专题05 含辅助线证明题分类训练（8种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05含辅助线证明题分类训练 (8种类型48道) 类型倍长中线 类型2半角模型 类型坚截长补短 类型4探究数量关系 含辅助线证明题分类训练 类型5作垂直 类型6角平分线相关辅助线 类型凹等边三角形相关辅助线 类型8含辅助线的最值问题 目目 类型01 倍长中线 1.某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形. M E D A 少 图① 图② 图③ (1)如图①，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BD1直线1，CE⊥直线1，垂足分别 1/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为-： (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件改 为：在ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线I上，并且有∠BDA=LAEC=∠BAC=a,其中a为任 意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由： (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中∠BAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长HA 交EG于点M.求证：点M是EG的中点. 2.【发现问题】 (1)数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB=8,AC=6,AD是ABC的中线， 求AD的取值范围. 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E,使得DE=AD;②连接 BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为 AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 (2)如图2，OA=0B,OC=0D,∠A0B与LCOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，试说明： OE-2 BD, (3)如图3，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长EO交BD于点F,OF=3,OE=5,请求出△AOC 的面积. B D B 图1 图2 图3 3.(1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝 试：如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE.在 这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是-，另外他还得到了AC和BE的位置关系是-： (2)间题解决：如图2，AD是ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点Q在BC的延长线上，QC=AB,求证： AO=2AD: 2/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)问题拓展：如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, ∠ACE=LABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数量关系. B B 图2 图3 图1 4.方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在ABC中，AB=9,AC=5,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. D 图1 图2 (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE,可以判定ADC≌EDB,得出AC=BE,这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利 用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在ABC中，点D、E在BC上，且DE=DC,过E作EF∥AB与AD相交于点F,且EF=AC·求 证：AD平分∠BAC. 5.【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长， 使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题 例：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC,E是AD的中点，BE平分∠ABC,试判断BC,CD,AB之 间的等量关系。 小颖的方法：如图②，延长BE、CD的相交于点F,构造ABE≌DFE和等腰三角形BCF即可判断. 3/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ① ② 【问题解决】(1)按照小颖的方法，判断BC,CD,AB之间的等量关系，并说明理由 【自主探究】(2)如图③，在ABC中，D是BC的中点，点E在AC上，连接BE交AD于点F,AE=EF, 试说明：AC=BF. 【拓展延伸】(3)如图④，在四边形ABDC中，AB∥CD,AB=5,CD=1.6,点F在AE上且满足 ∠DFE=LBAE,SABE=SACE,求DF的长. 6.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法： D B E 图(1) 图(2) 图(3) 【问题解决】 (1)如图1，AD是ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为：-· 【问题应用】 (2)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD,试探究线段 AE与AD的数量关系. 【拓展延伸】 (3)如图3，AD是ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90,试探究线段AD与EF的 数量关系和位置关系，并加以说明。 7.综合与实践 【问题重现】 义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等.下 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面是一道关于三角形的中线有关问题： 如图1，CD是ABC的中线，AC=a,BC=b,求CD的取值范围. 问题解决思路：延长CD到E,使得DE=CD,连接BE,可证△EBD≌△CAD(相当于将aCAD绕点D顺时 针旋转180°得到△EBD,把BC,AC,2CD变换到△CBE中，利用三角形的三边关系可得 。-6<2CD<a+b,所以口-<CD<a+).根病上面信息。解决下面问题 【问题变式】 如图2，点D,E,F分别在ABC的边AB,BC,CA上，D是AB边上的中点，DE⊥DF,连接EF. (1)求证：EF>AF-BE; (2)当∠C=90°时，猜想线段EF,AF,BE之间的数量关系，并证明你的猜想； 【问题拓展】 (3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC+∠CDA=180°，CB=CD,∠BCD=120°，点E,F分别在四边 形ABCD的边AB,AD上，且∠ECF=60°，连接EF,探索线段EF,FB,DE之间的数量关系并证明. 图1 图2 图3 目目 类型02 半角模型 8.在图1、图2，图3中，点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点；下面请你根据相应的条件解 决问题， 特例探索： (1)在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），LEAF=45°，延长CD至 G,使DG=BE,BE=2,DF=3.则EF=一· 在图2中，∠B=∠D=90°，AB=AD,∠BAD=60°，∠EAF=30°，BE=1,FD=1.5;则EF= 5/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B B E E 图1 图2 图3 归纳证明：(2)在图3中，∠B+∠D=180,AB=AD.且∠BAF=∠BAD,请你观察(1)中的结果，猪 想图3中线段BE,EF,FD之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式。 9.【问题引领】 (1)问题1：如图1，在四边形ABCD中，CB=CD,∠B=∠ADC=90°，∠BCD=120°.E,F分别是AB, AD上的点.且∠ECF=60°.探究图中线段BE,EF,，FD之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G,使DG=BE,连接CG,先证明△CBE≌aCDG,再证明 △CEF≌△CGF,他得出的正确结论是 D 、G E C 图1 图2 图3 【探究思考】 (2)问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形ABCD中，CB=CD,∠ABC+∠ADC=180°， ∠ECF=!∠BCD,问题1的结论是否仍然成立？请说明理由. 2 【拓展延仲】 (3)问题3：如图3在问题2的条件下，若点E在AB的延长线上，点F在DA的延长线上，则问题2的结 论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE、DF、EF之间存在什么样的等量关系？并说明理由. 10.【问题发现】 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G D D A E B E 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,LB=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,试猜想图中∠BAD与∠EAF的数量关系. 小王同学解决此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是一； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点，且 EF=BE+FD,试探究∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的 延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出∠BAD与∠EAF的数量关系，并说明理由. 11.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠BF=BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：一： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠BF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程， (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC,CD延长线上的点，且 ∠EAF=∠BAD,请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系： E 图① 图② 备用图 12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，将Rt△ABC沿着斜边AC翻折得到RtAADC,点E、F分别是射线 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CB、射线DC上的点，且∠EAF= -DAB. M D 图1 图2 (1)初步探索：如图1，点F在线段DC上，试探究线段BE、DF、EF之间的数量关系， 小华同学探究此问题的思路是：延长CD至点M,使得DM=BE,连接AM,先证明△ADM≌△ABE,再证 明△MAF≌△EAF,请你根据该思路探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； (2探索延伸：如图2，点F在线段DC的延长线上，BE、DF、EF之间的数量关系是_ (3)灵活运用：在Rt△ABC中，若AB=6,BC=8,AC=10,DC=3CF,则△CEF的周长为-· 13.问题探究：(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,AB⊥CB,AD⊥CD,E,F分别是BC,CD上 的点，且∠E4-DB,探究图中EP,8E,DF之间的数量关系.小明同学深究此问题的方法是：延长 CB到点G,使BG=DF,连接AG,先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得 出EF、BE、DF之间的数量关系，请问：他的结论是-；并对此问题给出完整解题过程 理解运用：(2)已知：在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=I80°，点E、点F分别在直线BC、 直线CD上，且∠EAF=∠BAD,如图2，点E、点F分别在边CB、DC的延长线上：如图3，点E、点F 分别在边BC、CD的延长线上.请从图2和图3中任选一种，写出线段EF、BE、FD之间的数量关系， 并说明理由 拓展延伸：(3)如图4，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=I80°，AB=AD,若点F在CB的延长线上， 点E在CD的延长线上，若EF=BF+DE,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系， B 图1 图2 图3 图4 14.已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 8/22 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ∠EMF=2∠BAD. A E B E 图1 图2 图3 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路. 小明的解题思路：先证明△ABE≌一；再证明了△AEF≌一，即可得出BE,EF,FD之间的数量 关系为一 (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的 结论，如果不成立，请说明理由. (B)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF,BE,FD之间 的数量关系为·（不用证明） 15,刻图1，右四边形ACD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC,CD上，已知∠E1F=D1B, ∠ABC+∠ADC=180°. D D E B B E F 图1 图2 (1)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由. 9/22 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型03 截长补短 16.如图，在ABC中，∠BAC=2LB,CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC+AD=BC. B 17.如图，在Rt△ABC中，LBAC=90°，∠ABC=60°，∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O. E B (1)求∠A0E的度数； (2)求证：AC=AE+CD. 18.如图，ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，直线1经过点A且绕点A在ABC所在平面内转动， 作BD⊥I,CE⊥，D,E为垂足 D B 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：DA+DB=2DE; (2)在图②和图③中，(1)的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出DE,DA,DB三条线 段的数量关系. 19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D,交∠ABC的角平分线于E, 过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证：AF+BD=AB. 10/22函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05含辅助线证明题分类训练 (8种类型48道) 类型倍长中线 类型2半角模型 类型坚截长补短 类型4探究数量关系 含辅助线证明题分类训练 类型5作垂直 类型6角平分线相关辅助线 类型凹等边三角形相关辅助线 类型8含辅助线的最值问题 目目 类型01 倍长中线 1.某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形. M E D A 少 图① 图② 图③ (1)如图①，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BD1直线1，CE⊥直线1，垂足分别 1/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为-； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件改 为：在ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线I上，并且有∠BDA=LAEC=∠BAC=a,其中a为任 意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由： (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中∠BAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长HA 交EG于点M.求证：点M是EG的中点. 【答案】(1)DE=BD+CE (2)(1)中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)解：DE、BD、CE的数量关系为：DE=BD+CE,理由如下： 如图1所示： B D 图① :BD⊥l,CE⊥l, ∠BDA=∠AEC=90°， ∠1+∠2=90°， 在ABC中，∠BAC=90°， .∠1+∠3=90°， ∠2=∠3， AB=AC, ·△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE,AD=CE, .DE AE+AD BD CE 故答案为：DE=BD+CE; (2)解：(1)中的结论成立，证明如下： 2/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图2所示： B C3 D A E 图② :∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,AB=AC, ∠1+∠3=180°-∠BAC=180°-a, 在△ABD中，∠1+∠2=180°-∠BDA=180°-a, ∠2=∠3， :∠BDA=∠AEC=a,AB=AC, .△ABD≌aCAE(AAS, .BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD =BD +CE (3)解：证明：过点E作EN∥AG,交AM的延长线于点N,如图3所示： G M H 图③ :△ABE和△ACG都是等腰直角三角形，且∠BAE=∠CAG=90°， .AB=AE,AC=AG, :AH⊥BC, ∠ABC+∠HAB=90°， :∠BAE=90°， LHAB+∠EAN=90°， ∠ABC=∠EAN, :∠BAE=∠CAG=90°， 3/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAC+∠EAG=180°， :EN∥AG, ∠AEN+∠EAG=180°， ∴∠BAC=∠AEN, :△ABC≌△EAN(ASA), .AC =EN, AC=AG, .EN =AG, :EN∥AG, ∴∠N=∠MAG,∠MEN=∠MGA, △EMN≌AGMA(ASA), .EM =GM, 点M是EG的中点， 2.【发现问题】 (1)数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB=8,AC=6,AD是ABC的中线， 求AD的取值范围， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E,使得DE=AD;②连接 BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为 AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 (2)如图2，OA=0B,OC=OD,∠A0B与∠COD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，试说明： OE=BD: 2 (3)如图3，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长EO交BD于点F,OF=3,OE=5,请求出△AOC 的面积. 4/109 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B δ E B 图1 图2 图3 【答案】(1)1<AD<7;(2)见解析；(3)15 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键。 (1)根据提示证ADC≌EDB即可求解； (2)延长OE至点H,使得HE=OE,先证△CEH≌△AEO(SAS),再证△BOD≌aHCO(SAS),可得 OE=1OH=1BD: 2 (3)由(2)得△B0D≌△HC0,ACEH≌△AE0,可得BD=0H=20E=10,SBOn=SHco,SHcE=S40E, 进而可得SHco=SAoc=Sop,再证OF⊥BD，即可求解. 【详解】(1)解：：AD是ABC的中线， BD =CD 又：∠BDE=∠CDA,DE=AD, ·△ADC≌△EDB(SAS, ·BE=AC=6, AB-BE AE AB+BE, :8-6<AE<8+6, 2<2AD<14, 1<AD<7, 故答案为：1<AD<7; (2)证明：延长OE至点H,使得HE=OE,连接CH,如图所示： D H.3 E是AC的中点， ·CE=AE, 5/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠CEH=∠AEO,HE=OE, :△CEH≌△AEO(SAS, ·CH=A0=OB,∠HCE=∠OAE, :A0∥CH, :∠HC0+∠A0C=180°， :∠AOB与∠COD互补， :LA0B+∠C0D=180°， ·∠B0D+∠A0C=180°， ·∠B0D=∠HC0, 又：OD=C0,CH=0B, :aBOD≌△HCO(SAS), :OH =BD, :OE-O-RD 2 (3)如图， D H. B 由(2)得△B0D≌△HC0,△CEH≌△AE0, BD=0H =20E=10,S BOD =S HCO,S HCE =S A0E, S HCE+S CEO=S AOE+S CEO S HCO =S 40C =S BOD, :∠A0B=90°，∠A0B+∠C0D=180°， ·∠C0D=90°， ∠C0E+∠D0F=90°， “∠COE=LD, :∠D+LD0F=90°， 6/109 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :OF⊥BD, :S.oc=S.BOD= DxOF10x315 3.(1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝 试：如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,利用全等将边AC转化到BE.在 这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是-，另外他还得到了AC和BE的位置关系是-； (2)问题解决：如图2，AD是ABC的中线，∠BAC=∠ACB,点？在BC的延长线上，QC=AB,求证： A0=2AD: (3)问题拓展：如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段CB上，连接AD,EA⊥AD, LACE=LABD.若点F为CD中点，AF交BE于点G,求BE和AF的数量关系. D E 图2 图3 图1 【答案】(1)SAS;AC∥BE;(2)见解析；(3)BE=2AF 【详解】解：(1)：AD是ABC的中线， .BD=CD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB, BD=CD △ADC≌EDB (SAS), ∠CAD=∠E, .AC∥BE, 故答案为：SAS;AC∥BE; (2)证明：如图所示，延长AD至点E,使DE=AD, 7/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图2 同(1)可得△ACD≌△EBD .AC=EB,∠ACD=∠EBD, AC∥BE, ∠BAC+∠ABE=180°， :∠ACB+∠ACQ=180°，∠BAC=∠ACB, ∴∠ABE=∠ACQ, 在△ABE和△ACQ中， AC=BE ∠ACQ=∠ABE, OC=AB .△ABE≌△4CO(SAS, .AO=AE=2AD: (3)解：如图所示，延长AF至点H,使FH=AF, 图3 H 由(1)可得△ADF≌△HCF, ∴AD=CH,∠DAF=∠CHF, AD∥CH, :∠BAC=90°，EA⊥AD, ∠DAE=90°， ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=LCAE, 在△ABD和△ACE中， 8/109 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ACE=∠ABD ∠BAD=∠CAE, AB=AC ∴△ABD≌△ACE(AAS, AD AE, .CH AE, 设∠BAD=∠CAE=, .∠DAC=90°-a, :AD∥CH, .∠ACH=90°+Q=∠BAC+∠CAE=∠BAE, 在△BAE和△ACH中， BA=AC ∠BAE=∠ACH, AE=CH :.△BAE≌△4CH (SAS), ∴BE=AH=2AF. 4.方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在ABC中，AB=9,AC=5,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. B D 图1 图2 (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE.可以判定ADC≌EDB,得出AC=BE,这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利 用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在ABC中，点D、E在BC上，且DE=DC,过E作EF∥AB与AD相交于点F,且EF=AC.求 9/109 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 证：AD平分∠BAC. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：D是BC的中点， :BD CD, B E 在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠EDB, BD=CD △ADC≌△EDB(SAS), ∴BE=AC=5, 在△ABE中， AB-BE AE<AB+BE, 即9-5<2AD<9+5, :中线AD的取值范围是：2<AD<7; (2)证明：延长AD到点M,使MD=AD,连接EM. B D M 在△ADC与AMDE中， AD=MD ∠ADC=∠MDE, DC=DE :△ADC≌△MDE, 1U/109