精品解析：天津市南开区南开大学附属中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段检测数学试题

南开大学附属中学25-26学年上学期第一次阶段检测 高三数学学科试卷 一．选择题：每题5分共45分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集和交集运算方法即可计算. 【详解】，， ∴. 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解以及，分别得出两个不等式的解集，根据两集合的关系，即可得出答案. 【详解】解可得，，设. 由可得，，解得或， 设或. 显然集合是集合的真子集， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇偶性排除CD,再代入特值验证即可. 【详解】因为函数的定义域为, 且, 所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD. 又,排除B. 故选:A. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 已知平面向量，，若，则=（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算、垂直的向量表示、模长公式计算即可. 【详解】易知，所以， 即. 故选：A 6. 中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（ ） 月份x 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 1.5 1.6 2 2.4 2.5 ①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归直线方程经过样本中心即可求解，结合相关性的定义以及回归方程即可逐一判断. 【详解】由，，因回归直线过样本中心，，，②错误； 可知随着变大而变大，所以变量与正相关，①③正确； 由回归直线可知，2022年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是万辆，④错误． 故选：B． 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增， 而，， 所以的零点所在区间为. 故选：C 8. 若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最高点坐标与最低点坐标，从而可得周期与的值，进而代入点可得值，根据图象变换规律可得，再结合特殊值余弦值求解. 【详解】函数的图象上有两个相邻顶点为，，所以 最高点坐标为，最低点坐标为， 所以函数的周期为， 又因为函数过可得，所以， ，， 的解析式为， 将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得， 所以 故选：C 9. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 10. 是虚数单位，复数_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数即可. 【详解】 ，故答案为. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 11. 在的展开式中，的系数为__________.（请用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令可得，故展开式中的系数为. 故答案为：. 12. 若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切函数的对称中心直接计算即可. 【详解】由正切函数的对称中心可知： 要求函数的图像的对称中心即令， 则其对称中心为， 所以，显然时，. 故答案为：. 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22. 【解析】 【分析】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率. 【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 14. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，. （1）求c值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦边角关系及已知条件求c； （2）应用余弦定理求值； （3）应用平方关系、倍角正余弦公式求得，，最后应用差角正弦公式求值. 【小问1详解】 因为且，解得； 【小问2详解】 根据（1），易得，则； 【小问3详解】 由（2）及，得， ，， 则. 16. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦值.. （3）利用空间向量的距离公式，结合锥体体积公式求解. 【小问1详解】 在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得，由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，求的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，结合正弦函数的单调性求解可得； （2）利用整体代换法，结合正弦函数性质即可得解. 【小问1详解】 ， 由得， 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 当时，， 所以，所以， 所以的值域为. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求出和，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【小问1详解】 因为，则， 可得，，即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 由（1）可知：， 当时，，所以， 则函数上单调递增， 当时，，所以， 则函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且函数的极小值为，无极大值. 19. 设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）时，，求定义域，求导，得到函数单调区间； （2）求导，结合（1）可得，放缩得到，从而时，，结合特殊点函数值，得到当时，，时，放缩得到时，，结合特殊点函数值，得到此时，综上，可得答案. 【小问1详解】 时，，定义域为R， ，令得，令得， 所以单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ， 由（1）知，当且仅当时，等号成立， 故， 又，从而当，即时，， 在上单调递增， 而，于是当时，， 由得，即， 从而当时，， 故当时，， 故在上单调递减，又，故当时，， 综上，a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开大学附属中学25-26学年上学期第一次阶段检测 高三数学学科试卷 一．选择题：每题5分共45分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 已知平面向量，，若，则=（ ） A B. 2 C. D. 4 6. 中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为，则下列四个命题正确的个数为（ ） 月份x 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 1.5 1.6 2 2.4 2.5 ①变量x与y正相关；②；③y与x的样本相关系数；④2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数（，，）图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（ ） A B. C. D. 9. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 10. 是虚数单位，复数_____________. 11. 在的展开式中，的系数为__________.（请用数字作答） 12. 若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值______． 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 14. 在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是________． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，. （1）求c的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 17. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，求值域． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值． 19. 设函数． （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $