专题四构造等腰三角形进行计算与证明的方法及题型解题策略 2025-2026学年人教版八年级数学上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题四构造等腰三角形进行计算与证明的方法及题型解题策略（解析版） 构造等腰三角形的方法和题型分类。掌握好对解题很有帮助。下面为你梳理了主要的构造方法和题型，。 构造方法 适用场景/关键特征 核心作用 常见题型举例 利用平行线构造 已知等腰三角形，作腰或底边的平行线 得到新的等腰三角形，实现边角转移 证明线段相等、求角度 角平分线+垂线构造 已知角平分线及其上某点的垂线 延长垂线必得等腰三角形 证明线段和差关系（如AC-AB=2BE） 截长补短法构造 要证明线段和差关系（如AB+BD=AC） 在长边上截取或延长短边，构造等腰三角形 已知角平分线、倍角关系，证明线段之间的和差关系 利用倍角关系构造​ 一个角是另一个角的2倍（如∠ABC=2∠C） 通过作辅助线（如角平分线）构造等腰三角形 求特定角度、证明线段相等 作中线（三线合一） 已知等腰三角形底边中点 连接中线，利用三线合一性质 证明角相等、线段相等，求面积 旋转法构造 通常用于构造等腰直角三角形，出现等线段共点 旋转图形，构造全等和等腰三角形 求线段长度、证明线段关系 题型1 利用平行线构造 例1．阅读下面的题目及分析过程． 已知：如图1，点E是的中点，点A在上，且．说明：． 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质． 观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点C作，交的延长线于点F；如图3，延长至点M，使，连接． (1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程． (2)反思应用：如图4，点B是的中点，于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）法一：过点C作，交的延长线于点，证明，得到，，推出，得到，即可得证； 法二：延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，进而得到，即可得证； （2）延长到F，使，连接，证明，，推出，利用三角形三边关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：法一：如图2，过点C作，交的延长线于点， ∵ ∴， ∵E是的中点， ∴； 在和中，                    ， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 法二：如图3，延长至点M，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中                                     ， ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，延长到F，使，连接， 同（1）法可得：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．中垂线的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 【变式1-1】．（1）【课本再现】课本习题13.3中有这样一道题，如图1，，平分，求证． （2）【类比分析】小文同学发现，当角平分线与平行线结合，可以得到等腰三角形，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系． 请用小文的发现解决问题： 如图2，在中，，点D在上，、分别平分，，线段与、有什么数量关系？请说明理由； （3）【学以致用】如图3，D在外，，且平分，平分，过点D作分别交、于E、F两点，直接写出线段与、数量关系为． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线性质和角平分线定义、等腰三角形的判定即可解决问题； （2）由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可得证； （3）由（2）知，由平行线的性质可得，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：；理由如下： 由（1）知， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-2】．请根据要求完成下列试题的解答． (1)如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并证明你的结论． (2)如图2，，，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．直接写出图中所有的等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)，，， (3)2 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，都是等腰三角形，则有，从而，则可得出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, ∴是等腰三角形； 又，且 ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵即 ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 综上，等腰三角形有4个：，，，； （3）解：由（2）可知，是等腰三角形， ∴， ∴； 由（2）可知，是等腰三角形， ∴． 【变式1-3】．如图，在中，，过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分别求出， ，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，由（1）知， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型2利用角平分线+垂线构造 例2．【问题初探】（1）如图1，是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究之间的数量关系，并证明； 【学以致用】（3）如图3，在三角形中，的平分线交于点D，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）．证明见解析；（3）见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）选择小明的方法，过点作于点，于点，证，得，再由，即可得出结论；选择小强的方法，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后由，即可得出结论； （2）采用“截长补短”法，在上截取点E，使，连接，结合等边及等腰三角形的性质证明，继而可证，由全等的性质可得结论. （3）在边上截取，连接，在的上方作，交的延长线于点，证，得，再证，然后证，得，则，即可得出结论； 【详解】（1）证明：选择小明的方法，如图，过点作于点，于点， 则， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即； 选择小强的方法，如图，在上截取，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：． 证明：如图，在上截取点E，使，连接， ∵为等边三角形， ∴． 又∵为等腰三角形，且， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． （3）证明：如图，在边上截取，连接，在的上方作交的延长线于点， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴； 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2-1】．在“平行线的证明”一章中，我们给出了八条基本事实，从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论． (1)请证明“等腰三角形的两底角相等”，简述为“等边对等角”； (2)请借助定理“等边对等角”解决下面问题：如图，在中，点E在的延长线上，，垂足为P，交于点F且．求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）过点A作于点D，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论． 【详解】（1）解：已知：中，． 求证：． 证明：过点A作于点D， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式2-2】．【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边    ．边角边    ．角边角  ．斜边直角边 【方法总结】若当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知，平分，点为上一点，作于点交于点，作于点，试说明：． 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【答案】知识背景：；方法应用：证明见解析；拓展： 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】知识背景：根据全等三角形的判定方法即可求解； 方法应用：延长交于点，可证，得到，即得，再证明，得到，即可求证； 拓展：如图，作，过点作的延长线于点，交的延长线于点，可得，即得，进而可证，得到，再证明，得到，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：知识背景：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴理由是角边角， 故选：； 方法应用： 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展：如图，作，过点作的延长线于点，交的延长线于点， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2-3】．（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知：, ； （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 题型3截长补短构造 例3．【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】．综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】．“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 【详解】证明：在上取，连接，   ，，且， ， ，， ∵，， ， ， ， ． 题型4利用倍角关系构造 例4．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式4-1】．现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式4-2】．【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型5利用三线合一构造 例5．（1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【答案】（1）是等腰三角形，见解析；（2）见解析 【分析】（1）由于点D，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，则是等腰三角形； （2）延长交于点E，则，得，，， ，即可推导出，得，所以． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵于点D， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式5-1】．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分， ∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 【答案】(1)，；； (2)证明见解析； (3)的最大值为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，平分，直接得出，； 设，，，由的周长为32，得出，由的周长为23，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证； （3）延长交的延长线为点， 可证明，进而得到，根据题意得到，当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：如图：    ∵，平分， ∴，， 故答案为：，； 设，，， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵的周长为23， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：方法一： 如图2， 延长到点E，使， 连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二： 如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，    ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积分别为， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值， ∴的最大值为：， ∴的最大值为． 【变式5-2】．情境建模 （1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． 理解内化 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明思考出的结论，解决下列问题： 如图2，在中，平分，，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，在中，平分，，，的面积是25，点是上一个动点，点是上一个动点，请求出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质； （1）证明，即可得到； （2）延长与交于点，由（1）可知：，得到，，，再由得到，得到，最后根据求证即可； （3）延长与相交于点，过点作于，交于点，连接，过点作于，由（1）可知：，则，，，得到，当，，三点共线时最小，由垂线段最小得到当与重合时最小，再由面积法得到，即的最小值为． 【详解】（1）证明：【方法一】平分， ， ， ， ， ， 【方法二】平分， ， ， ， ， ； （2）证明：延长与交于点，       图2 由（1）可知：， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ； （3）解：延长与相交于点，过点作于，交于点，连接，过点作于， ∵平分，， ∴由（1）可知：， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时最小， 由垂线段最小得到当与重合时最小， ∵，的面积是25， ∴，解得， ∵，， ∴, 即的最小值为． 【变式5-3】．小琳在学习等腰三角形性质“三线合一”时，发现： (1)如图，在中，若，，可以得出．请你用所学知识证明此结论．    (2)小琳提出了一个问题：如图，如果，，能不能说明？小琳不知道这个问题如何解决，便询问老师．老师进行了指导：条件里有“”和“”，我们可以尝试将和变成一条线段，将和变成一条线段，为了确保的条件可以使用，和的位置最好不要改变，所以我们可以“延长至E，使，延长至F，使”老师指导后，小琳还是没有思路．请你帮助小琳，完成问题的解答．    【答案】(1)见解析 (2)能说明，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角证明角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理并正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到结论； （2）利用证明，得到，利用等边对等角求出，推出，由此得到结论； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：能说明，理由如下： 延长至E，使，延长至F，使，连接、， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型6利用旋转构造 例6．【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）利用证明，得出即可； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 点、分别是、边上的中点， ， 又 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式6-1】．【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 【答案】(1)①；② (2)①成立；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①由等边三角形的性质和外角的性质可求解； ②由可证，可得，，即可求解； （2）①由可证，可得，，由面积公式可求，即可求解； ②通过证明和是等边三角形，可得，，，由可证，，可得，，即可求解． 【详解】（1）①是等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：； ②如图，在上截取，连接， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ； （2）①如图，过点A作于F，于G， ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 又，， 平分， 故答案为：成立； ②如图，在上截取，在上截取，连接，， ， ， ，， ， ， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ，， ，， ，， 【变式6-2】．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 【模型探究】 已知，在中，，点是外部一点，过点作射线． （1）如图1，若是等边三角形，经过内部，，求证：． 小宁的做法是：在上截取，构造“手拉手模型”，得出结论． 请你帮助小宁完成证明： 【模型应用】 （2）如图2，已知．当经过内，求的度数． 【拓展提高】 （3）如图3，已知．当在下方，求的度数． 【答案】（1）证明见解析部分；（2）；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）在上取一点，证明，得到，可求出答案； （3）在延长线上取一点，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ； （2）解：如图2，在上取一点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图3．在延长线上取一点，使得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． 【变式6-3】．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 二、 解题一般步骤 三、 题型分类解析 一、 构造方法及题型 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 专题四构造等腰三角形进行计算与证明的方法及题型解题策略 构造等腰三角形的方法和题型分类。掌握好对解题很有帮助。下面为你梳理了主要的构造方法和题型，。 构造方法 适用场景/关键特征 核心作用 常见题型举例 利用平行线构造 已知等腰三角形，作腰或底边的平行线 得到新的等腰三角形，实现边角转移 证明线段相等、求角度 角平分线+垂线构造 已知角平分线及其上某点的垂线 延长垂线必得等腰三角形 证明线段和差关系（如AC-AB=2BE） 截长补短法构造 要证明线段和差关系（如AB+BD=AC） 在长边上截取或延长短边，构造等腰三角形 已知角平分线、倍角关系，证明线段之间的和差关系 利用倍角关系构造​ 一个角是另一个角的2倍（如∠ABC=2∠C） 通过作辅助线（如角平分线）构造等腰三角形 求特定角度、证明线段相等 作中线（三线合一） 已知等腰三角形底边中点 连接中线，利用三线合一性质 证明角相等、线段相等，求面积 旋转法构造 通常用于构造等腰直角三角形，出现等线段共点 旋转图形，构造全等和等腰三角形 求线段长度、证明线段关系 题型1 利用平行线构造 例1．阅读下面的题目及分析过程． 已知：如图1，点E是的中点，点A在上，且．说明：． 分析：说明两个角相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的性质． 观察本题中说明的两个角，它们既不在同一个三角形中，而且它们所在两个三角形也不全等．因此，要说明，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形，现在提供两种添加辅助线的方法如下：如图2，过点C作，交的延长线于点F；如图3，延长至点M，使，连接． (1)请从以上两种添加辅助线方法中选择一种完成上面的说理过程． (2)反思应用：如图4，点B是的中点，于点B．请类比（1）中解决问题的思想方法，添加适当的辅助线，判断线段与之间的大小关系，并说明理由． 【变式1-1】．（1）【课本再现】课本习题13.3中有这样一道题，如图1，，平分，求证． （2）【类比分析】小文同学发现，当角平分线与平行线结合，可以得到等腰三角形，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系． 请用小文的发现解决问题： 如图2，在中，，点D在上，、分别平分，，线段与、有什么数量关系？请说明理由； （3）【学以致用】如图3，D在外，，且平分，平分，过点D作分别交、于E、F两点，直接写出线段与、数量关系为． 【变式1-2】．请根据要求完成下列试题的解答． (1)如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并证明你的结论． (2)如图2，，，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．直接写出图中所有的等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【变式1-3】．如图，在中，，过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 题型2利用角平分线+垂线构造 例2．【问题初探】（1）如图1，是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究之间的数量关系，并证明； 【学以致用】（3）如图3，在三角形中，的平分线交于点D，求证：． 【变式2-1】．在“平行线的证明”一章中，我们给出了八条基本事实，从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论． (1)请证明“等腰三角形的两底角相等”，简述为“等边对等角”； (2)请借助定理“等边对等角”解决下面问题：如图，在中，点E在的延长线上，，垂足为P，交于点F且．求证：为等腰三角形． 【变式2-2】．【知识背景】如图①，已知，为的角平分线，点为上一点，作，垂足为点，若延长交于点，则经过推理可知，其理由是（　　） ．边边边    ．边角边    ．角边角  ．斜边直角边 【方法总结】若当条件中出现“角平分线及这条角平分线上的垂线段”时，则可以延长垂线段来构造全等三角形，进而可以解决相应问题． 【方法应用】如图②，已知，平分，点为上一点，作于点交于点，作于点，试说明：． 证明：延长交于点， 于点， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， 请完成余下证明过程，以下证明过程缺失 【拓展】 如图③，在中，，，点为边上一点，作，交于点，若，则的面积为___________． 【变式2-3】．（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 题型3截长补短构造 例3．【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【变式3-1】．综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【变式3-2】．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【变式3-3】．“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 题型4利用倍角关系构造 例4．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【变式4-1】．现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【变式4-2】．【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【变式4-3】．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 题型5利用三线合一构造 例5．（1）观察发现：我们知道：“等腰三角形顶角平分线、底边上的高和中线三线合一”．猜想：如图1，在中，如果，，那么是等腰三角形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由． （2）拓展应用：如图2，已知在中，，平分，．求证：． 【变式5-1】．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    (1)【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分， ∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． (3)【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 【变式5-2】．情境建模 （1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． 理解内化 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明思考出的结论，解决下列问题： 如图2，在中，平分，，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，在中，平分，，，的面积是25，点是上一个动点，点是上一个动点，请求出的最小值． 【变式5-3】．小琳在学习等腰三角形性质“三线合一”时，发现： (1)如图，在中，若，，可以得出．请你用所学知识证明此结论．    (2)小琳提出了一个问题：如图，如果，，能不能说明？小琳不知道这个问题如何解决，便询问老师．老师进行了指导：条件里有“”和“”，我们可以尝试将和变成一条线段，将和变成一条线段，为了确保的条件可以使用，和的位置最好不要改变，所以我们可以“延长至E，使，延长至F，使”老师指导后，小琳还是没有思路．请你帮助小琳，完成问题的解答．    题型6利用旋转构造 例6．【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【变式6-1】．【问题背景】如图1，在探究手拉手全等模型时，小明发现了平分，他探究此问题的方法是“作”构造等边三角形解决问题． 【学以致用】 (1)如图2，等边三角形中，为边上一点，，交延长线于点． ①直接写出的度数； ②若，，求的长． (2)课后小明对手拉手模型进行了进一步的探究； ①和都是等边三角形，位置如图所示，此时平分的结论是否成立？______（填“成立”，“不成立”或“不能确定”）； ②求的值． 【变式6-2】．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 【模型探究】 已知，在中，，点是外部一点，过点作射线． （1）如图1，若是等边三角形，经过内部，，求证：． 小宁的做法是：在上截取，构造“手拉手模型”，得出结论． 请你帮助小宁完成证明： 【模型应用】 （2）如图2，已知．当经过内，求的度数． 【拓展提高】 （3）如图3，已知．当在下方，求的度数． 【变式6-3】．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 二、 解题一般步骤 三、 题型分类解析 一、 构造方法及题型 学科网（北京）股份有限公司 $