第一章 特殊平行四边形 全章分节练习 2025-2026学年 北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 第一节 菱形的性质与判定(一) 一、选择题 1.如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=50 ,则∠MBN=( ) 第1题图 A.40 B.50 C.60 D.140 2.如图,在 ABC中,分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径画弧,两弧交于点D,E,且点D恰好在AC边上,直线DE与BC交于点F,连接BD,BE,CE.若CD=2,∠ACB=30 ,则四边形BECD的面积为( ) 第2题图 A. B.2 C.4 D.8 3.如图,在 ABCD中,对角线AC交BD于点O,过点O作AD的垂线分别交AD,BC于点E,F.已知AB=10,AC=12,BD=16,那么EF的长是( ) 第3题图 A.9.6 B.12 C.10 D.8 二、填空题 4.如图,在 ABC中,AB=AC,分别以点C,B为圆心,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD,AD,CD.若∠ABD=130 ,则∠CDA= . 第4题图 5.如图,在 ABCD中,∠ABC=60 ,AB=AC,对角线AC,BD交于点O,点M是CD的中点,OM=1,则 ABCD的周长为 . 第5题图 6.如图,四边形ABCD是矩形,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧交于点M,N;作直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF,CE,若CE=4,∠ACB=30 ,则四边形AECF的面积为 . 第6题图 三、解答题 7.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,连接DB,BD平分∠ABC. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)过点D作DC的垂线,分别交AB,AE于点F,G,若AG=3,AD=4,求菱形ABCD的面积. 8.如图,在Rt ACE中,∠ACE=90 ,点D是AE的中点,连接CD,过点C作CB∥AE,过点A作AB∥CD,CB,AB交于点B,连接BD交AC于点O. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)连接BE交AC于点G,交CD于点F,若BD=BC,CD=4,求OG的长. 9.如图,四边形ABED中,AD∥BE,AC平分∠BAD交BE于点C,BD平分∠ABC,交AC于点O,连接CD,OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若DE⊥BE,OE=4,AC=6,求四边形ABCD的周长. 第二节 菱形的性质与判定(二) 一、选择题 1.如图,点O既是AB的中点,又是CD的中点,且AB⊥CD,连接AC,BC,AD,BD.若AC=2,则四边形ACBD的周长是( ) 第1题图 A.6 B.8 C.10 D.不能确定 2.如图,将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD,若∠ABC=50 ,则∠DAC的度数为( ) 第2题图 A.50 B.60 C.65 D.70 3.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB,分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C,连接AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为( ) 第3题图 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 二、填空题 4.如图,在 ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交AD于点F,连接BF,分别以B,F为圆心,大于BF的长为半径作弧,两弧交于点G,连接AG并延长,交BC于点E.若AE=6,BF=4,则AB的长为 . 第4题图 5.如图,在平行四边形ABCD中,点B与原点O重合,点C落在x轴正半轴上,在AD上截取AF=AB,分别以点B,F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于点P,射线AP交BC于E,若AB=5,BF=6,则点F的坐标为 . 第5题图 三、解答题 6.如图,四边形ABCD是平行四边形,分别以A,B为圆心,AB的长为半径画弧,交AD,BC于点F和点E,连接EF. (1)判断四边形ABEF的形状,并说明理由; (2)若AB=4,AD=6,求四边形CDFE的周长. 7.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC平分∠DAB,连接BD交AC于点O,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)求证:四边形ABCD为菱形; (2)若OA=4,OB=3,求CE的长. 8.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使EF=DE,连接CF,BF. (1)求证:四边形CFBD是菱形; (2)连接AE,若AE=,DF=2,求BC的长. 9.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF. (1)求证:平行四边形ABCD是菱形; (2)若AB=5,AC=6,求四边形ABCD的面积. 第三节 矩形的性质与判定(一) 一、选择题 1.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点O,若OA=OD=5,AB=6,则四边形ABCD的面积为( ) A.24 B.36 C.48 D.60 2.如图,矩形ABCD的对角线AC=8 cm,∠AOB=60 ,则BC的长为( ) A.2 cm B.4 cm C.4 cm D.8 cm 3.将一张矩形纸片沿AC所在的直线折叠成如图所示的图形,点A,B,C均在原矩形的边上,且点A,B在同一边上,∠ABC=64 ,则∠CAB的度数是( ) A.53 B.54 C.58 D.62 二、填空题 4.如图,在矩形ABCD中,点G是AD边上任意一点,连接GB,GC.点E,F分别是GB,GC的中点,连接EF.若AB∶AD=2∶3,S GBC=12,则EF的长为 . 5.如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=8,点P是对角线AC上一个动点(点P与点A,C不重合),过点P分别作PE⊥AD于点E,PF∥BC交CD于点F,连接EF,则EF的最小值为 . 三、解答题 6.如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,连接CE,DE.若CE=CD,过点D作DF⊥CE于点F.求证:CF=EB. 7.如图,已知在四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠D,点E是AB边的中点,点F为AD边上一点,连接CF,CE,DA与CE的延长线交于点G. (1)求证:四边形ABCD为矩形; (2)若∠1=2∠2,CF=5,求AF+BC的值. 8.如图,点P为矩形ABCD的边AD上一点,连接BP,将矩形ABCD的一部分DPBC沿BP翻折180 得四边形D'PBC',且点C'落在DA的延长线上. (1)求证:C'B=C'P; (2)若BC=10,DC=6,求折痕BP的长. 第四节 矩形的性质与判定(二) 一、选择题 1.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,可以添加的条件是( ) A.AB=BC B.AC⊥BD C.∠1+∠2=90 D.∠1=∠2 2.如图,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,重叠部分为 EBD,下列说法错误的是( ) A. EBD是等腰三角形,EB=ED B. EBA和 EDC'一定是全等三角形 C.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 D.折叠后得到的图形是轴对称图形 3.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=3,BC=4,点M是边AB上一点(不与点A,B重合),作ME⊥AC于点E,MF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值是( ) A.2 B.2.4 C.3 D.4 二、填空题 4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC=BD=5,对角线AC,BD相交于点O且互相平分,点P是线段AD上任意一点,且PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF的值是 . 5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,R是DC的中点,P是BC上的动点,E,F分别是AP,RP的中点,那么线段EF的长是 . 三、解答题 6.如图,已知矩形ABCD. (1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线,交CD于点E,交AB于点F(不写作法,保留作图痕迹); (2)求证:DE=BF. 7.综合与实践:折叠中的数学. 【主题】四边形与折纸 【素材】如图1,一张矩形纸片ABCD,AB=24 cm,BC=10 cm. (1)【实践操作1】 步骤一:将矩形纸片上下对折,折痕为HF; 步骤二:然后左右对折,折痕为GE; 步骤三:再沿对角线对折,将原纸片展开还原后,如图2所示,得到四边形EFGH. 【实践探索1】四边形EFGH的形状为 ,面积为 ; (2)【实践操作2】 步骤一:将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折; 步骤二:再将纸片折叠使点A与点C重合得折痕EF. 步骤三:将原纸片展开还原后,连接AE,CF.如图3所示,得到四边形AECF. 【实践探索2】判断四边形AECF的形状,并加以证明. 第五节 正方形的性质与判定(一) 一、选择题 1.顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形,则原四边形一定是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形 D.任意四边形 2.如图,AC,BD是菱形ABCD的对角线,E,F是BD上两点,且BE=DF,连接AE,CE,AF,CF,添加一个条件使四边形AECF是正方形,这个条件可以是( ) 第2题图 A.∠AEB=∠CFD B.BE=OE C.BD⊥AC D.AC=2OE 3.如图,已知正方形纸片ABCD,M,N分别是AD,BC的中点,把BC边向上翻折,使点C恰好落在MN上的点P处,BQ为折痕,则∠PBQ的度数为( ) 第3题图 A.20 B.25 C.30 D.60 4.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,AB上的点,DE,CF相交于点M,N是DF的中点,若AF=2,CE=BF=4,则MN的长为( ) 第4题图 A. B.3 C. D.2 二、填空题 5.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是 . 第5题图 6.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点M是BC边上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N,若正方形ABCD的边长为2,则四边形OMCN的面积是 . 第6题图 7.如图,已知正方形ABCD,AB=7,点E为BC边上的一点,CE=2,连接DE,把 DCE绕点D顺时针旋转90 ,得到 DAF,连接EF,则EF的长为 . 第7题图 三、解答题 8.如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证:矩形DEFG是正方形. (2)探究:CE+CG的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由. 9.追本溯源:题(1)是北师大版初中数学九年级上册第21页例题,请你完成解答,提炼方法后,完成题(2). (1)如图1,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.请问BE与DF之间有怎样的数量关系?请说明理由. 方法应用: (2)如图2,将边长为24的正方形ABCD沿着EF折叠,点A的对应点G恰在CD边上,已知CG=17,求折痕EF的长. 10.综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作判断】如图1,正方形纸片ABCD中,将∠B沿过点A的直线折叠,使点B落在正方形ABCD的内部,得到折痕AE,点B的对应点为M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠,使AD与AM重合,得到折痕AF,将纸片展平,连接EF. (1)根据以上操作,易得E,M,F三点共线,且:①∠EAF= ; ②线段EF,BE,DF之间的数量关系为 . 【深入探究】如图2,将∠C沿EF所在直线折叠,使点C落在正方形ABCD的内部,点C的对应点为N,将纸片展平,连接NE,NF.同学们在折纸的过程中发现,当点E的位置不同时,点N的位置也不同,当点E在BC边上某一位置时(点E不与点B,C重合),点N恰好落在折痕AE上,此时AM交NF于点P,如图3所示. (2)小明通过观察图形,得出AP=BE+DF.请判断其是否正确,并说明理由. (3)小段发现∠BAE是一个定值.小段同学的发现是否成立?若成立,求出∠BAE的大小;若不成立,请说明理由. 第六节 正方形的性质与判定(二) 一、选择题 1.在四边形ABCD中,点O是对角线的交点.在下列条件中,能判定这个四边形为正方形的是( ) A.AC=BD,AB∥CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.OA=OB=OC=OD,AC⊥BD D.OA=OC,OB=OD,AB=BC 2.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,那么添加下列条件一定能判定四边形EFGH是正方形的是( ) 第2题图 A.AC=BD且AB=AD B.AC⊥BD且AC和BD互相平分 C.∠BAD=∠ABC且AC=BD D.AC=BD且AC⊥BD 3.如图,正方形ABCD,CEFG的边长均为定值,点H在线段FC上,从点F向点C运动,在这个过程中, DBH的面积( ) 第3题图 A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.不确定 二、填空题 4.如图,正方形ABCD的面积为20,对角线AC,BD相交于点O,点E是边CD的中点,过点C作CF⊥BE于点F,连接OF,则OF的长为 . 第4题图 5.已知正方形ABCD的边长为8,点E,F分别在AD,CD上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 . 第5题图 三、解答题 6.如图,已知四边形ABCD是正方形,AB=4,E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证:四边形DEFG是正方形; (2)连接EG,求证:AE2+CE2=EG2. 7.如图1,边长为和3的两个正方形放在直线l上,连接AD,CF,则AD=CF. (1)将正方形ODEF绕点O逆时针旋转一定的角度,如图2.AD还等于CF吗?说明理由. (2)将正方形ODEF绕点O逆时针旋转,使点E在直线l上,如图3,求CF的长. 8.通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的,下面是一个案例,请补充完整. 【原题】如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45 ,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系. 【模型】我们把这种模型称为“半角模型”,在解决半角模型问题时,“旋转”“截长补短”均是常用的方法. (1)思路梳理: A.旋转法:把 ABE绕点A逆时针旋转90 至 ADG,可使AB与AD重合,则BE=DG,∠ADG=∠B=90 ,可以得到∠FDG=180 ,即点F,D,G共线. 易证 AFG≌ ,故EF,BE,DF之间的数量关系为 . B.截长补短法:延长CD至点G,使得DG=BE,由∠B=∠ADG=90 ,AB=AD,可得 ABE≌ ADG,可以得到AG=AE. (2)类比引申 如图2,点E,F分别在正方形ABCD的边CB,DC的延长线上,∠EAF=45 .连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并给出证明. 第一章 特殊平行四边形 第一节 菱形的性质与判定(一) 1.B 2.B 3.A 4.25 5.8 6.8 7.(1)证明:∵在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠CDB=∠CBD, ∴CD=CB,∴四边形ABCD是菱形. (2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=4,AD∥BC. ∵AE⊥BC,∴AE⊥AD, ∴DG===5. ∵DF⊥CD,AB∥CD,∴DF⊥AB, ∴S DAG=AD AG=DG AF, ∴AF===, ∴DF===, ∴菱形ABCD的面积为AB DF=4 =. 8.(1)证明:∵∠ACE=90 ,点D为AE的中点, ∴DC=AD=ED=AE. ∵CB∥AE,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD. ∵CD=AD,∴四边形ABCD是菱形. (2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD, ∴∠BOC=∠ACE=90 ,∴BD∥CE. ∵CB∥DE,∴四边形BCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD. ∵BD=BC,CD=4,∴四边形BCED是菱形, BCD为等边三角形,BD=BC=CD=4, ∴OB=OD=BD=2,BE⊥CD,∠CBD=60 , ∴∠DBF=∠CBF=∠CBD=30 ,∴BG=2OG. ∵OB===OG=2, ∴OG=. 9.(1)证明:∵ AC平分∠BAD交BE于点C,BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD,∠BAC=∠DAC. ∵AD∥BE,∴∠ADB=∠CBD,∠ACB=∠DAC, ∴∠ADB=∠ABD,∠ACB=∠BAC, ∴AB=AD,AB=BC,∴AD=BC. ∵AD∥BE,∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. (2)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴OB=OD,OA=OC=AC=3,AC⊥BD. ∵DE⊥BE,∴OE=BD,∴BD=2OE=8, ∴BO=OD=BD=4,∴AB===5, ∴四边形ABCD的周长=4AB=20. 第二节 菱形的性质与判定(二) 1.B 2.C 3.C 4. 5.(,) 解析:如图,连接EF,设AD交y轴于点H,AE,BF交于点G, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴AF∥BE,∠FAE=∠BEA. 由作图可知,AE平分∠BAF, ∴∠BAE=∠FAE,∴∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE.∵AF=AB,∴AF=BE. 又∵AF∥BE,AB=BE,∴四边形AFEB为菱形, ∴AE⊥BF,BG=BF=3,EG=AE. 在Rt BGE中,由勾股定理,得EG==4, ∴AE=2EG=8. ∵S菱形AFEB=AE BF=AF OH,∴ 8 6=5OH, ∴OH=. 在Rt OFH中,HF==,∴F(,). 故答案为(,). 6.解:(1)四边形ABEF是菱形,理由: 由作图可知AF=AB,BE=AB,∴AF=BE. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,即AF∥BE, ∴四边形ABEF是平行四边形. ∵AF=AB,∴四边形ABEF是菱形. (2)∵四边形ABEF是菱形,∴AF=EF=BE=AB=4. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=6,AB=CD=4, ∴DF=AD-AF=2,CE=BC-BE=2, ∴四边形CDFE的周长=2(DF+CD)=2 (2+4)=12. 7.(1)证明:∵AB∥CD,AD∥BC, ∴∠BAC=∠DCA,四边形ABCD是平行四边形. ∵AC平分∠DAB,∴∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC, ∴CD=AD,∴四边形ABCD是菱形. (2)解:∵四边形ABCD是菱形,OA=4,OB=3, ∴AC⊥BD,AC=2OA=8,BD=2OB=6, ∴∠AOB=90 ,∴AB==5. ∵CE⊥AB,∴S菱形ABCD=AB CE=AC BD, 即5CE= 8 6,解得CE=,即CE的长为. 8.(1)证明:∵D,E分别是边AB,BC的中点, ∴DE是Rt ABC的中位线,CE=BE,∴DE∥AC. ∵∠ACB=90 ,∴∠DEB=∠ACB=90 ,即DF⊥BC, 又∵EF=DE,∴四边形CFBD是菱形. (2)解:∵DF=2,∴DE=DF=1. 由(1)知DE是Rt ABC的中位线,∴AC=2DE=2. ∵AE=,AC=2,∠ACE=90 , ∴CE==3. ∵四边形CFBD是菱形,∴BC=2CE=6. 9.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D. ∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90 . 在 AEB和 AFD中, ∴ AEB≌ AFD(ASA), ∴AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形. (2)解:如图,连接BD交AC于点O, ∵ 四边形ABCD是菱形,AC=6, ∴AC⊥BD,AO=OC=AC=3, BO=DO. ∵AB=5,AO=3, ∴BO===4, ∴BD=2BO=8, ∴S四边形ABCD=AC BD= 6 8=24. 第三节 矩形的性质与判定(一) 1.C 2.C 3.C 4.3 5. 解析:如图,过点D作DP'⊥AC于P',连接DP, ∵四边形ABCD是矩形,AB=15, BC=8, ∴CD=AB=15,AD=BC=8, ∠ADC=90 , ∴AC===17. ∵PF∥BC,∴∠PFD+∠ADC=180 , ∴∠PFD=90 . ∵PE⊥AD,∴∠PED=∠EDF=∠PFD=90 , ∴四边形DEPF是矩形,∴EF=DP. 要使EF最小,只需DP最小,当DP⊥AC时,DP最小,最小值为DP'的长, ∵S ADC=AD CD=AC DP', ∴DP'===, 故EF的最小值为,故答案为. 6.证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD,∠B=∠DCB=90 . ∵DF⊥CE,∴∠DFC=90 , ∴∠DFC=∠B,∠DCF=∠CEB=90 -∠ECB. 在 CFD与 EBC中, ∴ CFD≌ EBC(AAS),∴CF=EB. 7.(1)证明:∵AD=BC,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠D+∠BAD=180 . ∵∠BAD=∠D,∴∠BAD=∠D= 180 =90 , ∴四边形ABCD为矩形. (2)解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠1=∠BCF,∠2=∠G. ∵∠1=2∠2,∴∠BCF=2∠2, ∴∠FCG=∠2,∴∠G=∠FCG,∴FG=CF=5. ∵点E是AB边的中点,∴AE=BE. 在 AEG与 BEC中, ∴ AEG≌ BEC(AAS), ∴AG=BC,∴BC+AF=AG+AF=FG=5, 故AF+BC的值为5. 8.(1)证明:由翻折可知∠PBC=∠PBC'. ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC, ∴∠BPC'=∠PBC,∴∠PBC'=∠BPC', ∴BC'=PC'. (2)解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=6,BC'=BC=10,∠BAD=90 , ∴∠C'AB=180 -∠BAD=90 . 在Rt C'AB中,C'A===8, ∵PC'=BC'=10,∴AP=PC'-C'A=10-8=2, ∴在Rt ABP中,BP===2. 第四节 矩形的性质与判定(二) 1.C 2.C 3.B 4. 5. 6.(1)解:如图1所示,直线EF为所求. (2)证明:如图2,设EF与AC的交点为O,连接AE,CF, 由(1)可知,直线EF是线段AC的垂直平分线. ∴EA=EC,FA=FC,∠COE=∠AOF=90 ,OA=OC. 又∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB, ∴∠ECO=∠FAO, ∴ COE≌ AOF(ASA),∴EC=FA. 又∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD, ∴AB-AF=CD-CE,即DE=BF. 7.解:(1)由折叠可知,HF与GE互相垂直平分, ∴四边形EFGH为菱形. 由折叠可得HF=AB=24 cm,GE=BC=10 cm, ∴S菱形EFGH=HF GE= 24 10=120(cm2), ∴菱形EFGH的面积为120 cm2. 故答案为菱形;120 cm2. (2)四边形AECF是菱形. 证明:设AC与EF的交点为O, 由折叠可得EF⊥AC,OA=OC. ∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB, ∴∠ECO=∠FAO.在 EOC和 FOA中, ∴ EOC≌ FOA(ASA),∴OE=OF. ∵OE=OF,OC=OA,∴四边形AECF是平行四边形. ∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形. 第五节 正方形的性质与判定(一) 1.C 2.D 3.C 4.A 5.(-1,2) 解析:如图,过点C作CD⊥x轴于点D,过点A作AE⊥x轴于点E, ∵点A的坐标是(2,1),∴AE=1, OE=2. ∵四边形OABC是正方形, ∴AO=CO,∠AOC=90 , ∴∠AOE+∠COD=90 . ∵∠AOE+∠OAE=90 ,∴∠COD=∠OAE. ∵AO=CO,∠AEO=∠CDO=90 , ∴ AOE≌ OCD(AAS), ∴DO=AE=1,CD=OE=2,∴点C的坐标为(-1,2). 故答案为(-1,2). 6.1 解析:∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, 正方形ABCD的边长为2, ∴OB=OC,∠OBM=∠OCN=45 ,∠BOC=90 , ∴S BOC=S正方形ABCD= 22=1. ∵ON⊥OM,∴∠MON=90 , ∴∠BOM=90 -∠MOC=∠CON. 在 BOM和 CON中, ∴ BOM≌ CON(ASA),∴S BOM=S CON, ∴S四边形OMCN=S COM+S CON=S BOM+S COM=S BOC=1. 故答案为1. 7. 解析:在正方形ABCD中,AB=7, ∴CD=AB=7,∠C=90 . 在直角三角形CDE中,由勾股定理得 DE===. ∵ DCE绕点D顺时针旋转90 ,得到 DAF, ∴ ∠FDE=90 ,DF=DE=, 在直角三角形DEF中,由勾股定理得 EF===, 故答案为. 8.(1)证明:如图,作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N, ∵点E是正方形ABCD对角线上的点,∴EM=EN. ∵∠ENC=∠MCN=∠EMC=90 , ∴四边形ENCM为矩形,∴∠MEN=90 . ∵∠DEF=90 ,∴∠DEN+∠FEN=∠MEF+∠FEN=90 , ∴∠DEN=∠MEF. 在 DEN和 FEM中, ∴ DEN≌ FEM(ASA),∴EF=DE. ∵四边形DEFG是矩形,∴矩形DEFG是正方形. (2)解:CE+CG的值是定值, 由正方形DEFG和正方形ABCD,得DE=DG,AD=DC. ∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90 , ∴∠CDG=∠ADE. 在 ADE和 CDG中, ∴ ADE≌ CDG(SAS),∴AE=CG, ∴CE+CG=CE+AE=AC=AB= =. 9.解:(1)BE=DF,理由: ∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCD=∠DCF=90 . 又∵CE=CF,∴ CEB≌ CFD(SAS),∴BE=DF. (2)如图,连接AG,过点F作FH⊥AD于点H,易得四边形ABFH是矩形. ∵正方形ABCD的边长为24, ∴AB=AD=DC=BC=24, ∴DG=DC-CG=24-17=7,AB= AD=FH=24,∠FHE=∠D=90 , ∴AG===25. 由折叠可得EF⊥AG, ∴∠AEF+∠DAG=∠AEF+∠EFH=90 , ∴∠DAG=∠EFH,∴ AGD≌ FEH(ASA), ∴EF=AG=25. 10.解:(1)①∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠D=∠C=90 . 由折叠的性质得BE=ME,DF=MF,AB=AM=AD,∠BAE=∠MAE,∠DAF=∠MAF,∠AME=∠B=90 ,∠AMF=∠D=90 . ∵∠BAE+∠MAE+∠DAF+∠MAF=∠BAD=90 , ∴2∠MAE+2∠MAF=90 , ∴∠EAF=∠MAE+∠MAF=45 . 故答案为45. ②∵∠AME=90 ,∠AMF=90 ,∴∠AME+∠AMF=180 , ∴E,M,F三点共线,∴EF=ME+MF=BE+DF,故答案为EF=BE+DF. (2)AP=BE+DF正确,理由: 由折叠的性质得∠ENF=∠C=90 ,∴∠ANF=90 , 由(1)可知,AM⊥EF,∠EAF=45 , ∴∠AFN=90 -∠EAF=45 =∠EAF,∴AN=FN. 又∵∠ANF=∠AME=90 , ∴∠MAE+∠FEN=90 =∠MAE+∠APN, ∴∠FEN=∠APN. 在 FEN和 APN中, ∴ FEN≌ APN(AAS),∴EF=AP. 由(1)已得EF=BE+DF,∴AP=BE+DF. (3)小段同学的发现成立, 由折叠的性质得∠AEB=∠AEM,∠FEC=∠AEM, ∵∠AEB+∠AEM+∠FEC=180 ,∴∠AEB=60 . ∵∠B=90 ,∴∠BAE=90 -∠AEB=30 .是定值. 第六节 正方形的性质与判定(二) 1.C 2.D 解析:如图, 当AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH是正方形,理由: ∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点, ∴EH=BD,EH∥BD,FG=BD,FG∥BD,EF=AC,FE∥AC, ∴EH∥FG,EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形. ∵AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH是菱形. ∵AC⊥BD,∴∠1=90 . ∵FE∥AC,∴∠1+∠2=180 ,∴∠2=90 . ∵FG∥BD,∴∠3=∠2=90 , ∴四边形EFGH是正方形,故D符合题意,而A、B、C均不能证明,不符合题意, 故选D. 3.C 解析:∵四边形ABCD,CEFG均为正方形, ∴∠DBC=∠FCG=45 , ∴DB∥FC,∴DB与FC之间的距离处处相等. 设DB与FC之间的距离为h, ∴ DBH的面积=DB h,是定值,故选C. 4. 解析:如图,在BE上截取BG=CF,连接OG, ∵在Rt BCE中,CF⊥BE, ∴∠EBC=∠ECF. ∵∠OBC=∠OCD=45 , ∴∠OBG=∠OCF. 在 OBG与 OCF中, ∴ OBG≌ OCF(SAS), ∴OG=OF,∠BOG=∠COF, ∴∠GOF=∠BOC=90 ,∴OG⊥OF. ∵正方形ABCD的面积为20,∴BC=DC=2. ∵点E是边CD的中点,∴DE=EC=CD=, ∴由勾股定理得BE==5. ∵S BCE=BC CE=CF BE,∴2 =CF 5, ∴CF=2. 在Rt BCF中,由勾股定理得 BF===4, ∴GF=BF-BG=BF-CF=4-2=2, 在等腰Rt OGF中,OF2+OG2=GF2,∴2OF2=22, ∴OF=.故答案为. 5.5 解析:∵四边形ABCD是正方形,AE=DF=2, ∴AB=BC=CD=AD=8,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90 , ∴ ABE≌ DAF,∴BE=AF,∠ABE=∠DAF. ∵∠ABE+∠AEB=90 , ∴∠DAF+∠AEB=90 ,即∠AGE=90 , ∴AF⊥BE,∴ BFG是直角三角形. ∵DF=2,∴CF=CD-DF=8-2=6. 在Rt BCF中,BF===10, ∵点H是BF的中点,∴GH=BF=5,故答案为5 . 6.证明:(1)如图,过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N, 则∠MEN=90 . ∵E是正方形ABCD对角线上的点,∴EM=EN. ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90 , ∴∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90 , ∴∠DEN=∠FEM. 在 DEN和 FEM中, ∴ DEN≌ FEM(ASA),∴DE=FE. ∵四边形DEFG是矩形,∴矩形DEFG是正方形. (2)如图,连接EG, 由题意,知AD=DC,∠ADC=90 , 由(1)知,四边形DEFG是正方形, ∴DE=DG,∠EDG=90 , ∴∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90 , ∴∠ADE=∠CDG,∴ ADE≌ CDG, ∴AE=CG,∠DAE=∠DCG=45 . ∵∠ACD=45 ,∴∠ECG=45 +45 =90 , ∴AE2+CE2=CG2+EC2=EG2. 7.解:(1)将正方形ODEF绕点O逆时针旋转一定的角度,AD=CF成立,理由: ∵四边形ABCO和四边形ODEF都是正方形, ∴AO=CO, OD=OF, ∠AOC=∠DOF=90 , ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD,∴∠AOD=∠COF. 在 AOD和 COF中, ∴ AOD≌ COF(SAS). ∴AD=CF. (2)由(1)得CF=AD,连接DF交OE于点G,如图. ∵四边形ODEF是正方形,∴DF⊥OE,DG=OG. ∵正方形ODEF的边长为,∴OE=OD= =2. ∴DG=OG=1. ∵正方形ABCO的边长是3,∴AG=AO+OG=4. ∴AD===. ∴CF=AD=. 8.解:(1)∵四边形ABCD为正方形, ∴∠B=∠ADF=90 ,AB=AD. ∵把 ABE绕点A逆时针旋转90 至 ADG,可使AB与AD重合, ∴∠FDG=∠ADG+∠ADF=180 ,∴点F,D,G共线. ∵ ADG≌ ABE,∴∠DAG=∠BAE,AE=AG, ∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90 -45 =45 =∠EAF,即∠EAF=∠FAG, 在 AFG和 AFE中, ∴ AFG≌ AFE(SAS), ∴EF=FG=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF, 故答案为 AFE;EF=BE+DF. (2)DF=EF+BE,证明如下: 如图所示,∵AB=AD,∴把 ABE绕点A逆时针旋转90 至 ADG,可使AB与AD重合. ∵∠ADC=∠ABE=90 , ∴点C,D,G在一条直线上. ∵ AEB≌ AGD, ∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD. ∵∠BAG+∠GAD=90 , ∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90 . ∵∠EAF=45 , ∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90 -45 =45 , ∴∠EAF=∠GAF. 在 EAF和 GAF中, ∴ EAF≌ GAF(SAS),∴EF=FG. ∵FD=FG+DG,∴DF=EF+BE. 学科网(北京)股份有限公司 $$