21.2.2解一元二次方程——公式法（第1课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.2公式法第一课时教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程，21.2解一元二次方程——21.2.2公式法第一课时，内容为一元二次方程根的判别式。 2.内容解析 本课时利用配方法解一元二次方程一般形式，得出方程的解的不同情况，让学生自己动手推导，可以培养学生的运算能力。引导学生分析使方程有解的条件，显然，只有当时方程才有解，同时根据的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：根的判别式。 1.教学目标 （1）理解通过配方得出的结论，认识只有当时方程才有解，并且方程解的情况与有关，理解根的判别式含义及其与方程根的情况之间的对应关系。 （2）根据的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题。 （3）在运用根的判别式解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 2.目标解析： （1）根的判别式 是求根公式的核心组成部分，它决定了根的性质（实数根是否存在、是否相等），为学习二次函数图象与轴交点个数、根与系数的关系等打下基础。 （2）理解根的判别式的推导过程是避免机械套用的关键，它揭示了根的判别式的来源和合理性，有助于学生理解根的判别式的性质，增强对根的判别式的认同感和记忆深度。强调一元二次方程根的判别式的前提是将一元二次方程化为一般形式。 （3）在教学中，通过学生自己推导得到的性质，理解如何根据的值判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题，在过程中学生培养积极的学习态度和数学素养。 学生已学习了配方法解一元二次的方程，本节课的重点是怎样将方程通过配方的方法得出，配方后自然考虑到方程是否有根，有什么根与有关。抽象出一元二次的方程一般形式中根的判别式与方程根的关系，并能应用根的判别式解决相关问题，这也是学生学习的难点。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为根判别式解决相关问题。 创设情景，引入新课 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式(Ш) 能否也用配方法得出(Ш)的解呢? (设计意图：提出问题引入新课) 探究点1 根的判别式 追问1：配方法解一元二次的一般步骤是什么？怎样对方程(Ш)进行配方？我们来试一试。 按照配方法解一元二次方程的一般步骤： 移项 ，得 二次项系数化为1，得 追问2：配方时要两边加一次项系数一半的平方，这里应加什么代数式？（） 配方，得 即① 因为，所以 . 追问3：由前面对方程(I)(Ⅱ)的讨论可知，这个方程的解的情况由什么决定的？（由决定的，因此需对的取值分类讨论） 式子 的值有以下三种情况: (1) ，这时，由①得， 方程有两个不等的实数根， ，. (2) 这时，由①可知，方程有两个相等的实数根， . (3) ，这时，由①可知，而取任何实数都不能使，因此方程无实数根. 归纳：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即. (活动方法：通过追问的形式激发学生思考，通过复习配方法解一元二次方程的步骤，引导学生先独立思考完成配方，然后再交流，务必使学生理解掌握用配方法的推导过程.) (设计意图：理解掌握用配方法推导的过程) 典例分析 例1．方程根的判别式的值为（   ） A．2 B． C．17 D． 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键。将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论。 【详解】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C (设计意图：巩固对一元二次方程根的判别式的认识) 探究点2 根的判别式的应用 追问1：根的判别式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用根的判别式之前应先将方程怎样变形？ 使用根的判别式之前应先将方程化为“一般形式”。 追问2：通过以上学习，你能归纳出如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？已知方程根的情况如何判断方程根的判别式的符号？ 归纳： 由上可知，当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。反过来也成立。 所以我们可以不解一元二次方程，根据根的判别式来判别一元二次方程根的情况；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到根的判别式值的符号。 典例分析 例2.　若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围？ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据“若方程有两个不相等的实数根，则”，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 例3．对于实数定义新运算“*”如下：， 例如， 判断方程 的根的情况. 【分析】本题考查了根的判别式，“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：由题可得：方程 化为，即， ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 1．己知关于x的两个一元二次方程： 方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值； （3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】解：（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且， 则， 则， ， ， ； （3）根据是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 1．如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数m的取值情况是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故选：C 2．若关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围. 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 由①得：， ， 由②得：， 且． 1.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)关于的一元二次方程 有两个实数根，则的取值范围是( ) A. 　　 B. 　　 Ｃ. 且 　　 D. 且 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有实数根， ，且,　　解得: ， ∴的取值范围是且. 故选:D. 2．（2025·陕西宝鸡·一模）若关于的一元二次方程有一个实数根为0，求的值. 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个实数根为0， 把代入一元二次方程，得， 解得或， ， ． （1）当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。反过来也成立。 （2）根据的根的判别式来判别一元二次方程根的情况；反过来，根据一元二次方程根的情况可以得到根的判别式值的符号。根的判别式 的前提是方程为一般形式，特别注意二次项系数不能为0. （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题： 1．关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．没有实数根 　　　　　　　B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 　　　D．有两个不相等的实数根 【详解】解：关于x的一元二次方程， ∵， ∴一元二次方程根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：D 习题21.2 第4题。 探究性作业： 1．已知：关于的一元二次方程， (1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式； (2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即关于x的一元二次方程的一般形式为； （2）对于来说， ， ∵， ∴， ∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。 主板书 21.2.2　公式法第一课时 探究点1　求根的判别式 探究点2 　求根的判别式的应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$