专题05 圆的综合应用（期中真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题05 圆的综合应用 5大高频考点概览 考点01 圆的轨迹方程 考点02 与圆相关的实际问题 考点03 求圆的方程和切线方程 考点04 直线与圆的位置关系综合 考点05 参数范围和探索性问题 地 城 考点01 圆的轨迹方程 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动点， 动点与两个定点，的距离之比为2， ，化简得， 所以动点的轨迹方程为圆：， 如图，过点作圆的切线，，连接，，    则，， ，同理， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：C. 2．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】由题意，圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设动圆的圆心，半径为， 动圆与圆：内切，与圆：外切， 所以，， 所以， 所以的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，， 所以， 椭圆的方程为. 故答案为：． 3．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为． （2）设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为． 4．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)（1）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． （2）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求的轨迹方程； 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）过点的圆与直线相切于点， 两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为， 的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点， 直线与直线垂直，， 直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为． （2）因为点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 所以，整理得．即， 则的轨迹方程为； 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 【详解】（1）圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 综上所述：， 可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，则， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. （2）由题意可知：过点的直线方程为， 联立方程，解得或， 故直线与的交点为. 因为在线段外，在线段上，故， . 若点不在上，则； 若点在处，则； 综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为. 地 城 考点02 与圆相关的实际应用 1．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设直线的方程为，将代入得，故直线方程为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故， 连接，与交于点，与圆交于点， 则， 所以即为机器人走过的最短路程， 其中， 故. 故选：A 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线距离之和的5倍， 因为的取值与x、y无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为，所以圆与直线相离， 如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离， 此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或， 所以. 故答案为：. 地 城 考点03 求圆的方程和切线方程 1．(24-25高二上·内蒙古包头景泰艺术中学·期中)已知圆上三点坐标分别为 (1)求该圆的一般方程； (2)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求的面积． 【详解】（1）设圆的一般方程为. 将，，分别代入方程可得： 解得，，. 所以圆的一般方程为. （2）先求中点坐标，，，中点坐标为.，则弦垂直平分线的斜率为. 根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即. （3）. 直线的方程为，即. 点到直线的距离. 所以的面积. 2．(24-25高二上·内蒙古包头景泰艺术中学·期中)已知圆经过 ，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t）， 则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2， 解可得t＝0， 即圆心的坐标为（1，0）， 圆的半径r＝＝2， 则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0； （2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4， 过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k， 则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0； 则有d＝＝2，解可得k＝0或； 故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0． 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 4．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． (1)求圆的方程； (2)从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 【详解】（1）解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. （2）解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线的方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 5．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【详解】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2； （2）设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 地 城 考点04 直线与圆的位置关系综合 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【详解】（1）设圆的半径为，则， 所以的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则，解得：， 当直线的斜率不存在时，，此时圆心到的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 化简得：，则，解得：， 即. 综上，直线的方程为或. 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【详解】（1）直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【详解】（1）联立方程，解得 所以圆的圆心的坐标为， 又由圆与直线相切，可得圆的半径为， 可得圆的标准方程为； （2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切， ①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，合题意； ②当直线斜率存在时，设，即， 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或． 4．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长； (3)在（2）的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程. 【详解】（1）直线的方程可化为，由，解得， 所以直线恒过定点. （2）圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为 所以当的方程为时最短；，最短弦长为. （3）由（2）知，以短弦长为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以短弦长为直径的圆的方程. 地 城 考点5 取值范围和探索性问题 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． (1)若P的坐标为，求过点P的切线方程； (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； (3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 【详解】（1） 由图像易知：是其一条切线， 设另切线方程为 ，即 圆心坐标为，半径 根据圆的切线的定义可知：，即 解得： 代回方程可求得切线方程为： 所以或， 过点P的切线方程为：或， （2） ∵圆 ∴圆心，半径， 设，由题意知在以为直径的圆上，又, ∴以为直径的圆的方程为：，即 又圆C：，即 故直线的方程为，即 由，解得， 即直线AB恒过定点. （3）由，得 ∴ 设， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的取值范围为. 2．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）当时，求直线被圆截得的弦长； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 【详解】试题分析：（1）圆的方程化为标准式，可得圆心，半径，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线被圆截得的弦长；（2）当所截弦长最短时，取最大值， 圆心到直线的距离，令，，利用配方法可得时取最大值，弦长取最小值，直线上方程为，（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，可得点横坐标的取值范围为． 试题解析：（）圆的方程为，圆心，半径． 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 弦长． （）∵圆心到直线的距离 ， 设弦长为，则， 当所截弦长最短时，取最大值， ∴，令， ． 令 ， 当时，取到最小值． 此时，取最大值，弦长取最小值， 直线上方程为． （）设， 当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时， ， 解得或， 由题意，圆与圆C有两个交点时符合题意， ∴点横坐标的取值范围为． 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线C． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点作与轴不重合的直线交曲线于，两点． （ⅰ）若直线的斜率为1，且过点作与直线垂直的直线交曲线于，两点，求四边形的面积； （ⅱ）设曲线与轴交于，两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）设，，因为点在圆上，所以①， 因为为中点，所以，整理得， 代入①式中，得，整理得， 所以曲线的方程为； （2）（ⅰ）当直线的斜率为1时，直线的方程为，即， 则直线方程为， 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则， 所以，， 所以， 所以四边形的面积为； （ⅱ）设直线的方程为，即， 设，， 联立，得， 则，，， 因为曲线与轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 故直线与直线的交点在定直线上. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆的综合应用 ☆5大高频烤点概览 考点01圆的轨迹方程 考点02与圆相关的实际问题 考点03求圆的方程和切线方程 考点04直线与圆的位置关系综合 考点05参数范围和探索性问题 目目 考点01 圆的轨迹方程 1.(2425高二上内蒙古包头第八十一中学期中)已知动点M与两个定点0(0,0)，A(3,0)的距离之比为2， 那么直线OM的斜率的取值范围是() A[26,65]B.[-9]c.[-]D.(-3,-) 2.(2425高二上内蒙古包头第九中学期中)一动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=25内切，且与圆C2: (x-1)2+y2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程是 3.(24-25高二上内蒙古包头第六中学期中已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,一2)，且圆心C在 直线：x-y+1=0上 (1)求圆C的方程； (2)若线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程 4.(24-25高二上内蒙古包头第八十一中学.期中)(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点 B(2,1),求圆C的标准方程。 (2)点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线1：x=空的距离的比是常数青，求M的轨迹方程； 5.(2425高二上内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学期中)设圆C1:(x+5)2+y2=4,圆 C2:(x-5)2+y2=4,已知动圆C与这两个圆中的一个内切，与另一个外切 (1)求动圆圆心C的轨迹L的方程： 2已知点N(5,),F(5,0),且点P为L上的动点，求MP1-FP的最大值及此时点P的坐标 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 与圆相关的实际应用 1.(2425高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学期中)某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场 地ABCD(边长为8米)如图所示，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，在场地ABCD中设置了一个 半径为米的圆H,圆H与直线AB相切于点E比赛中，机器人从F点出发，经过线段AG上一点，然后再到 达圆H,则机器人走过的最短路程是() G H A.241-2米 B.66-2米 c.米 D.66米 5 5 5 2.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学期中)圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念 的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也.意思 是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.现在以点(3,2)为圆心，2为半径的圆上取任意一点 P(x,y),若|3x+4y+a+|6-3x-4y的取值与x、y无关，则实数a的取值范围是 考点03 求圆的方程和切线方程 1.(24-25高二上内蒙古包头景泰艺术中学期中)已知圆上三点坐标分别为A1,2,B(4,6),C(2,0) (1)求该圆的一般方程； (②)求弦BC垂直平分线的方程； (3)求△ABC的面积， 2.(24-25高二上内蒙古包头景泰艺术中学期中)已知圆C经过A(0,V5),B(1,2)两点，且圆心在直线 x=1上. (1)求圆C的方程； (2)求过点P(0,2)且与圆C相切的直线方程. 3.(24-25高二上内蒙古赤峰元宝山区第一中学，期中)己知圆C经过点A(一1,1)和B(一2，一2)，且圆心 在直线：x+y-1=0上 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)求圆C的标准方程； (2)若过点(-2,1)作圆C的切线，求该切线方程 4.(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)已知圆C的圆心坐标(1,1)，直线：x+y=1被圆C截得弦长 为2. (1)求圆C的方程： (2)从圆C外一点P(2,3)向圆引切线，求切线方程 5.(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学期中)已知直线1：3x+4y+12=0和圆C: x2+y2+2x-4y+1=0 (1)求圆C的圆心坐标和半径： (2)求经过圆C的圆心且与直线1垂直的直线方程 目目 考点04 直线与圆的位置关系综合 1.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学期中)已知圆C1的圆心为坐标原点，且与直线3x+4y-10=0 相切 (1)求圆C1的标准方程； (2)若直线1过点M(1,2),直线1被圆C1所截得的弦长为2V3,求直线1的方程 2.(24-25高二上内蒙古赤峰元宝山区第一中学期中)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2-25,直线 1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (1)求证：直线1恒过定点； (2)直线1被圆C截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长 3.(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学期中)在平面直角坐标系中，直线y=一x+3与y=2x-3的 交点是圆C的圆心，直线y=等x与圆C相切. (1)求圆C的标准方程： (2)若过点Q(1,3)的直线1与圆C有且只有一个公共点，求直线1的方程. 4.(24-25高二上内蒙古包头第九中学期中)已知圆C:(x-1)+(y-2)=25,直线 1:(2m+1x+(m+1y-7m-4=0. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线！被圆C截得的弦何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在(2)的条件下，求以短弦长为直径的圆的方程 目目 考点5 取值范围和探索性问题 1.(24-25高二上内蒙古呼和浩特第一中学期中)已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P是直线： X十y=0上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B. (1)若P的坐标为P(3,-3),求过点P的切线方程： (2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由： (3)直线x-y+m=0与圆C交于E,F两点，求O克.O的取值范围(O为坐标原点)· 2.(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程 为：x2+y2-8x+11=0,直线的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)当m=1时，求直线1被圆C截得的弦长 (2)当直线被圆C截得的弦长最短时，求直线1的方程； (3)在(2)的前提下，若P为直线！上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为5，求点P的 横坐标的取值范围。 3.(24-25高二上内蒙古赤峰林西县第一中学.期中)已知圆0：x2+y2=16,点A(6,0),点B为圆0上的 动点，线段AB的中点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点T(2,0),过点T作与x轴不重合的直线1交曲线C于E,F两点. (i)若直线的斜率为1，且过点T作与直线1垂直的直线l1交曲线C于G,H两点，求四边形EGFH的面 积； (ⅱ)设曲线C与x轴交于P,Q两点，直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上，若是， 求出该直线的方程；若不是，请说明理由。