殊的相似三角形，所以在确定位似中心和相似比后的解题方法和相似三角形基本一致，要找准对应关系. 62．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 63．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 64．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．30 类型三 确定位似中心的位置 解题方法：寻找位似中心时需要将各顶点进行连线，网格中可以依靠画图并结合几何关系的方法寻找交点. 65．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 66．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 67．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 类型四 在网格中画位似图形 解题方法：画图形以某点为位似中心的位似图形时，先连接位似中心和原图形的关键点，再沿要求的方向延长这些线段，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点，最后顺次连接这些关键点，得到放大或缩小后的图形.注意：当题目未明确位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧时，需要将两种情况都画出来. 68．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)的面积为_______． 69．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的． (2)在第四象限内画出以点O为位似中心的位似图形，与的相似比为1：2． (3)求以，，，为顶点构成的四边形的面积． 70．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 类型五 求位似图形的对应坐标 71．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以为位似中心的位似图形，，两点的坐标分别为，．点的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 72．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）同学们在学习了《相似三角形》之后，张老师给出了下面的问题： 如图，与中，斜边与相交于点M．过点M作于点H．探究之间的数量关系，并证明． 下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴① ___________， ∴② ___________． (1)请在图中完成尺规作图：过点M作，垂足为点H(保留作图痕迹，不写作法)． (2)请在上述探究过程中将①②补充完整． 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 4．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 5．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 2．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的相似（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例 基础考点，多在选择题或填空题中考查线段比例的判断 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段比例相关问题 重要考点，常与三角形相似等知识结合，在选择题、填空题及证明题中出现 认识相似图形 理解相似图形的概念，能识别生活中的相似图形，明确相似图形的性质 基础考点，多以选择题形式考查相似图形的识别与性质理解 相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的判定定理（如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）及性质（对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方），并能灵活运用解决问题 核心高频考点，贯穿相似三角形相关题目，在选择题、填空题、证明题、计算题中均有大量考查，是相似图形知识的重点与难点 相似三角形与实际问题 能运用相似三角形的知识解决实际生活中的测量、投影等问题 重要考点，常以应用题形式考查，体现数学知识在实际中的应用，难度中等 图形的位似 理解位似图形的概念、性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，会画位似图形 重要考点，常与相似三角形结合，在作图题、选择题、填空题中考查位似图形的性质与作图 知识点01 成比例线段 1. 两条线段的比 两条线段的比：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 线段的比与长度单位的关系：线段的比与线段的长度单位选取无关，但计算线段比时应将长度单位统一. 2. 成比例线段 成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，简称比例线段. 比例的项：在比例式中，a，b，c，d叫做比例的项，其中：线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 3. 比例的性质： 1）基本性质： 2）更比性质： 【拓展】 ① 合比性质：， ② 分比性质：， ③ 合分比性质： ④ 等比性质：如果 3）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），若满足，那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【易错点】未对黄金分割点的位置分类讨论而致错. 知识点02 平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等. 2）若将AB称为上，BC称为下，AC称为全，上述的比例式可用形象的语言简述为：等. 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 知识点03 认识相似图形 1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 【补充】1）相似图形强调形状相同，它与图形的大小、位置无关； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同； 2. 相似三角形 定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 记法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】 1）表示两个三角形相似时，要把对应顶点写在对应的位置上，以指明对应角、对应边.如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 2）【易错】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 确定相似三角形的对应角、对应边的方法：最大（小）角与最大（小）角对应，最长（短）边与最长（短）边对应. 知识点04 相似三角形的性质与判定 1）两个三角形相似的判定定理 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 2 三边成比例的两个三角形相似. 两组直角边成比例的两个直角三角形相似. 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 4 两角分别相等的两个三角形相似． 2）相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方. ④三角形的相似具有传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 【易错点】对相似三角形的面积比不清而出错 知识点05 图形的位似 1. 位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 【解读】位似与相似的关系： 1）相似只要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上还要求对应点的连线相交于一点； 2）如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定是相似图形，但两个相似图形不一定是位似图形，即位似是相似的特殊情况. 2. 位似的坐标变换 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 3. 位似图形的性质 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 4. 位似图形的画法 一般步骤：1）确定位似中心. 2）分别连接位似中心和原图关键点，并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 题型一 相似多边形的判定 解｜题｜技｜巧 在判定两个多边形相似时，需满足3个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例. 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（   ） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的相关概念及性质，深刻理解相似的定义是解题的关键． 根据相似的定义并结合题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， 故选：． 题型二 线段的比与成比例线段 解｜题｜技｜巧 1）求两条线段的比时，两条线段的长度单位要一致，如果不一致，首先把它们化为同一长度单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 2) 判断成比例线段的“三步骤” 1）统一单位.将四条线段单位统一. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于后两个的比； ②方法二：前后两个的积是否等于中间两个的积. 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 5．（24-25九年级上·全国·期末）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，可将它们的长度按从小到大排序，检验首尾两段的乘积是否等于中间两段的乘积． 根据成比例线段的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 6．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如果，，，按顺序是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键． 利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可． 【详解】解：线段c是线段a，b的比例中项， ， ，， ， 而， 故答案为： 题型三 比例性质的应用 解｜题｜技｜巧 与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.特别地，设未知数能极大简化推导过程，口诀:见比设k. 8．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，由已知可得，，，即可得，再分和两种情况解答即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 当时，解得； 当时，， ∴； 综上，的值为或， 故答案为：或． 9．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为： ． 10．（22-23九年级上·全国·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割；根据黄金分割的定义得到，再把代入计算即可． 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴ ， ∴， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义和二次根式的运算，解题的关键是掌握黄金分割点的定义． 利用黄金分割点的定义进行求解即可． 【详解】解：∵C为线段的黄金分割点， 则, 或； 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，，，且． (1)求的值； (2)若线段，，满足，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查比例性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． （1）由已知得到，进而代值求解即可； （2）由已知设，，，然后列方程解得，进而求得a、b、c，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴ ． 题型四 平行线分线段成比例 解｜题｜技｜巧 平行线分线段成比例的基本事实，重点培养 “对应” 思想： 1）两条被截线上，夹在相同两条平行线间的线段是对应线段. 2）对应线段成比例的应用方式： ① （等号的左、右两边各在一条直线上）. ② （等号的左、右两边各在两条直线上）. 类型一 由平行判断成比例线段 14．（24-25九年级下·河南周口·期中）如图，中，点在的延长线上，直线交于点，交于点．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行，得到，，，根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴；故A选项正确，符合题意； ∵， ∴，，， ∴，，，故B，C，D选项错误，不符合题意， 故选A． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，通过证明 ，可得，即可求解． 【详解】解：，， ，，，， ，， ， ， ， 故选：. 16．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，D，E分别是上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．根据相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理及其推论逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项不符合题意； B、∵， ∴，故正确，本选项符合题意； C、∵， ∴，， ∴，， ∴，原结论错误，本选项不符合题意； D、∵， ∴，原结论错误，本选项不符合题意； 故选：B． 类型二 由平行截线求相关线段的长或比值 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，已知，交，，于点，，，交，，于点，，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，先利用得到，则根据相似三角形的性质即可计算出，再利用证明，则根据相似三角形的性质即可计算出， 然后利用线段的和差解题． 【详解】解：∵，为边上的三等分点， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴. 故选： A． 19．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行线分线段定理可得，即；再证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 20．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 类型三 作平行线构造成比例线段 21．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，过点D作，交于点H，利用相似三角形的判定与性质得，设，则，由已知条件求得，，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质解答即可得出结论． 【详解】解：过点D作，交于点H，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，过点作，与，分别相交于点，，可得四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质求出，进而求出的长，再证明，利用相似三角形的性质求出即可解答．解题的关键是正确添加辅助线． 【详解】解：过点作，与，分别相交于点，， ， 四边形和四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：13． 23．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 【答案】 【分析】此题主要考查了梯形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，连接，并延长交的延长线于，证明得，根据得，进而得，则，然后再根据得，由此可证明和相似，则，据此可得的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造相似三角形是解决问题的难点． 【详解】解：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型五 相似三角形的判定 解｜题｜技｜巧 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： ①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； ②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； ③两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； ④条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； ⑤条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 类型一 选择或补充条件使两个三角形相似 24．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 25．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，不能判定，故A不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故B不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故C不符合题意； ∵， ∴， 再结合，能判定，故D符合题意； 故选：D． 类型二 选用合适的方法判定两个三角形形似 27．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 28．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 29．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 30．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 题型六 相似三角形的性质 解｜题｜技｜巧 易错分析：用错公式，误以为相似三角形面积的比等于相似比. 类型一 利用相似三角形的性质求解 31．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 32．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，矩形中，，点在边上且恰好存在点使和相似，若，则长为（    ）    A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、矩形的性质等知识点，熟知相似三角形的性质及矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形的性质以及可得，设，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 当时，， ∴，解得：，， 经检验，，是分式方程的解； 当时，， ∴，解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上，长为2或3． 故选：C． 33．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形中对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．两个相似三角形对应角平分线之比等于相似比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可假设未知数，列出方程，求得结果． 【详解】解：根据题意可得两个相似三角形的相似比为，设较大三角形的面积为，则： ， 解得：， ∴另一个三角形的面积为， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，于点D，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，垂直的定义等知识，由相似三角形的性质得出，再根据垂直的定义即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二 利用相似求坐标 35．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 36．（20-21九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 37．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴CDE≌CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴AOE∽CDE， ∴ ， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 38．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 类型三 相似三角形在动态几何问题中的应用 39．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 40．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 41．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于； (2)线段不能将分成面积相等的两部分；理由见详解； (3)经过秒或2.4秒时，与相似． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 题型七 相似三角形判定与性质 解｜题｜技｜巧 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 类型一 利用“三点定形法”证明比例式或等积式 42．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 【答案】见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，得到，再证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 43．（20-21九年级上·陕西延安·期末）如图，是绕点顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好在上． (1)求的度数； (2)交于点E，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），根据旋转可得，即可得，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）解：∵是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ∴，， ∴； （2）解：由旋转可得， ∵， ∴． ∴， ∴． 44．（2025·甘肃武威·一模）已知正方形的对角线相交于点O，的平分线分别交、于点E、 F，作，垂足为H，的延长线分别交、于点G、P． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正方形的性质可得，，再由同角的余角相等得出，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由正方形的性质可得，，，证明，得出，由同角的余角相等可得，结合角平分线的定义得出，证明，得出，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型二 相似三角形判定与性质综合 45．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在中，D是边上一点． (1)当时，若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)的长是 (2)的长是 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）证明，得，所以，进而可得答案； （2）由，得，根据，由相似三角形的性质得，而，则，进而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长是． 46．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找边之间的关系． 根据垂直定义可知，又因为是公共角，可证； 根据可证，根据对顶角相等可知，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，根据对顶角相等可知，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，从而可证，又因为是公共角，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立． 【详解】（1）证明：于点， ， 于点， ， 在和中，，， ； （2）证明：， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 47．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，，，． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ，， ，， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ． 48．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，点E是上一点，点F为矩形外一点，且，，与相交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质． （1）先证明，得出，即可再证明． （2）设，由（1）得，则，根据，得出，即可得，证明，即可得出． 【详解】（1）证明：在矩形中，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设， 由（1）得， ∴， 而， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴． 类型三 相似三角形的实际应用 49．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】西安古城墙的高度为12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键； 设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】设米，由题知， 米，米，米，米， ，，， ， ，， ， ，即， 米， ，， ， ， 又米， ， 解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 50．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，成立方案与数据如表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组          说明 人站在大楼的影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到楼顶 测量数据 图中所有点都在同一平面内 经数学小组的同学研讨发现第一组数据测量有误，请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】选择第二组或第三组的方案，教学大楼的高度为 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可； 选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． 51．（24-25九年级上·河南新乡·期末）临颍县小商桥是一座比赵州桥还要早的古桥，位于河南省漯河市临颍县与郾城区交界的小商河（颍河故道）上，距今已有一千四百多年的历史．实践小组成员在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集小商桥的相关数据．在河岸的一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E，F，使得，测得，，点E到河岸的距离为．请根据上述数据，计算小商桥的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用相似三角形测量河的宽度，过点E作于点G，证明得，再根据证明可得结论． 【详解】解：如图，过点E作于点G． ， ， ， ． ，， ． ， ， ． 答：小商桥的长度为． 类型四 利用相似三角形列函数关系式 52．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图①，在中，，沿折线A→B→C→A匀速运动一周，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的长为，v与t的函数图象如图②所示，当恰好是的一条三等分线时，t的值为（　　） A． 或5 B． 或6 C． 或5 D． 或6 【答案】B 【分析】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，根据图②可知，，再根据是的三等分线，可以证明，求出的长，即可求出答案． 【详解】解：如图①,,是的三等分线， 根据图②可知， ， ， ， ， 同理 ， ， ， ， ， 解得：或 (负值舍去), ，， ∴当恰好是的一条三等分线时，的值为或. 故选:. 53．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，边上取点，且、，是边延长线上一点，过点作，交线段的延长线于点． （1） ； （2）设，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 1 ． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形和等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）通过证明，得到，代入数据即可求解； （2）利用相似三角形的性质得到，作于，利用三线合一性质得到，进而得到，再通过证明，得到，代入数据即可求出关于的函数解析式． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ； 故答案为：1． （2）， ， ， ， ， ， 如图，作于， ，， ，， ， ， ， ， 又，即， ， ， ， ，， ， 整理得：， 关于的函数解析式为． 故答案为：． 54．（23-24九年级上·北京延庆·期中）如图，在中，，点是边的中点，点是上的动点（不与点，重合），过点作与，分别交于点，，，．设，若的面积为是的函数，则这个函数表达式是 ． 【答案】 【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，即可求解； 【详解】，点是边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是运用相似三角形的相似比等于高之比，面积比等于相似比的平方． 55．（24-25九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，，点为边上一动点（点与点、不重合），连接，过点作，垂足，交或的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)设，求关于的函数解析式．当取何值时，有最大值，并求出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，当时，有最大值 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，列出比例式计算即可； （3）根据，列出比例式，构造二次函数解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴． （2）解：∵矩形，，    ∴， ∵，    ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴ 当时，有最大值． 类型五 在网格中画已知三角形相似的三角形 56．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出一个，使； (2)在边上确定一点，使．（保留作图轨迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似变换的作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）由图可知、、的长度，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”画图即可得答案； （2）构造相似三角形解决问题（，相似比，推出）即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， 所画各边长分别为，，， ， ， ， 即为所求（答案不唯一）； （2）解：取格点和，连结与交于点，连结， ， ， ， ， 点即为所求． 57．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图②，点即为所求； （3）解：如图③，点即为所求 58．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 题型八 位似图形 类型一 位似图形的识别 解题方法：识别两个相似多边形是不是位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心；否则不是位似图形. 59．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 60．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 61．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 类型二 利用位似图形的性质求解 解题方法：位似三角形是特殊的相似三角形，所以在确定位似中心和相似比后的解题方法和相似三角形基本一致，要找准对应关系. 62．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可，掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与位似，点为位似中心， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 63．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 64．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．30 【答案】A 【分析】本题考查坐标与位似，根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故选：A． 类型三 确定位似中心的位置 解题方法：寻找位似中心时需要将各顶点进行连线，网格中可以依靠画图并结合几何关系的方法寻找交点. 65．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是由等腰直角三角形经过位似变换得到的，位似中心在x轴的正半轴上，相似比为，已知，D点的坐标为，则这两个三角形的位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握位似中心是由位似图形的对应顶点的连线的交点是解答本题的关键． 先确定G点的坐标，再结合D点坐标和位似比为，求出A点的坐标；然后再求出直线的解析式，直线与x的交点坐标，即为这两个三角形的位似中心的坐标． 【详解】解：∵是由等腰直角三角形经过位似变换得到的， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴G点的坐标分别为 ∵D点坐标为，位似比为， ∴A点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线与x的交点坐标为， ∴位似中心的坐标是． 故选：A． 66．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 67．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型四 在网格中画位似图形 解题方法：画图形以某点为位似中心的位似图形时，先连接位似中心和原图形的关键点，再沿要求的方向延长这些线段，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点，最后顺次连接这些关键点，得到放大或缩小后的图形.注意：当题目未明确位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧时，需要将两种情况都画出来. 68．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出与关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． (3)的面积为_______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)10 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 69．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的． (2)在第四象限内画出以点O为位似中心的位似图形，与的相似比为1：2． (3)求以，，，为顶点构成的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4.5 【分析】本题考查了坐标系中轴对称，位似比一定的位似图形的画法，熟练掌握坐标系中轴对称变化的规律，位似比是定值的位似作图是解题的关键． （1）根据，，，确定关于轴的对称点坐标分别为，，，描点，再顺次连接即可； （2）根据位似比确定点的坐标，描点，后顺次连接即可； （3）连接，，利用计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴关于轴的对称点坐标分别为，，， 画图如图，即为所求作； （2）解：∵，，，与的相似比为 ∴在第四象限以点为位似中心的位似图形的，，， 画图如图，即为所求作； （3）解：． 70．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； (2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； 故答案为：； （2）解：当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 类型五 求位似图形的对应坐标 71．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以为位似中心的位似图形，，两点的坐标分别为，．点的对应点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且，, ∴ ∴相似比为， ∴点D的坐标为，即， 故答案为：． 72．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把放大为原来的3倍，可以得到，点B的坐标为， ∴点的坐标是或，即或． 故答案为：或． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）同学们在学习了《相似三角形》之后，张老师给出了下面的问题： 如图，与中，斜边与相交于点M．过点M作于点H．探究之间的数量关系，并证明． 下面是小李的探究过程，请根据题意补充完整探究过程． ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴① ___________， ∴② ___________． (1)请在图中完成尺规作图：过点M作，垂足为点H(保留作图痕迹，不写作法)． (2)请在上述探究过程中将①②补充完整． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题考查了作垂线，相似三角形的性质与判定； （1）根据题意，过点作垂足为点； （2）根据相似三角形的性质与判定，完成填空，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作垂足为点． （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·重庆江北·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得，结合是的中点，可得，根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ∵AD平分， ∴， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， 3．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 4．（24-25九年级上·全国·期末）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 5．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）证明四边形是菱形，由菱形的性质得出； （2）①设，则，得出，解得，则可得出答案； ②设与交于点M，与交于点N，由题意得，，得出．证明，得，设，则，得出，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：①由折叠可得：，， 四边形是菱形， ， ， ， ． ， ． ，，． 设，则， ， 解得， ． ②设与交于点M，与交于点N， 由题意得，， ， ， ， ， ， 点N是的黄金分割点， ． ， ， ． 设，则， ． ， ， ． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图1，在四边形中，平分，点M是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点Q和点N． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，证明：； (3)如图2，连接，若，且，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得出结论； （2）先证明，得出，再证明出，由三角形相似的判定定理证明，再由相似三角形的性质得出结论； （3）先求出，再由勾股定理求出，设设，则，再由勾股定理得出°，求出，从而得到是等边三角形，然后求出． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 所以四边形是菱形． （2）证明：因为四边形是菱形， 所以， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， ， 由（2）知，， ， 由（2）知， ， ， 在中，， 设，则， 在中，， 即，解得，即， ， ， ∴， ∴， 是等边三角形， 又四边形是菱形， ， ， 即的长为12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，关键是构建相似三角形，证明三角形相似． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $