4.1认识三角形(高、中线、角平分线)（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.1认识三角形(高、中线、角平分线) （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 三角形的高、中线与角平分线的概念 题型二 画三角形的高、中线或角平分线 题型三 网格中计算三角形的面积 题型四 与三角形高有关的计算 题型五 利用三角形的中线与三角形周长有关计算 题型六 利用三角形的中线与三角形的面积有关计算 题型七 与角平分线有关的角度计算 能力提升题 题型一 应用等面积法求线段长 题型二 探究三角形的边、角、线 题型一 三角形的高、中线与角平分线的概念 1．如图，在中，边BC上的高是（   ） A．线段AE B．线段CD C．线段AF D．线段BF 2．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 3．下列与三角形重心有关的结论中，正确的是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三角形的重心可能在三角形的一边或外部 4．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 5．下列说法正确的是（   ） A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； B．三角形的高就是顶点到对边的垂线； C．三角形的一个外角等于两个内角和； D．三角形的角平分线也就是角的平分线； 6．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法错误的是（   ）． A． B． C． D． 7．数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，与交于点O，且O为中点，，下列说法： 与面积相等； 是的外角； 是的中线； 中，正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 画三角形的高、中线或角平分线 9．用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．B．C．D． 10．在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 12．方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 13．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 题型三 网格中计算三角形的面积 14．如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 16．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 17．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 题型四 与三角形高有关的计算 19．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 21.在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ． 题型五 利用三角形的中线与三角形周长有关计算 22．如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 23．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 24．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 25．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 26．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 27．如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 题型六 利用三角形的中线与三角形的面积有关计算 28．如图，在中，点D是的中点，，若，且，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 29．如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 30．如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 31．如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 32．如图， D，E，F分别是边，，上的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 33．如图，在中，点E，F分别为，上的点，若，，连接，，与交于点O．求证：． 34．如图，为的中线，为中线，为的中线． (1)若的面积为，求的面积； (2)比较和面积的大小，并说明理由． 35．如图，在三角形中，，，若三角形面积是1，则阴影部分的面积是多少? 题型七 与角平分线有关的角度计算 36．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 37．中，，为角平分线，求的度数． 38．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 39.如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H． （1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数． （2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数． ． 题型一 应用等面积法求线段长 40.如图，，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是_______． 41.如图，中，点为边上一点，满足，连接，点为中点，连接，若的面积是3，则的面积是________．    42.已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 题型二 探究三角形的边、角、线 43.如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 44.如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°， （1）请问DG与AB平行吗？为什么？ （2）若DG是∠ADC的角平分线，∠1＝30°，求∠B的度数． 45.已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 46.【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 47．课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 48．【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 49．（1）如图1，在中，点D，E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图2，若把（1）中的条件“”变成“点F为的延长线上一点，”，其他条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“点F为AD的延长线上一点，”，其他条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1认识三角形(高、中线、角平分线) （7大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 三角形的高、中线与角平分线的概念 题型二 画三角形的高、中线或角平分线 题型三 网格中计算三角形的面积 题型四 与三角形高有关的计算 题型五 利用三角形的中线与三角形周长有关计算 题型六 利用三角形的中线与三角形的面积有关计算 题型七 与角平分线有关的角度计算 能力提升题 题型一 应用等面积法求线段长 题型二 探究三角形的边、角、线 题型一 三角形的高、中线与角平分线的概念 1．如图，在中，边BC上的高是（   ） A．线段AE B．线段CD C．线段AF D．线段BF 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：，交的延长线于， 边上的高是线段 故选：A． 2．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中线，是的中线，故选项A，B正确，不符合题意； ∴，，故选项C正确，不符合题意； 在中，的对边是，在中，的对边是，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 3．下列与三角形重心有关的结论中，正确的是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三角形的重心可能在三角形的一边或外部 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的定义．熟练掌握三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，一个三角形的重心只有一个是解题的关键． 【详解】解：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，一个三角形的重心只有一个， 所以A，C，D错误，B正确． 故选B． 4．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心、三角形的角平分线、中线和高及三角形的面积，根据三角形角平分线的定义、高线的定义及重心的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为三角形一个内角平分线与另一边交点之间的线段称为三角形的角平分线，所以三角形的角平分线是一条线段．故A选项不符合题意． 三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故B选项不符合题意． 因为重心是三角形三条中线的交点，故C选项符合题意． 因为三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，而角平分线不一定能分成两个面积相等的三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 5．下列说法正确的是（   ） A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分； B．三角形的高就是顶点到对边的垂线； C．三角形的一个外角等于两个内角和； D．三角形的角平分线也就是角的平分线； 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的高，三角形的外角以及三角形的角平分线的定义，根据各自的定义一一判断即可得出答案． 【详解】解：．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，原说法正确，故该选项符合题意； ．三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，原说法错误，故该选项不符合题意； ．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，不是任意两个内角的和，原说法错误，故该选项不符合题意； ．三角形的角平分线是线段，是三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段；而角的平分线是射线，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线的性质，准确计算是解题的关键． 根据三角形角平分线、中线和高的知识点进行判断即可． 【详解】对于A，是中线，，故A说法正确，不符合题意； 对于B，是高，，即，故B说法正确，不符合题意； 对于C，是中线，不一定能够得到，故C说法错误，符合题意； 对于D，是高，，， 是中线，，即，故D说法正确，不符合题意． 故选：C． 7．数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 8．如图，与交于点O，且O为中点，，下列说法： 与面积相等； 是的外角； 是的中线； 中，正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形外角的性质，三角形的中线．根据平行线间距离处处相等，可判断；根据外角的定义及性质可判断；根据三角形中线的定义可判断． 【详解】解：， 点A与点D到边的距离相等， 与面积相等，故正确； 不是的外角，故错误； O为中点， 是的中线，故错误； ， ，故正确； 综上可知，正确的有2个， 故选B． 题型二 画三角形的高、中线或角平分线 9．用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高）画图即可得答案． 【详解】解：三角板的摆放位置正确的是一条直角边与边齐平，另一条直角边经过点， 观察四个选项可知，只有选项B符合. 故选：B． 10．在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高，根据三角形高的定义即可求解．熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作（或延长线）的垂线段，垂足为，则垂线段为的边上的高，由图可知，选项符合，其他选项不符合． 故选：． 11．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图中画出符合要求的图形． (1)请在图中画出的边上的高 (2)请在图中画出的中线 (3)请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点H即可； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得D点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：． 12．方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、、在小正方形的顶点上， (1)在图1中的内部画两条线段将分割成面积相等的三个三角形． (2)在图2中作出的边上的高，并直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；4 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，三角形的面积，三角形的高，解决本题的关键是准确利用网格作图． （1）取格点M，N，使点M，N为边的三等分点，即可解答； （2）在线段的延长线上取格点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，即为所求． 根据题意得：， ∴． 13．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 题型三 网格中计算三角形的面积 14．如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，根据图中各部分之间的面积关系正确列式计算是解题的关键． 用整个网格的面积减去周围三个小三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：． 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，找出网格中图形的面积关系是解题关键．根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积求解即可得． 【详解】解：因为图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 所以图中阴影部分的面积是， 故选：B． 16．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 17．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题的关键．利用面积公式找到其中一个，做平行线即可得到所有满足的点． 【详解】解：根据题意画出， 满足条件的格点6个， 故选D． 18．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 题型四 与三角形高有关的计算 19．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 20．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 21.在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的面积，关键是中线的性质，利用高相等，底边的比就是面积比是常用的求面积的方法． 根据三角形的中线平分面积，以及同高三角形面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与共高， ∴， ∴， ∴， ∵D是边的中点， 同理可得：， ∴， 故答案为：5． 题型五 利用三角形的中线与三角形周长有关计算 22．如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选：B． 23．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 24．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 25．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 26．如图，在中，分别是边上的中线，若，，且的周长为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，由三角形中线的定义可得，，进而根据周长即可求解，掌握三角形中线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分别是边上的中线，，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 27．如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 题型六 利用三角形的中线与三角形的面积有关计算 28．如图，在中，点D是的中点，，若，且，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，三角形面积公式，先根据三角形面积公式计算得出，再结合点D是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵在中，点D是的中点， ∴， 故选：B． 29．如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 30．如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．根据三角形中线的性质可得，，，由此即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为， 故选：C． 31．如图，在中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了三角形面积的求法，根据得出和面积之间的关系，根据E是的中点得出和面积之间的关系，从而求出的面积，再根据是的中线即可求出的面积，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：D． 32．如图， D，E，F分别是边，，上的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，结合阴影部分的面积为得出，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵阴影部分的面积为3， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 33．如图，在中，点E，F分别为，上的点，若，，连接，，与交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 34．如图，为的中线，为中线，为的中线． (1)若的面积为，求的面积； (2)比较和面积的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)和面积相等，理由见解析 【分析】本题考查了三角形面积的应用，关键利用等底等高的三角形面积相等来解决． （1）根据两个三角形在等底等高的情况下面积相等，分别求出每个三角形的面积． （2）根据两个三角形在等底等高的情况下面积相等，对两个三角形加以比较． 【详解】（1）解：为的中线， ， 又为中线， ． （2）和面积相等，理由如下， 为的中线． ， ， 即：和面积相等． 35．如图，在三角形中，，，若三角形面积是1，则阴影部分的面积是多少? 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，一元一次方程的应用，解题的关键是作出辅助线，得出，，．连接，根据三角形面积公式得出，，从而得出，，根据，得出，设，则，根据的面积为1，列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵的面积为1， ∴， 解得：， ∴． 题型七 与角平分线有关的角度计算 36．如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高和角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识并能灵活运用． 37．中，，为角平分线，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先利用角平分线的性质求出的度数，再由三角形的内角和定理便可求出的度数． 【详解】解：∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴． 38．如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 39.如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H． （1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数． （2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数． 【答案】（1）110°；（2）125°. 【详解】试题分析：（1）已知BE⊥AC，CD⊥AB，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数；（2）已知BE、CD平分∠ABC和∠ACB，根据角平分线的都有可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数. 试题解析： （1）∵BE⊥AC，∠ACB=70°， ∴∠EBC=90°﹣70°=20°， ∵CD⊥AB，∠ABC=40°， ∴∠DCB=90°﹣40°=50°， ∴∠BHC=180°﹣20°﹣50°=110°． （2）∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°， ∴∠EBC=20°， ∵DC平分∠ACB，∠ACB=70°， ∴∠DCB=35°， ∴∠BHC=180°﹣20°﹣35°=125°. 点睛：本题考查三角形内角和定理、三角形的高、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． ． 题型一 应用等面积法求线段长 40.如图，，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则△DCB的面积是_______． 【答案】12 【分析】由题意得点B到AD的距离等于点D到BC的距离，即可得，根据的面积为4，即可得． 【详解】解：∵， ∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离， ∴， ∵的面积为4， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，解题的关键是掌握平行线间的距离． 41.如图，中，点为边上一点，满足，连接，点为中点，连接，若的面积是3，则的面积是________．    【答案】 【分析】根据为中点可得的面积是3，求出的面积，再根据同高的三角形的面积比等于底边的比求出的面积即可． 【详解】解：∵点为中点，的面积是3， ∴的面积是3， ∴的面积是6， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，熟知同高或等高的三角形的面积比等于底边的比是解题的关键． 42.已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 【答案】(1)平行，详见解析 (2)4 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，因此，由此可得． （2）由，中上的高与中上高相同，可得，因此，由此可求出．同理可求出，，即可求出的面积． 【详解】（1）理由如下： 平分，平分， ． ， ， ， ． （2），中上的高与中上高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、以及高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二 探究三角形的边、角、线 43.如图，是的角平分线．，交于点E，，交于点F，图中与有什么关系？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】由角平分线的定义可得．由平行线的性质可得，，最后等量代换即得出． 【详解】． 理由：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质．掌握角平分线分得的两个角相等和两直线平行，内错角相等，是解题关键． 44.如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°， （1）请问DG与AB平行吗？为什么？ （2）若DG是∠ADC的角平分线，∠1＝30°，求∠B的度数． 【答案】（1）DG与AB平行，理由见解析；（2）30° 【分析】（1）根据平行线的性质定理以及判定定理即可解答； （2）根据角平分线的定义以及平行线的性质定理即可求解． 【详解】（1）DG与AB平行，理由如下： ∵AD∥EF ∴∠2+∠BAD=180° 又∵∠1+∠2=180° ∴∠1=∠BAD ∴DG∥AB （2）∵DG是∠ADC的角平分线， ∴∠GDC=∠1=30°， 又∵DG∥AB， ∴∠B=∠GDC=30° 故答案为：30° 【点睛】本题考查了平行线的性质定理以及判定定理，两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；本题还考查了角平分线的定义． 45.已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 【答案】(1)平行，详见解析 (2)4 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，因此，由此可得． （2）由，中上的高与中上高相同，可得，因此，由此可求出．同理可求出，，即可求出的面积． 【详解】（1）理由如下： 平分，平分， ． ， ， ， ． （2），中上的高与中上高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、以及高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键． 46.【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）3∶4；      解：如图，过点A作， 则 ． （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． 47．课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【答案】(1)见解析 (2) S△ABE＝10，E到BC的距离是4；见解析 【分析】（1）过点A作边上的高，由三角形中线的性质得到，进而得到； （2）如图所示，过点E作于点F，由三角形中线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可； 根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点A作边上的高， ∵是边边上的中线 ∴ ∴ ∴三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． （2）如图所示，过点E作于点F， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即 ∴， ∴点E到的距离为4． 如图所示（取各边中点或中线的中点） 48．【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 49．（1）如图1，在中，点D，E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图2，若把（1）中的条件“”变成“点F为的延长线上一点，”，其他条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“点F为AD的延长线上一点，”，其他条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析， 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题． （1）关根据角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度； （2）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到； （3）作于H，由(1)的结论和平行的性质得到． 【详解】（1）如图1，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）如图2，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. （3）如图3，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $