重庆市第一中学校2025-2026学年高三上学期第三次数学周考试题

重庆一中2026届高三上数学阁考3 09.21 参考答案 一、单选1-8：BDBD DBAA 8.解：f(x)=e+es的定义域为R,且f(-x)=e+e=f(x), 故f(x)=e+e为偶函数，且当x>0时，f'(x)=e-e*>0 恒成立，故f(x)=c心+e*在(0，+∞)上单调递增， 由对称性可知f(x)在(-∞，0)上单调递减，f(x)m=f(0)=2, 令x2+x=t,若f)=k仅有一个实数根o,则t0=0,k=2,此 时x+x=0,解得x=0或-1，仅有2个实数根，不合要求，舍； 若∫()=k有两个实数根4,2，由对称性可知2=一1，需要满足 x2+x=1和x2+x=-41均有两个解，即x2+x一4=0和x2+x +4=0均有两个解，由△=1+441>0，△=1-4t1>0,解得 子<4<子，又4*0，故-子<4<子且4≠0，即k=f) =e+eE(2.et+e+) 二、多选9-11：9.AD10.BD11.BCD 10.解：选项A:因为f(于)=0≠f(+)=-2,π不是f()的 一个周期，故A错误： 选项B、D:函数f(x)定义域为R,并且f(-x)=f(x),所以函数 为偶函数； 因为x∈[0，+∞)，f(x)=f(x+2π)，为周期函数，故仅需研究函 数f(x)在区间[0,2π]上的值域及零点个数即可，因为x∈ [0,]U[经，2时，fx)=sinx-cosx=v2sin(x-子)： 当x∈[受，头]时，f)=sinx+cosx=V2sim(x+子)： 当x∈[o.]U[要，2]时，令x-辛=‘∈ [-,]U[妥，]，则y=万·· [-牙，子]U[经，在]，可得y[-2,1刂且仅-个零点： 当xe[受，妥]时，令x+冬=1∈[3要，朵]，则y=2sint,t ∈[平，经]，可得y∈[-2，刂且仅-个零点： 所以函数(x)的值域为[-反，1]且在[-2元，2]上有4个零 点。故选项B正确，选项D正确。 选项C:函数f(x)在[停，售]上，有f(x)=s血x+0sx= 反血+)，所以x+景∈[x,竖]，则得函数/)在该区 间上不单调.故选项C错误。 1L解：令网=k-1)ax-ax-a=0a=安nx, 令g网=x,由题可知，8)=g(）=a,8'因= 2岁，令g因=0得 当x0.）时，g因<0，所以g倒=x单调递减： 当x∈0，+o)时，g冈>0，所以g冈=x单调递增： g)=0,得8(=r示意图所以a>0都符合愿意：故 A错误： 十nx=g, 第1页（共 当x>0且x≠1时，x取两个互y% 为倒数的数时，函数值相等， =g(x) 因g()=g(x)=a,所以x1,2 y= 互为倒数，=1，故B正确； (x+1)(+1)=x2十（名+）O名】 X2 +1≥xx2+2Wxx+1=4,等 且仅当x1=x2=1时等号成立，因为x<1<x2,所以 (:+1)(:+1)>4,故C正确： 因为x=1,要证1nx+2a<ln%<nx+2a+号， 即证-lh+2a<n<-lnx+2a+号→a<nx<a+号， 因为g6e)=g闳=a,所以a=多h即证n,< ,<瓷n+号 我们分别证明瓷<，：<多+号，证明 爱a6<a 因为1<场，所以>0,0<-1<+1一爱号<1 <h,证明<会n+号 要证<关+号即证<+1， 不妨设因)=x+1-3hx>1),得r=1-是， 显然，当x∈(1,3)时，(x)<0,此时h(x)单调递减： 当x∈(3，+o)时，h(x)>0,此时h(x)单调递增： 故h(x)≥h(3)=4-3ln3>0,故x+1-3nx>0,即x+1> 3h,所以证得3h<+1,即证得h<毫骨n+号， 即得1nx+2a<n<mx+2a+手，故选项D正确. 三填空题：12.与13.4万141-忌， .解：函数fx)=e心-x2+a,则f(x)=c-2x 令h(x)=e一2x,则h(x)=c-2,函数(x)在R上单调递增， 当x<ln2时，h'(x)<0:当x>n2时，h'(x)>0,则函数f(x) 在(-co,ln2)上单调递减，在(n2,+o∞)上单调递增， 则f'(x)≥f"(n2)=2(1-lm2)=2(ne-m2)>0,因此函数 f(,)在R上单调递增，当x∈[0,1]时，f(0)≤fx)≤f(1), 即f(x)∈[1+a,e-1+a], 函数g(=xnx,x∈[尽，d]求导得g)=nx+l, 当x∈[是)时，g<0,当xe(日，d时，g)>0, 函数g倒在[日，]上单调递减，此时g(付)≥8因≥ g日)，即-6≤g<-3 在[日，©上单调递增，此时g(日)≤g()≤g(e),即-。≤ g(x)≤e, 由对任意的x∈[0，]，存在唯一的x∈[日，d]使得八x,)= g(x,)得[1+a,c-1-a是(-子，d]U{-日}的子集，即 小+a>-是.解得-1-合<a≤1： e-l+a≤e 所以实数a的取值范围是(-1-小 4页) 四、解答题（共77分） 包假设}+日=1成立，a+e=ac 15.解：((=V6sin警cos警+2cos竖-号 由余弦定理得 =5na+反，1+g-号 2 2 6-d+e-2accos=+o+ac-(a+o)- =v(9snax+分ooa)=-/Zsin(ox+若) ac, 代入可得(ac)2-ac-6=0,ac=3或ac=-2 ·图象中两条相邻的对称轴之间的距离为受， (舍)， 小号=受=奇= 此时a+c=ac=3,不满足a+c≥2Wac, 由0>0，@=2，f)=V2sin(2x+若) “日+日=1不成立 令2m+受≤2x+晋≤2m+受(e2Z), 17.(15分)解：(1)因“经过两次试验后，手上有两个白 得m+晋≤x≤m+受(kEZ, 球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬 ·∫(x)的单调递减区间为 币均正面向上， [m+吾，c+]kez). 故其概率为：宁×号×分×=斋 (2)少=f()图象向左平移妥个单位长度得y= (2)由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白 V2si血(2x+平)，再将所得图象上各点的横坐标变 球和1个红球包括两个事件： ①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白 为原来的2倍（纵坐标不变），得g(x)= 球被放回，其概率为： √2sin(x+年）=sinr+cosx.由g(x)+1=sin2x, C4xcx(传广×1-2）= A sinx+cosx+1=2 sinxcosx,.令t=sinx+cosx,则 ②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红 2sinxcosx=8-1, 球被放回，其概率为： “t2-t-2=0,1=-1或t=2(舍).由x∈ [0,空，x+子∈[子，n],令u=x+至则y C4×c×(合×(-)=斋 A =√2sinw=-1, 故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，手 结合正弦函数对称性可得所有根之和山，+十4 上正好有1个白球和1个红球的概率为 +%=受×2+2受x2=10m, 易+最=最 (3)依题意， 十+为+x=10m-4×牙三9% =C(合x(厂x子=c(合》， 16.解：()由B=,得A+C=号， 由Pal= 2)x”- 则cos(A+C)=coscC-sin AsinC,即子= 51 cos Acos C-sin Asin C. 又：=号i血46mC=名， =22≥1 解得n≤8，即ps<p6<p<p%=p>po>, “品=c=源=2， 故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大， 2 此时n=8或9. '.a=22sin A,c=22sin C, aesinBsin A-2Tsin Csin B =4如1如BC=4×若x9=9 3 第2页（共4页） 18.解：(1)由题意知F(-c,0),FB(c,0), 设PKo,,故是-是=1， a2 b2 则P元.P元=(-c-x0,一y%)·(c-w,-】 =场+洛-c2 =公+茶+8-心=宗8-， 当=0时，P元·P取到最小值-， 即-b2=-2,.b2=2, 又e=号=5，则c2-a2=(W3a-a2=2, 心=1，故双曲线方程为-兰=1 将x=3代入可得y=士4，由于Q(3,m)是双曲线 在第一象限内的点，故(3,4)， 又双曲线渐近线方程为y=士√2x, 不妨设0A方程为y-4=一V2(x-3), 联立y=V2x y-4=-V2(x-3)' 解得4+号，2+2 则1o=V2+2Y+(32+2) =V51+362 设QB方程为y-4=√2(x-3), 联立yv②x y-4=V2(x-3)' 得(-2+号，-2+2) 则=-√+2+(-32+2 =V51-362 2 由双曲线渐近线方程可知tanZAOx=√2， 则anL408=mL40x=鸽=-2反 则∠AOB为钝角， 结合sin2∠AOB+cos2∠AOB=1, 可得sinLA0B=2y2 3 故四边形OAQB的面积为|O·O·sin/AOB= 51+36251-362.22=互 2 2 3 2； 第3页（共4 (2)证明：当直线1的斜率存在时，设其方程为y= +m,设M(x,y）,N(2,y2), 联立化0， 得(2-2)x2-2kmx-m2-2=0, △1=8m2-8k2+16>0, 则十地=梁=会， 因为QM⊥QN,故Qi·QN=0, 故0M.0示=(：-3，-4)·(2-3,2-4) =(x1-3)(名-3)+(1+m-4)(2+m-4) =(1+)x1x2+[k(m-4)-3](+x2)+9+ (m-4)2=0 即+(2”宗)+m-列-2婴)+ 9+(m-4)2=0, 可得m2-(6k+16)m-27k2+48=0, 即得m=9k+12或m=-3k+4: 当m=一3k+4时，直线1方程为y=c-3k+4过 点(3,4)，不合题意 当m=9k+12时，直线1方程为y=a+9k+12 过点(-9,12)： 当直线1的斜率不存在时，设其方程为x=t,则可 取M(t,V2P-2),N(t,-V2-2), o·od =(t-3,V2-2-4)·(t-3,-√22-2-4) =(t-32+16-2+2=0,∴.2+6t-27=0, 解得t=3或t=-9, t=3时，直线1过点Q,不合题意： 1=-9时，直线1也过点(-9,12)， 综合上述，直线1过定点(-9,12) 页) 19.解：(I)f()=Hog(a>0且a≠1)（答案不唯-）. 由f(x)=f(x),则logx=llog2, 易知log=-l0g2,logo十log92=0, 可得logx2=0,解得xx2=1. ax+点=n (2)令g(x)=g(x)=n, X ax+点=n X2 即a-+b=0 a-x+b=01 ∴1,2是ax2-x+b=0的两个不等实根， = a 又x1>0,为>0且≠2， +>2=2悟 (3)()设x1≠x2,x2=m>0,且m为常数， 由a)=h()得A(x)=(兴) 即为-=号-h号=器-lbm+, 21-x+-lnm=0对任意>0成立， 即2一+织-m恒为常数0，显然矛盾， 函数h(x)不满足性质 (由h(x)=x-lnx, 求导可得)=1一=， 当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时，h'(x)>0, 函数h(x)在(0,1)上单调递减，(1，+o上单调 递增，由h(x)=h(x),有0<x1<1,>1, ①当x2≥2时， )-4号)=-)-（景-号） =-)-(偏-h最) =-是-h+2, 令p0=1-是-3r+n2, 则p0=1+手-名 =-3+4=-2P+, 当1≥2时，p()≥0， p()在[2，+∞)单调递增， p(0≥p(2)=号-212=2h元>0， 第4页（共 六≥2时，)-4号)>0，即()>A号》 0<4<1,0<是<1， h(x)在(0,1)上单调递减， <最故×2 ②当1<<2时，只需证明x<1. )-安)=-a)-(合-哈) =a-)-(g-2)=-安-2n, 令g0=t-}-2h, 则g0=1+日-子=2-2-少>0， 2 当1>1时，g(0>0, “g(0在(1，+∞)单调递增，q()>g(1)=0, 1<<2时，)-号）>0， 即)>A号)： :0<x1<1,0<点 <1,hax)在(0,1)上单调递 减， 1,故x<1, < 又1<2<2，x<2. 综上所述：x场<2. 项)重庆一中高2026届高三第三次数学周考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.命题“x∈R,x2+2x+1≥0的否定是() A.3xeR,x2+2x+1≥0 B.3xeR,x2+2x+1<0 C.xeR,x2+2x+1>0 D.xeR,x2+2x+1<0 2.关于x的不等式lgx.lgx+klgx-1<0对-切x∈R*恒成立，则k的取值范围是() A（-0,-4] B.(-o,-4]U[0,+∞) C.(-4,0) D.(-4,0] 3.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开 头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以n(∈N,)开头 的数出现的概率为P(m=lg”+, 如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱 n 好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性·若 兑Pm=g8-l6E二（keN,k≤19)（说明符号4，=4+a+…+a,(k,jeN,)》.则k的值 log,2+l0g,5 为() A.3 B.S C.7 D.9 4m+引子则-( ) A} D子 5.已知函数f(x)=x3-6x2,若g(x)=f(x+a)-b为奇函数，则() A.a=2,b=16 B.a=-2,b=-16 C.a=-2,b=16 D.a=2,b=-16 6.已知Q为抛物线C:y2=4x上的动点，动点M满足到点A2,0)的距离与到点℉F是C的焦点)的距 离之比为 ,则OMH2A的最小值是（) 2 A.3-√2 B.4-V2 C.4+√2 D.4 7.有A,B,C,D四种不同颜色的鲜花要（全部）栽种在并列成一排的五个区域中，相邻两区域不能栽种 第1页/共4页 同色的花，当前头的第个区域栽种的是A色花时，尾端的第五个区域也恰好栽种A色花的概率为（) 1 1 b.2 D.5 8.已知函数f(x)=e+e*,若关于x的方程f(x2+x)=k有4个不同的实数根，则k的取值范围是( A. 2,e+e B.(2,e2+e2） e+e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.将一组样本数据的平均数混入到该组样本数据中，由此估计出来的统计量不变的有() A.平均数 B.中位数 C.标准差 D.极差 10.已知函数f(x)干simx-cos刘，下列关于此函数的论述正确的是（) A.π是f(x)的一个周期 B.函数f(x)的值域为-√2，] 。函数)润平]上单调莲减 D.函数f(x)在[-2x,2]内有4个零点 11.已知函数f(x)=(x-1)lnx-ax-a(a≠0)在区间(0，+oo)上有两个不同的零点x,x2,且x<x2, 则下列选项正确的是() A.a的取值范围是(0,1) B.52=1 C.(x+1)(x2+1)>4 D.Inx +2a<n<+2a+ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a,beR*,4a+b=1,则ab 的最大值是 atb 13.已知△ABC中，AB=6,AC=2,AD为∠BAC的角平分线，AD=V5,则△ABC的面积为 「11 14.对于函数f()=e-r产+a,8)=x血x,者对任意的x∈[0，小，存在唯一的5，使得 f(x)=g(x),则实数a的取值范闹是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 第2页/共4页 15（1B分)已知通数f问=V6ngc0s+5cosg:O-二(O>0),其图象中两条相邻的对称 2 2 22 轴之间的距离为受 (1)求函数∫(x)的解析式，并求出它的单调递减区间： (2)将函数y=∫()的图象向左平移交个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵 24 变)，得到函数y=g☒)的图象，当x∈0,4π时，求方程8+1=si血2x的所 16.(15分)在△ABC中，它的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,且B=织，b=V6 31 (1)诺cos4csC= 3 求△ABC的面积； 2)试问+=1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长：若不成立，请说明理由。 a c 17.(15分)有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个，从箱子里随机取出一个小球，同时 抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子.重复 该试验，当箱中无小球时停止试验.假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率： (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率： (3)设第n次停止试验的概率为P.(n≥5，neZ),则当P.取最大值时，求n的值. 第3页/共4页 1眼17分》已知双自线C:号若=0>00>0)的离心率为5，F,月分别为其去，右焦点，P为 双曲线上任一点，Q(3,m)是双曲线在第一象限内的点，P灭·P瓦的最小值是-2， (1)过点Q(3,m)分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A,B两点，0为坐标原点， 求四边形OAQB的面积： (2)若不过点Q的直线1与双曲线交于不同的两点M,N,且满足DM⊥ON,证明：直线MN过定点， 并求出该定点坐标 19.(17分)若函数f(x)对其定义域内任意x,2(:≠为2)满足：当f()=f(x2)时，有xx2为同一常 数，则称函数f(x)具有性质V. (1)请写出一个定义域为(0，+∞)且具有性质V的函数f(x)； （2)已知a,beR,函数g()=ar+x>0,当g()=g()≠)时，正明：名+名>2 (3)设函数h(x)=x-lnx,h(x)=h(x2)(x2>x>0), (i)判断函数h(x)是否具有性质V: (i)证明：x号<2. 第4页/共4页