江苏省南通市崇川区2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷

江苏省南通市崇川区2025-2026学年八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列平面图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：是轴对称图形，故此选项符合题意； B.没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.如图，已知≌，，，则． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：≌， ，， ， ， 故选：． 根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 此题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是关键． 3.如图，点，，在同一直线上，≌，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：≌，， ，全等三角形对应边相等， ， ， 即等于， 故选：． 根据全等三角形的性质得出，再由线段和差即可求解． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 4.在和中，若，再添加一个条件使≌，添加不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据全等三角形的判定定理得， A、若，且，，由“”可证≌，所以选项A正确，不符合题意； B、若，且，，由“”可证≌，所以选项B正确，不符合题意； C、若，且，，无法证明≌，所以选项C错误，符合题意； D、若，且，，由“”可证≌，所以选项D正确，不符合题意； 故选：． 利用全等三角形的判定逐项判断可求解． 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(    ) A. 三条中线的交点 B. 内任意一点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】D  【解析】解：凉亭到草坪三条边的距离相等， 根据角平分线的性质得：凉亭的位置应该选择三条角平分线的交点， 故选：． 由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用，掌握角平分线上的点到边的距离相等是解题的关键． 6.如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，交于点，交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， ， 垂直平分线， ， ， ． 故选A． 由直角三角形的性质求出，由线段垂直平分线的性质推出，得到，即可求出的度数． 本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 7.如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接、， 是的平分线， 角平分线的定义， ，， ， 在和中， ， ≌， ，全等三角形的对应边相等， 是的垂直平分线， 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 故选：． 连接、，由“”可证≌，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证≌，可得，即得到，据此即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A  【解析】解：根据题意，分，，三种情况进行讨论如下： 当时，在轴上有个满足题意，在轴上有个满足题意； 当时，在轴上有个满足题意，其中一个与时的重合，在轴上有个满足题意； 当，在轴和轴各有个满足题意，其中在轴上的与时的重合， 故满足条件的点共有个； 故选：． 分，，三种情况进行讨论即可． 本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，分类讨论是关键． 9.如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且，下列结论：是等边三角形；四边形的面积是一个定值；当时，的周长最小；当时，，其中正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D  【解析】解：过作交于，交于， ， 由条件可知， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是等边三角形； 故此项正确； 由得， ， 由条件可知， 是定值， 四边形的面积是一个定值； 故此项正确； 如图， 当时， 的值最小， 由条件可知的周长为， 的周长最小； 故此项正确； 如图， 由条件可知， 故此项正确； 故选：． 过作交于，交于，由平行线的性质得，由可判定≌，由全等三角形的性质得，由等边三角形的判定方法，即可判断；由全等三角形的性质得，点是的平分线上的一个定点得是定值，即可判断；由垂线段最短得当时，的值最小，即可判断；由平行线的性质即可判断． 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质，平行线的性质等；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质是解题的关键． 10.如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，， ， ， ， ， 故选：． 在上截取，连接，利用可证得≌，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果． 本题主要考查了轴对称中的光线反射问题最短路线问题，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，共20分。 11.在平面直角坐标系中，已知点与关于轴对称，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：由题意得，，， ， ． 故答案为：． 关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 12.如图，≌，若，，，则______． 【答案】  【解析】解：，， ， ≌， ， ， ， 故答案为：． 先由三角形内角和定理得到，再由全等三角形的性质得到，则． 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 13.如图，在中，，平分，于点，且，，则      ． 【答案】  【解析】解：平分，，， ， ， ， 故答案为：． 角平分线上的点到该角两边的距离相等，据此得到的长，进而可求出的长． 本题主要考查了角平分线的性质，掌握以上性质是解题的关键． 14.如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为      ． 【答案】  【解析】解：如图，过作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 过作轴于点，由，可得，从而证明≌，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 15.如图所示，的平分线与的外角的平分线相交于点，过点作交于点，交于点若，，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 16.如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，为延长线上一点，若，，，则的面积为          用含，，的式子表示 【答案】  【解析】解：如图，过点，分别作，，垂足分别为，， ． 又，， ，． ，， ， ，，， ， ，． ， ， ， ． 又， ， ， ， ． ， ． 三、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图是由小正方形组成的平面直角坐标系网格，的顶点都落在格点上． 在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； 若的边上有一点，则点关于轴的对称点的坐标为______； 在轴上画点，使最小． 【答案】   ；     【解析】如图，所作即为所求． 点关于轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故答案为：； 如图，所作点即为所求． ． 在平面直角坐标系中找到，，，关于轴的对称点，，，然后顺次连接得到； 利用关于轴对称的点的坐标特征来求解； 作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点． 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称最短路线问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 18.本小题分 如图，已知，，求证：． 【答案】证明：， ， 在与中， ， ≌， ．  【解析】利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19.本小题分 如图，在四边形中，平分，于点，并且． 求证：； 若，，求的长． 【答案】证明：过点作交的延长线于点， 平分，，． ， 又， ≌ ， ， ；     【解析】证明：过点作交的延长线于点， 平分，，． ， 又， ≌ ， ， ， 解：，， ≌， ， ≌， ． ， ． 过点作交的延长线于点，证明≌得出，可推出结论； 证明≌，得出，再结合≌，可推出结果． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20.本小题分 如图，是等边三角形，是上一点，，． 试判断与的位置关系，并说明理由； 当时，线段与线段有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】， 是等边三角形，是上一点， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ．   ， ， 平分， 是等边三角形， ， ， 由  得≌， ，   【解析】， 理由：是等边三角形，是上一点， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ． ， 理由：， 平分， 是等边三角形， ， ， 由得≌， ， ． 由等边三角形的性质得，，而，，可根据“”证明≌，得，则，所以． 由，证明平分，因为是等边三角形，所以，则，由全等三角形的性质得，所以． 此题重点考查等边三角形的性质、平行线的判定等知识，证明≌是解题的关键． 21.本小题分 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． 若，则的周长为          ； 试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； 若，求的度数； 若，，则          ． 【答案】(1)10  (2)点O在BC的垂直平分线上．理由如下：  连接AO，BO，CO．∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上；  (3)∵OM，ON分别垂直平分AB，AC，∴△ABO，△ACO均为轴对称图形，∴∠BOM＝∠AOM，∠CON＝∠AON．∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，∴∠MON＝90°-∠BAO+90°-∠NAO  ＝180°-∠BAC＝80°，∴∠BOC＝∠BOM+∠AOM+∠AON+∠CON＝2∠MON＝160°．  (4)12  【解析】  ，的垂直平分线分别交于点，，，，的周长；  略  略  略 22.本小题分 如图，为的角平分线，交的延长线于点，． 求证：为等腰三角形； 求证：． 【答案】(1)证明：设∠DCE＝x， ∴∠BAD＝2∠DCE＝2x． ∵CE⊥AE， ∴∠ADB＝∠CDE＝90°-x， ∴∠B＝180°-∠BAD-∠ADB＝90°-x， ∴∠B＝∠ADB， ∴AB＝AD， ​​​​​​​∴△ABD为等腰三角形；  (2)证明：过点C作CF// AB交AE的延长线于点F（注：也可延长AE至点F，使EF＝AE来证明．） ∴∠FCD＝∠B，∠F＝∠BAD． ∵AD平分∠BAC，  ∠B＝∠ADB， ∴∠BAD＝∠CAF，  ∠FCD＝∠ADB＝∠FDC， ∴∠F＝∠CAF，CF＝FD， ∴AC＝CF＝DF， ∴AD+AC＝AD+DF＝AF． ∵AC＝CF，CE⊥AF， ∴AE＝EF， ∴AD+AC＝AF＝2AE．  【解析】 略  略 23.本小题分 在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的一点，且，C. 如图，若点在第四象限，，求点的坐标； 如图，若点在第二象限，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接，交轴于点，求的长． 【答案】(1)解：过点B作BD⊥CO，∴∠BCD+∠ACO=90°， ∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO． 在△ACO和△CBD中， ∴△ACO△CBD（AAS）．∴CD=AO=4，BD=CO=2．∴点B的坐标为（2，-2）；   (2)过点B作BG⊥y轴，∵∠CAO+∠OCA=90°，∠OCA+∠BCG=90°， ∴∠CAO=∠BCG．在△CAO和△BCG中， ∴△CAO△BCG（AAS）．∴CG=AO，BG=OC． ∵OC=CF，∴CF=BG． 在△BGM和△FCM中， ∴△BGM△FCM（AAS）．∴MC=MG．∴．   【解析】 略  略 24.本小题分 如图，是等边三角形，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． 当是等腰三角形时，           求证： 求的最小值 当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】； 证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和， ， ≌； 是等边三角形， ，． ， ，． 由知≌， ． 当时，最小， 最小值为； 或或．  【解析】解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． 故答案为：； 见答案； 见答案； 的大小为或或；理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ． ； 时， 则． ； 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． 根据等边三角形性质得，，，得≌． 根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小，值为． 根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 25.本小题分 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 如图、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此时和的数量关系是______； 如图、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 如图，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】解：；． 且； 理由如下：因为， 所以． 所以． 在和中， ， 所以≌， 所以，， 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 综上所述：且； 如图所示，，； 因为和是等边三角形， 所以，，， 所以， 所以， 在和中，可以得到， 所以≌， 所以，， 所以 ， 所以．  【解析】解：因为， 所以． 所以， 在和中， ， 所以≌， 所以， 故答案为：，； 见答案． 先判断出，进而判断出≌，即可得出结论； 先判断出≌，得出，，进而判断出，即可得出结论； 先判断出≌，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出≌是解本题的关键． 第2页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市崇川区2025-2026学年八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列平面图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知≌，，，则． A. B. C. D. 3.如图，点，，在同一直线上，≌，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 4.在和中，若，再添加一个条件使≌，添加不正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(    ) A. 三条中线的交点 B. 内任意一点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条角平分线的交点 （第2题） （第3题） （第4题） （第5题） 6.如图，在中，，，直线是线段的垂直平分线，交于点，交于点，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且，下列结论：是等边三角形；四边形的面积是一个定值；当时，的周长最小；当时，，其中正确的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为(    ) A. B. C. D. （第7题） （第8题） （第9题） （第10题） 二、填空题：本题共6小题，共24分。 11.在平面直角坐标系中，已知点与关于轴对称，则的值为      ． 12.如图，≌，若，，，则______． 13.如图，在中，，平分，于点，且，，则      ． 14.如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为      ． （第12题） （第13题） （第14题） 15.如图所示，的平分线与的外角的平分线相交于点，过点作交于点，交于点若，，则的长为          ． 16.如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，为延长线上一点，若，，，则的面积为          用含，，的式子表示 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图是由小正方形组成的平面直角坐标系网格，的顶点都落在格点上． 在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； 若的边上有一点，则点关于轴的对称点的坐标为______； 在轴上画点，使最小． 18.本小题分 如图，已知，，求证：． 19.本小题分如图，在四边形中，平分，于点，并且． 求证：； 若，，求的长． 20.本小题分如图，是等边三角形，是上一点，，． 试判断与的位置关系，并说明理由； 当时，线段与线段有怎样的数量关系？请说明理由． 21.本小题分如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． 若，则的周长为          ； 试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； 若，求的度数； 若，，则          ． 22.本小题分 如图，为的角平分线，交的延长线于点，． 求证：为等腰三角形； 求证：． 23.本小题分 在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的一点，且，C. 如图，若点在第四象限，，求点的坐标； 如图，若点在第二象限，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接，交轴于点，求的长． 24.本小题分 如图，是等边三角形，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． 当是等腰三角形时，           求证： 求的最小值 当是等腰三角形时，直接写出的度数． 25.本小题分 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 如图、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此时和的数量关系是______； 如图、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 如图，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $