16.1.2 幂的乘方与积的乘方 教学设计 2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.1.2　幂的乘方与积的乘方 教学目标 1．根据幂的定义和同底数幂乘法的运算性质，利用运算律，探究和理解幂的乘方、积的乘方的运算性质，丰富数学学习的经验． 2．掌握并利用幂的乘方、积的乘方的运算性质进行相关计算，体会由一般到特殊的应用过程，发展运算能力和推理意识，为研究整式的乘法打好基础． 教学重点 幂的乘方、积的乘方的运算性质的探究及应用． 教学难点 幂的乘方、积的乘方的运算性质的应用． 教学过程 知识回顾 1．同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am·an（m，n都是正整数）． 2．推广：am·an·ap（m，n，p都是正整数）． 3．逆用：＝am·an（m，n都是正整数）． ＝am·an·ap（m，n，p都是正整数）． 【设计意图】回顾同底数幂的乘法的相关知识，为新知识的学习作好铺垫． 新知探究 【问题1】根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）(32)3＝32×32×32＝3( )； （2）(a2)3＝____________＝a( )； （3）(am)3＝____________＝a( )． 【师生活动】教师引导学生结合乘方的意义，将幂的乘方转化为同底数幂的乘法，再利用上节课所学习的同底数幂的运算性质解决问题．然后根据运算结果进行交流和讨论，发现算式中“底数不变，指数相乘”的特点，教师补充完善，总结出幂的乘方的性质． 【答案】（1）36； （2）(a2)3＝a2×a2×a2＝a6； （3）(am)3＝am·am·am＝a3m． 【新知】一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，有 (am)n＝（乘方的意义） ＝（同底数幂的乘法的性质） ＝amn． 因此，我们有(am)n＝amn（m，n都是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【提醒】对于幂的乘方的性质，我们还可以交换等号左右两边，得到： amn＝(am)n＝(an)m（m，n都是正整数）． 【追问】你能比较并区分同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质吗？ 【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务，教师补充并给出正确答案． 整式的乘法 公式 运算的种类 计算结果 底数 指数 同底数幂的乘法 am·an＝ 乘法 不变 相加 幂的乘方 (am)n＝amn 乘方 不变 相乘 【设计意图】根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质，以具体指数为例，推导出幂的乘方的性质，并通过比较和区分，帮助学生进一步明确性质． 例题精讲 【例1】计算： （1）(103)5； （2）(a4)4； （3）(am)2； （4）－(x4)3． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的相关任务，再相互评判、纠错，教师巡视指导并进行点评． 【答案】解：（1）(103)5＝＝1015； （2）(a4)4＝＝a16； （3）(am)2＝＝a2m； （4）－(x4)3＝－x4×3＝－x12． 【思考】－(x4)3 、－(x3)4 、(－x4)3 、(－x3)4 的运算结果一样吗？ 【师生活动】学生独立思考，教师引导学生注意“符号位置”和“指数是奇数还是偶数”，请学生代表上台板书推导过程，全班对比分析，教师针对性点评，强调“负号在括号外时，先算乘方再添负号；负号在括号内时，根据指数是奇数还是偶数确定符号”，最终比较出四式的结果差异． 【答案】－(x4)3＝－x4×3＝－x12； －(x3)4＝－x3×4＝－x12； (－x4)3＝(－x4)(－x4)(－x4)＝－x4·x4·x4＝－x12； (－x3)4＝(－x3)(－x3)(－x3)(－x3)＝x3·x3·x3·x3＝x12． 【归纳】（1）括号外有“－”不影响结果； （2）括号内有“－”时：(－am)n ＝amn，n为偶数；(－am)n＝－amn，n为奇数． 【设计意图】通过例题和辨析，帮助学生进一步掌握幂的乘方的性质，在进行幂的乘方的运算时，能注意符号和运算顺序对运算结果的影响． 新知探究 【问题2】填空，下面的运算过程使用了哪些运算律？运算结果有什么规律？ （1）(ab)2 ＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a( )b( )． （2）(ab)3＝_______________＝ ________________＝a( )b( )． 【师生活动】学生独立思考后完成学习任务单上的相关任务，教师提醒学生每个因式都要乘方，师生共同总结积的乘方的性质． 【答案】（1）a2b2 （2）(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3 【新知】一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，有 (ab)n＝ （乘方的意义） ＝（乘法交换律、结合律） ＝anbn． 因此，我们有(ab)n＝anbn（n为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【提醒】三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质： (abc)n＝anbncn（n是正整数）． 积的乘方的逆运算： anbn＝(ab)n（n是正整数）． 【设计意图】让学生通过计算、观察、概括、归纳，得到并理解积的乘方的性质． 例题精讲 【例2】计算： （1）(2a)3； （2）(－5b)3； （3）(xy2)2； （4）(－2x3y)4． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的相关练习，再相互评判、纠错，教师巡视指导点评． 【答案】解：（1）(2a)3＝23·a3＝8a3； （2）(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3； （3）(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2y4； （4）(－2x3y)4＝(－2)4·(x3)4·y4＝16x12 y4． 【归纳】运用积的乘方的性质进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是不要漏掉字母的系数的乘方． 【设计意图】通过例题，巩固学生对于积的乘方的性质的理解和运用． 【例3】计算：×210 ． 【师生活动】教师可引导学生从以下两点观察算式中两个幂的特点：①底数之间是否有联系；②指数是否相等．学生分组交流，完成学习任务单上的相关练习，教师讲评． 【答案】解：原式＝×210 ＝×210 ＝×28×22 ＝×22 ＝4． 【归纳】逆用积的乘方性质时，要灵活，对于不符合性质的形式，可以通过恒等变形将其转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 【设计意图】通过例题，巩固学生对于积的乘方的逆运算的理解和运用，体会化繁为简的运算思路，初步形成运算策略． 课堂练习 1．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(a5)2＝a7； （2）(ab2)3＝ab6； （3）(－2a)2＝－4a2． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流，并提醒学生注意符号的影响． 【答案】解：（1）×；(a5)2 ＝＝a10； （2）×；(ab2)3＝ a3·＝a3b6； （3）×；(－2a)2＝(－2)2a2＝4a2． 2．计算： （1）(103)3； （2）(x3)2； （3）－(xm)5； （4）(a2)3·a5． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）(103)3＝＝109； （2）(x3)2＝＝x6； （3）－(xm)5＝＝－x5m； （4）(a2)3·a5＝·a5＝＝a11． 3．计算： （1）(ab)4； （2）(－3×102)3； （3）； （4）(2ab2)3·2ab2． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）(ab)4＝a4b4； （2）(－3×102)3＝(－3)3×(102)3＝－27×106＝－2.7×107； （3）＝＝； （4）(2ab2)3·2ab2＝(2ab2)4＝16a4b8． 【设计意图】通过练习巩固学生对幂的乘方和积的乘方的运算性质的理解与应用，强化学生的运算能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．幂的乘方的性质的推导依据是什么? 幂的乘方的性质是什么? 用式子如何表示? 2．积的乘方的性质的推导依据是什么? 积的乘方的性质是什么? 用式子如何表示? 3．你能够综合运用幂的运算性质进行幂的运算吗？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第101～102页习题16.1第2、3、4、5、6、8、9题． 学科网（北京）股份有限公司 $