精品解析：宁夏育才中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

宁夏育才中学2024-2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 （试卷满分 150分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法； 6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法， 从这些书中任取1本历史书和1本地理书， 根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种. 故选：B. 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入计算可得. 详解】由，可得，又，所以，解得. 故选：A. 3. 已知，则值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质得到方程求解. 【详解】因为已知，由组合数的性质得到或， 解得或. 故选：D. 4. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 5. 现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ） A. 14种 B. 18种 C. 12种 D. 7种 【答案】A 【解析】 【分析】先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，两个选法数相减可得至少有1名女厨师被选中的方法数. 【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种）， 故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）. 故选：A. 6. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 7. 已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【详解】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B 8. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先应用概率和为1得出，再计算数学期望，利用期望的性质判断各个选项. 【详解】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题中的真命题有（    ） A. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 B. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C. 若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种 D. 已知，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可判断A项；利用互斥事件的定义，结合相关事件包含的基本事件即可判断B项；利用组合数与分步计数原理计算方法数即可判断C项；根据条件概率计算公式求出，利用题设条件无从求得即可判断D项. 【详解】对于A，因，故这组数据的第75百分位数为从小到大排列后的第8个数，即，故A正确； 对于B，依题意， 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，事件“至少有一个黑球”包括“1黑1红”与“2黑”两个基本事件， 而“至少有一个红球”包括“1黑1红”与“2红”两个基本事件，故两个事件不是互斥事件，故B错误； 对于C，要使恰有两个空盒，可先从编号为1，2，3，4的盒子中选出2个空盒子，有种方法， 再将3个相同的球放入剩下的2个盒子，每个盒子至少一个球（因为如果有一个盒子为空，就是三个空盒，不符合题意）， 分配方式有(1，2) 或 (2，1)共2种，故恰有两个空盒的放法共有种，故C正确； 对于D，因，，由可得， 但题目没有提供或的其他信息，无法直接推出，故D错误. 故选：AC. 11. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，先求出和；再分别令，，代入题中式子，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为展开式的第项为， 又， 所以，，则，故A正确； 令，则， 令，则； 令，则， 故，即B错； ，即C正确； ，即D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： 求解二项展开式各项系数和或部分项的系数和时，一般利用赋值法，结合所给二项展开式进行求解即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若在处有极值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，再根据函数在某点处有极值的条件，即该点处导数为，求出的值，最后进行检验. 【详解】已知，， 因为函数在处有极值，所以， 将代入中，得到，解得， 当时，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，符合题意. 故答案为：. 13. 展开式中的第五项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得， 即展开式中第五项的系数为， 故答案为： 14. 已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】y＝f(x)－x恰有3个不同的零点等价于与 h(x)＝有三个不同交点，数形结合进行求解. 【详解】由得：， 可得f(x)－x＝a＋，所以y＝f(x)－x有三个零点等价于 有三个不同交点. 令h(x)＝， 画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间、极值作答. （2）结合（1）中单调性，求出给定区间上最大值与最小值作答. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的递增区间是，递减区间是，极大值，极小值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 16. 新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． （1）求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； （2）若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即得； （2）根据题意写出消费金额所有可能的值，分别计算对应的概率的值，列出分布列，用公式计算数学期望即可. 【小问1详解】 每位消费者从7折、7.5折、8折奖券各2张中任意抽取2张奖券，有种方法， 而“抽到的2张奖券的折扣相同”的情况有3种，故其概率为：； 【小问2详解】 依题意，消费金额的可能的值有：210， 225和 240共三个. ， ， . 则的分布列为： 210 225 240 故数学期望. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性. （2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数中，，求导得， 当时，在上单调递增； 当时，时，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 证明：由（1）知，当时，， 设，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，则， 所以. 18. 驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证．若某人已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响． （1）求丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率； （2）若丁某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设丁某参加科目二考试合格和补考为事件、，参加科目三考试合格和补考合格为事件、，设丁某不需要补考就可获得驾驶证为事件，然后根据相互独立事件的概率乘法公式可求出所求； （2）取值可能为2，3，4，然后根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出相应的概率，最后根据离散型随机变量的数学期望公式解之即可． 【小问1详解】 设丁某参加科目二考试合格和补考为事件、，参加科目三考试合格和补考合格为事件、， 事件、、、，互为独立 设事件“丁某不需要补考就可获得驾驶证”， 则， 所以丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率为； 【小问2详解】 的取值可能为2，3，4，则； ； ； ； 所以，随机变量的分布列为 2 3 4 所以． 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， 【小问2详解】 因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2024-2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 （试卷满分 150分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 2. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值是（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 4. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（ ） A 14种 B. 18种 C. 12种 D. 7种 6. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 8. 某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中的真命题有（    ） A. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 B. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 C. 若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种 D. 已知，若，则 11. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若在处有极值，则______． 13. 展开式中的第五项的系数为______． 14. 已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求单调区间及极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 16. 新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． （1）求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； （2）若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 17. 已知函数. （1）讨论单调性； （2）当时，求证： 18. 驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证．若某人已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响． （1）求丁某不需要补考就可获得驾驶证的概率； （2）若丁某不放弃所有考试机会，记为参加考试次数，求的分布列与数学期望． 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $