专题02 与特殊的平行四边形有关的热考模型（必备知识+15题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期北师大版

专题02 与特殊的平行四边形有关的热考模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 含60°角的菱形 熟练掌握含60°角的菱形的性质，能运用这些性质解决相关的边长计算、角度推导以及图形证明等问题 常作为几何综合题的基础图形出现，在中考中多与三角形、其他特殊四边形结合考查，以解答题为主 正方形中的风车模型 理解正方形中 “风车模型” 的构造原理，掌握模型中三角形全等或相似的关系，能利用模型解决线段数量关系、位置关系以及图形面积等问题 属于高频考点，在中考中常以选择题、填空题或几何综合题的某一环节形式考查，对模型的识别和应用能力要求较高 与特殊平行四边形有关的最值模型 掌握与特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形等）相关的最值问题的常见类型及解法，如利用轴对称、将军饮马问题等求线段和、差的最值 重要考点，多在中考的选择题、填空题中以压轴题形式出现，考查学生对特殊平行四边形性质的综合运用以及最值问题解题思路的掌握 半角模型 熟悉半角模型的结构特征，能准确识别半角模型，掌握模型中线段的等量关系、角度关系以及三角形全等的证明方法，进而解决相关几何问题 高频考点，在中考几何综合题中经常出现，常与正方形、等腰三角形等结合，考查学生的逻辑推理和模型应用能力 正方形十字架模型 掌握正方形中 “十字架模型” 的性质，即正方形内垂直的两条线段相等，能运用该性质解决线段相等证明、长度计算等问题 常考考点，在中考中多以选择题、填空题形式考查，有时也会在几何综合题中作为关键步骤出现 垂美四边形 理解垂美四边形的定义（对角线互相垂直的四边形），掌握垂美四边形的性质，能运用勾股定理等知识解决与垂美四边形相关的边长、面积等问题 新兴考点，近年来在部分地区中考中有所涉及，多以探索性题目形式出现，考查学生对新定义图形的理解和知识迁移能力 中点四边形 掌握中点四边形的判定方法，能根据原四边形的对角线关系（相等、垂直、既相等又垂直等）判定中点四边形的形状，能解决与中点四边形相关的证明和计算问题 基础考点，在中考中多以选择题、填空题形式考查，难度相对较低，主要考查学生对三角形中位线定理和特殊四边形判定的掌握 模型01 含60°角的菱形 基础 进阶 条件 四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交与点O，∠ABC=60° 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=60° 图示 结论 1)∠ABD=∠CBD=30°； 2) △ABC，△ACD为等边三角形 3)AB：AD：BD=1:1:； 4) 1) △AEF为等边三角形; 2) △ABE≌△ACF，△AEC≌△AFD. 模型02 正方形中的风车模型 条件 已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90° 图示 解题策略 利用正方形的性质（对角线互相平分且垂直，对角线与边的夹角是45°），通过“ASA”证明△OAE≌△OBF或△OBE≌△OCF. 结论 1) △OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF 2) BE+BF=AE+FC=AB 3) △EOF为等腰直角三角形 4) 5) 6) (当OE⊥AB时OE取最小值) 模型03 与特殊平行四边形有关的最值模型 类型一 矩形对角相等求最值 条件 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点D作直角边的垂线段，求EF长的最小值 结论 类型二 利用菱形/正方形的对称求最值（已菱形为例） 使用场景：在菱形ABCD 中，E，F分别是AC，CD 上的点，求线段长度和DE+EF的最小值. 图示： 解题策略: 连接BE，根据对称性，可知DE=BE，则DE+EF=BE+EF≥BF，根据“垂线段最短”确定当BF⊥CD时BF取最小值，再通过等面积法或勾股定理求出EF的长度.正方形对角线，连接顶点对称现 大招结论：连接BF，当BF⊥CD时BF取最小值. 模型04 半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 模型05 正方形十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 模型06 垂美四边形 已知 四边形中AC⊥BD 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP 图示 结论 S四边形ABCD=AC•BD 模型07 中点四边形 【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③ 【名师总结】 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 题型一 含60°角的菱形 1．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在菱形中，，，E是边上一点（不与点A，B重合），作交于点F，且，连接．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：连接，是等边三角形； 结论Ⅱ：的周长的最小值是3 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；连接，由菱形的性质可得，，则可证明是等边三角形，故结论Ⅰ正确；由等边三角形的性质得到，证明，得到，则是等边三角形，则的周长，当时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时，则的周长的最小值为，故结论Ⅱ错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故结论Ⅰ正确； ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当时，有最小值，即此时的周长有最小值， 当时，， ∴， ∴的周长的最小值为，故结论Ⅱ错误， 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形的形状是 ，若，，则的长为 ． 【答案】 菱形 8 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，过点A作于E，过点A作于F，交于点，如图所示，先证明四边形是平行四边形，再证明，再进一步求解即可. 【详解】解： 过点A作于E，过点A作于F，交于点，如图所示， 由题意得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸带等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：菱形， 3．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点E，，且． (1)如图1，当点是线段的中点时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：； (3)如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的长度． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 (3)的长度为 【分析】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、锐角的三角函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线． （1）先证明，再证明，得出，由此证明是等边三角形，即可得出结论； （2）欲证明，只要证明即可； （3）过点A作于点，先求出，然后证明，即可得出． 【详解】（1）解：连接，如图1 ∵在菱形中，，， 为等边三角形，， 为中点， ， ∵， ， 在和中， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明：连接，如图2， ∵在菱形中，，， ∴，为等边三角形， ∴，， 又， ， ， 在和中， ， ； （3）过点作于点， 在中，，， ，，， 又， 为等腰直角三角形， ， ， ∵在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ∴， ， 4．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积．结果保留根号 【答案】(1)， (2) 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，菱形的对角线平分一组对角可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出即可； 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：花坛是菱形， ，，，， 中，， ， ，； （2）解：． 答：菱形花坛的面积是． 题型二 正方形中的风车模型 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在正方形中，，对角线相交于点，点从点出发，在边上由向移动，同时点从点出发，以相同的速度在边上由向移动，连接．下列结论：；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由题意得，又四边形是正方形，则， ，．证明，根据性质可判断①；由，则，根据面积和差可判断②；连接，根据勾股定理可判断③；由四边形周长为，根据垂线段最短可判断④． 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ，． ． ． ． ． ，故①正确； ， ． 四边形的面积为：，故②正确； 如图，连接， ， ． ． ． ． ，故③正确： ， ． 四边形周长为． 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小． ，， ． ， ． 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确，共3个， 6．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，根据，可判定⑥，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证， 而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ， ∴，故⑤正确； ∵，， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，即， ∴．故⑥正确． 综上所述，其中正确的有①②④⑤⑥，正确的个数是5． 故选D． 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点M，N．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·开学考试）问题发现： （1）如图①，正方形的边长为8，对角线相交于点是上一点（点E不与重合），将射线绕点O逆时针旋转，所得射线与交于点F，则四边形的面积为________． 问题探究： （2）如图②，点C为线段上一点，在上方作四边形，使，且，连接，若，求的最大值． 问题解决： （3）口袋公园为西安增绿添彩，一草一木尽显匠心．某社区准备在小区内部建造一个口袋公园，图③为口袋公园的平面示意图，在四边形中，米．其中为步行小路，考虑到延长小路增加观赏时间，要求三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）米； 【分析】（1）如图1中，证明即可解决问题． （2）先根据直角三角形斜边中线性质得出线段相等关系，推导角的度数，再结合等腰三角形性质和勾股定理确定相关线段长度，最后依据两点之间线段最短求出最大值． （3）如图3中，将绕点顺时针旋转得到，首先证明，当最大时，的值最大． 【详解】解：（1）如图1中，   四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． （2）如图中，连接，，取的中点，连接，，延长到，在平面内取一点，连接、、，使得，延长到，   ，， ， ∴，，， ∴，， 即， ，， ， ， ∵ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴根据两点之间，线段最短得， ∴的最大值为． （3）如图3中，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ，，三点共线， ，， ， ， ， 当最大时，的值最大， 取的中点，连接，． （米， ，即（米 ，，共线时，的值最大，最大值米． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，三角形的三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 9．（2025·吉林长春·二模）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明（无需证明）即可推导出来．连结，则，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连结，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．       【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可，由全等三角形的性质得到，则，再利用勾股定理即可得到结论； （2）连接，延长，交于点，连接，证明，得到，，推出，得到，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， ∴， ∴， ∴； 连接，    ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． （2），理由如下： 连接，    ∵矩形的中心O是矩形的一个顶点， ∴，，， 延长，交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴； （3）设， ①当点在线段上：    ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， 解得：， ∴； ②当点在线段的延长线上时：如图，    此时， 过点作，延长交于点，连接， 同（2）法可证：， ∴， 又， ∴， 解得：， ∴； 综上：线段的长度为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形． 题型三 与特殊平行四边形有关的最值模型 类型一 矩形对角相等求最值 10．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，证明四边形是矩形，得到，则，故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（  ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，连接，由勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时，即 ， 的最小值为， 故选：B． 12．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】1.2 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等面积法即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ．， 是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，，此时最短， ， 当最短时， 故答案为：． 类型二 利用菱形的对称求最值 13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，勾股定理，知道什么时候会使成为最小值是解本题的关键． 连接，，设交于，连接，，延长，作于，证明只有点运动到点时，取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值． 【详解】解：连接，，设交于，连接，，延长，作于， ∵四边形是菱形， ∴，互相垂直平分， ∴点关于的对称点为， ∴， ∴， 只有当点运动到点时，取等号（两点之间线段最短）， 在中，，， ∴． ∵， ∴，． ∵菱形的边长为，为的中点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 故选：B． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，证明，可得，即可得到，然后利用等边三角形得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：连接，，， ∵是菱形， ∴，，，     又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 又∵M是的中点， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，菱形中，，，交于O，点M在线段上，且，点P为上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，过点作于，与的交点为点，由菱形的性质并结合题意可得为等边三角形，则，从而可得，进而可得，由垂线段最短可得，此时得到最小值，再由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，与的交点为点， ， ∵菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，由垂线段最短可得，此时得到最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质．设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，可得的最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可得，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∵四边形是菱形， ∴关于对称，，， ∴，，且点N在上， ∴，即的最小值为的长， ∵E为的中点， ∴N为的中点， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为5． 故答案为：5 17．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值． 【答案】(1)证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称-最短路线问题，掌握菱形的判定方法，会用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等即可； （2）先求出的长，然后利用将军饮马模型求出的最小值，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分． ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，，如图：    由（1）知，四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形关于对角线所在直线对称， ， 周长， 周长的最小值为， 在中， ， 周长的最小值为． 类型三 利用正方形的对称求最值 18．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 19．（22-23八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边和上的动点，且始终满足，连接，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称−最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，连，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证，得出，然后根据两点之间，线段最短即可得解，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，连， ∵∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 20．（20-21九年级上·陕西·阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，MC取得最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：， 题型四 半角模型 类型一 90°半角模型 21．（22-23九年级上·山东济宁·期中）半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)8 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【详解】（1）证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； （3）解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 22．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据图形性质猜想结论即可； （3）根据旋转得到，，即可得到即可得到答案； （4）由（3）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，补全图形如下： （2）解：结论是：； （3）解：理由如下：由旋转，可知： ， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （4）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 23．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，根据四边形为正方形，，，可得点、共线，由旋转，，可证。得出即可； 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，可证点、、在一条直线上。由旋转，，，可证，得出即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ,, 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， , 点、、共线， , ,, ,即， 在和中， ， ， , ,即, 故答案为：； （2），理由如下， 如图所示， , 把绕点逆时针旋转至,可使与重合， , 点、、在一条直线上， , ,,, ， , , ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差计算，线段和差计算等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 类型二 120°半角模型 24．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)40 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可求出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用： 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； [问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 题型五 十字架模型 26．（吉林省长春市力旺中学2024-2025学年九年级上学期期末数学考试）【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明得到，进而得到即可得到结论； （2）先由勾股定理求得，再利用三角形的等面积求得，进而利用勾股定理求解即可； （3）取的中点O，连接，，先证明四边形是矩形得到，则的最小值等于的最小值；再根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，由，当点C、P、O共线时取等号得到的最小值即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，则； （2）解：由（1）知， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：取的中点O，连接，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故的最小值等于的最小值； ∵，，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵，当点C、P、O共线时取等号， ∴的最小值为， 故的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 27．（广东省揭阳真理中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学模拟卷05）（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，交于点O，．求证：． （2）如图2，在正方形中，点E、H、F、G分别在边上，交于点O，．求的长． （3）如图3，在矩形中，，点E、H、F、G分别在矩形的边上，交于点O，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）12 【分析】本题考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出． （2）可以认为图2中的线段是由图1中的线段平移得到，故． （3）由于，可见图3是由三个图2的基本型转化而来，据此即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵，， ∴． 故． （2）∵图2中的线段是由图1中的线段平移得到， 即平移后得到，平移后得到， ∴， 故． （3） 把三等分，得到三个正方形，正方形，正方形，正方形， 将线段平移得到、，则， 由（2）可知， ， ． 28．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）(1)如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，证明：；    (2)如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：； 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）过点作 交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到 ，结合（1）问结论即可求证． 【详解】（1）如图1，过点作 交于，则， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是正方形． ，， ， ， ， ， ； （2）如图2，连接，， 正方形是轴对称图形，为对角线上一点， ， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键． 29．（20-21九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN； （2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN； （3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EF最大值： ，EF最小值：1 【分析】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，根据平行四边形和正方形的性质求证△ABP≌△BCH（ASA），然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP＝FC，然后根据等边对等角和等量代换求得∠AFP＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE＝AP，结合（1）问结论即可求证； （3）根据（2）问结论得到EF＝MN，当点P和点B重合时，EF有最小值；当点P和C重合时，EF有最大值，根据正方形的对角线即可求解． 【详解】（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH， ∵BM∥NH， ∴四边形MBHN为平行四边形， ∴MN＝BH， ∵四边形ABCD是正方形． ∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C， ∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°， ∴∠BAP＝∠CBH， ∴△ABP≌△BCH（ASA）， ∴BH＝AP， ∴MN＝AP； （2）如图2，连接FA，FP，FC ∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点， ∴FA＝FC， 又∵FE垂直平分AP， ∴FA＝FP， ∴FP＝FC， ∴∠FPC＝∠FCP， ∵∠FAB＝∠FCP， ∴∠FAB＝∠FPC， ∴∠FAB+∠FPB＝180°， ∴∠ABC+∠AFP＝180°， ∴∠AFP＝90°， ∴FE＝AP， 由（1）知，AP＝MN， ∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF， ∴EF＝ME+FN； （3）由（2）有，EF＝ME+FN， ∵MN＝EF+ME+NF， ∴EF＝MN， ∵AC，BD是正方形的对角线， ∴BD＝2， 当点P和点B重合时，EF最小值＝MN＝AB＝1， 当点P和C重合时，EF最大值＝MN＝BD＝． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，本题考查较为综合，题目较难，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键． 题型六 折叠问题 解｜题｜技｜巧 图形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形(即寻找线段、角的等量关系)，然后利用勾股定理等知识，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理计算.由于矩形四个角都是直角，又具有中心对称性和轴对称性，所以常常作为折叠问题的背景. 30．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)①；②证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）①根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； ②根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，，结合菱形的判定方法即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，由全等的性质得到，如图所示，过点作于点，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵四边形是矩形， ∴，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键． 31．（24-25八年级下·吉林·期末）综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 【答案】知识运用：8，30；综合提升：四边形为菱形，理由见解析；迁移探究：；拓展提升： 【分析】知识运用：根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出；连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可推出结论； 综合提升：根据折叠的性质，则，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可推出结论； 迁移探究：首先确定，则在中，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明，得出，进而根据，可得，即可求解； 拓展提升：求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】知识运用： ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； 连接，如图， ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：8，30； 综合提升： 四边形为菱形，理由如下： ∵由折叠所得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 迁移探究： ∵为等边三角形， ∴， ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展提升： 如图， ∵四边形是矩形纸片，， ∴， ∵黄金矩形以为宽，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键． 32．（24-25八年级下·江西赣州·期末）实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解； ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解； （2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则； ②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为 ， 在直角三角形中，，， ， ， 在直角三角形中，， ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， 解得：； （2）解：连接，过，得，，由②可得，， ， ， 即， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， ， 解得：， ， 在直角三角形中，， ， ， 33．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为， 【分析探究】 （1）如图1，证明四边形是菱形． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由．    （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点．若的面积为，，请求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）线段的长为． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，再证明四边形是菱形； （2）利用四边形是平行四边形，可得，再由为边的三等分点，可得，由折叠可知∶，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论； （3）延长交于，过点作，先求得，由折叠可得，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，即，得出，再由的面积为，即∶，求出，再求解可得结果． 【详解】（1）证明∶四边形是平行四边形， ， 由折叠可知∶， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）；理由如下∶ 四边形是平行四边形， ， 又为边的三等分点， ， 由折叠可知∶， ∴， ， 由三角形外角性质可知∶， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； （3）延长交于，过点作， ∴， 的面积为， ， ， ∵, ∴， ∴设，则， ， ， (负值舍去)， ， ， ， ， ， 由折叠可知∶， ，则为等腰直角三角形， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， ，即， ， ∵的面积为，即：， ， ∴， ， 故线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 题型七 垂美四边形 34．（广东省深圳实验学校2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷）【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图，已知四边形的对角线和垂直，若 ，，则 ______；小欢进一步发现图中的四条线段存在数量关系：______； 【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图，点在矩形 内，连接，可得：， 小欢尝试在图中进行结论证明： 证明：过点作于点，延长交于点 ， 在中，， 在中，， 同理可得： ，， 请帮助小欢继续完成结论的证明； 【拓展应用】（3）在图的基础上，若，小欢将绕着点逆时针旋转，当时，_____； （4）如图， 在中， ，点 和点分别在边和上，连接、和，若 ，，，求边的长． 【答案】（）；；（）证明见解析；（）；（）． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用勾股定理即可求解； （）过点作于点，延长交于点 ，则，由勾股定理得，，，，然后证明四边形是矩形，同理可得四边形是矩形，故有，，然后进行代换即可； （）由（）得，，设，，则，由旋转性质可知，所以，同理，然后通过勾股定理，最后代入求解即可； （）作点关于对称点，点关于对称点，连接，则有，，从而可得共线，共线，则有 ，，，证明，得出，由（）得，即，然后求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， 当 ，，则 ， 故答案为：；； （）证明：过点作于点，延长交于点 ，则， 在中，， 在中，， 同理可得： ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，同理可得四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴； （）如图，由（）得，， 设，，则， 由旋转性质可知：， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，作点关于对称点，点关于对称点，连接， ∴，， ∵， ∴共线，共线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴． 35．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：①如图1，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由； (3)问题解决：如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、，，已知，．求的长度． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，见解析 (2)①，见解析；②四边形是矩形，见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在中，点为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，，再由（1）可得，，，从而判定四边形是矩形； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形， 连接、，如图所示： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是垂美四边形； （2）①，理由如下， 如图，已知四边形中，，垂足为， ∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴； ②四边形是矩形，理由如下， 如图，连接AF， ∵在中，点为斜边的中点， ∴， ∵和是等腰三角形， ∴，， 由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （3）连接、，如图所示： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂美四边形的问题，掌握垂直平分线的判定定理、垂直的定义、勾股定理、垂美四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 36．（2025·河南商丘·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形        菱形        矩形        正方形 (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)四边形是矩形，理由见解析； (4)的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义以及灵活运用勾股定理是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一排除即可； （）由四边形是垂美四边形，则，然后用勾股定理即可求解； （）由中位线定理可得，，，，，证明四边形是平行四边形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是矩形； （）设与交于点，与交于点，连接，，由正方形性质可得，，，证明，则，通过三角形内角和定理可得，所以，证明四边形是垂美四边形，然后分当时，当时，再结合勾股定理和（）中结论即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直，不符合垂美四边形定义， 菱形的对角线互相垂直平分符合垂美四边形定义， 矩形的对角线互相平分且相等，不符合垂美四边形定义， 正方形对角线互相垂直平分且相等符合垂美四边形定义， 故选：； （2）解：，理由如下， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， ∴，，，， ∴； （3）解：四边形是矩形，理由， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （4）解：如图，设与交于点，与交于点，连接，， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴.，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 由（）得， ∴， ∴； 综上可知：的长为或． 37．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用： （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①10；② 【分析】本题主要考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“垂美”四边形的性质是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）如图：过于，交的延长线于，由（1）性质可知：，即，再结合勾股定理可得；同理可得： ，则，进而证明结论； （3）如图：以、为边作矩形，连接、，则，由题意得，再结合题中数据可得；C、D、E三点共线时，最小，最后根据矩形的对角线相等即可解答． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ， ， ． （2）证明：如图：过于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又 ， ，即． （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②如图：以、为边作矩形，连接、，则， 由题意得：，即，解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值． 题型八 中点四边形 38．（陕西省西安市高新逸翠园初级中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， ， 四边形的周长为：． 39．（吉林省长春市第八十七中学（13-18班）2024-2025学年九年级上学期期中数学试题）如图1．在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，四边形是_________； (3)如图2．四边形中，和互相垂直，、．则的最小值为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形 (3) 【分析】（1）连接，根据中位线定理，得出 进而得出，，即可求证； （2）根据三角形的中位线定理得出，结合推出，即可得出结论； （3）过点D作，且，连接，则四边形是平行四边形，可得，可推出当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，再证明，则由勾股定理得到，则的最小值为． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴分别是的中位线 ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：同理可得， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． （3）解：如图所示，过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 40．（陕西省商洛市商南县十里坪镇九年制学校、湘河镇初级中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）【定义新知】 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形中，对角线与垂直且相等，点E，F，G，H分别为边的中点，则四边形为“中方四边形”． 【概念理解】 （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】 （2）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．连接，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“中点四边形”的定义分别判断出各选项的“中点四边形”即可求解；（2）设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接，连接交于P，连接交于K，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，最后证四边形是正方形即可；（3）记的中点分别为E、F，连接，根据题意可得，，据此即可求解； 【详解】（1）解：平行四边形的“中点四边形”为平行四边形； 矩形的“中点四边形”为菱形； 菱形的“中点四边形”为矩形； 正方形的“中点四边形”为正方形； 故选：D． （2）证明：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是、、、的中位线， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴四边形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． （3）解：（其他形式正确均可）．理由如下： 如图，记的中点分别为E、F，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形及特殊的平行四边形的判定与性质、中位线定理等知识点，熟记相关判定定理及性质定理的内容是解题关键． 41．（甘肃省武威第八中学2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】选择图2：利用三角形中位线性质证明，即可得出结论； 选择图3：利用三角形中位线性质证明四边形为平行四边形，再根据，利用平行线的性质证明，即可得出结论； 选择图4：先证明四边形为菱形，再证明，即可得出结论． 【详解】解：选择图2； 提出猜想：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是菱形； 证明∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； 选择图3； 提出猜想：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， 求证：四边形是矩形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 选择图4； 提出猜想：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，， ， 求证：四边形是正方形； ∵E，F，G，H是四边的中点， ∴，，，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线，平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握三角形中位线性质和菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期中）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可得出答案； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 【答案】初步应用： ； ； 探究迁移：是等边三角形，理由见解析； 扩展应用：的长为． 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 初步应用：根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； 如图2，证明，得，，进而可得结论； 探究迁移：根据已知条件得到根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 扩展应用：如图4，过作于，的延长线于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解： 直线，直线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； 如图所示，过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ∴，， 故答案为：； 探究迁移： 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， 是等边三角形； 扩展应用： 解：如图4，过作于，的延长线于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 同理，，， ， ， ， ， 的长为． 4．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型． 【问题发现】如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．易证； （1）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系_________； 【问题提出】 （2）在（）的条件下，若，，则的面积为____________． （3）如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】（）；（）；（）的面积为． 【分析】（）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （）由（）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （）由（）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （）如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至FE，作射线交的延长线于点G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ．    【答案】（1）90；（2）证明见解析；（3）①，理由见解析；② 【分析】（1）根据矩形全等，易证，得到，即可求出的度数； （2）过点作交延长线于点，根据正方形和旋转的性质，易证，进而得出，分别证明和是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①过点作，交延长线于点，根据菱形和旋转的性质，易证，得到，，，再结合等腰三角形的性质，得出，从而得出，然后根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可得出结论； ②由垂线段最短可知，当，最小，过点作延长线于点，过点作于点，证明，得到，再根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的特征，求出，即可求出的面积． 【详解】解：（1）矩形和矩形全等， ，，， ， ， ， 故答案为：90； （2）如图，过点作交延长线于点，   四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）①，理由如下： 如图，过点作，交延长线于点，   四边形是菱形，， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接， 由垂线段最短可知，当，最小， 由①可知，，，， 如图，过点作延长线于点，过点作于点，   ， ， ， 又， ， ， 四边形是菱形，，， ， ， 在中，， ， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形等知识，正确作辅助线，根据模型延伸结论是解题关键． 6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)16 【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得，，进而得四边形是正方形，再根据角的等量代换得，利用可证得，进而可求解． （2）过点P作于M，于N，根据角平分线的性质可得，利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，设，则，，在中，利用直角三角形的特征即可求解． （3）延长到，使，连接，根据正方形的性质可得，，利用得，进而可得，．设，利用勾股定理求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，且平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：   平分， ． ， ． ． 在四边形中，， 且，， ． ， ． 又 ． ． ，，设，则，． ， 解得，． ． 在中，，， ． （3）如图，延长到，使，连接．如图：    在四边形中，，且． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ，． ， ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 7．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与特殊的平行四边形有关的热考模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 含60°角的菱形 熟练掌握含60°角的菱形的性质，能运用这些性质解决相关的边长计算、角度推导以及图形证明等问题 常作为几何综合题的基础图形出现，在中考中多与三角形、其他特殊四边形结合考查，以解答题为主 正方形中的风车模型 理解正方形中 “风车模型” 的构造原理，掌握模型中三角形全等或相似的关系，能利用模型解决线段数量关系、位置关系以及图形面积等问题 属于高频考点，在中考中常以选择题、填空题或几何综合题的某一环节形式考查，对模型的识别和应用能力要求较高 与特殊平行四边形有关的最值模型 掌握与特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形等）相关的最值问题的常见类型及解法，如利用轴对称、将军饮马问题等求线段和、差的最值 重要考点，多在中考的选择题、填空题中以压轴题形式出现，考查学生对特殊平行四边形性质的综合运用以及最值问题解题思路的掌握 半角模型 熟悉半角模型的结构特征，能准确识别半角模型，掌握模型中线段的等量关系、角度关系以及三角形全等的证明方法，进而解决相关几何问题 高频考点，在中考几何综合题中经常出现，常与正方形、等腰三角形等结合，考查学生的逻辑推理和模型应用能力 正方形十字架模型 掌握正方形中 “十字架模型” 的性质，即正方形内垂直的两条线段相等，能运用该性质解决线段相等证明、长度计算等问题 常考考点，在中考中多以选择题、填空题形式考查，有时也会在几何综合题中作为关键步骤出现 垂美四边形 理解垂美四边形的定义（对角线互相垂直的四边形），掌握垂美四边形的性质，能运用勾股定理等知识解决与垂美四边形相关的边长、面积等问题 新兴考点，近年来在部分地区中考中有所涉及，多以探索性题目形式出现，考查学生对新定义图形的理解和知识迁移能力 中点四边形 掌握中点四边形的判定方法，能根据原四边形的对角线关系（相等、垂直、既相等又垂直等）判定中点四边形的形状，能解决与中点四边形相关的证明和计算问题 基础考点，在中考中多以选择题、填空题形式考查，难度相对较低，主要考查学生对三角形中位线定理和特殊四边形判定的掌握 模型01 含60°角的菱形 基础 进阶 条件 四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交与点O，∠ABC=60° 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=60° 图示 结论 1)∠ABD=∠CBD=30°； 2) △ABC，△ACD为等边三角形 3)AB：AD：BD=1:1:； 4) 1) △AEF为等边三角形; 2) △ABE≌△ACF，△AEC≌△AFD. 模型02 正方形中的风车模型 条件 已知正方形ABCD，点O是对角线的交点，∠MON=90° 图示 解题策略 利用正方形的性质（对角线互相平分且垂直，对角线与边的夹角是45°），通过“ASA”证明△OAE≌△OBF或△OBE≌△OCF. 结论 1) △OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF 2) BE+BF=AE+FC=AB 3) △EOF为等腰直角三角形 4) 5) 6) (当OE⊥AB时OE取最小值) 模型03 与特殊平行四边形有关的最值模型 类型一 矩形对角相等求最值 条件 在Rt△ABC中，过斜边AC上一点D作直角边的垂线段，求EF长的最小值 结论 类型二 利用菱形/正方形的对称求最值（已菱形为例） 使用场景：在菱形ABCD 中，E，F分别是AC，CD 上的点，求线段长度和DE+EF的最小值. 图示： 解题策略: 连接BE，根据对称性，可知DE=BE，则DE+EF=BE+EF≥BF，根据“垂线段最短”确定当BF⊥CD时BF取最小值，再通过等面积法或勾股定理求出EF的长度.正方形对角线，连接顶点对称现 大招结论：连接BF，当BF⊥CD时BF取最小值. 模型04 半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 模型05 正方形十字架模型 使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF 图示： 解题策略： 1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF. 2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF. 3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF. 大招结论：相等则垂直，垂直则相等. 模型06 垂美四边形 已知 四边形中AC⊥BD 如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP 如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP 图示 结论 S四边形ABCD=AC•BD 模型07 中点四边形 【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 ①四边形EFGH是平行四边形 ②CEFGH =AC+BD ③ 【名师总结】 1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正. 题型一 含60°角的菱形 1．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在菱形中，，，E是边上一点（不与点A，B重合），作交于点F，且，连接．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：连接，是等边三角形； 结论Ⅱ：的周长的最小值是3 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形的形状是 ，若，，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线，相交于点E，，且． (1)如图1，当点是线段的中点时，直接写出线段，，之间的数量关系； (2)如图2，当点是线段上任意一点时（点不与，重合），求证：； (3)如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的长度． 4．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积．结果保留根号 题型二 正方形中的风车模型 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在正方形中，，对角线相交于点，点从点出发，在边上由向移动，同时点从点出发，以相同的速度在边上由向移动，连接．下列结论：；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点M，N．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·开学考试）问题发现： （1）如图①，正方形的边长为8，对角线相交于点是上一点（点E不与重合），将射线绕点O逆时针旋转，所得射线与交于点F，则四边形的面积为________． 问题探究： （2）如图②，点C为线段上一点，在上方作四边形，使，且，连接，若，求的最大值． 问题解决： （3）口袋公园为西安增绿添彩，一草一木尽显匠心．某社区准备在小区内部建造一个口袋公园，图③为口袋公园的平面示意图，在四边形中，米．其中为步行小路，考虑到延长小路增加观赏时间，要求三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值． 9．（2025·吉林长春·二模）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明（无需证明）即可推导出来．连结，则，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连结，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．       题型三 与特殊平行四边形有关的最值模型 类型一 矩形对角相等求最值 10．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（  ） A．3 B． C．4 D． 12．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ． 类型二 利用菱形的对称求最值 13．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 14．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，边长为2，，点在对角线上，点为边中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，菱形中，，，交于O，点M在线段上，且，点P为上的一个动点，则的最小值是 ． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在菱形中，对角线，点E，F分别是边的中点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是 ． 17．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值． 类型三 利用正方形的对称求最值 18．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 19．（22-23八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边和上的动点，且始终满足，连接，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 20．（20-21九年级上·陕西·阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，连接，则的最小值为 ． 题型四 半角模型 类型一 90°半角模型 21．（22-23九年级上·山东济宁·期中）半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 22．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 23．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 【原题】如图1，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系． 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”，在解决半角模型问题时，“旋转”、“截长补短”均是常用的方法． (1)思路梳理： A.旋转法：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则，，可以得到，即点共线． 易证 ，故之间的数量关系为 ． B.截长补短法：延长至点G，使得，由，，即，可以得到． (2)类比引申 如图2，点E，F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 类型二 120°半角模型 24．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 25．（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 题型五 十字架模型 26．（吉林省长春市力旺中学2024-2025学年九年级上学期期末数学考试）【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 27．（广东省揭阳真理中学2025-2026学年第一学期九年级第一次月考数学模拟卷05）（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，交于点O，．求证：． （2）如图2，在正方形中，点E、H、F、G分别在边上，交于点O，．求的长． （3）如图3，在矩形中，，点E、H、F、G分别在矩形的边上，交于点O，，求的长． 28．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）(1)如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，证明：；    (2)如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：； 29．（20-21九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN； （2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN； （3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值． 题型六 折叠问题 解｜题｜技｜巧 图形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形(即寻找线段、角的等量关系)，然后利用勾股定理等知识，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理计算.由于矩形四个角都是直角，又具有中心对称性和轴对称性，所以常常作为折叠问题的背景. 30．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 31．（24-25八年级下·吉林·期末）综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 32．（24-25八年级下·江西赣州·期末）实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 33．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）综合与实践 【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为， 【分析探究】（1）如图1，证明四边形是菱形． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由．    （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点．若的面积为，，请求线段的长． 题型七 垂美四边形 34．（广东省深圳实验学校2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷）【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图，已知四边形的对角线和垂直，若 ，，则 ______；小欢进一步发现图中的四条线段存在数量关系：______； 【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图，点在矩形 内，连接，可得：， 小欢尝试在图中进行结论证明： 证明：过点作于点，延长交于点 ， 在中，， 在中，， 同理可得： ，， 请帮助小欢继续完成结论的证明； 【拓展应用】（3）在图的基础上，若，小欢将绕着点逆时针旋转，当时，_____； （4）如图， 在中， ，点 和点分别在边和上，连接、和，若 ，，，求边的长． 35．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：①如图1，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由； (3)问题解决：如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、，，已知，．求的长度． 36．（2025·河南商丘·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） 平行四边形        菱形        矩形        正方形 (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，判断四边形的形状，并说明理由； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，直接写出的长． 37．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用： （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，是内一点，且，则的最小值是___________． 题型八 中点四边形 38．（陕西省西安市高新逸翠园初级中学2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题）如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 39．（吉林省长春市第八十七中学（13-18班）2024-2025学年九年级上学期期中数学试题）如图1．在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题： (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，四边形是_________； (3)如图2．四边形中，和互相垂直，、．则的最小值为________． 40．（陕西省商洛市商南县十里坪镇九年制学校、湘河镇初级中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）【定义新知】 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图1，在四边形中，对角线与垂直且相等，点E，F，G，H分别为边的中点，则四边形为“中方四边形”． 【概念理解】 （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 【问题解决】 （2）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．连接，试探索与的数量关系，并说明理由． 41．（甘肃省武威第八中学2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， 探究过程（1）作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形． （2）观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定，例如对角线既不相等，也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 （3）证明与表达：已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线求证：四边形是平行四边形．（证明过程略） 问题：请你选择图2、图3、图4中的一个图，画出四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可），我选择________（填图2、图3、图4中的一个）提出猜想：对角线___________的四边形的中点四边形是________形；然后写出已知，求证，完成证明过程 已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点，与为四边形对角线，______． 求证：四边形是______． 证明： 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期中）已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 3．（24-25八年级上·江西赣州·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 4．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型． 【问题发现】如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．易证； （1）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系_________； 【问题提出】 （2）在（）的条件下，若，，则的面积为____________． （3）如图，正方形中，，，求的面积． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）【模型探究】把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则 ； （2）【迁移应用】如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至FE，作射线交的延长线于点G，求证：； （3）【拓展延伸】在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G． ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，当最小时，的面积为 ．    6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 7．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $