重难点培优03 指对数函数的图象及指对数运算（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 指对数函数的图象及指对数运算 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 指对化简运算（★★） 4 题型二 指对比较大小（★★★） 5 题型三 涉及对数型函数单调性求参问题（★★★★） 6 题型四 涉及对数型函数单调性求参问题（★★★★）..............................................................................7 题型五 指对数图象综合考查（★★★★）..................................................................................................8 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一、指对数运算 1.运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 2.实数指数幂的运算性质 ①．②． ③． 3.对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 4.对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 二、指对数图象与性质 1.指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 2.对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 三、指对数比大小 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 题型一 指对化简运算 【技巧通法·提分快招】 1.(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①；②；③；④；⑤. 1．（2025·天津滨海新·期末）已知函数，且，则 . 2．（2025·天津·期末）若，则 3．（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·调研）计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·期末）已知集合：，则（   ）． A． B． C． D． 6．（2025·天津·联考）函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是 7．（2025·天津·调研），则用和表示的结果为 8．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型二 指对比较大小 【技巧通法·提分快招】 大小的方法: 1同底数比较大小时，根据其单调性比较. 2底数不同时分别画出图象，比较大小. 3或借助“1”与两数比较. 4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型三 涉及对数型函数单调性求参问题 【技巧通法·提分快招】 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 1．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·期中）已知是上的减函数，那么的取值范围是 . 5．（2025·天津和平·期末）已知是定义在上的增函数，那么实数的取值范围是 ． 6．（2025·天津·期中）已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津西青·期末）已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是 . 题型四 涉及对数型函数单调性求参问题 【技巧通法·提分快招】 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 1．（2025·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 2．（2025·天津·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津和平·模拟预测）已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·一模）知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·调研）已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围 ． 6．（2025·天津·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·期末）若函数严格递增，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C． D． 题型五 指对数图象综合考查 【技巧通法·提分快招】 函数的解析式已知的情况下： 第一步 根据已知函数解析式分析其变化特征如单调性、奇偶性、定义域和值域等； 第二步 结合简单的基本初等函数的图象特征如对称性、周期性等进行判断即可； 第三步 得出结论. 1．（2025·天津·模拟预测）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津津南·调研）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·期末）函数在区间上的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   4．（2025·天津西青·期末）已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2024·天津·二模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·开学考试）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·天津·二模）若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 8．（2025·河北邯郸·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·天津南开·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·天津南开·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 14．（2025·天津·一模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·联考）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·期末）科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（    ） A． B． C．1 D． 3．（2024·广东惠州·一模）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时； ①证明有唯一极值点；   ②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论． 4．（2025·天津滨海新·期末）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·调研）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 指对数函数的图象及指对数运算 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 指对化简运算（★★） 4 题型二 指对比较大小（★★★） 6 题型三 涉及对数型函数单调性求参问题（★★★★） 9 题型四 涉及对数型函数单调性求参问题（★★★★）.............................................................................13 题型五 指对数图象综合考查（★★★★）.................................................................................................16 03 实战检测・分层突破验成效 20 检测Ⅰ组 重难知识巩固 20 检测Ⅱ组 创新能力提升 26 一、指对数运算 1.运算法则 （1）；（2）；（3）；（4）． 2.实数指数幂的运算性质 ①．②． ③． 3.对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 4.对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 二、指对数图象与性质 1.指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 2.对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 三、指对数比大小 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． （3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 题型一 指对化简运算 【技巧通法·提分快招】 1.(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①；②；③；④；⑤. 1．（2025·天津滨海新·期末）已知函数，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用指数幂运算性质，对数的运算性质计算. 【详解】由题可知：， 所以. 故答案为： 2．（2025·天津·期末）若，则 【答案】/ 【分析】根据指对数的运算，即可求解. 【详解】由可得，故， 故， 故答案为: 3．（2025·天津·二模）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数与根式的互化和三角函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】由题得 . 故选：A 4．（2025·天津·调研）计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对数运算求得答案. 【详解】. 故选：A 5．（2025·天津·期末）已知集合：，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解对数方程求出集合A，然后由交集运算可得. 【详解】解方程得，即， 又，所以. 故选：A 6．（2025·天津·联考）函数的图象恒过定点，若对任意正数都有，则的最小值是 【答案】2 【分析】依据对数的性质可得，然后利用基本不等式“1”的代换计算即可. 【详解】由题可知：函数的图象过定点，所以. 所以，即，则， 所以，当且仅当，即取等号. 故答案为：2. 7．（2025·天津·调研），则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 8．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 题型二 指对比较大小 【技巧通法·提分快招】 大小的方法: 1同底数比较大小时，根据其单调性比较. 2底数不同时分别画出图象，比较大小. 3或借助“1”与两数比较. 4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数和指数函数单调性确定各数与特殊值0，1的关系，分析即得解 【详解】由，，， 所以. 故选：B. 2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据解析式，代值计算即可. 【详解】由，则. 故选：D. 3．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 5．（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 6．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质结合对数函数的单调性可得. 【详解】因为，， 所以，即； 又，所以， 故选：D． 7．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论. 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 8．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可. 【详解】是增函数，， 在是增函数，，故， 在是增函数，， 即， 故选：D. 题型三 涉及对数型函数单调性求参问题 【技巧通法·提分快招】 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 1．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数特征确定给定分段函数的单调性，再利用对数函数、二次函数的单调性列式求解. 【详解】由及函数在R上单调，得函数在上单调，且单调递减， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 2．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数、对数函数单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递减，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为函数在定义域内是增函数，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 故选：C． 4．（2025·天津·期中）已知是上的减函数，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得每一段上函数为减函数，且，从而可求出的取值范围 【详解】因为是上的减函数， 所以，解得， 所以的取值范围， 故答案为： 5．（2025·天津和平·期末）已知是定义在上的增函数，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指对数函数的性质，结合在上为增函数有求解即可. 【详解】由在上为增函数， ∴根据解析式得：，解得. 故答案为：. 6．（2025·天津·期中）已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可知函数在定义域内为单调减函数，再根据函数单调性列出不等式，解不等式即可得出的取值范围. 【详解】解：因为当，，且时，， 所以在定义域内为单调减函数， 因此，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．（2025·天津西青·期末）已知函数，若对任意的、，，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】分析出函数为上的减函数，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，则，由可得，即， 所以，函数为上的减函数. 由于， 由题意可知，函数在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则， 且有，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四 涉及对数型函数单调性求参问题 【技巧通法·提分快招】 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 1．（2025·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性和复合函数的单调性,来判断二次函数的对称轴的范围以及分段点处的取值大小，从而可求解参数范围. 【详解】由对任意的且，不妨假设， 因为恒成立，所以， 则在上单调递减， 根据复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递减， 需满足在上单调递增，故需， 还需满足且，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 2．（2025·天津·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】若为上的增函数，则，解得， 故的取值范围是． 故选：A． 3．（2025·天津和平·模拟预测）已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断函数的单调性，再根据分段函数的单调性可得关于的不等式组，解不等式组即可求解 【详解】因为对任意，都有成立， 所以函数在R上单调递减， 所以，即 解得， 故选：B. 4．（2025·天津·一模）知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】若满足题意，则要为增函数，则： ① 若保证单调递增，则： ② 若要保证该函数在R上单调递增，则在断点处： ③ 由①②③解得：. 故选：C. 5．（2025·天津·调研）已知，函数在R上没有零点，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】根据指数以及对数函数的单调性，分别求解，则，以及，则，即可求解的取值. 【详解】时，，此时无零点，则无实数根，，则， 故或， 当时，，此时无零点，则无实数根， 由于，则，故，因此 综上要使在R上没有零点，则或， 故答案为：或 6．（2025·天津·期中）已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 7．（2025·天津·期末）若函数严格递增，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数两段均递增且分界处左侧不大于右侧的函数值可得． 【详解】函数单调递增， 由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得且，即． 但应当注意两段函数在衔接点处的函数值大小的比较， 即，可以解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 题型五 指对数图象综合考查 【技巧通法·提分快招】 函数的解析式已知的情况下： 第一步 根据已知函数解析式分析其变化特征如单调性、奇偶性、定义域和值域等； 第二步 结合简单的基本初等函数的图象特征如对称性、周期性等进行判断即可； 第三步 得出结论. 1．（2025·天津·模拟预测）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用奇偶性及大于1时函数值正负判断即可. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD； 当时，，排除B，选项A符合要求. 故选：A 2．（2025·天津津南·调研）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式求定义域，奇偶性定义判断的奇偶性，结合时函数的符号，应用排除法即可得答案. 【详解】由解析式知，函数定义域为，且， 所以为偶函数，排除A、C， 当，有，故，排除B. 故选：D 3．（2025·天津·期末）函数在区间上的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据给定条件。利用函数的奇偶性及零点个数判断即可. 【详解】依题意，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，排除BD； 又，函数上有3个零点，排除A，C符合要求. 故选：C 4．（2025·天津西青·期末）已知幂函数的图象经过点，该幂函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出该幂函数的解析式，根据函数的定义域，奇偶性及单调性判断即可. 【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 即该幂函数的解析式为，其定义域为，值域为， 又为偶函数，且在上为减函数，在上为增函数. 故选：B． 5．（2025·天津·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性可排除BD，根据时函数值的正负可排除A求解. 【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且， 故为奇函数，此时可排除BD, 当时，，此时排除A， 故选：C 6．（2024·天津·二模）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时对应函数值符号及与1的大小关系，结合排除法可得答案. 【详解】当时，恒成立，排除A、B； 由，排除C. 故选：D 7．（2025·天津·开学考试）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用的解析式，对比选项中的图象，分别分析和时的取值情况，从而得解. 【详解】对于， 当时，，，则，排除选项B和C； 当时，，排除选项A，选项D符合题意. 故选：D. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的奇偶性判断即可. 【详解】为偶函数，为非奇非偶函数， 为奇函数，为非奇非偶函数. 故选：A. 2．（2025·天津河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于建立不等式求解即可． 【详解】要使得有意义， 则，解得：， 故选：B． 3．（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合根式的意义和对数函数性质依次分析充分性和必要性即可求解. 【详解】若“”则， 所以当时，“”不成立，故充分性不成立； 若“”，因为是增函数， 所以，所以“”，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】对于函数在R上单调递增，由，，知， 由函数在上单调递增，则，故充分性成立； 由上，有，进而有，故必要性也成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 5．（2025·天津·二模）若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性判定，利用对数函数单调性得到，进而得到，然后作出判定. 【详解】∵函数为上的单调递增函数，∴， ∵函数在上单调递增，∴， ∴， ∴大小关系为， 故选：C. 6．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义排除AC；利用单调性排除D即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，是奇函数， 函数都是R上的增函数，因此函数在上单调递增，B是； 对于C，函数的定义域为，不是奇函数，C不是； 对于D，函数在上单调递减，在上不单调，D不是. 故选：B 7．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解. 【详解】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 8．（2025·河北邯郸·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的性质得到，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D. 9．（2025·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为偶函数，可得出，化简后即可得出实数的值. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，且， 因为函数为偶函数，则，即， 可得对任意的恒成立，则. 故选：B. 10．（2025·天津·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【详解】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C 11．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，即可得答案. 【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符； B：，定义域为，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符； C：，定义域为R，是偶函数，不符； D：，定义域为R，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合. 故选：D 12．（2025·天津南开·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】令，因为且，所以函数为单调递增函数， 要使得函数在上单调递减， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 13．（2025·天津南开·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由奇函数的性质列方程求参数即可. 【详解】是奇函数， 由得， 所以恒成立，则，解得. 故选：C 14．（2025·天津·一模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为，且，即， 又，， 所以. 故选：B 15．（2024·天津滨海新·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质变形可得. 【详解】，，， 所以. 故选：C. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·联考）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反函数的定义，求出函数，变形给定不等式并构造函数，利用导数及函数的单调性求出的范围. 【详解】依题意，，则， 当时，不等式 ，令， 于是对任意，恒成立，即函数在上单调递增， 则，， 而当，当且仅当时取等号，则， 所以实数k的取值范围为. 故选：D 2．（2025·天津·期末）科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意得出曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，再根据题设条件即可得出结果. 【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的， 因为，即，则， 所以分形维数是. 故选：D. 3．（2024·广东惠州·一模）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时； ①证明有唯一极值点；   ②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1)在上单调递减； (2)①证明见解析；②在上单调递增，证明见解析； 【分析】（1）对函数求导，并构造函数利用即可得出恒成立，可得函数在上单调递减， （2）①易知当时，由可知存在唯一变号零点，即可知有唯一极大值点； ②易知，求得的反函数，利用的单调性即可求得为单调递增； 【详解】（1）由可得 ， 令，则； 又，，所以，即恒成立； 即函数在上单调递减， 又，所以， 可得恒成立，因此函数在上单调递减， 即当时，函数在上单调递减； （2）当时， ①由（1）可知 令，可得, 易知当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 即函数在处取得极大值，也是最大值； 注意到，由单调性可得，可知在大于零， 不妨取，则； 由零点存在定理可知存在唯一变号零点， 所以存在唯一变号零点满足， 由单调性可得，当时，，当时，； 即可得函数在上单调递增，在单调递减； 所以有唯一极大值点； ②记的唯一极值点为，即可得 由可得， 即可得的反函数， 令,，则， 构造函数，则， 显然在恒成立，所以在上单调递增， 因此，即在上恒成立， 而，即，所以在上恒成立， 即可得在上恒成立，因此在单调递增； 易知函数与其反函数有相同的单调性，所以函数在上单调递增； 4．（2025·天津滨海新·期末）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先排除函数的奇偶性，再判断时的函数值的正负. 【详解】，函数是奇函数，故排除AB， 当时，，，所以，故排除D. 故选：C 5．（2025·天津·调研）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A不正确； 由，所以选项B不正确； 由，所以选项C正确； 当时，显然不成立，所以选项D不正确， 故选：C 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$