21.2.2 公式法教学设计2025-2026学年 人教版（2012）九年级数学上册

初中数学人教版（2012）九年级上册 21.2.2 公式法 课标分析 根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本节内容属于"数与代数"领域中的"方程与不等式"主题，要求学生掌握用公式法解一元二次方程的基本技能。课标强调要让学生经历从配方法到公式法的推导过程，理解判别式的几何意义及其对方程根的情况的判定作用，培养代数推理能力。通过实际问题的解决，如雕像高度问题，体会数学建模思想，理解实数根的实际意义取舍。要求学生会正确运用求根公式进行计算，并能根据的值判断方程根的情况，发展运算能力和逻辑思维能力。 教材分析 本节课用公式法解一元二次方程是在学生掌握了一元二次方程的一般形式、配方法解方程的基本思路以及平方根、二次根式的运算等知识的基础上展开的，教材通过配方法将一般形式的一元二次方程进行变形，推导出求根公式，并引入判别式来判断方程根的情况，体现了从特殊到一般的数学思想。教学过程可设计为引导学生动手推导公式、分类讨论判别式的作用，并通过实例应用掌握公式法的步骤。本节内容与前一节配方法解方程紧密联系，是对方程解法的进一步归纳与提升。本节课不仅帮助学生掌握一种更高效的解方程方法，还为后续学习二次函数、一元二次不等式及实际问题建模打下基础，同时通过公式推导过程提升学生的逻辑推理能力和数学抽象能力，增强其解决实际问题的信心与能力。 学情分析 九年级学生已经学习了一元二次方程的概念及其一般形式，并掌握了用配方法解一元二次方程的基本步骤，具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力，此阶段的学生能够通过观察和归纳理解数学公式背后的逻辑结构，但在将配方法应用于一般形式的推导过程中，可能会对字母运算和分类讨论存在理解困难，本节课要求学生在已有知识基础上，经历公式推导全过程，理解判别式的作用，并能熟练运用求根公式解方程，从而提升代数推理和运算能力，发展数学抽象和逻辑思维能力，同时通过实际问题的求解，增强数学应用意识，为后续学习函数与方程的关系奠定基础。 教学目标 1. 理解一元二次方程的求根公式及其推导过程，掌握判别式的概念，通过推导提升逻辑推理和数学运算能力，发展符号意识与抽象思维。 2. 能根据判别式的不同取值判断方程根的情况，掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，提升运算能力和分类讨论的数学思维。 3. 通过实际问题的求解，体会数学建模的意义，增强应用意识，能够在具体情境中选择合适方法解决问题，提升数学建模与实际问题处理能力。 重点难点 重点：掌握公式法解一元二次方程的步骤，能熟练运用求根公式解题。 难点：理解求根公式的推导及（）对根的情况的判别。 课前任务 1.知识回顾： 上节课我们用配方法解一元二次方程，大家回忆下配方法步骤，并用配方法解，以此巩固对配方法的掌握。 2.预习教材： 阅读教材中用配方法推导一元二次方程求根公式及判别式相关内容。标记移项、配方等关键步骤，记录求根公式及不同取值时方程根的情况，有疑问处做好标注。 3.问题思考： 对于方程，确定、、的值，结合预习判断大小，猜测方程实数根个数，思考如何验证，课上交流。 课堂导入 同学们，之前我们学习了用配方法解一元二次方程。现在老师给大家出个题：有一个矩形，它的长比宽多 2 米，面积是 4 平方米，求矩形的宽。设宽为米，可列出方程 。大家想想，要是每次都用配方法来解这样的方程，是不是有点麻烦？那有没有更简便通用的方法呢？今天我们就一起探究，如何从配方法出发，找到一个能直接求解一元二次方程的通用公式，也就是公式法，来快速解决这类问题。 公式法解一元二次方程 探究新知 （一）知识精讲 同学们，我们已经学过用配方法解一元二次方程，那么对于一般形式的一元二次方程，是否也能用配方法来求解呢？让我们一起来探究这个问题。 首先，我们按照配方法的步骤进行操作： 1. 移项： 2. 二次项系数化为1： 3. 配方： 这样我们就得到了一个完全平方式： 这里出现了一个重要的式子，我们称之为判别式，用希腊字母表示。判别式的值决定了方程的根的情况： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根： 2. 当时，方程有两个相等的实数根： 3. 当时，方程没有实数根。 这个结论非常重要，它告诉我们只需要计算判别式的值，就能判断一元二次方程的根的情况。而当时，方程的根可以用一个统一的公式来表示： 这个公式就叫做一元二次方程的求根公式。使用这个公式来解一元二次方程的方法，就叫做公式法。 让我们来看一个实际应用的例子。在雕像高度的问题中，方程的求解过程如下： 1. 计算判别式： 2. 代入求根公式： 3. 得到两个实数根：， 在实际问题中，我们需要根据具体情境选择合理的解。在这个例子中，只有符合实际意义。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果我们遇到方程，用公式法求解时，应该先计算哪个部分的值呢？ 学生回答：应该先计算判别式的值，。 教师追问：很好！那根据判别式的值，这个方程的根有什么特点呢？ 学生思考后回答：因为，所以方程有两个不相等的实数根。 教师继续引导：正确！那谁能说说在用公式法解一元二次方程时，为什么要先计算判别式的值呢？ 学生回答：因为判别式能告诉我们方程的根的情况，还能帮助我们判断是否需要继续计算根的值。 （三）设计意图 通过从配方法到公式法的推导过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。让学生理解数学公式的来龙去脉，体会数学知识的内在联系。通过师生互动，引导学生主动思考判别式的作用，培养其分析问题和解决问题的能力。让学生在实际应用中体会数学的实用价值，增强学习数学的兴趣和信心。 新知应用 例题：用公式法解一元二次方程： 雕像下部高度 （单位：m）满足方程 解答：我们使用公式法来解这个一元二次方程。 一元二次方程的一般形式为： 对应的求根公式为： 对于方程 ，我们识别出系数： · · · 代入求根公式： 先计算判别式 ： 因为 ，所以方程有两个不相等的实数根。 继续计算： 化简 ： 所以： 得到两个解： · · 如果保留小数点后两位，近似值为： · · 由于题目中 表示雕像下部的高度，具有实际意义，因此只取正数解： 总结： 1.题目考查内容 ① 一元二次方程的公式法解法 ② 判别式 的意义与应用 ③ 实际问题中解的取舍（结合实际意义判断有效解） 2.题目求解要点 ① 准确识别方程中的系数 ② 熟练代入求根公式并进行根的化简 ③ 判断判别式的值，确定方程根的个数 ④ 结合实际问题，舍去不符合实际意义的解（如负数解） 板书设计 公式法解一元二次方程 一般形式： 配方法推导 移项： 二次项系数化为1： 配方： 判别式 ：两个不等实根 ， ：两个相等实根 ：无实数根 求根公式： 公式法应用 例如：，， 教学反思 本节课围绕公式法解一元二次方程展开，通过引导学生回顾配方法推导求根公式，理解判别式的作用，并应用公式法解决实际问题。教学设计注重知识的逻辑推导与实际应用结合，学生基本能掌握公式法的使用步骤。成功之处在于通过探究活动激发学生思维，提升逻辑推理能力；不足在于部分学生对判别式的作用理解不深，公式的推导过程仍存在困惑。今后应加强公式推导的直观演示，提升学生的数学抽象与符号运算能力，确保学生在理解基础上熟练应用公式法解题。 学科网（北京）股份有限公司 $