《21.2 解一元二次方程》——因式分解法 教学设计 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习多项式因式分解方法及例题，搭建新旧知识桥梁，为新知学习奠定基础，梳理从因式分解到解一元二次方程的知识脉络。 以物理竖直上抛问题情境引入，引导学生先用配方法、公式法尝试求解，再探究因式分解法，培养推理意识，通过典例分析比较解法适用类型，发展模型意识与应用意识，助力学生掌握方法本质，提升教师教学效率。

教学设计 课 题 《21.2 解一元二次方程》——因式分解法 教学目标 1.利用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法. 3.通过学生讨论解一元二次方程的方法， 理解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复 杂的计算，提高了解题速度和准确程度.让学生再次体会“ 降次 ”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识. 教学重点 熟练而准确地运用因式分解法解一元二次方程. 教学难点 如何选用最恰当的方法解二元一次方程. 教学方法 讲练结合法 课型课时 新授课 1 课时 教学过程设计 教学内容 师生活动 一、复习引入 1．多项式因式分解的方法有哪些？ 2．对下列多项式因式分解： （1）2x2+x； （2）x2－9； （3）x2-4x+4； （3）x2+2x-3. 教师借助 PPT 出示课前回顾的问题，让学生观察并回答问题，复习因式分解的相关知识． 设计意图：通过回顾对多项式进行因式分解的变形，有助于学生理解利用因式分解法解一元二次方程，为学习新知打下基础. 二、探究新知 【问题】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度(单位：m)为 10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 教师：尝试用配方法和公式法求方程的解？ 学生积极思考，学生板演，教师引导与纠正。 16 学科网（北京）股份有限公司 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即 10x-4.9x2 =0 . ① 【追问 1】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ? 可以将方程 10x-4.9x2=0， 通过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0. 于是 x=0 或 10-4.9x=0， 所以 x1 ＝0 ，x 这两个根中，x2 ≈ 2.04 表示物体约在 2.04s 时落回地面，而 x1 ＝0 表示物体被上抛离开地面的时刻，即在 0s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0m. 【追问2】解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 【方法介绍】因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0 ，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 学生积极回答，允许学生有不同的观点.教师负责引导. 学生积极思考，教师引导 与总结：先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 设计意图：将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。本题数量关系较简单，学生很容易列出相应的方程。通过配方法和公式法可以求得方程答案，但通过观察方程结构，原方程可以转化为 A•B=0 的形式，从而引出了通过因式分解求解一元二次方程的方法。再通过提问环节，引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。 三、例题演示 例 1 解下列方程：（1）x(x -2)+x -2=0； 解：（1） 因式分解，得 (x -2)(x+1)=0于是，得 x-2=0 ，或 x+1=0 ∴x1=2 ，x2= -1 请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药． 17 学科网（北京）股份有限公司 （2） 移项、合并同类项，得 4x2 -1=0 因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0于是得 2x+1=0 或 2x -1=0 ∴x1=0.5 ，x2= -0.5． 设计意图：加深学生对因式分解法求解一元二次方程的理解与掌握． 四、知识归纳 通过因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：使一元二次方程等式右边为0； 学生通过独立思考，小组合作交流，师生共同归纳. 2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式； 3.赋值：令每个因式等于 0 ，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解． 归纳：左分解，右化零，两因式，各求解． 【思考】解方程：x2-3x+1=0. 【追问】可以用因式分解法解上面方程吗？ 设计意图：教师引导学生归纳因式分解法解一元二次方程的步骤，通过配套练习，加深学生对本节课所学知识的理解与掌握，同时需重点强调：利用因式分解法求解一元二次方程的局限性. 五、典例分析 例 2 填空 ①x2-3x+1=0；②3x2-1=0 ；③-3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2；⑤2x2-x=0；⑥5(m+2)2=8 ； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧2x2+4x-1=0；⑨ (x-2)2=2(x-2). （1）适合运用直接开平方法 ； （2）适合运用因式分解法 ； 学生思考，积极回答问题，教师借助多媒体展示答案． 18 学科网（北京）股份有限公司 （3）适合运用公式法 ； （4）适合运用配方法 ．提示：每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！ 针对练习：对以上前 4 个方程，选用你认为最快最适当的方法进行求解. 设计意图：通过配套练习，使学生能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法. 六、总结提炼 一元二次方程的四种基本解法比较 方法 适合方程类型 注意事项 直接开平方法 (x＋n)2＝p p>0 时，x1= ，x2= ； p=0 时，x1=x2= ； p<0 时，无实数根． 配方法 x2+px+q=0 二次项系数若不为 1 ，必须先把系数化为 1 ，再进行配方． 公式法 x2+bx+c=0 （a≠0） b2-4ac 0 时，方程有解；求根公式为 ． 因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积． 方程的一边必须是 ，另一边可用任何方法分解因式． 学生交流、比较各种方法适用类型． 设计意图：通过归纳总结，使学生能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二 次方程的解法.再一次感受：解一元二次方程不论哪种解法，它的基本思路都是：将二次方程化为一次方程，即降次。 七、课堂小结 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述分解因式法解一元二次方程的基本步骤吗？ 2. 解一元二次方程的基本思路是什么？ 3. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？ 4. 本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 设计意图：有效地帮助学生建构知识体系，提高总结和反思能力，有助于学生后续学习的开展，促进学生不断主动发展. 八、布置作业 必做题：教材第 16 页，习题 21.2：第 6 题、第 10 题、第 11 题； 选做题：1.请你自己写出一道含有未知数 y 的一元二次方程，要求：（1）能够用因式分解法解；（2）使方程的一个根是2 ，并解这个方程。 2.解方程：x4+ 13x2+36=0. 设计意图：分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要. 九、板书设计 21.2.3 解一元二次方程——因式分解法 1.因式分解方法：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法 2.因式分解法的形式：a ·b=0 a=0 或 b=0. 解一元二次方程的基本思想：降次 十、教学反思 本节课的教学实施中自始至终引导学生探索、归纳，真正体现了以学生为主体的教学概念．本节课注重教学过程，有利于培养学生的分析归纳能力．对用因式分解法解一元二次方程探究过程中，运用了分类的数学思想和方法，体现了数学建模的过程和数学与生活的密切关系，兼顾思想、方法和趣味。 9 学科网（北京）股份有限公司 $