6.2不等式的基本性质 同步练习 2025-2026学年青岛版（2024） 数学八年级上册

6.2不等式的基本性质青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习 分数：120分 考试时间：120分钟 命题人： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法错误的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 3.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图是圆形轨道，和两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，分钟内相遇次，如果的速度每分钟增加米，则和在分钟内相遇次，圆形轨道的直径最多是米取，精确至米 A. B. C. D. 5.已知，，是实数，若，且，则可能是(    ) A. B. C. D. 6.已知实数，，满足，，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 7.若，下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 8.若，则下列不等式不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 9.若，，则下列判断错误的是(    ) A. B. C. D. 10.下列不等式变形正确的是(    ) A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 11.若，则下列不等式正确的是(    ) A. B. C. D. 12.已知三个实数，，满足，，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.若关于的不等式可化为，则的取值范围是          ． 14.若，则          ． 15.已知、为常数，且，如果不等式的解集是，那么不等式的解集是____________． 16.实数，满足，，则的取值范围是_________． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 证明：三角形的任意一边小于周长的一半。 18.本小题分 若，且，求的最大值。 19.本小题分 老王和小张在同一家公司工作．老王每月的工资比小张高，但不到他的两倍．新一年开始时，公司给他们同时加薪，问：加薪后老王的工资仍不到小张的两倍吗？如果每人各加薪元呢？请说明理由． 20.本小题分 已知，，求和的取值范围． 21.本小题分 已知关于、的方程满足方程组． 若，求的值； 若、均为非负数，求的取值范围； 在的条件下，求的最大值和最小值． 22.本小题分 有一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，试比较新得到的两位数与原来的两位数的大小． 23.本小题分 关于，的方程组． 若，求的值； 若、均为非负数，求的取值范围； 在的条件下，求代数式的最大值和最小值． 24.本小题分 仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：，，． 方法二：解：． ，，． 根据仿例，请解答： 方法一所依据的不等式基本性质是______请写明基本性质的具体内容； 已知，试比较与的大小要求两种方法解答． 25.本小题分 先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：， 上述解题过程中，从步骤______开始出现错误填写序号； 请写出正确的解题过程． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据不等式的相关性质逐项分析判断如下： A、由条件可知；原说法正确，符合题意； B、由条件可知：；原说法错误，不符合题意； C、由条件可知：；原说法错误，不符合题意； D、由条件可知：；原说法错误，不符合题意； 故选：． 根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了有理数的乘方，绝对值，不等式的基本性质，熟练掌握相应的运算法则是关键根据有理数的乘方，绝对值，不等式的基本性质分别判断即可． 【解答】 解：、若  ，则  是正确的； B、若  ，那么  ，则  是正确的； C、若  且  ，当  ，则  ；当  ，则  ，当  时，则  ，所以故该选项是错误的； D、若  ，则  ，因为  ，所以  ，则  ，故该选项是正确的； 故选： 3.【答案】  【解析】解：选项，，， ，故该选项不符合题意； 选项，，，， ，故该选项不符合题意； 选项，，故该选项不符合题意； 选项，， ，故该选项符合题意； 故选：． 根据有理数的乘法法则判断选项；根据有理数的加法法则判断选项；根据绝对值的定义判断选项；根据不等式的基本性质判断选项． 本题考查了实数与数轴、不等式的基本性质，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：设圆的直径为，和的速度和为米分， 则， ， 由得， ， 由得， ，得， ， ，精确至米， ， 故选：． 设圆的直径为，和的速度和为米分，根据“分钟内相遇  次”得到，根据“ 的速度每分钟增加  米，则  和  在  分钟内相遇  次”得到，根据式求出直径的取值范围，即可解答． 本题考查圆的周长，不等式的应用，解题的关键是掌握圆的周长公式． 5.【答案】  【解析】解：，，是实数，若，且， 则一定是负数， 故选：． 根据不等式的性质解答即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向需要改变是解题的关键． 6.【答案】  【解析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，，然后分别代入和计算即可． 【详解】解：， ，， ， ，即， ， ， ， 综上所述，，， 故选：． 7.【答案】  【解析】解：，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项符合题意； D.，故本选项不符合题意． 故选：． 根据不等式的性质求解即可．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 本题考查了不等式的性质，掌握不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变是关键． 8.【答案】  【解析】解：若，则下列不等式不一定成立的： ， ，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； 当时，，故D符合题意． 故选：． 根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 本题考查不等式的基本性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 9.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， ， 即，故A，B正确； ， 又， ，故C正确； ， 又， ， 即，故D错误； 故选D． 10.【答案】  【解析】解：、当时，由，得，故该项不符合题意； B、由，得，故该项符合题意， C、由，得，故该项不符合题意； D、由，得，故该项不符合题意． 故选：． 根据不等式的性质依次判断． 此题考查了不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的正数，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的负数，不等号方向改变． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了不等式的基本性质：把不等式的两边都加或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变根据不等式的性质解答即可． 【解答】 解：， ， 选项A不符合题意 ， ， ， 选项B合题意 当时，， 选项C不符合题意 ， ， 选项D不符合题意． 故选：． 12.【答案】  【解析】解：由条件可知， ， ，解得， ， ， ， ， 综上：，， 故选：． 将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答． 本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了不等式的基本性质，解题关键在于掌握不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变，注意考虑的情况根据不等式的基本性质即可解答． 【解答】 解：，， 当时，， 当时，， ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的解集和解一元一次不等式，掌握不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可判断，再根据若关于的不等式的解集是，得到，，，即可得到的解集． 【解答】 解：由不等式变形得， 不等式的解集是 ， ， 即，， 么不等式的解集是 即 16.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ，即， 的取值范围是， 故答案为： 17.【答案】证明：设，，为一个三角形的三边长， 根据三角形任意两边之和大于第三边，得， 不等式两边都加上，得， 不等式两边都除以，得， 所以三角形的任意一边小于周长的一半。   【解析】见答案 18.【答案】解：因为，所以。 因为，所以，解得。 因为，不等式两边都除以，得， 所以的最大值是。   【解析】见答案 19.【答案】解：设老王原来的工资为元，小张原来的工资为元． 根据题意有，且，都加薪后有，， 所以加薪后老王的工资仍比小张的工资高，但低于小张工资的两倍． 如果每人各加薪元，老王的工资为元，小张的工资为元，由不等式的基本性质，知，且，所以老王的工资仍比小张高，但低于小张工资的两倍．   【解析】见答案 20.【答案】解：因为，所以． 又因为，所以． 因为，所以． 又因为，所以．   【解析】见答案 21.【答案】解：， 得：， ， ， 解得：； ， 解得：， 、均为非负数， ，， 即， 解得：； ， ， ， ， ， 即， 的最大值为，最小值为．  【解析】利用整体的思想可得：，从而可得，然后进行计算即可解答； 先解方程组可得：，然后根据已知易得：，，从而可得，最后进行计算即可解答； 利用的结论可得：，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22.【答案】解：原来的两位数为，对调后的两位数是， ， 当时，，，即新两位数大于原来的两位数； 当时，，，即新两位数等于原来的两位数； 当时，，，即新两位数小于原来的两位数．   【解析】略 23.【答案】；   ；   最大值为，最小值为．  【解析】解；， 得：， ， ， 解得：； ， 解得， 由条件可知，， 即， 解得； ， ， 由条件可知，， 的最大值为，最小值为． 利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； 先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答； 利用的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24.【答案】不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；   ．  【解析】由条件可知不等式的基本性质． 故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 方法一：，， 根据不等式性质； 方法二：， ， ． 根据不等式的性质填空即可； 利用不等式的性质即可比较． 本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． 25.【答案】；   见解析．  【解析】根据不等式性质可得上述解题过程中，从步骤开始出现错误， 故答案为：； 根据不等式的性质由条件可知： ． ． 根据不等式的基本性质求解； 利用不等式的基本性质求解． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $