专题07 不同模型的全等三角形证明（7种类型42道）-2025-2026学年八年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教2024版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题07 不同模型的全等三角形证明（7种类型42道） 目录 【题型1手拉手模型】 1 【题型2一线三等角模型】 2 【题型3 三垂直模型】 5 【题型4平移模型】 7 【题型5轴对称模型】 8 【题型6旋转模型】 9 【题型7 角平分线模型】 10 【题型1手拉手模型】 1．如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD． 2．如图，若和都是等边三角形，求的度数． 3．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 4．如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若∠B=60°，求证：CE=AC+CD． 5．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 6．如图，，，．，与交于点．      （1）求证：； （2）求的度数． 【题型2一线三等角模型】 7．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 8．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝ °，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形． 10．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 11．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 12．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【题型3 三垂直模型】 13．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 14．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 15．如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 16．在中，，，直线MN经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，写出线段和的数量关系，并说明理由； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，写出和的数量关系，并说明理由． 17．如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 18．如图，于点A，点D在直线上，．    (1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 【题型4平移模型】 19．如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 20．如图，E、C是上两点，且，，，猜想与的关系，并证明你的猜想． 21．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 22．如图，，，且．求证：． 23．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 24．如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【题型5轴对称模型】 25．如图， ，相交于点，，，连接，．求证：． 26．如图，已知，求证：． 27．如图，已知，，求证：平分． 28．如图，，，，求证：． 29．如图，、相交于点E，，．求证． 30．如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 【题型6旋转模型】 31．如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 32．已知：如图，，，．试说明：． 33．如图，点在的边上，，，，试说明：． 34．如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： (1)； (2)． 35．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 36．如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型7 角平分线模型】 37．如图，平分于点D，于点E，与交于点O．求证：． 38．如下图，F是内一点，过点F作于点A，于点B，连接AB．若，求证：OF平分． 39．如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 40．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 41．如图，在中，，，的平分线BD交AC于点，过点作，，若，求的面积． 42．已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题07 不同模型的全等三角形证明（7种类型42道） 目录 【题型1手拉手模型】 1 【题型2一线三等角模型】 7 【题型3 三垂直模型】 18 【题型4平移模型】 27 【题型5轴对称模型】 31 【题型6旋转模型】 35 【题型7 角平分线模型】 39 【题型1手拉手模型】 1．如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD． 【答案】见解析 【分析】证明△ABE≌△CBD即可解决． 【详解】∵△ABC和△EBD都是等边三角形， ∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD， 即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这两部分知识是关键． 2．如图，若和都是等边三角形，求的度数． 【答案】120°． 【分析】利用等边三角形的性质可得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，利用SAS即可证明△DAC≌△BAE，从而得出∠ABE＝∠ADC，设AB与CD交于点F，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出∠BOF，利用平角的定义即可求出结论． 【详解】证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∵∠DAC＝∠BAC＋60°，∠BAE＝∠BAC＋60°， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADC 设AB与CD交于点F， ∵∠BFO=∠DFA ∴∠BOF=180°－∠ABE－∠BFO=180°－∠ADC－∠DFA=∠DAB=60° ∴∠BOC=180°－∠BOF=120°． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质，利用SAS证出△DAC≌△BAE是解题关键． 3．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上，连接． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠BCD=∠ACE，然后根据SAS定理证明△BCD≌△ACE，从而得出结论； （2）根据全等三角形的性质得出∠BDC=∠AEC，然后结合等腰直角三角形的性质求得∠BDA是直角三角形，从而利用勾股定理求解． 【详解】（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在等腰直角三角形中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 4．如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若∠B=60°，求证：CE=AC+CD． 【答案】证明见解析 【分析】利用AAS证出△BAD≌△CAE，从而得出AB=AC，CE=BD=BC＋CD，根据等边三角形的判定定理可证△ABC为等边三角形，从而得出BC=AC，利用等量代换即可证出结论． 【详解】证明：∵∠1=∠2 ∴∠1＋∠CAD=∠2＋∠CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 ∴△BAD≌△CAE ∴AB=AC，CE=BD=BC＋CD ∵∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形 ∴BC=AC ∴CE=AC+CD． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和等边三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质和等边三角形的判定及性质是解题关键． 5．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）直接证明，即可得出结论； （2）由（1）可进一步推出为直角三角形，且，从而由求解即可． 【详解】（1）△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°， , 在与中， ， ； （2）是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，，, ， ， 则在中，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，及含角的直角三角形的性质，根据“手拉手”模型证明全等，并推导出直角三角形是解题关键． 6．如图，，，．，与交于点．      （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析（2）90° 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°．      【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 【题型2一线三等角模型】 7．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 8．（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝ °，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，△ADE是等腰三角形． 【答案】（1），大；（2）；（3）或． 【分析】（1）利用三角形内角和计算即可求出∠BAD，由点的运动方式即可得出∠BAD逐渐变大； （2）先求出，再由，，即可得出； （3）分两种情况或讨论即可． 【详解】解：（1），∠ADE＝40°, ， ， 当点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大． 故答案为：，大； （2）当时，≌， 理由如下： ∵AB＝AC＝2，∠B＝40° ， ， 又=， ， 在和中， ， ； （3）当得度数为或时，是等腰三角形． 理由如下： ∵， ∴， ，， 为等腰三角形时，只能是或， 当时，， ， 当时，， ， ， 综上所述，当得度数为或时，是等腰三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． 10．已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析 【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE = AF即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE = AF即可得出结论; （2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE=AF即可得出结论． 【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF， 证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°， ∵∠BCA = 90°, ∴∠BCE＋∠ACF= 90°, ∵∠BCE＋∠CBE =90°， ∴∠ACF = ∠CBE， ∵AC = BC, ∴△BCE≌△CAF, ∴BE =CF,CE = AF, ∵CF =CE＋EF, ∴EF= CF -CE=BE-AF； ②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180° 当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立; 理由是：如题图2， ∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°, 又∵ ∴∠CBE= ∠ACF, 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF (AAS), ∴BE =CF,CE = AF， ∴EF= CF-CE= BE -AF; 故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ； （2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下 ∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA, 又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° , ∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF ∴∠EBC = ∠ACF， 在△BEC和△CFA中 ∴△ABE≌△CFA(AAS) ∴AF = CE，BE = CF ∵EF= CE+CF, ∴EF= BE＋AF． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE≌△CAF是解题的关键． 11．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 12．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ； (2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查了图形变换问题，全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算，正确理解图形变换问题中各小题间的内在联系是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定证明，得到，，由此即得答案； （2）同（1）的思路证明，同样得到，得到，，由此即得答案； （3）根据（1）（2）的解题思路，同样可证明，所以，根据，可知，由此即可进一步求得答案． 【详解】（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为： ． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3），， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为4． 【题型3 三垂直模型】 13．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，平角的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①通过于，于，，可知，从而推出，结合，，从而得证；②由①可知，，从而知道，，推出； （2）证明，那么有，，从而推出； （3）易证，那么有，，从而推出 【详解】（1）证明：①于，于，， ，， ， ， ； ②， ，， ； （2）证明：， ，， ， 在和中 ， ， ，， ； （3）解：，理由如下： 同（2）可证， ，， . 14．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据“”即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， ． 15．如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，可证得结论成立； （2）由“”可证，可得，，再证明即可； （3）由“”可证，可得，可求，可证． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ， ； （2）解：，，理由： 如图，连接， ， ， ． ∵，点是的中点， ，，， ， 又， ， ，， ， ， ∴； （3）证明：∵，， 是等腰直角三角形， ． ， ， 又，， ， ， ， ． 16．在中，，，直线MN经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图①的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图②的位置时，写出线段和的数量关系，并说明理由； (3)当直线绕点C旋转到图③的位置时，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质： （1）利用同角的余角相等判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）同（1）的方法即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴ （直角三角形的两锐角互余）． ∵， ∴， ∴ （同角的余角相等）． 在和中， ，，， ∴， ∴，． ∴． （2）解：． 理由：∵，， ∴， ∴（直角三角形的两锐角互余）． ∵， ∴， ∴ （同角的余角相等）． 在和中， ，，， ∴， ∴，． ∴． （3）解：． 理由：∵，， ∴， ∴（直角三角形的两锐角互余）． ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ，，， ∴， ∴，． ∴． 17．如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2)不成立，，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）①由题意易得，，然后问题可求证；②由①可进行求证； （2）由题意易证，然后问题可求证． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论②不成立，，理由如下： 同理（1）可证， ∴， ∴． 18．如图，于点A，点D在直线上，．    (1)如图1，若点D在线段上，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接证明，即可得出结论； （2）仿照（1）的证明过程推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意，， 在与中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ； （1）中结论仍然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【题型4平移模型】 19．如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． （1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 20．如图，E、C是上两点，且，，，猜想与的关系，并证明你的猜想． 【答案】且，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键； 由E、C是BF上两点，，推导出，由，得到，而，即可根据证明，得，，即可得到． 【详解】且，理由如下： E、C是BF上两点，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且． 21．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 22．如图，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据平行线的性质可得，，再利用全等三角形判定即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 23．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 24．如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由已知条件即可得出，再根据证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【题型5轴对称模型】 25．如图， ，相交于点，，，连接，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】要证明 ，需证明和全等，通过已知条件 ， 以及对顶角，利用判定定理证明全等，进而得出对应边相等.本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键. 【详解】证明：在和中， ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 26．如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得到，证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 27．如图，已知，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，得出，即可得出答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 28．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由，推导出，而，，即可根据“”证明，则． 本题考查了全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 29．如图，、相交于点E，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 30．如图，，其中点A，B，C，D在同一条直线上． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查三角形全等的性质，垂直的定义，正确理解图形中的对应关系是解题的关键. （1）根据垂直的定义及全等三角形的性质得到，即可求出的大小； （2）利用推出，再根据已知得出，即可求出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴，即. ∵，， ∴， ∴. 【题型6旋转模型】 31．如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 32．已知：如图，，，．试说明：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 利用“”可证得，由三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 33．如图，点在的边上，，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线性质，全等三角形性质和判定，利用平行线性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可解题． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ． 34．如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的推论、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过角的等量代换，结合三角形内角和定理的推论，推导得出． （2）先证明角相等，再结合已知边相等，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出． 【详解】（1）证明：，，， （2）证明： ，即 又， （） ． 35．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 36．如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ． 【题型7 角平分线模型】 37．如图，平分于点D，于点E，与交于点O．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明∵平分，于点D，于点E， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴． 38．如下图，F是内一点，过点F作于点A，于点B，连接AB．若，求证：OF平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理以及直角三角形全等的判定定理（HL）． 先根据已知条件证明两个直角三角形全等，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分． 39．如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 40．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，结合于点C，于点D，得出，再证明，即可作答． 【详解】证明：∵于点C，于点D， ∴ 在和中， ． 41．如图，在中，，，的平分线BD交AC于点，过点作，，若，求的面积． 【答案】70 【分析】本题考查的是角平分线的性质，先证明，再利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：平分，，， ． ∵，， ． 42．已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $