专题03 几何动点问题分类训练（7种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03几何动点问题分类训练 (7种类型48道) 类型到探究角的数量关系相关动点问题 类型2探究线段的数量关系相关动点问题 类型坚动点角度的定值问题 几何动点问题分类训练 类型4动点线段的定值问题 类型5动点问题面积相关定值问题 类型6全等三角形相关存在性问题 类型7动点最值问题 目目 类型01 探究角的数量关系相关动点问题 1.综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点A.试 猜想∠A与∠A之间的数量关系. 解决问题： (1)小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入∠A的特殊角度，然后根据结果猜想 ∠A与∠A之间的数量关系， ①若∠A=60°，则∠A=°；若LA=90°，则∠4= ②通过上面的计算，请猜测∠A与∠A之间的数量关系，并说明理由： 1/99 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 应用拓展： (2)如图2，将ABC改成四边形ABCD,∠ABC的平分线及一个外角∠DCE的平分线相交于点F.若 ∠A+∠D=210°，求∠F的度数； 深入探究： (3)如图3，在ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点A,若E是BA延长线上一动点， 连接EC,∠AEC与∠ACE的平分线交于点Q,在点E移动的过程中，请直接写出∠Q与∠A,之间的数量关 系 图1 图2 图3 【答案】(1)①30,45；②∠4=∠A,见解析：(2)15°：(3)∠0+∠4=180 【详解】解：(1)①：BA平分∠BAC,CA,平分∠ACD, ABc=5ABC∠ACD=ACD, :∠A,=∠A,CD-∠ABC, 4-号4cD-c-4D-∠4c. 2 LACD-∠ABC=∠A, 若∠B4C=60,则∠4=号4=30 若84C:90,则4=4=45， 故答案为：30,45： ②油0两4=4 放答案为：44： (2):∠ABC的平分线及一个外角∠DCE的平分线相交于点F, 2/99 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠FBC∠ABC,∠FCE=)∠DCE 2 :LFCE=LFBC+∠F, ∠F=∠FCE-∠FBC=∠DCE-∠ABC). 2 :∠A+∠D=210°， .∠ABC+∠BCD=360°-∠A+∠D=150°. :∠BCD=180°-LDCE, .∠ABC+(180°-∠DCE)=150°. :∠DCE-∠ABC=30°. 2F-∠DcE-∠A8C=15r (3)∠Q+∠A=180°，理由如下： 同(1)可得∠4=∠BMC, :EQ平分∠AEC,CQ平分∠ACE, 0EC-AEC.Z0CE-ACE. 1 :∠Q=180°-∠QEC+∠QCE), 20=18o-24c+24C, :∠BAC=∠AEC+LACE, ÷∠0=180°-1 BAC, 45Bc, 20+A=180-B4C+5BaC=180 2.【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1， ∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是LABN的平分线，BC的反向延长 线交∠OAB的平分线于点D. 3/99 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G A M 图1 图2 图3 【特殊探究】当∠OAB=60°时，∠ADB= 0； 【推理论证】随着点A、B的运动，∠ADB的大小会变吗？如果不会，求∠ADB的度数：如果会，请说明 理由； 【拓展探究1】如图2，在图1的基础上分别作∠DA0与LDB0的平分线，交于点E,则∠AEB= 【拓展探究2】如图3，若将图1中的“LM0N=90°"拓展为一般情况，即∠MON=a,点P是射线OM反向 延长线上的一个动点，连接BP,∠OPB与∠OBP的平分线相交于点Q,延长BQ交直线PM于点G,试判 断∠PQG与∠D的数量关系，并说明理由 【答案】特殊探究：45；推理论证：45；拓展探究1：67.5；拓展探究2：∠PQG=∠D,详见解析 【详解】解：特殊探究：∠MON=90°，∠0AB=60°， :∠ABN=∠M0N+∠0AB=90°+60°=150°， :AD平分∠OAB,BC平分LABN, ∠BAD=1∠0AB=x60°=30°，∠ABC=∠ABN=x150=75°， 2 2 又：∠ADB+∠BAD=∠ABC, ∠ADB=∠ABC-∠BAD=75°-30°=45°， 故答案为：45； 推理论证：∠ADB的大小不会变，∠ADB=45°，理由如下： :∠ABC=∠ADB+LBAD, ∠ADB=LBAC-LBAD, :AD平分∠OAB,BC平分LABN, ∠B4D-04B,∠ABc-ABN, .∠ADB=∠ABN-∠OAB, :LABN=∠A0B+∠0AB=90°+∠0AB, ∠ADB=∠ABN-∠01B)=90+∠0AB-∠0AB)=450, 4/99 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即∠ADB的大小不会变，∠ADB=45°； 拓展探究1：如图2，设AD与BE交于点F, :AE平分∠DAO,BE平分∠DBO, M 图2 :LDAE=LOAE=∠DAO,∠DBE=∠OBE=∠DBO, AD平分∠OAB,BC平分∠ABN, ·.∠DAO=∠BAD=∠OAB,∠ABC=∠ABN, 2 2 ∠DAE=1∠DA0=}∠0AB, 2 41 由推理论证可知，∠ADB=45°， ∠AFB=∠AEB+∠DAE=∠ADB+∠DBE, ∴∠AEB+∠0AB=45°+∠DB0 4 21 =45+)180°-∠0BC =45°+90°-1∠4B0+∠ABC =135°-1∠AB0-1∠ABN 2 =13°-480-9r+∠0a 4 =135°-1∠AB0-22.5°-1∠0AB, 4 .∠AEB=135°-22.50-1 ×90°=67.5°， 故答案为：67.5； 拓展探究2：∠PQG=∠D,理由如下： :AD平分∠OAB,BC平分∠ABN, ∠B4D=04B,∠ABc=8N, :∠ABN=∠MON+∠OAB,∠ABC=LD+∠BAD, 5/99 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠D+∠BAD=2 ∠MON+∠OAB), .∠D+ )∠OAB=1ZMON+) ∠0AB, ∠D=,∠M0N=2a, 1 1 :LOPB与LOBP的平分线相交于点Q, QBP=20BP,∠QPB=∠OP2 2 :∠Q8P+∠0PB= (∠OBP+∠OPB), :∠MON=∠OBP+∠OPB, ·.∠OBP+∠OPB=,∠MOW=1 2, :∠PQG=∠QBP+∠QPB, LPOG=a .∠PQG=∠D 3.在ABC中，∠ABC≠∠ACB,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于E, 其夹角记为∠1. B E D (1)如图，∠B=40°，∠ACB=70°，求∠1的度数； (2)探究∠1与∠ABC,∠ACB的数量关系. 【答案】(1)15° (2)LACB-∠B=2∠1 【详解】(1)解：在ABC中，LBAC=180°-∠B-LACB=70°， :AD平分∠BAC, 3840=350 在△ADC中，∠ADC=180°-∠3-∠ACD=75°， :PE⊥AD, .∠DPE=90°， 6/99 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠1=180°-∠ADC-∠DPE=180°-90°-75°=15°； (2)解：设∠B=n°，∠ACB=m°， :AD平分∠BAC, ∠2=∠3=∠BAC, 2 :∠B+∠ACB+∠BAC=180°， ∠CAB=(180-n-m)°， ÷∠2=∠3=(180-n-m)°， ADc=∠B+∠2=+l80-n-mj=0+m- m°， 2 2 PE L AD, .∠DPE=90°， .∠1=90°- ∠ACB-∠B=2∠1. 4.如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边上（不含端点）的动点，且LEDC=LECD. 图1 图2 图3 (1)如图1，若CD恰好是ABC的角平分线，试说明DE∥BC; (2)如图2，若DF平分∠BDE交BC于点F,在D、E运动的过程中，试用一个等式表示∠A与∠CDF的数 量关系，并说明理由； (3)如图3，若CD是ABC的中线，过点E作EG∥AB交CD于点G,连接BE交CD于点Q,当S△4DE=3, S。DEG=2时，求DQ:CQ的值， 【答案】(1)见解析 CDF- (3)3:10 【详解】(1)解：：CD恰好是ABC的角平分线， .ZACD ZBCD, 7/99 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠EDC=LECD, ∴.LEDC=∠BCD, DE∥BC, (2)设∠EDC=LECD=Q, :∠BDC=∠A+∠ACD,∠BDE=∠BDC+∠CDE, .∠BDE=∠A+2a, 又DF平分∠BDE, ∠EDF-3BDE=24+2a)-A+a, ∠Cnr=∠EDF-∠EDc=A+a-a=A (3)过点E作EM CD,连接MG,AG,MC, M E D G B 图3 又：EG∥AB, S.DEG=S.DMG S.DME =S.4EG =S.MEC =2, S△4DE=3, SAME =S.ADE-S.DME =3-2=1, :AE EC=SAME:S.CME =1:2, SADE S.DEC =1:2, S.DEC =2SADE =6, .DG:DC=S.DEG S.DEC =2:6=1:3, .GC 2DG, 过点D作DH⊥BE,垂足为H,过点G作KG⊥BE,垂足为K, :EG∥AB, S.DEG =S.BEG=2 :CD是ABC的中线，即AD=BD, 8/99 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S.ADE =S.BDE=3 S.mG-BE:KG S.EDH S迎=DH3 SBEG KG 2' S.a00_DH3 SBOG -KG2' De S.n0D3, OG S.BOG 3 DQ=÷DG, ÷D0:CQ=2DG:2DG=3:10 5 5.在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点E是射线AC上的动点（不与点D重合），过点E作 EF∥BC交直线BD于点F,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G, D 图1 备用图 备用图 (1)如图1，点E在线段AD上运动. ①若∠ABC=40°，∠C=60°，则LBGE=—°； ②若∠A=70°，则∠BGE=—°； ③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由； (2)若点E在射线DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系. 【答案】a050,@55,@∠BGE=90-4,理由见解折 2)∠BGE=∠A或∠BGE=90°+∠A 【详解】(1)(1)①：BD平分∠ABC,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G. ·∠ADB=∠CBD+∠C= LADB=∠BGE+LDEG=Z 2 :EF∥BC, ∠DEF=∠C, 9/99 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 2 ABC+∠CDEF+∠BGE LABC+ZC-7ZC+/BGE :∠BGE=(LABC+LC), :∠ABC=40°，∠C=60°， ∠8GE=60+401=50, 故答案为：50 ②解：根据O得∠BGE=∠ABC+∠C, 2 :∠A+LABC+∠C=180°， ÷∠8GE=l80-∠到=90-}4. 2 当∠A=70°， 则∠BGE=90°- ×70°=55°， 2 故答案为：55 @解：限据D有∠B0E=∠48c+∠C, :∠A+∠ABC+LC=180°， C∠BGE=I80°-∠4=90°2 故∠BGE与∠A之间的数量关系∠BGE=90°-∠A, (2)解：当点E在线段DC上运动时，如图， :BD平分∠ABC,∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G, 设直线EG与BC的交点为M, ∠C8D-1c,FEM-FEc. 2 :EF∥BC, ∠FEC+LC=180°，∠GFE=∠CBD, ∠FEM-l80-2C=0-3C. :∠FEM=∠BGE+∠GFE, .LBGE=∠FEM-LGFE, 10/99 专题03 几何动点问题分类训练 （7种类型48道） 地 城 类型01 探究角的数量关系相关动点问题 1．综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 2．【课本再现】苏科新版七年级数学下册第章平面图形的认识二第页第题如下：如图，，点、分别在、上运动不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． 【特殊探究】当时， ______； 【推理论证】随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； 【拓展探究】如图，在图的基础上分别作与的平分线，交于点，则 ______； 【拓展探究】如图，若将图中的“”拓展为一般情况，即，点是射线反向延长线上的一个动点，连接，与的平分线相交于点，延长交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 3．在中，，平分，P为线段上的一个动点，交直线于E，其夹角记为． (1)如图，，求的度数； (2)探究与的数量关系． 4．如图，在中，、分别是、边上（不含端点）的动点，且． (1)如图1，若恰好是的角平分线，试说明； (2)如图2，若平分交于点，在、运动的过程中，试用一个等式表示与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点作交于点，连接交于点，当，时，求的值． 5．在中，平分交于点，点是射线上的动点（不与点重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点． (1)如图1，点在线段上运动． ①若，，则_______； ②若，则________； ③探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在射线上运动时，请直接写出与之间的数量关系． 6．如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 7．如图1，已知三角形，D是线段延长线上一点，．    (1)求证：； (2)如图2，过C作交于H，平分，平分，若，求的度数； (3)如图3，，点P为线段上一点，点G为射线上一动点，线段分别交于点Q、M，其中，，又过P作，请直接写出与的数量关系． 8．如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． (1)当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； (2)当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 9．综合与实践地 城 类型02 探究线段的数量关系相关动点问题 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段 与 的数量关系 （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 10．如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） (1)在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； (2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 11．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 12．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 13．如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 14．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 15．是等边三角形，点D是边上动点，、把沿对折，得到 (1)如图1，若，则 (2)如图2，点P在延长线上，且． ①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，，连接，并求出的长．（用含t的式子表示） 16．如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点，是线段上一定点，为线段上的一动点（点不与点，重合），交轴于点 ，连接．地 城 类型03 动点角度的定值问题 (1)当时，求的度数． (2)当时，吗?请说明理由． (3)若，的平分线的交点为，当点在线段上运动时，问：的大小是否为定值若是定值，求出其值，并说明理由；若不是定值，直接写出其最大值和最小值． 17．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 18．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 19．已知△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A、C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DEBC，交直线AB于点D，链接BE，过点F做FGBE， 交直线AC于点G． (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB=∠GFC； (2)在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)如图②，当点E在线段AC的延长线上时（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系． 20．在中，，点在线段上． (1)如图1，点在线段上，，若，，则_____°； (2)如图2，平分，点在线段上，交的延长线于点，与的角平分线交于点，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 21．如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 22．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点．地 城 类型04 动点线段的定值问题 (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 23．如图①，在中，是的中点，，，垂足分别为，，． （1）证明：是的角平分线． （2）如图②，若，，，点为线段上一个动点，过点分别作，的垂线段，垂足分别为、，则是定值吗？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 24．如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． (1)求点P 的坐标； (2)当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 25．已知，如图1，线段，点为线段上一点，，，点从点开始，以的速度向点运动，点的运动过程中，始终为等腰直角三角形，，，若点运动的时间为秒．    (1)若时，点的运动路程为　　． (2)图2，过点作直线，取的中点，直线与直线相交于点，则的长是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请用的代数式表示． 26．已知在数轴上，从左往右依次有四个点A，，，，其中点A，对应的数分别为和9．    　　   (1)利用直尺和圆规作图：如图1，已知线段，，，在数轴上方，求作，使得，（只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，在数轴上找一点，直接作出直线，使得直线平分的周长； (3)如图2，在中，点为中点，过点的直线交于，交的延长线于，若，求证：直线平分的周长； (4)如图3，若，点在边上，点在边上，且平分的周长．请问线段的长是否为定值？若是定值，请说明理由；若不是定值，当与满足什么关系时，线段最短，并说明理由． 27．已知：在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴，x轴上，且，. （1）如图1，当，，点B在第四象限时，则点B的坐标为________； （2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作轴于点D，是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由. 28．如图，在直角坐标系中，点，点为轴正半轴上一个动点，以为边作，使，，且点在第一象限内． (1)如图，若，求点的坐标； (2)如图，过点向轴上方作，且，在点的运动过程中，探究点，之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由； (3)如图，过点向轴下方作，且，连结交轴于点，当的面积是的面积的倍时，求的长． 29．如图，点，，且，满足． (1)如图，求，的值； (2)如图，点在线段上不与、重合移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点为轴正半轴上异于原点、点的一个动点，连接，作于点，且，直线交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 30．已知为等边的角平分线，动点在直线上不与点重合，连接，以为一边在的下方作等边，连接．地 城 类型05 动点问题面积相关定值问题 (1)如图，若点在线段上，且，则______度． (2)如图，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． 求的度数； 若的边长为，，为直线上的两个动点，且连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 31．综合与实践： 如图1，直线与直线相互垂直，垂足为点O，． 初步感知： （1）如图1，C为延长线上一点，连接．过点A作，垂足为点H，交于点P． ①求证：； ②若，试求的面积． 拓展延伸： （2）如图2，若点D为的中点，点M为延长线上一动点，连结，过点D作交直线于点N，当M点在延长线上运动的过程中，的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 32．如图，在中，，，为射线上一动点，连接．    (1)当点是的中点时，求的面积； (2)过作且（在直线上方）． ①如图，当在线段上，连接，请问的面积的值是否为定值？若为定值请求出该值；若不为定值请说明理由； ②如图，当在的延长线上，连接，与的延长线交于点，求证：． 33．如图，已知，，且，满足．    (1)求，两点的坐标． (2)如图，连接，若，于点，，关于轴对称，是线段上的一点，且，连接，试判断线段与之间的位置和数量关系，并证明你的结论． (3)如图，在（）的条件下，若是线段上的一个动点，是延长线上的一点，且，连接交轴于点，过点作轴于点，当点在线段上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 34．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点，分别是边，上的动点，点从顶点沿方向作匀速运动，点从从顶点沿方向同时出发，且它们的运动速度相同，连接，． （1）求证：． （2）判断线段与的位置及数量关系，并说明理由． （3）在运动过程中，与的面积之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 35．平面直角坐标系中， 点，， 为等腰直角三角形， ，， 交y轴负半轴于点 D． (1)如图1， a、b满足关系式 ，直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2， 点E是x轴正半轴上的动点， 过点B作交于点F， 且．求证：点 D是的中点； (3)在（2） 的条件下， 如图3， 点F在线段上，的值是否为定值？ 若是，请计算出定值； 若不是，请用含有a，b的代数式表示． 36．如图，在中，高线相交于点O，．地 城 类型06 全等三角形相关存在性问题 (1)求线段的长； (2)若点F是直线上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 37．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 38．综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 40．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒． (1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 41．如图1，已知正方形的边长为16，点P为正方形边上的动点，动点P从点A出发，沿着运动到D点时停止，设点P经过的路程为x，的面积为y．    (1)如图2，当时， ______； (2)如图3，当点P在边上运动时， _____； (3)当时， ______； (4)若点E是边上一点且，连接，在正方形的边上是否存在一点P，使得与全等？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 42．综合探究．地 城 类型07 动点最值问题 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 43．是等边三角形，D是边端点除外)上一动点，连接． (1)如图1，以为边作等边，连接． ①求证：； ②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长． (2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，，求证：． 44．在中，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，点是边上一点，且，求证：； (3)如图3，若平分，点是上一动点，点是上一动点，连接，若的面积为10，，请直接写出的最小值． 45．已知线段，点是平面内一动点，连接、，且，过点作，且，连接，，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，过点作，且使，连接，若，求的最小值． 46．如图，射线平分，，，． (1)求证：； (2)若线段，求线段的长； (3)已知点M、N分别是、上的两个动点，且均不与点O重合，连接、和．若，求的周长的最小值． 47．如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $