专题02 空间向量在立体几何中的应用（期中复习讲义）（知识必备+9大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

专题02 空间向量在立体几何中的应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用空间向量研究直线、平面的位置关系 能求直线的方向向量与平面的法向量,并利用它们解决直线、平面间的位置关系，培养数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在大题第（1）问 用空间向量研究距离问题 1、掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2、体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现在解答题中的某一问中 用空间向量研究夹角问题 掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两平面夹角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 重难必考点，常出现在大题第（2）（3）问，探索性问题是难点 知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 ·易错点：注意一条直线的方向向量不只一个，且这些方向向量互相平行. ·示例：图①中的向量也是直线的方向向量. 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02 平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． ·易错点：和直线的方向向量类似，平面的法向量也有无数个，且它们互相平行，求解时往往求出其中一个法向量即可. 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 当时， ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ ·易错点：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面可能平行，也可能是直线在平面内，故用向量法证明线面平行时，还需说明直线不在平面内. 知识点04空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点05 用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 知识点06 用向量法求空间距离 1.空间中两点之间的距离公式 空间任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离为 . 2、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 3、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. ·示例：已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),求点D到平面ABC的距离. 【解析】 由已知可得=(2,-2,1),=(4,0,6),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则即∴可取n=,又=(-7,-7,7), ∴点D到平面ABC的距离d==. 4、两平行线间的距离、直线到平面的距离、两平面间的距离 (1)两平行线间的距离可以转化为其中一条直线上的某点到另一条直线的距离; (2)直线到平面的距离可以转化为直线上任一点到平面的距离; (3)两平面间的距离可以转化为其中一个平面内的任一点到另一个平面的距离. ·易错点：只有直线与平面平行时才能计算直线到平面的距离，同样地，只有两平面平行时，才能计算两平面间的距离. 知识点07 三角余弦公式、最小角定理、异面直线间的距离（拓展） 1、线线角、线面角的关系——三角余弦公式 如图所示,OA为平面α的斜线,AB是OA在平面α内的射影,AC为平面α内过A点的任一直线,设∠OAB=θ1,∠BAC=θ2,∠OAC=θ,则cos θ=cos θ1cos θ2.①[5] 2、最小角定理 在①式中,因为0≤cos θ2≤1,所以由上式可知cos θ≤cos θ1，因为θ1和θ都是锐角或直角,所以可得θ1≤θ.这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角，这就是最小角定理. 3、两个重要结论 (1)经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. (2)当线段AB所在直线与平面所成的角为，且AB在平面内的射影为时，有 4、异面直线间的距离 (1)异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。 (2)两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在两异面直线间的部分，叫做异面直线的公垂线段。 (3)异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。 ·易错点：异面直线的公垂线的定义语句中有“垂直”“相交”四个字，这四个字是缺一不可的。如果只有“垂直”没有“相交”，这样的直线将有无数多条；如果只有“相交”没有“垂直”，这样的直线也有无数多条。 (4)向量法求异面直线间的距离： 两异面直线间的距离可先求得两直线的公共“法向量”（即与两直线都垂直的向量），然后在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离。 如图，设A、B分别为异面直线、上的两点，为与、都垂直的向量，PQ为两异面直线、的公垂线段，则。设异面直线、的距离为d,显然d=|PQ|.于是，我们得到两异面直线、间的距离公式：. B a/ b a Q P A 题型一 用空间向量解决平行问题 解｜题｜技｜巧 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可. 坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 【典例1-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 【典例1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【答案】(1)垂直；(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解； （2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． （2）设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即． 即点D的坐标为． 【变式1-1】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【分析】（1）证法1：建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，可得，由线面平行的判定定理证明即可； 证法2：求出平面的法向量，判断即可证明 （2）求出平面的一个法向量，判断与关系即可证明； 【详解】（1）以为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 令正方体的棱长为2，则，，，，，． 证法1：，，因为，所以，又平面，平面，所以平面． 证法2：设平面的一个法向量，，，根据，可得，令，则，，即， 因为，平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量，，，根据，可得，取，则，所以，则，所以平面平面． 题型二 用空间向量解决线面（面面）垂直问题 解｜题｜技｜巧 1、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. 2、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 3、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 【典例2-1】（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【分析】设，，，则构成空间的一个基底，利用该基底表示出，证明即可． 【详解】设，，，则构成空间的一个基底， 则，， ∴， ∴，即． 【典例2-2】（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【典例2-3】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【分析】根据题干条件及线面垂直的判定定理可证明平面，利用线面垂直的性质可得，，两两垂直，故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用证明面面垂直的向量法即可证明. 【详解】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. 【变式2-1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】(1)当点的坐标为时，平面.(2)证明见解析 【详解】（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. （2）设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【分析】(1)线面垂直的性质定理可证,先证平面，即可得到结论； (2)建立空间直角坐标系，由（1）知为平面的一个法向量，根据可证. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接. 根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，平面，平面，. 又四边形为正方形，. 又，平面，平面，平面， 平面，. （2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，. ，，，，， ，，由平面，知为平面的一个法向量. 又，且不在平面，平面. 【变式2-3】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）如图： 平面中：延长到，使；延长到，使. 因为，所以， 所以点为的重心. 所以 ， 所以. 又因为， 即. 因为 . 所以. （2）如图： 因为平面，平面，所以； 又，，平面，，所以平面， 又平面，所以. 又因为， 所以， 所以； 在中，，，所以. 又， 所以， 所以. 在中，，，所以. 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，，所以平面. 题型三 用空间向量解决异面直线所成角问题 解｜题｜技｜巧 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量u,v. (3)代入公式cosθ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. 【典例3-1】已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两直线所成角为锐角或直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数. 【详解】以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 【典例3-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】首先将异面直线的方向向量运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案. 【详解】根据题意可知，. 所以. 因为，，，， 所以，. 所以. 根据勾股定理可得，， 所以异面直线所成角的余弦值为： . 【变式3-1】（24-25高二上·吉林·月考）在如图所示的多面体中，平面，平面平面，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角公式得到答案. 【详解】如图，将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以． 故选：A 【变式3-2】（24-25高二下·湖南·月考）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面于点，证点为斜边的中点，且，建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 故可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 设，则，则， ， 则有， 因E，F分别为棱AD，AB的中点，故，， 则，， 设直线所成的角为， 则， 故选：A.． 题型四 用空间向量解决线面角问题 解｜题｜技｜巧 利用空间向量求线面角的两种方法 (1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=. (2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|. 【典例4-1】（2025·重庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）建系标点，设，根据直线与的交点求得，即可得结果； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则． 设，则， 可得， 由题意可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式4-2】（24-25高二上·浙江·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，点为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)若为线段上一点，且，为何值时，直线与平面所成角的正弦值为? 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由已知，取线段 中点G，连结，可证得四边形为平行四边形，得，即可证得平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出一个平面的一个法向量，由，可得，设直线与平面所成角为，由，利用坐标运算，即可解得的值. 【详解】（1）    取线段 中点G，连结， ，G分别是线段的中点， 且， ，， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； （2）因为平面，平面， 所以， 如图，以为原点建立空间直角坐标系. 设直线与平面所成角为，    已知，，，， 则可得，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，则，令，则， 为线段上一点，且，， 所以， ， ， 解得 【变式4-1】如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）. (1)若，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在平面四边形中，，，， 所以，， 又，， 所以，，， 所以，所以. 所以在中，易得. 因为，，所以. 在四棱锥中，连接，设，连接， 因为，所以， 又，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意易知，，两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，即. 由，得， 故，. 由直线与平面所成角的正弦值为， 得，解得. 【变式4-2】（24-25高二上·吉林松原·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以. 在中，由余弦定理得， 因为，所以，即. 因为，所以，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）由（1）得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 于是. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得， 故直线与平面所成的角为. 题型五 用空间向量解决两平面夹角、二面角问题 解｜题｜技｜巧 1.基向量法求二面角 在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线,利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化,求出两条直线方向向量的夹角,进而求得二面角的大小. 2.利用法向量求二面角 即找或作出两个平面的法向量,并求得它们的坐标,再结合向量夹角公式求解. 【典例5-1】（25-26高二上·全国·期中）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．    【答案】 【分析】以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据二面角的平面角为60°建立方程求解即可． 【详解】因为底面，，底面，所以，， 又为直角，所以两两垂直． 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 因为为的中点，所以，所以，．设为平面的法向量，则 令，得．易知，平面的一个法向量为． 由题意，二面角的平面角为60°，则，解得．    【典例5-2】正四面体ABCD中,求相邻两个面所成的二面角的余弦值为 . 【答案】. 【详解】如图,设BC的中点为E,连接AE、DE, 则AE⊥BC,DE⊥BC, ∴∠AED就是正四面体的两个相邻面ABC与DBC所成二面角的平面角,且BC⊥平面ADE,∴BC⊥AD,∴·=0, 设正四面体的棱长为1.则·=(+)·(++) =||2+2·+·+·+||2 =+2××1×cos 120°+0+1×1×cos 120°+1=. 在△ABC与△BCD中,可求得||=||=,∴cos<,>=== 故正四面体的两个相邻面所成的二面角的余弦值为. 【典例5-3】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行； （2）建系后，写出相关点的坐标，出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式5-1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）连接与交于点， 在菱形中，， 底面平面， 平面，， 平面， 平面； （2）取的中点，连接， 为中点，中，， 底面底面， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， ，， 设， ，即，由此可求， 设平面，平面的法向量分别为， ， ∴即取； 同理，即，取； 设二面角的平面角为，则， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为． 【变式5-2】（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 又且平面，平面. 平面，. （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，可得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，得， 由且得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线、、两两垂直， 以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 令，， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是， 化简得，又，故解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 题型六 向量法求点点距、点线距、线线距 解｜题｜技｜巧 1、用向量法求两点间的距离 先求出两点的坐标，再利用两点间的距离公式求解. 2、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 3、两平行线间的距离可转化为点到直线的距离求解. 【典例6-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】， 【分析】根据已知确定边上的中点坐标，应用空间两点距离公式求中线长，再由向量夹角的坐标运算求得，再由三角形面积公式及平行四边形的性质求面积. 【详解】由题设，边上的中点坐标是， 所以边上的中线长， 由题意得，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以为邻边的平行四边形的面积为. 【典例6-2】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 【典例6-3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    证明，并求直线到直线的距离. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； 【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． 【变式6-1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数 ． 【答案】6 【分析】求出的坐标，再求模长即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得. 【变式6-2】（24-25高二下·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3) 【详解】（1）证明：由题知，平面ABC， 所以、、两两垂直 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系    因为，，，则 ，，，，，， 所以， 故 所以 （2）由（1）分析知，，， 又，即 所以， 设平面的法向量为 则，即 令，则 由题知，是平面的一个法向量 设二面角的平面角为，则 所以二面角的余弦值为. （3）由（2）知，，且 在上的投影向量的模长. 计算. 根据点到直线距离公式， 即点到直线的距离为. 题型七 利用空间向量求点面距、线面距、面面距 解｜题｜技｜巧 1、利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 2、线面距离及两平行平面间的距离求法 求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 【典例7-1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，EF//AB，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得两平面夹角的余弦值； （2）利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）由直线平面平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得， 以为原点，直线AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 可得 设平面BCF的一个法向量， 则，令，得， 设平面APC的一个法向量为，则， 令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. （2）由（1）知，平面APC的一个法向量， 而， 所以点到平面ACP的距离. 【典例7-2】（17-18高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【变式7-2】（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 【详解】（1）    如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 【变式7-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，平面， 所以平面平面. 所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离． 以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则 令，得故是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离， 即平面与平面之间的距离为． （2）（ⅰ）同（1）建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，． 所以，，则，即，则， 所以直线到直线的距离可转化成点到直线的距离． 连接，因为， 所以点到直线的距离， 所以直线到直线的距离为． （ⅱ）易得，，． 设平面的法向量为，则 令，则，，得是平面的一个法向量． 因为，所以，又平面，所以平面， 所以直线到平面的距离可转化成点到平面的距离． 因为，所以直线到平面的距离． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 题型八 用空间向量解决异面直线间的距离（拓展） 解｜题｜技｜巧 两异面直线间的距离可先求得两直线的公共“法向量”（即与两直线都垂直的向量），然后在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离. 【典例8】（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法分析可知，直线与直线既不平行，也不相交，由此可证得结论成立； （3）设，，、，求出点、的坐标，根据可得出，再利用空间向量的模长公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. （2）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， ①若，即，即，无解， 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 即，所以，无解， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. （3）记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 则， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 所以， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. 【变式8】（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又，所以，， 又，所以是等边三角形， 所以，所以二面角的平面角的大小为； （2）以为坐村标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 则， 则， 设，且， 则，令，则， 则， 则异面直线与间的距离． 题型九 折叠问题 解｜题｜技｜巧 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 【典例9】（23-24高二上·广西柳州·开学考试）如图（1），在中，，，，分别是，的中点，将和分别沿着，翻折，形成三棱锥，是中点，如图（2）.    (1)求证：平面； (2)若直线上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理和判断定理，结合垂直关系，平行关系的转化，即可证明； （2）根据（1）的结果，以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为点分别是边的中点，所以， 因为，即，所以， 所以，，即， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 由题意，，，则， 又是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）    以为原点，分别为轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，， 则，，，， ，, 设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则， 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得：， 则，故. 【变式9】（24-25高二下·广西南宁·期末）如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）说明两两垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式以及平方关系即可得解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 如图，由平面图易得为平行四边形，则为的中点， 连接，则， 又平面平面，故平面． （2）取的中点，连接，， 由平面图形可知，，则． 又平面平面，且平面平面，面， 故平面． 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设平面的法向量为， ，即，取， 又平面的法向量为， 设平面与平面所成二面角为， ， 即所求平面与平面所成二面角的正弦值为． 题型十 夹角、距离中的最值（范围）问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 对于夹角、距离中的最值（范围）问题，往往利用相应的夹角、距离公式建立函数关系式，利用函数思想求最值或范围. 【典例 10-1】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解. 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为. 【典例 10-2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．    (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理证明即可； （2）方法一：作出线面角所成平面角，计算即可；方法二：建立空间直角坐标系，运用线面角向量法计算即可. 【详解】（1）因为，所以三点共线， 所以，又因为，所以．    因为面ABCD，面ABCD，所以．              因为面面，所以面．        又因为面，所以面面． （2）方法一： 由 可知． 从而． 又因为， 所以E在线段上．                       过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE 则即为直线EB与平面ABCD所成角                 ．                   取最短时，取最大， 在中，， 为中点时，，此时最短， ．              方法二： 以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 那么，设．      由， 可得面的一个法向量为，        由， 可得面的一个法向量为．                       于是由可得．                  所以．面ABCD的一个法向量为．           设直线EB与平面ABCD所成角为，那么 ．                                 因此当时取到最大值．    【变式10-1】（24-25高二上·河北保定·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点. (1)证明：平面平面. (2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由. (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，使得平面， (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面； （2）由线面平行的判定定理可证当为中点时，平面，由勾股定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，设，利用向量法表示平面与平面夹角的余弦值，即可求解. 【详解】（1） 连接，因为底面ABCD是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）存在点，当为中点时，平面， 理由如下： 取的中点，连接，，， 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 在直角三角形中，， 所以在直角三角形中，； （3） 取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 设， ，，，，， 所以，，，， ， 设平面的法向量为， 所以，所以， 令，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 当时，， 当时，， 所以当时，最大，此时， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 【变式10-2】如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：因为底面，平面， 所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，， 所以，即，令，可得． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，， 则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 题型十一 空间向量中的新文化、新定义问题 解｜题｜技｜巧 数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点. 【典例 11-1】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法与同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】在堑堵中，平面，，，， 以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 故选：A． 【典例11-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 【答案】(1)2；(2)；(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用向量的坐标运算将条件等式转化为关于的方程求解可得； （2）利用法向量方法求二面角； （3）设，，利用向量的坐标运算将条件转化为垂直关系，结合模长等量关系，建立的方程组求解可得. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，由已知， 则, 则， 则， 且. 由题意知, 所以有， 则，解得（舍去）， 故的长为. （2）由（1）知，, 又为的中点，则，， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则. 故平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，且， 则， 故. 故二面角的正弦值为. （3）由（1）可得， 由题意，设，， 则 则， 由可知，， 且，由， 则，解得； 则， 则解得，， 则， 又，解得. 【变式11-1】．（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：C 【变式11-2】（23-24高二上·山东菏泽·月考）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量求线线角含参数问题，将该几何体还原成正方体，建立空间直角坐标系，求解. 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2， 所以，，所以，则， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）. 故选：B. 【变式11-3】（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【答案】(1)D为中点；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） （3）设正四面体的棱长为，综合（2）有的中点， 再取的中点，连接交于， 则由等边三角形的性质可知为的中点，且， 则以为坐标原点，以平行于直线且过点的直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 令为的三等分点，为的中点， 则，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有，即，取，则， 即. 又相邻平面之间的距离为1， 所以点到平面的距离为， 解得. 由此可得，边长为的正四面体满足条件. 可知所求正四面体的体积. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以点到平面的距离为． 故选：A. 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为.故选：B. 4．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 5．（多选）（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量， 则平面的法向量与平行，因为，， 向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量.故选：AD. 6．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 【答案】BD 【详解】由为正方体， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则､. 对于选项，，则，故错误； 对于选项，，则，故正确； 对于选项，，故，故错误； 对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确. 故选：. 7．（24-25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 【答案】 所以可得，即， 故答案为：. 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 9．（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 【答案】 【详解】因为空间中的三点，，，所以，， 所以，， 点到直线AB的距离为． 10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为 . 【答案】（0，1，1） 【详解】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形， ∴DA，DC，DS两两垂直， 如图以D为原点，以DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则D（0，0，0），B（，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0）， ＝（0，﹣2，0）.＝（0，﹣2，2）.， 设＝＝（0，﹣2λ，2λ），＝＝（﹣，﹣2λ，2λ）. ∠ABM＝60°，可得：cos60°＝＝＝， 解得λ＝，＝（0，﹣1，1），＝（0，1，1），M（0，1，1）. 11．（24-25高二下·四川广安·期中）如图，平面，，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值；. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，因为，， ､平面，所以平面， 可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴､轴､轴正方向的空间直角坐标系如图，    可得，，，，. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线不在平面，所以平面. （2）依题意，，，. 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得.设为与平面所成的角， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 12．（2025·陕西西安·二模）如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直， 又因为，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以， 则， 从而， 所以； （2）根据题意，可知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以 易知二面角的正弦值为. 13．（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【详解】（1）平面，与平面所成角为45°， ，， 又为中点，. 平面，平面，. ，，平面， 平面， ∵平面，， 又，平面， 平面， ∵平面，， ，，，平面， 平面，∵平面， ，，平面， 平面. （2）平面，平面， . 又，故两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形， ∴，∵，∴，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，即 取，则，， ，， 点到平面的距离. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 14．（24-25高二上·安徽·月考）在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以时，，即的最大值是. 故选：B. 15．(多选)（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 16.(多选)（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】ACD 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法直接求解即可；对于B，利用空间向量点到面的距离公式进行求解；对于C，两平行平面间的距离转化为点到平面的距离的空间向量法进行求解；对于D，利用空间向量法点到线的距离公式求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，． 对于A，设BE与所成角，则，，故A正确； 对于B，易知，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面. 所以平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B错误； 对于C，，，． 设平面的法向量为，则，所以，令， 所以，所以点到平面的距离． 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 对于D，因为，所以，， 则，所以点P到AB的距离，故D正确． 故选：ACD.    17．(多选)（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线和所成的角为 B．平面和平面有相同的法向量 C．异面直线和的距离为 D．二面角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角、平面法向量及二面角可判断A项、B项、D项；在线段任取一点，在线段任取一点，设，根据空间向量坐标运算可得设，当时，即为异面直线和的距离，从而求得的值，求解，即可得判断C项． 【详解】连接、交于点，连接，， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以，，三点共线，且面， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 对于A：， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A正确； 对于B：， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 因为 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以平面和平面有相同的法向量，故B正确； 对于C：在线段任取一点，在线段任取一点，链接 则可设， 因为， 所以， 则 当时，即为异面直线和的距离， 所以，则， 所以，故异面直线和的距离为，故C正确； 对于D：因为， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D错误； 故选：ABC. 18．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 【答案】 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 【答案】/ 【详解】如图，在三棱锥中，，，， 平面，以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，    可知，，， ，， ，则，设，且，则， 可知，， ，，异面直线与所成的角的余弦值为，，解得或（舍去），. 20．（23-24高二上·广东江门·月考）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）∵，E为BD的中点， ∴⊥， 又平面⊥平面，且平面平面，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，    设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 假设在线段AD上存在，使得平面， 设，则， ∴．则． 平面的法向量， 由，即，即，无解，不存在． ∴线段AD上不存点M，使得平面． 21．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，在圆锥SO中，高，底面圆O的直径 ，C是OA的中点，点D在圆O上，平面平面． (1)证明：． (2)若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在平面内过作，以为原点，建立空间直角坐标系，借助面面垂直求出平面的法向量，再计算即可得证. （2）设出点的坐标，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出夹角余弦的函数关系即可求出范围. 【详解】（1）在平面内过作，而平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设， 设平面的法向量，则， 令，得， 而平面的法向量为， 因为平面平面，则，解得， 于是，而，则，所以. （2）设点，显然，， 设平面的法向量，则， 令，得， 由（1）知，平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 于是， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围. 22．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 23．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）因为，所以， 因为为的中点，则，所以是等边三角形， 取的中点，连接，则， 又为棱的中点，且，即，则． 因为平面平面平面平面， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）（ⅰ）因为，所以． 所以，因为，所以， 又平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 则， 设，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则． 设直线与平面所成的角为，所以， 整理得，解得（舍），所以． （ⅱ）由（ⅰ）知， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则， 所以点到平面的距离为． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 24．（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期中）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【答案】ACD 【详解】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对； 根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令， 则， 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. 25．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 在正方体中，，且平面， 平面，所以平面，平面. 因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以球心到平面的距离. 如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径. 因为，所以，即， 所以， 所以的最小值为. 26．（2025·全国高考I卷·真题）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在，的坐标为或，理由见解析， 【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为为中点，，所以. 又，平面， 所以平面， （2） 由（1）平面，平面，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为四边形为正方形，所以， 平面，， 所以平面，平面，所以， 因为为的中点，，所以， ，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，所以平面，平面， 所以，故， 由（1）平面，平面， 所以，故，又， 所以，所以， 由已知，，， 所以，故， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，易知， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 平面ABCD的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， （3）因为，，所以， 设，， 所以，所以，所以. 由（2）知平面的一个法向量为， 所以，解得或， 所以点的坐标为或. 27．（24-25高二上·江西景德镇·期中）在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一般式方程. (2)求到直线的距离. (3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，且 【详解】（1）由于平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角， 所以，所以. 所以， 所以, ，设平面的法向量为， 则，故可设，平面， 则平面的方程为， 即. （2）在中，，， 设到的距离为，则， 由于平行四边形和平行四边形全等， 所以到直线的距离等于设到的距离， 即到直线的距离为. （3），，，， 即，而， 所以， 设，则，即， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设平面的法向量为， 则，故可设， 若平面平面，则， 即， 解得，负根舍去， 所以存在符合题意的点，且. 27．（24-25高二上·山西·月考）已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集． (1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数； (2)已知为的4阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当的值为时，有4个；当的值为时，有3个 (2) 【详解】（1）情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； 情形二：分别取的中点， 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上所述，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. （2）在线段上分别取一点， 使得，，，则平面即为平面. 如图，取中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， ，设 ， ， 设平面法向量为 所以，即， 所以， 又平面的法向量为， 设平面与夹角为 所以， 所以平面与夹角余弦值为. 108 / 110 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量在立体几何中的应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用空间向量研究直线、平面的位置关系 能求直线的方向向量与平面的法向量,并利用它们解决直线、平面间的位置关系，培养数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在大题第（1）问 用空间向量研究距离问题 1、掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面的距离问题,培养逻辑推理的核心素养. 2、体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养. 高频易错点，常出现在解答题中的某一问中 用空间向量研究夹角问题 掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两平面夹角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 重难必考点，常出现在大题第（2）（3）问，探索性问题是难点 知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 ·易错点：注意一条直线的方向向量不只一个，且这些方向向量互相平行. ·示例：图①中的向量也是直线的方向向量. 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点02 平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． ·易错点：和直线的方向向量类似，平面的法向量也有无数个，且它们互相平行，求解时往往求出其中一个法向量即可. 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点03空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 当时， ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ ·易错点：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面可能平行，也可能是直线在平面内，故用向量法证明线面平行时，还需说明直线不在平面内. 知识点04空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点05 用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 知识点06 用向量法求空间距离 1.空间中两点之间的距离公式 空间任意两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离为 . 2、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 3、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. ·示例：已知A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),求点D到平面ABC的距离. 【解析】 由已知可得=(2,-2,1),=(4,0,6),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则即∴可取n=,又=(-7,-7,7), ∴点D到平面ABC的距离d==. 4、两平行线间的距离、直线到平面的距离、两平面间的距离 (1)两平行线间的距离可以转化为其中一条直线上的某点到另一条直线的距离; (2)直线到平面的距离可以转化为直线上任一点到平面的距离; (3)两平面间的距离可以转化为其中一个平面内的任一点到另一个平面的距离. ·易错点：只有直线与平面平行时才能计算直线到平面的距离，同样地，只有两平面平行时，才能计算两平面间的距离. 知识点07 三角余弦公式、最小角定理、异面直线间的距离（拓展） 1、线线角、线面角的关系——三角余弦公式 如图所示,OA为平面α的斜线,AB是OA在平面α内的射影,AC为平面α内过A点的任一直线,设∠OAB=θ1,∠BAC=θ2,∠OAC=θ,则cos θ=cos θ1cos θ2.①[5] 2、最小角定理 在①式中,因为0≤cos θ2≤1,所以由上式可知cos θ≤cos θ1，因为θ1和θ都是锐角或直角,所以可得θ1≤θ.这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角，这就是最小角定理. 3、两个重要结论 (1)经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等. (2)当线段AB所在直线与平面所成的角为，且AB在平面内的射影为时，有 4、异面直线间的距离 (1)异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。 (2)两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在两异面直线间的部分，叫做异面直线的公垂线段。 (3)异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。 ·易错点：异面直线的公垂线的定义语句中有“垂直”“相交”四个字，这四个字是缺一不可的。如果只有“垂直”没有“相交”，这样的直线将有无数多条；如果只有“相交”没有“垂直”，这样的直线也有无数多条。 (4)向量法求异面直线间的距离： 两异面直线间的距离可先求得两直线的公共“法向量”（即与两直线都垂直的向量），然后在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离。 如图，设A、B分别为异面直线、上的两点，为与、都垂直的向量，PQ为两异面直线、的公垂线段，则。设异面直线、的距离为d,显然d=|PQ|.于是，我们得到两异面直线、间的距离公式：. B a/ b a Q P A 题型一 用空间向量解决平行问题 解｜题｜技｜巧 1、用向量法证明线线平行的思路 要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可. 坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线. 2、利用空间向量证明线面平行 (1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. (2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 3、用向量法证明面面平行的三种思路 (1)证明两个平面的法向量共线. (2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线. (3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量. 【典例1-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【典例1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； (2)若点D满足，，试确定点D的坐标． 【变式1-1】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型二 用空间向量解决线面（面面）垂直问题 解｜题｜技｜巧 1、用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种. (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0. 2、用向量法证明线面垂直的两种方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线. (2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直. 3、用向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. 【典例2-1】（25-26高二上·全国·课前预习）在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【典例2-2】（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【典例2-3】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【变式2-1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点. (1)在平面内确定一点，使平面； (2)证明：棱上不存在点，使平面平面. 【变式2-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【变式2-3】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 题型三 用空间向量解决异面直线所成角问题 解｜题｜技｜巧 利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系. (2)求出两直线的一个方向向量u,v. (3)代入公式cosθ=求解. 注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,]. 【典例3-1】已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【变式3-1】（24-25高二上·吉林·月考）在如图所示的多面体中，平面，平面平面，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·湖南·月考）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型四 用空间向量解决线面角问题 解｜题｜技｜巧 利用空间向量求线面角的两种方法 (1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=. (2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|. 【典例4-1】（2025·重庆·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． (1)证明：点为棱的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式4-2】（24-25高二上·浙江·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，点为线段的中点.    (1)证明：平面； (2)若为线段上一点，且，为何值时，直线与平面所成角的正弦值为? 【变式4-1】如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）. (1)若，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. . 【变式4-2】（24-25高二上·吉林松原·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 题型五 用空间向量解决两平面夹角、二面角问题 解｜题｜技｜巧 1.基向量法求二面角 在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线,利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化,求出两条直线方向向量的夹角,进而求得二面角的大小. 2.利用法向量求二面角 即找或作出两个平面的法向量,并求得它们的坐标,再结合向量夹角公式求解. 【典例5-1】（25-26高二上·全国·期中）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，为的中点，，且二面角的平面角为60°，则 ．       【典例5-2】正四面体ABCD中,求相邻两个面所成的二面角的余弦值为 . 【典例5-3】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式5-1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 【变式5-2】（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中． (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型六 向量法求点点距、点线距、线线距 解｜题｜技｜巧 1、用向量法求两点间的距离 先求出两点的坐标，再利用两点间的距离公式求解. 2、用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的一个单位方向向量u. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式d=计算点到直线的距离. 3、两平行线间的距离可转化为点到直线的距离求解. 【典例6-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【典例6-2】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【典例6-3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    证明，并求直线到直线的距离. 【变式6-1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数 ． 【变式6-2】（24-25高二下·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到直线的距离． 题型七 利用空间向量求点面距、线面距、面面距 解｜题｜技｜巧 1、利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 2、线面距离及两平行平面间的距离求法 求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. 【典例7-1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，EF//AB，，点为棱DF的中点. (1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值； (2)求点到平面ACP的距离. 【典例7-2】（17-18高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【变式7-2】（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1． (1)求平面与平面之间的距离． (2)若为的中点，为的中点，为的中点，为的中点． （ⅰ）求直线到直线的距离； （ⅱ）求直线到平面的距离． 题型八 用空间向量解决异面直线间的距离（拓展） 解｜题｜技｜巧 两异面直线间的距离可先求得两直线的公共“法向量”（即与两直线都垂直的向量），然后在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离. 【典例8】（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【变式8】（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 题型九 折叠问题 解｜题｜技｜巧 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 【典例9】（23-24高二上·广西柳州·开学考试）如图（1），在中，，，，分别是，的中点，将和分别沿着，翻折，形成三棱锥，是中点，如图（2）.    (1)求证：平面； (2)若直线上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式9】（24-25高二下·广西南宁·期末）如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 题型十 夹角、距离中的最值（范围）问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 对于夹角、距离中的最值（范围）问题，往往利用相应的夹角、距离公式建立函数关系式，利用函数思想求最值或范围. 【典例 10-1】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【典例 10-2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．    (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【变式10-1】（24-25高二上·河北保定·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点. (1)证明：平面平面. (2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由. (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【变式10-2】如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 题型十一 空间向量中的新文化、新定义问题 解｜题｜技｜巧 数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点. 【典例 11-1】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例11-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面， 为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的正弦值； (3)若为线段上一点，且满足，求． 【变式11-1】．（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式11-2】（23-24高二上·山东菏泽·月考）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 （    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建龙岩·期中）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 7．（24-25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为 ． 9．（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 10．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为 . 11．（24-25高二下·四川广安·期中）如图，平面，，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值；. 12．（2025·陕西西安·二模）如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 13．（24-25高二上·河南洛阳·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求点到平面的距离. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 14．（24-25高二上·安徽·月考）在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．(多选)（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 16.(多选)（23-24高二上·山东泰安·月考）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 17．(多选)（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（    ） A．异面直线和所成的角为 B．平面和平面有相同的法向量 C．异面直线和的距离为 D．二面角的余弦值为 18．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点，使得异面直线与所成的角的余弦值为，则为 . 20．（23-24高二上·广东江门·月考）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2． (1)求证：平面； (2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 21．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，在圆锥SO中，高，底面圆O的直径 ，C是OA的中点，点D在圆O上，平面平面． (1)证明：． (2)若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围． 22．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 23．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 24．（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期中）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（    ） A．平面EAD 平面FCB B．平面EAD 平面ECB C．异面直线与所成的角为 D．若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 25．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 ． 26．（2025·全国高考I卷·真题）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 27．（24-25高二上·江西景德镇·期中）在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面的一般式方程. (2)求到直线的距离. (3)在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $