2.2 基本不等式【十大考点+十大题型】-2025-2026学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版必修第一册）

2.2：基本不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 【例1】．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二、利用基本不等式求积最大值 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 题型三、利用基本不等式求和最小值 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【跟踪训练1】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【跟踪训练2】（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 题型四：条件等式求最值 【例4】（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【跟踪训练1】（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 题型五：二次或二次商式的最值 【例5】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【跟踪训练2】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 题型六：基本不等式‘1’的妙用 【例6】（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【跟踪训练2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【跟踪训练2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 题型八：基本不等式在实际问题中的应用 【例8】（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【跟踪训练1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【跟踪训练2】（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 题型九、用基本不等式证明不等式 【例9】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【跟踪训练1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【跟踪训练2】（24-25高一上·云南玉溪）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 题型十：基本不等式的综合问题 【例10】（2025高一·全国·专题练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【跟踪训练2】（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【跟踪训练3】（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【高分演练】 一、单选题 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）设，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 9．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 11．（22-23高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·开学考试）已知，，则的取值范围为 ． 13．（25-26高一上·上海·开学考试）若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为 ． 14．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最小值为 ． 17．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 18．（2025高一上·全国·专题练习）（1）已知，则的最小值为 ． （2）已知为正数，则的最小值为 ． 四、解答题 19．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 20．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 21．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 22．（23-24高一上·云南昭通·期中）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值． 23．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2：基本不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点二　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 知识点三　用基本不等式求最值 用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等. (1)a，b是正数； (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【例题详解】 题型一、利用基本不等式比较大小 【例1】．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式比较的大小即可. 【详解】由，得，，则， 因此. 故选：C 【跟踪训练2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 题型二、利用基本不等式求积最大值 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 【跟踪训练1】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求得的最大值. 【详解】，∴， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 【跟踪训练2】（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 题型三、利用基本不等式求和最小值 【例3】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 【跟踪训练1】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 【跟踪训练2】（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 题型四：条件等式求最值 【例4】（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C 【跟踪训练1】（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 【跟踪训练2】（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 题型五：二次或二次商式的最值 【例5】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【跟踪训练2】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型六：基本不等式‘1’的妙用 【例6】（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【答案】D 【分析】由均值不等式计算可得结果. 【详解】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 【跟踪训练2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 题型七：基本不等式恒成立问题 【例7】（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【跟踪训练1】（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 【跟踪训练2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 题型八：基本不等式在实际问题中的应用 【例8】（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 【跟踪训练1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【跟踪训练2】（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 题型九、用基本不等式证明不等式 【例9】（23-24高一上·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 【跟踪训练1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 【跟踪训练2】（24-25高一上·云南玉溪）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 题型十：基本不等式的综合问题 【例10】（2025高一·全国·专题练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2）16；（3） 【分析】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解. （2）利用，再利用基本不等式求解. （3）直接利用基本不等式，解关于的不等式. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 【跟踪训练2】（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 【跟踪训练3】（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 【高分演练】 一、单选题 1．（22-23高一上·黑龙江哈尔滨）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 2．（2025高一上·全国·专题练习）设，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式进行判定. 【详解】显然当时，，即成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，不一定； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·辽宁·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式化简可得最值. 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 5．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 6．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立.故A，B错误.对任意，，当且仅当，即时，也即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确.，当且仅当，即时，等号成立，但是，等号不成立，故D错误. 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质、基本不等式一一判定选项即可. 【详解】对于A，由可得，故A正确； 对于B，由题意知， 当且仅当时取得最大值，与条件矛盾，故B错误； 对于C，由基本不等式得，即， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D，由恒成立可知：， 所以，故D正确. 故选：ACD 9．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）已知，，，则下列结论成立的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，，当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故，当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由，可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即，与题设矛盾， 故的最小值大于2，故C错误； 对于D，，故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 10．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 11．（22-23高一上·四川广安·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是3 C．当时，的最小值是5 D．设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·开学考试）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出范围. 【详解】由，，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高一上·上海·开学考试）若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为 ． 【答案】8cm2 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】设直角三角形的两条直角边的长度分别为，则， 直角三角形的面积，取等条件为， 故直角三角形面积的最大值为. 故答案为： 14．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为5. 故答案为：5. 16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则， 当且仅当，且满足， 即时等号成立，故的最小值为2． 故答案为：2. 17．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 18．（2025高一上·全国·专题练习）（1）已知，则的最小值为 ． （2）已知为正数，则的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）变形为，再利用基本不等式求解即可； （2）变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即，即时等号成立． 故的最小值为． （2）， 当且仅当时等号成立． 故的最小值为4. 故答案为：； 四、解答题 19．（25-26高一上·全国·单元测试）某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形. (1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？ (2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？ 【答案】(1)=6m，=4m (2)=5m，= 【分析】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案； （2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）设长为，宽为， 则围成四块田地的篱笆总长为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小； （2）设长为，宽为，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大. 20．（25-26高一上·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 21．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求取得最大值时x的值； （2）已知正数a、b满足.求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由基本不等式可得； （2）变形后由基本不等式可得. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. （2）因为且a、b为正数，所以，，所以，， 则， 当且仅当、时等号成立，故的最小值为16. 22．（23-24高一上·云南昭通·期中）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值． 【答案】最大面积为， 【分析】设，根据题设条件可得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，矩形的周长为，且，则， 设，则，又为直角三角形， 所以，整理得到，则， ， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，时，取等号，满足， 故，时，取最大面积为. 23．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可得，然后利用基本不等式即可求解最大值； （2）由已知可得，然后利用基本不等式可得，又，即可求解，； （3）由已知可得，将原式变形可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $