专题02 几何最值问题分类训练（5种类型40道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

专题02 几何最值问题分类训练 （5种类型40道） 地 城 类型01 三角形相关最值问题 1．如图，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】解：根据垂线段最短，可知当 时， 最短， 在 中，，，， ． ∴ ． 将 ，， 代入 ， 解得 ． 故选：D ． 2．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线性质，垂线段最短，由点是中点，则，所以，设到距离为，则，求出，然后根据垂线段最短即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， 设到距离为， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，的最小值是， 故选：． 3．如图，在中，，，是边上的中线，点是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握垂线段最短和三角形面积计算公式是解题的关键． 根据垂线段最短和三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， 当时，的值最小，此时，， 即， 解得，， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键． 过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可． 【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴当取得最小时，面积最小， ∵D为顶点，E为动点， 当时，取得最小值即， ∴， ∴， ∴， ∴面积最小为， 故答案为：． 5．如图，在 中，，，平分，，， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接，根据角平分线的性质以及轴对称的性质，垂线段最短，进而根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，    ∵平分， ∴在上， ∴， ∴， 则当、、三点共线，且时，最小， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 即：最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，轴对称的性质求最短距离，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 6．如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 7．如图，等腰三角形的面积为12，其中，底边，腰的垂直平分线分别交边、于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接、．在点M的运动过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：， 故答案为：7． 8．如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵中，长为6，面积是27， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故答案为：12． 9．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ）地 城 类型02 全等三角形相关最值问题 A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值． 【详解】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值是C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG＝∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ， ∴△C'BG≌△CBG（ASA）， ∴BC＝BC'， ∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°， ∴∠ABC＝30°，BC'＝8， 在Rt△BFC'中，C'F＝BC'＝84， ∴CE+EF的最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，角平分线的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用角平分线的性质解决问题． 11．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 12．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 13．如图，在和中，，，且点B、C、E在同一条直线上．点P是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，由平角的定义可得，则，证明得到，则，根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，且点B、C、E在同一条直线上． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为16，即的最小值为16， 故答案为：16． 14．如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小）， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的最小值为， 故答案为：10． 15．如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，如图所示，根据直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半，以及含的直角三角形性质：所对直角边是斜边的一半，再根据旋转性质得到，从而，结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，即当取最小值时，有最小值，根据点到直线最短距离是垂直时得到可知当时，有最小值，从而利用直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ∵，点是中点，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即当取最小值时，有最小值， 当时，有最小值，此时，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及直角三角形斜边中线等于斜边一半，含的直角三角形性质，旋转性质、全等三角形的判定与性质、点到直线最短距离等知识，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键． 16．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，由作图可得是的角平分线，由垂线段最短可知当时，取最小值，进而根据角平分线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， 当时，取最小值，如图， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ）地 城 类型03 等腰三角形相关最值问题 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 18．如图，在中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 先连接，，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵是边上的高， 是边上的中线，即垂直平分， ， ∴， ∴当、、三点共线时，值最小 ，最小值为， 等边中，是边的中点， ， 的最小值为7， 故选：C． 19．如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 故选：C． 20．如图，在中，，点为中点，连接，点、点分别为上两动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点，证明，，那么，当点共线时，取得最小值，记交于点，可证明，则此时，可得为等边三角形，则，由关于对称，得到，那么由，即可求解． 【详解】解：连接，过点作的对称点，连接，过点作于点，作于点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： 记交于点， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将进行转化． 21．如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 22．如图，在中，，，面积为16，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先连接，利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为4，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4， ∴周长的最小值为． 故答案为：8． 23．如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，尺规作垂直平分线，三角形的面积公式，解题关键是利用三角形的面积公式求解． 先根据两点之间线段最短，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】连接， 由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，D为的中点， ∴，， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴周长最小值为， 故选：A． 24．如图，在中，，，，，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，先根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质推导，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，从而运用等面积法求出的长．推导“的最小值即为中边上的高”是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴点D是的中点， ∴垂直平分， ∴，， 由垂线段最短可知，当点C、P、F三点共线，且所在直线垂直时，取最小值6， 此时，且垂直，即是中边上的高， ∴此时，， 即， 解得：． 25．如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（　　）．地 城 类型04 等边三角形相关最值问题 A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图：作于交于，连接， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴点C关于的对称点为点B， ， ， ∴当P、B、E在同一直线上且时，的值最小为， ∴的最小值是6． 故选：B． 26．如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点关于的对称点，连接，如图所示，由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为，由等边三角形的判定与性质求出边长即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴，则， 作点关于的对称点，连接，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为， ∴，则， ∴， ∵， ，即， 在等边中，，，则为等边三角形， ， 故选：D． 27．如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线上异于点O的动点，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．作点关于的对称点E、D，连接，由轴对称的性质可得，当线段在同一直线上时，取最小值，且，再证明是等边三角形，易得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，作点关于的对称点E、D，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， 当线段在同一直线上时，取最小值，且， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴此时， ∴． 故选：B． 28．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：B． 29．如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】12cm 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 30．如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 31．如图，，，，点是射线上的动点，以为边在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边在下方作等边，连接，交于点， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 则当点三点共线时，如图， ∴最小，即最小，为， 故答案为：． 32．如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【详解】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 33．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线l与点A右侧2个单位竖直方向的网格线重合．地 城 类型05 最短路径问题 (1)画线段，使与关于直线l对称； (2)在l上找一点C，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称，以及利用轴对称的性质求最短路径，掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接交直线l于点C即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，连接交直线l于点C，连接， 此时，为最小值， 则点C即为所求． 34．如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求． （3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． 35．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． 36．已知，如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，是轴上一点． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)若最小，请在图中找到符合条件的点．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图和利用轴对称的性质求最短路径问题，点的坐标，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． （1）分别描出点、、关于轴的对称点、、，再顺次连接各点得到△，进而得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接点和点，记交轴于一点，则点即为使得的和最小的点； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求，． （2）解：如图所示，点即为所求． ∵点B与点关于x轴对称， ∴， ∴， 根据两点间线段最短，得最小，最小值等于的长． 37．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 38．河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合建一个长度为s米的绿化带，故作线段，使，且点在点B的左侧．再根据C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．则取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取，即可作答． 【详解】解：作图方法如下：如图，作线段，使，且点在点B的左侧．取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取， ∴ 则即为所求作的绿化带的位置． 39．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 【答案】见解析,总费用为78万元 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，最短距离问题，根据题意得到点M的位置是解题的关键． 作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作交延长线于点K，则的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省，再由平行线的性质，可得千米， 千米，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作交延长线于点K，      ∴千米，， ∴， 即的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省， ∵， ∴， 由平行线间距离处处相等可得： 千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴此时总费用为万元． 40．已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02几何最值问题分类训练 (5种类型40道) 类型三角形相关最值问题 类型2全等三角形相关最值问题 几何最值问题分类训练 类型3等腰三角形相关最值问题 类型4等边三角形相关最值问题 类型5最短路径问题 目目 类型01 三角形相关最值问题 1.如图，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC的最小值是() A.4 B.5 C 2.如图，在ABC中，BC=4,点D是BC中点，点P是线段BC上一个动点.若S。ABD=2,则AP的最小 值是() 1/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 3,如图，在△ABC中，AC=5,S4BC=24,CD是边AB上的中线，点P是AC上的动点，则DP的最小值 为一 D B 4.如图，在ABC中，AC=3,点D在边BC上，CD=2BD,SABD=2,点E是AC边上一动点，连接 DE,在DE的上方作ADEF,使得∠DEF=90°，且DE=EF,则△DEF面积的最小值为· B D 5.如图，在ABC中，AB=16,BC=10,AM平分∠BAC,∠BAM=15°，D,E分别为AM, AB上的动点，则BD+DE的最小值是一· E B M 6.如图，在ABC中，AE⊥BC于点E,AB=9,BC=8,AE=7,P为AB边上一动点，连接CP,则CP的 最小值为一· 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 7.如图，等腰三角形ABC的面积为12，其中AB=AC,底边BC=6,腰AC的垂直平分线EF分别交边 AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM,在点M的运动 过程中，CDM的周长的最小值为」 B 8.如图，在ABC中，AB=AC,BC长为6，面积是27，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点 E、F,若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为 E M A 目目 类型02 全等三角形相关最值问题 9.在锐角三角形ABC中AB=5,ABC的面积为30，BD平分∠ABC交AC于点D,若M、N分别是 BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为() M B A.10 B.6 C.12 D.9 10.如图，在△ABC中，AC=BC=8,∠ACB=120°，BD平分∠ABC交AC于点D,点E、F分别是线段BD ,BC上的动点，则CE+EF的最小值是() 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.4 C.5 D.6 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BFIIAC交DE的延长线于点F.若 AC=6,BF与AC之间的距离为5，则四边形FBCD的周长的最小值是一 C D 4 E 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点，E,F分别是 AD,AC上的动点，则CE+EF的最小值为一· D 13.如图，在ABC和△DCE中，AC=BC=DC=EC=8,∠ACB=LDCE=60°，且点B、C、E在同一 条直线上.点P是CD边上的一个动点，连接AP,BP,则AP+BP的最小值为一· D 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,AB=15,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作 DE⊥AD交AB于点E,点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为一 E B D 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.如图，直角ABC中，斜边AB=10,∠B=30°，M为直线BC上的动点，将AM绕点A逆时针旋转60°得 到AN,则CN的最小值是 B NI 16.如图，在ABC中C=90°，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BA,BC于点E,D,分 别以D,E为圆心，以大于DE长为半径作弧，两弧交于点O:作射线B0交AC于点F.CF=2,点P是 AB上的动点，则FP的最小值为 B 目目 类型03 等腰三角形相关最值问题 17.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是8，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E, F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为() D M B A.7 B.8 C.9 D.10 18.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=60°，BC边上的高AD=7,E是AD边上的一个动点，F是边 AB的中点，则EB+EF的最小值是() 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A.3.5 B.5 C.7 D.10 19.如图，ABC是等腰三角形，AB=AC=13,BC=10,AD是ABC的高线，且AD=12.点E,F分别 是AD,AC上任意一点，连接CE,EF,则CE+EF的最小值为() B A.12 B.10 c.120 13 D. 20.如图，在ABC中，AB=BC,∠ABC=30°，点D为AC中点，连接BD,点E、点F分别为BD、AB上 两动点，过点F作FH上BC于点H,当AE+EF+FH取最小值时BH,则ABC的面积是（丁 D E H C A 8.32 9 c D.32 3 21.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，BD平分∠ABC,P,Q分别为边BD,BC上一点，且 BP=CQ,若当AP+AQ的最小值为5时，则AB的长为— C 22.如图，在ABC中，AB=AC,，BC=8,ABC面积为16，AD1BC于点D,直线EF垂直平分AB交 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB于点E,交BC于点F,P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 D E 23.如图，在ABC中，AB=AC,ABC的面积为12，BC=4,分别以点A、B为圆心，以大于的长为 半径作弧，两弧分别交于E,F,连接EF,D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.则△DMB周长最小 值为() F米 A.8 B.10 C.12 D.14 24.如图，在ABC中，AD⊥BC,AC=AE,AD=8,BC=18,P为线段AD上一动点，E是BC上一 定点，F是线段AB上一动点，则当EP+FP取最小值6时，AB的长为 D 目目 类型04 等边三角形相关最值问题 25.如图，在ABC中，AB=AC,∠B=60°，AD⊥BC于点D,P是AD上的一个动点，PE⊥AC于点E, 连接CP.若AD=6,则PC+PE的最小值是(). 7/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A.5 B.6 C.8 D.9 26.如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC中点，点P,Q分别为AB,AD上的点， BP=AQ=4,QD=2,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为() A D B A.4 B.12 C.6 D.8 27.如图，∠A0B=30°，点P是∠A0B内的定点，且OP=3.若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则(PM+PN+MN)2的最小值是() B N M A A.12 B.9 C.6 D.3 28.如图，等边ABC中，BD平分∠ABC,点P、Q分别为AB、AD上的点，且QD=6,BP=AQ=8, 在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为() D B A.22 B.20 C.16 D.14 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 29.如图，ABC是等边三角形，D为边AC的中点，BD=12cm,P为中线BD上的动点，则PC+PB的 最小值是 D 30.如图，在等边ABC中，AC=BC,∠ACB=60°，D,E分别是边AB,AC上的点，AD=AE.若 AB=4,当CD+BE取最小值时，线段AD长为 31.如图，∠ABC=30°，AB=6,BC=2,点D是射线BA上的动点，以CD为边在CD左侧作等边三角形 CDE,连接AE,则CE+AE的最小值是一 E D B 32.如图，在等边ABC中，D为AC中点，点P,Q分别为AB,AD上的点，BP=AQ=5,OD=3,在 BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为一· B 目目 类型05 最短路径问题 33.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线1与点 A右侧2个单位竖直方向的网格线重合 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 …B (1)画线段AB',使AB'与AB关于直线1对称： (2)在1上找一点C,使得AC+BC最小. 34.如图，在所给的网格图中，完成下列各题 D B E (1)画出格点ABC关于直线DE的对称的△AB,C: (2)在DE上画出点P,使PA+PC最小； (3)在DE上画出点Q,使OA-QB最大， 35.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上， M N …… ……… (1)在图中画出与ABC关于直线MN成轴对称的△DEF; (2)在直线MN上找一点P,使PB+PC的长最短 36.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A0,1,点B(4,3),点C(3,-1,P是x轴上一点 10/12