21.2.2解一元二次方程——公式法（第1课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.2公式法第一课时教学设计

1.教学内容

本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程，21.2解一元二次方程——21.2.2公式法第一课时，内容为一元二次方程根的判别式。

2.内容解析

本课时利用配方法解一元二次方程一般形式，得出方程的解的不同情况，让学生自己动手推导，可以培养学生的运算能力。引导学生分析使方程有解的条件，显然，只有当时方程才有解，同时根据的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：根的判别式。

1.教学目标

（1）理解通过配方得出的结论，认识只有当时方程才有解，并且方程解的情况与有关，理解根的判别式含义及其与方程根的情况之间的对应关系。

（2）根据的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题。

（3）在运用根的判别式解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。

2.目标解析：

（1）根的判别式 是求根公式的核心组成部分，它决定了根的性质（实数根是否存在、是否相等），为学习二次函数图象与轴交点个数、根与系数的关系等打下基础。

（2）理解根的判别式的推导过程是避免机械套用的关键，它揭示了根的判别式的来源和合理性，有助于学生理解根的判别式的性质，增强对根的判别式的认同感和记忆深度。强调一元二次方程根的判别式的前提是将一元二次方程化为一般形式。

（3）在教学中，通过学生自己推导得到的性质，理解如何根据的值判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题，在过程中学生培养积极的学习态度和数学素养。

学生已学习了配方法解一元二次的方程，本节课的重点是怎样将方程通过配方的方

法得出，配方后自然考虑到方程是否有根，有什么根与有关。抽象出一元二次的方程一般形式中根的判别式与方程根的关系，并能应用根的判别式解决相关问题，这也是学生学习的难点。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为根判别式解决相关问题。

创设情景，引入新课

探究  任何一个一元二次方程都可以写成一般形式(Ш)

能否也用配方法得出(Ш)的解呢?

(设计意图：提出问题引入新课)

探究点1  根的判别式

追问1：配方法解一元二次的一般步骤是什么？怎样对方程(Ш)进行配方？我们来试一试。

按照配方法解一元二次方程的一般步骤：

移项 ，得

二次项系数化为1，得

追问2：配方时要两边加一次项系数一半的平方，这里应加什么代数式？（）

配方，得

即①

因为，所以 .

追问3：由前面对方程(I)(Ⅱ)的讨论可知，这个方程的解的情况由什么决定的？（由决定的，因此需对的取值分类讨论）

式子 的值有以下三种情况:

(1) ，这时，由①得，

方程有两个不等的实数根，

，.

(2)

这时，由①可知，方程有两个相等的实数根，

.

(3) ，这时，由①可知，而取任何实数都不能使，因此方程无实数根.

归纳：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即.

(活动方法：通过追问的形式激发学生思考，通过复习配方法解一元二次方程的步骤，引导学生先独立思考完成配方，然后再交流，务必使学生理解掌握用配方法的推导过程.)

(设计意图：理解掌握用配方法推导的过程)

典例分析

例1．方程根的判别式的值为（   ）

A．2 B． C．17 D．

【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键。将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论。

【详解】解：原方程可变形为，

，，，

．

故选：C

(设计意图：巩固对一元二次方程根的判别式的认识)

探究点2  根的判别式的应用

追问1：根的判别式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用根的判别式之前应先将方程怎样变形？