第1章 特殊平行四边形 单元达标练习卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第1章 特殊平行四边形 单元达标练习卷 一．选择题 1．下列性质中菱形一定具有的是（　　） A．对角线相等 B．有一个角是直角 C．对角线互相垂直 D．四个角相等 2．如图1，细铁丝围成的正方形边长为2，现在将该细铁丝围成△ABC，如图2，则BC的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE，若S菱形ABCD＝120，OE＝5，则菱形ABCD的边长为（　　） A．13 B．11 C．12 D．10 4．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，ED恰好平分∠AEC．若AB＝2，则△ADE的面积为（　　） A．2 B． C．4 D． 5．如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴正半轴上，且A（﹣2，0），B（2，m），则正方形ABCD的面积是（　　） A．13 B．20 C．25 D．34 6．如图，4个全等的直角三角形拼合成一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D．3 8．如图，已知菱形ABCD的面积为96，M，N分别为AD，CD的中点，若MN的长为4，对角线BD的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 9．图1是有一个内角为60°的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为2m，2n（m＜n）．沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论： ①△ABG是等边三角形； ②四边形GTSH为菱形； ③六边形ABCDEF是轴对称图形，不是中心对称图形； ④存在m，n，使四边形GTSH的面积与△ABG的面积之比为1：2． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 10．2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，DE，CF相交于点M．N是DF的中点，若AF＝1，CE＝BF＝2，则MN的长为（　　） A． B． C．2 D． 二．填空题 11．如图矩形ABCD，点E在BC的延长线上，CE＝BD，连接AE，如果∠E＝28°，则∠ADB＝ 　 　 ． 12．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE＝2∠BAE，则∠EAC＝ 　 　 ． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　 　 ． 14．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝8，∠FEG＝90°，EF＝3，EG＝4，点D为FG中点，连接BE，点P为BE中点，连接CP，则CP的最大值为　 　 ． 15．矩形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，已知AB＝2，BC＝1，则线段OD的最大值为 　 　 ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F为BE的中点，则线段CF的长为 　 　 ． 17．（组合图形的面积）如图，大圆的半径是小圆半径的2倍，阴影部分是一个正方形，面积是48cm2，那么小圆的面积是　 　 cm2． 18．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝30°，点E在射线BC上，当△ADE是直角三角形时，则BE的长为　 　 ． 19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，取AE，BF的中点M，N，连接MN，则MN的长为 　 　 ． 三．解答题 20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若BF＝18，DF＝12，求OE的长度． 21．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形． 22．如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线BD的中点，点E为AD边上的动点，点F在CD边上，连接OE，OF，OE⊥OF． （1）求证：OE＝OF． （2）当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 23．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE与DA的延长线交于点M，OF与AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：AM＝BN； （2）若正方形ABCD的边长为2，E为OM的中点，求MN的长． 24．【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　 　 ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 25．问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O． （1）探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由； （2）探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长； （3）拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B C C C D B 二．填空题 11．56°． 12．30°． 13．60． 14．． 15．． 16．． 17．37.68． 18．或或． 19．． 三．解答题 20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：在菱形ABCD中，设BC＝x，则CD＝x， ∵BF＝18， ∴CF＝18﹣x， 在矩形AEFD中，∠F＝90°， 在Rt△CFD中，x2＝122+（18﹣x）2， 解得x＝13， ∴BC＝CD＝13，CF＝5， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴， ∴． 21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO． ∵△ACE是等边三角形， ∴AE＝CE． ∴BE⊥AC． ∴四边形ABCD是菱形． （2）从上易得：△AOE是直角三角形， ∴∠AEB+∠EAO＝90° ∵△ACE是等边三角形， ∴∠EAO＝60°， ∴∠AEB＝30° ∵∠AEB＝2∠EAB， ∴∠EAB＝15°， ∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°． 又∵四边形ABCD是菱形． ∴∠BAD＝2∠BAO＝90° ∴四边形ABCD是正方形． 22．解：（1）过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，如图所示： ∴∠OMD＝∠OME＝∠ONF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ADB＝45°，∠ADC＝∠C＝90°， ∴∠OMD＝∠ADC＝∠ONF＝90°， ∴四边形OMDN是矩形， ∵∠OMD＝90°，∠ADB＝45°， ∴△OMD是等腰直角三角形， ∴OM＝DM， ∴矩形OMDN是正方形， ∴OM＝ON，∠MON＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝∠MON＝90°， ∴∠EOM+∠MOF＝∠MOF+∠FON， ∴∠EOM＝∠FON， 在△EOM和△FON中， ， ∴△EOM≌△FON（ASA）， ∴OE＝OF； （2）当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： ∵∠ONF＝∠C＝90°， ∴ON∥BC， ∵点O为对角线BD的中点， ∴ON是△DBC的中位线， ∴ONBC＝2， ∴正方形OMDN的面积为4， 由（1）可知：△EOM≌△FON， ∴S△EOM＝S△FON， ∴S四边形OEDF＝S△EOM+S四边形OMDF＝S△FON+S四边形OMDF＝S正方形OMDN＝4． 23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC＝90°， ∴∠OAM＝∠MAB+∠OAB＝135°，∠OBN＝∠NBC+∠OBC＝135°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°， ∵∠AOB＝∠EOF＝90°， ∴∠AOB﹣∠EOB＝∠EOF﹣∠EOB， ∴∠AOM＝∠BON， 在△AOM和△BON中， ， ∴△AOM≌△BON（ASA）， ∴AM＝BM； （2）解：过点O作OH⊥AB于点H，OK⊥AD于点K，如图所示： ∴∠OHA＝∠OKA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴AB＝AD＝2，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOD＝90°， ∴△OAB和△OAD都是等腰直角三角形， ∴OA＝AH＝BHAB＝1，OK＝AK＝DKAD＝1， ∴OH＝AH＝AK＝OK＝1， 又∵∠OHA＝∠OKA＝90°， ∴四边形OHAK是正方形， ∴∠OHE＝∠MAE＝90°， ∵点E为OM的中点， ∴OE＝ME， 在△OHE和△MAE中， ， ∴△OHE≌△MAE（AAS） ∴AM＝OH＝1， ∴MK＝AM+AK＝2， 在Rt△OKM中，由勾股定理得：OM， 由（1）可知：△AOM≌△BON， ∴OM＝ON， ∵∠EOF＝90°， ∴△OMN是等腰直角三角形， 由勾股定理得：MNOM． 24．解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）发现：a2+b2＝c2， 理由：∵图2中图形的面积＝2abc2（a+b）（a+b）， ∴abc2（a+b）2， ∴2ab+c2＝（a+b）2， ∴a2+b2＝c2； （3）∵CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2， ∴BC＝2﹣CN﹣BN＝2﹣a﹣b， ∵在Rt△BNC 中，BC2＝CN2+BN2， ∴（2﹣a﹣b）2＝a2+b2， ∴4+a2+b2+2ab﹣4a﹣4b＝a2+b2， ∴4+2ab﹣4a﹣4b＝0， ∴ab﹣2（a+b）＝﹣2， ∵AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b， ∴AN＝AC﹣CN＝2﹣a，DN＝BD﹣BN＝2﹣b， ∴长方形AEDN的面积为：AN•DN＝（2﹣a）（2﹣b）＝4+ab﹣2（a+b）＝4﹣2＝2． 25．解：（1）CM＝DN，且DN⊥CM， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴在△BCM和△CDN中， ， ∴△BCM≌△CDN（SAS）， ∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN， ∵∠BCM+∠MCD＝90°， ∴∠CDN+∠MCD＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴DN⊥CM， ∴线段CM和DN的关系为：CM＝DN，且DN⊥CM； （2）连接CE并延长交AD于G，连接GM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠A＝90°，BC∥AD， ∴∠ENC＝∠EDG， ∴在△CNE和△GDE中， ， ∴△CNE≌△GDE（ASA）， ∴CE＝EG，GD＝CN＝1， 又∵MF＝CF， ∴， ∵正方形的边长为4，BM＝DG＝1， ∴AM＝AG＝3， 在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2， ∴32+32＝GM2， ∴， ∴； （3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H， ∵CM2＝BC2+BM2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∠BPC＝45°， ∴， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/23 20:06:42；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $