第5周 二次函数与一元二次方程、不等式-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 18 — 第五周 二次函数与一元二次方程、不等式 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第4题.该题主要考查含参数一元二次不等式的求解,题目设置紧扣概念,考查学 生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 一元二次不等式(不含参)的求解 1.(2025·湖南岳阳质量检测)不等式 x-1 x-2023 ≥0的解集为 ( ) A.{x|x≥2023或x≥1} B.{x|x≤1或x≥2023} C.x|1≤x≤2023 D.{x|x<1或x>2023} 2.(2025·山东济宁·阶段练习)不等式 x-2 3-2x ≥0的解集为 ( ) A. xx>32 B. x 32≤x≤2 C. xx≤32或x≥2 D. xx≤32 考点二 一元二次不等式(含参)的求解 3.(2025·江苏宿迁·阶段练习)若0<a<1,则不等式(x-a)(x-1a )<0的解集是 ( ) A. xa<x<1a B. xx>1a或x<a C. x 1a<x<a D. xx>a或x<1a 4.(2025·江苏南京·质量检测)设a为实数,则关于x的不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可 能是 ( ) A. x 2a<x<2 B. xx>2a或x<2 C.{x|x>2} D. x2<x<2a 考点三 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 5.(2025· 河 南 濮 阳 · 阶 段 练 习)已知关于x 的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为 x|3<x<5 ,则不等式cx2+bx-a>0的解集为 ( ) A. xx<15或x>13 B. xx<-13或x>-15 C. x 15<x<13 D. x -13<x<-15 6.(多 选)(2025· 黑 龙 江 大 庆 · 质 量 检 测)已知关于x 的不等式ax2+bx+c>0的解集为 xx<-2 或x>3 ,则下列说法正确的是 ( ) A.a>0 B.关于x的不等式bx+c>0的解集是 xx<-6 C.a+b+c>0 D.关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为 xx<-13或x>12 考点四 分式不等式的解法 7.(2025·安徽·阶段练习)不等式 2x-1≤1 的解集为 ( ) A.{x|x≥3或x<1} B.x1<x≤3 C.{x|x≥3或x≤1} D.x1≤x≤3 8.(2025·新疆喀什·质量检测)不等式2x-1x+4≤0 的解集是 . 考点五 一元二次方程的实根分布问题 9.(2025·全国·专题练习)关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2,且 x1<1<x2,那么a的取值范围是 ( ) A.-27<a< 2 5 B.a> 2 5 C.a<- 2 7 D.- 2 11<a<0 10.(2025·贵州·阶段练习)若关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负实根,则实数m 的取 值范围是 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 一元二次不等式的实际问题 通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2024年,该种玻璃售价为25欧元/平方 米,销售量为80万平方米. 探究问题: (1)据市场调查,售价每提高1欧元/平方米,销售量将减少2万平方米;要使销售收入不低于 2000万欧元,试问:该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将在2025年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略 改革:提高价格到m 欧元/平方米(其中m>25),其中投入53 m 2-600 万欧元作为技术创新费 用,投入500万欧元作为固定宣传费用,投入2m 万欧元作为浮动宣传费用,试问:该种玻璃的销 售量n(单位:万平方米)至少达到多少时,才可能使2025年的销售收入不低于2024年销售收入 与2025年投入之和? 并求出此时的售价. — 17 — — 20 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·湖南株洲·阶段练习)已知不等式y= a+1 x2-8x+6,y<0的解集是 x1<x<3 . (1)求常数a的值; (2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R,求m 的取值范围. 2.(2025·辽宁·质量检测)已知函数y=2x2- a+2 x+a,a∈R (1)解关于x的不等式y<0; (2)若方程2x2- a+2 x+a=x+1有两个正实数根x1,x2,求 x2 x1 + x1 x2 的最小值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·辽宁大连·质量检测)对于二次函数y=mx2+nx+tm≠0 ,若存在x0∈R,使得mx20+ nx0+t=x0 成立,则称x0 为二次函数y=mx2+nx+tm≠0 的不动点. (1)求二次函数y=x2-x-3的不动点; (2)若二次函数y=2x2- 3+a x+a-1有两个不相等的不动点x1、x2,且x1、x2>0,求 x1 x2 + x2 x1 的最小值. (3)若对任意实数b,二次函数y=ax2+ b+1 x+ b-1 a≠0 恒有不动点,求a的取值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 19 — —82 — 所以m≥ (10-2ab)(2a+b) a+2b+5 =- (2a+4b)(2a+b) ab =- 2b+4a (2a+b),因 为 2b + 4a (2a+b)=4ab +2+8+4ba ≥10+ 2 4ab ·4b a =18 ,当且仅当4a b = 4b a ,即a=b=3+ 292 时取等号, 所以- 2b+4a 2a+b ≤-18,所以不等式 m2a+b≥10-2aba+2b+5 恒成立,只需m≥-18即可.故答案为:m≥-18 【技法点拨】 分离参数得m≥- 2b+4a (2a+b)恒成立,即 m≥ - 2b +4a (2a+b) max,然后结合基本不等式求解即 可. 第五周 二次函数与一元二次方程、不等式 考点·一应俱全 1.B [因为(x-1)(x-2023)≥0,所以x≥2023或x≤1,故不等式 (x-1)(x-2023)≥0的解集为{x|x≤1或x≥2023}.故选B.] 2.B [因为(x-2)(3-2x)≥0,所以(x-2)(2x-3)≤0,解得32≤x≤2 , 则不等式(x-2)(3-2x)≥0的解集为 x 32≤x≤2 .故选B.] 3.A [由0<a<1,得1a>1>a>0 ,解不等式(x-a) x-1a <0, 得a<x< 1a ,所 以 不 等 式(x-a) x- 1a <0 的 解 集 是 x a<x<1a .故选A.] 4.B [关于x 的 不 等 式(ax-2)(2x-4)<0,若a=0,不 等 式 为 -2(2x-4)<0,解得x>2,此时解集为(2,+∞);若a≠0,方程 (ax-2)(2x-4)=0,解得x=2a 或x=2,a<0时,不等式(ax-2) (2x-4)<0解得x<2a 或x>2,此时解集为 -∞,2a ∪(2,+∞); 0<a<1时,2a>2 ,不等式(ax-2)(2x-4)<0解得2<x<2a , 此时解集为 2,2a ;a=1时,2a=2,不等式(ax-2)(2x-4)<0 解集为⌀,a>1时,2a<2 ,不等式(ax-2)(2x-4)<0解得2a<x <2,此时解集为 2a,2 ;所以不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集 不可能是(-∞,2)∪ 2a,+∞ .故选B.] 【破题技巧】 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的 分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 5.D [因为关 于x 的 一 元 二 次 不 等 式ax2+bx-c<0的 解 集 为 x|3<x<5 ,所以a>0且方程ax2+bx-c=0的解为3,5,所以 -ba =8 ,-ca =15 ,所以b=-8a,c=-15a,则不等式cx2+bx- a>0,即为不等式-15ax2-8ax-a>0,则15x2+8x+1<0,解得 -13 <x< - 1 5 ,所 以 不 等 式 cx2 +bx-a>0 的 解 集 为 x -13<x<-15 .故选D.] 【技法点拨】 由题意可得a>0且方程ax2+bx-c=0的解为 3,5,利用韦达定理将b,c用a 表示,再根据一元二次不等式的 解法即可得解. 6.ABD [由 关 于 x 的 不 等 式 ax2 +bx+c>0 的 解 集 为 x x<-2 或x>3 ,知-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实 根,且a>0,故A正确;根据根与系数的关系知:-ba =-2+3=1 >0,ca =-2×3=-6<0 ,所以b=-a,c=-6a,a>0,选项B,不 等式bx+c>0化简为x+6<0,解得:x<-6,即不等式bx+c>0 的解集是{x x<-6},故B正确;选项C,由于a>0,故a+b+c= a-a-6a=-6a<0,故C不正确;选项D,不等式cx2-bx+a<0 化简为:6x2-x-1>0,解得:x∈ x x<-13或x>12 ,故D 正确;故选ABD.] 7.A [不等式 2x-1≤1 ,即3-x x-1≤0 ,等价于 (3-x)(x-1)≤0 x-1≠0 ,解 得x≥3或x<1,所以原不等式的解集为{x|x≥3或x<1}.故 选A.] 8. x -4<x≤12 [2x-1x+4≤0⇒(2x-1)(x+4)≤0且x+4≠ 0,(2x-1)(x+4)≤0⇒x∈ -4,12 ①,x+4≠0⇒x≠-4 ②,由①②可得2x-1x+4≤0 的 解 集 为: x -4<x≤12 .故 答 案 为: x -4<x≤12 .] 9.D [当a=0时,ax2+(a+2)x+9a=0即为2x=0,不符合题意; 故a≠0,ax2+(a+2)x+9a=0即为x2+ 1+2a x+9=0,令y =x2+ 1+2a x+9,由于关于x 的方程ax2+(a+2)x+9a=0 有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,则y=x2+(1+ 2 a ) x+9与x轴有两个交点,且分布在1的两侧,故x=1时,y<0,即 1+ 1+2a ×1+9<0,解得2a<-11,故-211<a<0,故选D.] 【技法点拨】 说明a=0时,不合题意,从而将ax2+(a+2)x+ 9a=0化为x2+ 1+2a x+9=0,令y=x2+ 1+2a x+9, 结合其与x轴有两个交点,且分布在1的两侧,可列不等式即可 求得答案. 10.m≤12 [当m=0时,方程为2x+2=0,有一个负根, 当m≠0时,mx2+2x+2=0为一元二次方程, 关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负根,设根为x1,x2, 当Δ=4-8m=0时,即m=12 时,方程为1 2x 2+2x+2=0,解得 x=-2,满足题意,当Δ=4-8m>0,即m<12 时,且m≠0时, 若有一个负根,则x1x2= 2 m<0 ,解得m<0, 若有两个负根,则 x1+x2=- 2 m<0 x1x2= 2 m>0 ,解得0<m<12, 综上所述,则实数m 的取值范围是m≤12 故答案为m≤12. ] 【破题技巧】 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取 值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组) 进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-b2a 与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 探究·一举突破 探究路径 (1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平方米, 由题知[80-2(x-25)]x≥2000,即x2-65x+1000≤0,解得25 ≤x≤40,所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. (2)由题意得mn≥2000+500+2m+53 (m2-600),整理得mn≥ 1500+2m+53m 2,两边同除以m 得n≥1500m + 5 3m+2. 又1500 m + 5 3m+2≥2 1500 m ·5 3m+2=102 ,当且仅当1500 m = 5 3m ,即m=30>25时取等号, 所以n≥102,故该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少达到 102万平方米时,才可能使2025年的销售收入不低于2024年销 售收入与2025年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米. 参考答案 (1)40 (2)102万平方米,30欧元/平方米 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)<0的解集是 x 1<x<3 ,所以1和3为关 于x的方程(a+1)x2-8x+6=0的两根且a+1>0, 所以1×3= 6a+1 ,解得a=1. (2)由(1)可得关于x的不等式x2+mx+4≥0的解集为 R, 所以Δ=m2-4×4≤0,解得-4≤m≤4, 即m 的取值范围为-4≤m≤4. 2.解 (1)不等式y<0即为2x2-(a+2)x+a<0,∴(2x-a)(x-1)<0, 当a<2,即a2<1 时,不等式的解集为 x a2<x<1 , 当a=2,即a2=1 时,不等式的解集为⌀, 当a>2,即a2>1 时,不等式的解集为 x 1<x<a2 , 综上可知:当a<2时,不等式的解集为 x a2<x<1 , 当a=2时,不等式的解集为⌀, 当a>2时,不等式的解集为 x 1<x<a2 . (2)方程2x2-(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1,x2, 即2x2-(a+3)x+a-1=0有两个正实数根x1,x2 故 Δ=(a+3)2-8(a-1)≥0 x1+x2= a+3 2 >0 x1x2= a-1 2 >0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得a>1, 所以 x2 x1 + x1 x2 = x21+x22 x1x2 = (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 =a 2+2a+13 2(a-1) 令t=a-1,则t>0,故x2x1 + x1 x2 =t2+ 8 t+2≥2+2 t 2 ·8 t =6 当且仅当t 2= 8 t 即t=4,a=5时取得等号, 故 x2 x1 + x1 x2 的最小值为6. 【破题技巧】 根据方程2x2-(a+2)x+a=x+1有两个正实 数根x1,x2 可得相应不等式组,进而表示出 x2 x1 + x1 x2 ,采用换元 法结合基本不等式即可求得答案. 选做·一飞冲天 解 (1)由题意知x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,则(x-3)(x+ 1)=0, 解得x1=-1,x2=3,所以不动点为-1和3. (2)依题意,2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根, 即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根, 所以 (4+a)2-8(a-1)>0 4+a 2 >0 a-1 2 >0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得a>1, 所以 x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1·x2 = (x1+x2)2-2x1·x2 x1·x2 = (x1+x2)2 x1·x2 -2 = 4+a2 2 a-1 2 -2= (a+4)2 4 a-1 2 -2= (a-1+5)2 2(a-1) -2= (a-1)2+10(a-1)+25 2(a-1) -2= a-1 2 + 25 2(a-1)+3 , 因为a>1,所以a-1>0,所以a-12 + 25 2(a-1)+3≥ 2 a-12 · 25 2(a-1)+3=8 ,当且仅当a-1 2 = 25 2(a-1) ,即a=6时 等号成立,所以x1 x2 + x2 x1 的最小值为8. (3)由题知:ax2+(b+1)x+(b-1)=x(a≠0), 所以ax2+bx+(b-1)=0,由于函数y=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0)恒有不动点, 所以Δ=b2-4a(b-1)≥0,即b2-4ab+4a≥0, 又因为b是任意实数,所以Δ'=(-4a)2-16a≤0,即a(a-1)≤0 (a≠0),解得0<a≤1,所以a的取值范围是(0,1]. 【破题技巧】 本题主要考查了新定义,解题关键是把握不动点 的定义,转化为一元二次方程根的问题,结合根与系数、判别式 来求解. 第六周 函数的概念、函数的表示法 考点·一应俱全 1.B [对于A,定义域为 x 0≤x≤1 ,定义域是M 的真子集,故错 误;对于B,定 义 域 为 x 0≤x≤2 ,值 域 为 y 0≤y≤2 ,且 图 像也满足函数定义,故正确;对于C,不满足“从定义域中任意取一 个x 有 唯 一 的 y 与 之 对 应”,故 错 误;对 于 D,定 义 域 为 x 0≤x<2 ,定义域是 M 的真子集,故错误;故选B.] 2.C [对 于 A,y=x 的 定 义 域 为 R,y=(x)2 的 定 义 域 为[0, +∞),定义域不同,不是同一函数,故 A错误;对于B,y= 3 x3= x,y= x2=|x|,表达式不同,不是同一函数,故B错误;对于C, 两函数的定义域,表达式和值域均相同,是同一函数,故C正确;对 于D,y=x-1的定义域为 R,y=x 2 x-1 的定义域为{x|x≠0},定 义域不同,不是同一函数,故D错误.故选C.] 【破题技巧】 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求:①A,B 是非空的实数集;②第一个 集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与 之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 3.1 [因为f(x)= x 2 1+x2 ,所以f(3)+f 13 = 3 2 1+32 + 1 32 1+1 32 = 9 10+ 1 9 10 9 =1.故答案为:1.] 4. x x≤1且x≠-74 [由题意得 1-x≥04x+7≠0 ,解得x≤1且x≠ - 74 ,∴ 函 数 的 定 义 域 为 x x≤1且x≠-74 .故 答 案 为: x x≤1且x≠-74 .] 5.C [因为函数y= kx2-6kx+9的定义域为 R,则kx2-6kx+9 ≥0恒成立.①当k<0时,函数f(x)=kx2-6kx+9是开口向下 的抛物线,不符合题意;②当k=0时,函数f(x)=9恒满足f(x) =kx2-6kx+9≥0,符合题意;③当k>0时,函数f(x)=kx2- 6kx+9满足f(x)=kx2-6kx+9≥0恒成立的条件是Δ=b2-4ac ≤0,即36k2-4×9k≤0,解得0<k≤1.由①②③知实数k的取值 范围是0≤k≤1;正确答案为C.] 6.[2,6] [由函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 根据二次函数的性质,当x=1时,得到ymin=2;当x=3时,得到 ymax=6,所以函数y=x2-2x+3在[0,3]的值域为[2,6]. 故答案为:[2,6].] 7. 158,+∞ [令t= x-1,则t≥0,x=t2+1, y=f(x)=2(t2+1)-t=2 t-14 2 +158 , 当t=14 时,y=2(t2+1)-t取的最小值,最小值为158 , 则f(x)的值域为 158,+∞ .故答案为: 158,+∞ .] 【破题技巧】 换元后,转化为二次函数问题,求出值域. 8.f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 [当0≤x≤1时,设f(x)=kx(k≠0),又图 象过点(1,2),故k=2,∴f(x)=2x; 当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3. 综上,f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 .故答案为:f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 . ] 【破题技巧】 分0≤x≤1,1<x<2与x≥2三种情况,求出解 析式,得到答案. 9.A [f(x)= x+2 ,x≥0 1,x<0 ,则f[f(-1)]=f(1)=1+2=3.故选A.] 10.C [因 为 f(x)= x 2+2,x≤2 2x,x>2 ,又 f(m)=18,所 以 m≤2 m2+2=18 或 m>22m=18 ,解得m=-4或m=9.故选C.] 【技法点拨】 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 探究·一举突破 探究路径 (1)当a=1时,由f(x)>0,即x2-2x+1>0,解得x≠1, 所以f(x)>0的解集为 x x≠1 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 81 —