第1章 勾股定理(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 贵州专版）

第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 1.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2,AC=3,则AB等于 A.1 B.3 C.4 D.5 2.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面积为( A.4 B.8 C.16 D.64 225 289 A (第2题图) (第3题图) 3.如图，点E在正方形ABCD的边AB上.若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面积为() A.5 B.3 C.4 D.2 4.如果直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长的平方为 5.在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)若a=5,b=12,求c; (2)若c=26,b=24,求a. 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm. (1)求BC的长； (2)求△ABC的面积. ·1 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 1.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的 国际数学大会选它作为会徽.下列图案是“赵爽弦图”的是 A B 2.赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注 时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦 图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中 朱 黄实，加差实，亦成弦实.”这种证明方法所体现的数学思想是( 色朱 弦 A.转化思想 六黄 黄实 实 实二十五朱 B.数形结合思想 黄 C.方程思想 D.函数思想 3.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5m,高为3m,计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至 少为 A.4m B.8 m C.9 m D.7 m 2 m e25m 3 m 1.5m (第3题图) (第4题图) 4.如图是一扇高为2m,宽为1.5m的长方形门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长 3m,宽2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的 木板是 号.（填序号） 5.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16 n mile/h的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏 东50°航行，)h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若B,C两岛相距17 n mile,问乙船的航速 是多少？ ·2· 2一定是直角三角形吗 1.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 ( A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.6,7,8 D.2,3,4 2.下列各组数是勾股数的是 A.3,4,5 B.1.5,2,2.5 C.32,42,52 D分号 3.已知α，b,c分别为△ABC的三条边，满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是( A.∠A+∠B=∠C B.a2-b2=c2 C.∠A:∠B:∠C=3:4:5 D.a=3,b=4,c=√7 4.若一个三角形的三边长之比为9：12：15，且周长为72cm,则它的面积为 cm2. 5.若三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a十b)2一c2,则此三角形的形状是 三角形 6.如图，以△ABC的三边为边长分别向外作正方形，它们的面积分别是S1,S2,S3.如果S1十S2= S3,那么△ABC的形状是 三角形. S B S,C (第6题图) (第7题图) 7.如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 8.如图是一个零件的示意图，测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠B=90°，根 据这些条件，求出∠ACD的度数. D B ·3 3勾股定理的应用 1.如图，湖的两端有A,B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130m,CB= 120m,则AB的长为 A.30m B.40m C.50m D.60m 2.智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本.某智能物流机器 人在仓库中需从货架点A出发，先向正东方向行驶12m到达点B,再向正北方向行驶5到 达点C.为优化路线，若机器人从点A沿直线方向直接行驶到点C,则线段AC的长为() A.7 m B.13m C.17m D.20m 12 3.如图，有一个圆柱，它的高为5cm,底面半径为二cm,在点A处的一只蚂蚁想吃到点B处的食 物，爬行的最短路程为 cm. R B E (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，AB=1.2m,BC=0.5m,AD=CE=0.2m,则加固小树的木棒DE的长是 m 5.如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B(∠C=90°)绕 过村庄间的大山，打通A,B间的隧道后，就可直接从A村到B村.已知AC=6k,BC= 8k,那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为 km. 6.如图，在一棵树(AD)的10m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池 塘(C),而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘.如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有 多高？ 1D B 10m 20m ·4…=∠F;结论：①AB∥CD:(2)(答案不唯一)选择条件：①AB∥CD;②∠B=∠C;结论： ③∠E=∠F.此命题是真命题.证明如下：AB∥CD,∠C=∠BAE.又∠B=∠C, ∠B=∠BAE,∴EC∥BF,∠E=∠F.4.解：(1)115°(2)EF平分∠DFP,理由如 下：DE平分∠MDF,∠EDF=30°，∠MDF=2∠EDF=60°.：MN∥PQ,∴∠MDF= ∠DFQ=60°.∠EFD=60°，∴∠EFP=180°-60-60°=60°，∠EFP=∠EFD,即EF 平分∠DFP:(3)延长EB交MN于点G.由题意，得∠DBE=60°，∠ABC=45°，∠DEG= 90°，∴.∠CBE=∠ABC+∠DBE=105°，∠CBG=180°-∠CBE=75°.MN∥PQ, .∠MGE+∠DEG=180°，∴.∠MGE=180°-∠DEG=90°，.∠BCG=180°-∠CBG- ∠MGE=180°-75°-90°=15°，即∠BCN=15°. 期末复习综合测试（一） 1.D2.B3.A4.B5.C6.A7.D8.B9.(-2,3)10.>11.412.√/74 13.解：原式=4÷厅-√合×12+2厅=4-万+26=4+6；14解：设AB的长为 xm,则BC的长为(x-2)m.:AC=14m,△ABC是直角三角形，∠C=90,.由勾股定 理，得AC2十BC=AB,∴.142十(x-2)2=x2,解得x=50.答：滑雪台的长度AB为50m 300a十300b=6300, 15.解：设租住了三人间客房a间，双人间客房b间.根据题意，得 解得 3a十2b=50. 1a=8, 答：租住了三人间客房8间，双人间客房13间.16.解：(1)·∠1十∠2=180°，∠2 b=13. =∠CFE,∠1=∠AEF,.∠AEF+∠CFE=180°，.AB∥CD;(2)由(1)知，AB∥CD, ∴∠BEF+∠EFD=l8O°.又：∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,∴∠PEF+∠PFE =(∠BEF+∠EFD)=9O,:∠EPF=9O,即EGLPF.+GH⊥EG.PF∥GH: (3)∠QPE=60°.[解析：GH⊥EG,∠PGH=90°.∠PHG=15°，.∠HPG=75. :∠HPQ=45°，∠QPE+∠HPQ+∠HPG=180°，∴∠QPE=60] 期末复习综合测试（二） 1.C2.B3.B4.D5.D6.A7.D8.C9.510.1411.112.913.解：2a -3的平方根为士3，.2a-3=9,.a=6.a十b-2的算术平方根为4，.a十b-2=16. “a=6,6+6-2=16,b=12a+吉6=6+号×12=8.：8的立方根是2，a+合6 的立方根是2.14.解：(1)300600(2)设直线OD的函数关系式为y=kx.将点(17， 340)代入y=kx,得340=17k,解得k=20..∴.直线OD的函数关系式为y=20x.设直线DE 的函数关系式为y=mx十n.将点(22,340)，(30,300)分别代入y=mx十n,得 22m十n=340, 1m=-5, 解得 ∴.直线DE的函数关系式为y=一5x十450.由 30m+n=300, n=450, 1y=20x, 解得/18， ∴.点D的坐标为(18,360)..y与x之间的函数关系式为y y=-5x+450, y=360. /20x(0≤x18), 15.解：(1)AG平分∠BAD,.∠BAG=∠DAG.∠BAG -5x+450(18x30). =∠BGA,∴.∠BGA=∠DAG,.AD∥BC,∴.∠B+∠BAD=180°.∠AEF=∠B, .∠AEF+∠BAD=180°，.AB∥EF;(2)由(1)，得∠BAG=∠BGA=∠DAG=a,AD∥ BC,.∠B=180°-∠BAE=180°-∠BAG-∠DAG=180°-2a.:∠AEF=∠B=180° 2a,∠GEF=B,∴.∠GEA=∠AEF-∠GEF=180°-2a-B.AD∥BC,∴.∠EGF=∠GEA =180°-2a-B,∴·∠AGE=180°-∠BGA-∠EGF=180°-a-(180°-2a-B)=a+B. 第46页（共54页） 随堂反馈答案 第一章勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 1.D 2.D 3.B 4.100或28 5.解：如图，4 $$\left( 1 \right) \because a = 5 ， b = 1 2 ， \therefore c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } =$$ c C B $$5 ^ { 2 } + 1 2 ^ { 2 } = 1 6 9 ， \therefore c = 1 3 ； \left( 2 \right) \because c = 2 6 ， b = 2 4 ， \therefore a ^ { 2 } = c ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 2 6 ^ { 2 } - 2 4 ^ { 2 } = 1 0 0 ， a = 1 0$$ 6.解： (1) )在R tt△ABC 中，由勾股定理，得 $$B C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } - A C ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } = 1 6 ， \therefore B C = 4 c m ，$$ $$\left( 2 \right) S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } A C \cdot B C = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 = 6 \left( c m ^ { 2 } \right) .$$ 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 1.B 2.B 3.D 4.③5.解：由题意，得 $$\angle B A C = 9 0 ^ { \circ } .$$ .在 Rt△ABC 中， $$， A C = \frac { 1 } { 2 } \times 1 6 =$$ 8(n⋅iiiee)，BC=17nmin ，由勾股定理，得 $$A B ^ { 2 } = B C ^ { 2 } - A C ^ { 2 } = 1 7 ^ { 2 } - 8 ^ { 2 } = 2 2 5 ， \therefore A B =$$ 15nmile.∴乙船的航速为 $$1 5 \div \frac { 1 } { 2 } = 3 0 \left( n m i l e / h \right) .$$ 2 一定是直角三角形吗 1.B 2.A 3.C 4.216 5.直角6.直角 $$7 . 4 5 ^ { \circ } 8 .$$ .解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， 得 $$A C ' = A B ^ { 2 } + B C ' = 4 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = 2 5 ， \therefore A C = 5 c m ， \because A C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = 5 ^ { 2 } + 1 2 ^ { 2 } = 2 5 + 1 4 4 = 1 6 9$$ $$A D ^ { 2 } = 1 3 ^ { 2 } = 1 6 9 ，$$ ，即 $$A C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } = A D ^ { 2 } ， \therefore \triangle A C D$$ 是直角三角形， $$， \angle A C D = 9 0 ^ { \circ } .$$ 3 勾股定理的应用 1.C 2.B 3.13 4.1.7 5.4 6.解：由题意知 AB=10m，AC=20m. .设 BD=xm， ，则树 高 AD=(10+x)m. 由题意知 BD+CD=AB+AC，∴x+CD=10+20，∴CD=(30-x)m 在 Rt△ACD 中 $$， \angle A = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，由勾股定理，得 $$A C ^ { 2 } + A D ^ { 2 } = C D ^ { 2 } ，$$ ，即 $$2 0 ^ { 2 } + \left( 1 0 + x \right) ^ { 2 } = \left( 3 0 -$$ $$x \right) ^ { 2 } ，$$ ，解得 x=5.∴AD=10+5=15(m). .答：这棵树有15 m高. 第二章实数 1 认识实数 第1课时无理数的产生 1.D 2.B 3.B 4.2 2.2 2.3 5.10 6.解： ∵ 在 Rt△ABC 中， $$\angle C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，点 A，B，C 所 对的边长分别为 a，b，c，(1) 根据勾股定理，得 $$c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 6 0 ^ { 2 } + 8 0 ^ { 2 } = 1 0 0 0 0 ， \therefore c = 1 0 0 ，$$ 是有理数；(2)根据勾股定理，得 $$b ^ { 2 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = 1 2 ^ { 2 } - 1 1 ^ { 2 } = 2 3 ， \therefore b = \sqrt { 2 3 } ， b$$ 不是有理数. 第2课时实数 $$1 . C \quad 2 . D \quad 3 . \pi \quad 7 - 3 . 1 4 \frac { 1 } { \pi }$$ $$\frac { 1 } { \pi } 4 . 2 4 5 . \textcircled 1 - \frac { 1 } { 2 } \textcircled 2 \frac { 1 } { 2 }$$ $$\textcircled 3 1 \textcircled 5 - 1 \textcircled 6 - \sqrt 2$$ (答案 不唯一)6.解：(1)如图； B ... AC，AD 的长是无理数.理由如下： $$\because A B ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } +$$ C D A $$4 ^ { 2 } = 2 5 = 5 ^ { 2 } ， A C ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } = 1 0 ， A D ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 1 3 ，$$ ，没有任何一个有理数的平方为10或13， ∴AC，AD 的长是无理数； (2) 如图， ，△BCD 是等腰三角形.理由如下 $$\because B C ^ { 2 } = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 5$$ $$C D ^ { 2 } = 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 5 ， B D = 2 ， \therefore B C = C D ， \therefore \triangle B C D$$ 是等腰三角形； $$\left( 3 \right) \because A C ^ { 2 } = 1 0 ， 3 ^ { 2 } < 1 0 <$$ $$4 ^ { 2 } ，$$ ∴ 线段 AC 的长介于3和4之间. 2 平方根与立方根 第1课时算术平方根 1.A 2.D 3.9 3 4.解： $$\left( 1 \right) \because 1 2 ^ { 2 } = 1 4 4 ， \therefore 1 4 4$$ 的算术平方根是 12 ，即√1 =12； $$\left( 2 \right) \because \left( \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 6 } { 2 5 } ， \therefore \frac { 1 6 } { 2 5 }$$ 的算术平方根是 $$\frac { 4 } { 5 } ，$$ $$\sqrt { \frac { 1 6 } { 2 5 } } = \frac { 4 } { 5 } ； \left( 3 \right) \because \left( 0 . 3 \right) ^ { 2 } = 0 . 0 9 ， \therefore 0 . 0 9$$ 的 第47页(共54页) 算术平方根是0.3，即√0.09=0.3.5.解：(1)原式=3十5=8；(2)原式=2×6=12：(3)原 式=7×号=2：0原式=1×6-3十x-2=x+1. 第2课时平方根 1.A2.43.解：(1)（士20）2=400，.400的平方根是士20，即士√400=士20： (2):(士0.9)=0.810.81的平方根是士0.9，即士V0.8T=士0.9：(3)：（±石） 号：号的平方根是±名，即士√儒=士子：(4)：（士）=（号）、 (受)的平方根是士受即士V(-受)=士是4解：)x=士10：(2)x=2,x 士2，(3)2x2=8,x=16,x=士4：(4)1-x=1,或1-x=-1,x=0,或x=2. 第3课时立方根 1.A2.D3.-3434.解：(1)：(0.6)3=0.216，.0.216的立方根是0.6，即/0.216= 0.6:(2):0=0,0的立方根是0，即6=0：(3)：-15号=-15，（号)=-15。 “-15号的立方根是-名，即√15=-号5.解：1原式=5：(2)原式=-0.8： (8原式=√图=子6解：-1=8=4：(2(+10=高+1==-是 (3)x=27.=3 8x=2 第4课时估算与用计算器开方 1.C2.C3.54.√5-25.解：(1)√83≈9.110：(2)-√3.28≈-1.811： (3)√32.106≈5.666,6.解：这个足球场能用作国际比赛.理由如下：设足球场的宽为 xm,则足球场的长为1.5xm.由题意，得1.5x2=7560,.x2=5040.,x>0,x= √5040.又：702=4900,712=5041，∴.70<√5040<71，.70<x<71,.105< 1.5x<106.5.∴.这个足球场的长和宽都符合要求.∴.这个足球场能用作国际比赛。 3二次根式 第1课时二次根式的乘除法 1.C2.A3.A4.245.解：1)原式=5，(2)原式=66：(3)原式=√25=6 /11 (4)原式=爱=：(6)原式=√18×号×号=瓜=4：(6)原式=(2-(3=12 24 -45=-33. 第2课时二次根式的化简及加减法 1.B2.D3.解：(1)原式=√4×√225=2×15=30：(2)原式=√/100×√3=10√3；(3)原 亮品原式-V僵-震号4屏原式-3+4-7：2原 √7 式=25-5-5：(3)原式=25+号-2-1+号：4原式=8厅-4同×5 23 3 -√3×3=-3. 第3课时二次根式的混合运算 1.D2.6√53.√2y+y√反4.-7-355.解：(1)原式=√14-2：(2)原式= 2+6:3)原式-6-5+×后×E5-5+而×后万-1-5-1： (4)原式=43-√2-√十√2=3√3；(5)原式=1-5+5+1-2√5=2-2√5；(6)原式= 3 第48页（共54页）