精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年高二上学期9月质量检测数学试题

2025-2026学年度江苏省赣榆高级中学第一学期质量监测 高二数学试题 2025.09 注意事项 1.本试卷共8页，满分为150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单项选择题（共8小题满分40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 7. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题满分18分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过、两点的所有直线的方程为 D. 若两直线与平行，则 10. （多选）已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公切线 B. ｜PA｜的最小值为 C. 四边形ACBP面积的最小值为2 D. 直线AB恒过定点 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 三、填空题（共3小题满分15分） 12. 经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为___________. 13. 已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，点在圆上，的最大值是________． 四、解答题（共5大题满分77分） 15. 已知的顶点，，是的中点. （1）求直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 17. 已知圆的圆心在直线上， 且过点． （1）求圆的方程； （2）已知圆上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 19. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度江苏省赣榆高级中学第一学期质量监测 高二数学试题 2025.09 注意事项 1.本试卷共8页，满分为150分，考试时间为150分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单项选择题（共8小题满分40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，然后结合倾斜角与斜率关系即可求解． 【详解】由题意得直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 由，得， 故选：B． 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 3. 已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点公式，求得的中点坐标，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以， 所以． 故选：A. 4. 已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出直线的方程，再应用点到直线距离与半径比较即可列式即可求解. 【详解】经过点且倾斜角为的直线，则直线的方程为. 因为圆心为半径为，所以由题意得 解得. 故选：C. 5. 已知圆是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，表达出，代入中，求出点的轨迹方程. 【详解】设，由于为线段的中点，， 故， 将代入中，得 ， 化简得. 故选：A 6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 7. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 故选：B． 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 二、多项选择题（共3小题满分18分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 过、两点的所有直线的方程为 D. 若两直线与平行，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用直线的截距式方程可判断B选项的正误；利用直线的两点式方程可判断C选项的正误；利用两直线平行求实数的值，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或. 因为，所以，“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，B错； 对于C选项，当或，方程无意义，C错； 对于D选项，若直线与平行， 则，整理可得，解得或. 当时，，，两直线重合，不合乎题意； 当时，，，两直线平行，合乎题意，D对. 故选：ABC. 10. （多选）已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（ ） A. 直线是圆与圆的公切线 B. ｜PA｜的最小值为 C. 四边形ACBP面积的最小值为2 D. 直线AB恒过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据两圆半径判断两圆位置关系； 对于B，由向量性质判断垂直关系，用参数表示，继而得到最小的情况； 对于C，代入三角形面积公式即的值，得到面积； 对于D，两圆相交，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】对于A，连接，因为，圆，圆的半径均为1，所以圆，圆外切，结合草图可知，，则圆，圆的公切线方程为，A正确． 对于B，如图，因为，，所以，连接CP，则，所以当最小时，最小．当，即为圆心到直线的距离时，最小，，所以，B错误． 对于C，由题意得，，所以四边形ACBP的面积，由选项B可知，C错误． 对于D，设，因为PA，PB是圆的切线，所以点，在以PC为直径的圆上． 因为，所以以PC为直径的圆的方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线AB的方程为，化简得，由得即直线AB恒过定点，D正确． 故选：AD 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，根据求得曲线的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，由，得，而， 所以， 整理得，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为，半径为， 设直线的方程为， 到直线的距离， ，两边平方并化简得， 解得，所以直线的斜率范围是，B选项正确. C选项，到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误. D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛： 通过设定比值来求解轨迹：首先设定两点之间的距离之比，并将其代入直角坐标系中，推导出曲线的方程. 这一步奠定了解题的基础. 利用距离公式分析直线与曲线关系：通过设定直线方程并利用点到直线的距离公式，求解出符合条件的斜率范围，确保直线与曲线存在公共点. 结合几何关系确定切线条件：利用点和斜率的关系，结合几何推导，确定切线条件，从而判断选项的正确性. 三、填空题（共3小题满分15分） 12. 经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设与平行的直线方程为，求出两直线交点的坐标并代入即可求得结果. 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 故答案为： 13. 已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为___________. 【答案】， 【解析】 【分析】设出圆心和半径，根据弦长得到方程，求出，得到圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的半径为， 故圆的方程为， 圆心到的距离为， 所以直线上截得弦长为， 故，解得， 故此圆的方程为或. 故答案为：， 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，点在圆上，的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【分析】求线段的中垂线即为的“欧拉线”；设将问转化为直线与圆有交点求，利用直线与圆的位置关系即可. 【详解】，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即； 设，则，即， 因点既在圆上，又在直线上，则直线与圆有交点， 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：；7 四、解答题（共5大题满分77分） 15. 已知的顶点，，是的中点. （1）求直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先设，再结合中点坐标公式求解即可； （2）所求直线与直线垂直，可算出斜率，又直线过点，利用点斜式即可求解； 【详解】（1）设，由题意得∴∴. ∴直线的方程为； （2）∵，，∴， ∴边上的高所在直线的斜率， ∴边上的高所在直线方程为：，即. 【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题 16. 已知的三个顶点是． （1）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； （2）若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 17. 已知圆的圆心在直线上， 且过点． （1）求圆的方程； （2）已知圆上存在点，使得的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，求得AB的垂直平分线方程，与联立，可求得圆心C，根据两点间距离公式，可求得半径r，代入方程，即可得答案. （2）先求得直线AB的方程及AB两点间距离，由题意可得M到直线AB的距离为，设M所在直线方程为，根据两平行线间距离公式，可得c值，与圆联立，即可得M坐标. 【小问1详解】 由题意知AB所在直线的斜率为， 则AB的垂直平分线的斜率为1， 又A（1，3），B（2，2）的中点为， 所以线段AB的垂直平分线为，即， 联立，得圆心C（2，3） 半径， 所以圆C方程为；． 【小问2详解】 由题意得AB所在直线方程为，即． 可得|， 因为三角形MAB的面积为， 所以点M到直线AB的距离为． 设点M所在直线方程为， 所以， 所以或－5，． 当时，联立，无解； 当时，联立， 得或 所以或 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）求出圆C的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 解：由题可知：，该方程表示圆，则， 即，解得.则实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：令， ，开口向下，对称轴为， 当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为， 设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长， 即，解得，则另一条切线斜率不存在。 即切线方程为，即；另一条切线方程为； 【小问3详解】 解：设， 则， 设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 由（2）知， 又，则点M在圆C外面， 所以， 则. 则可知的最小值为. 19. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）． 【解析】 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【小问1详解】 将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）略 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $