第2章 专题3 利用隐圆巧解几何题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

G B 专题3利用隐圆巧解几何题 1.B解析：由题意得，A、B、C、D四点在同一个圆上，作⊙O 如图所示，.四边形ABCD为⊙O的内接四边形，.∠ABC十 ∠ADC=180°.∠ABC=40°，∴.∠ADC=140° (第1题) (第2题) 2.2解析：D是BC的中点，BC=6,CD=DB=合BC 3.由翻折的性质知，DF=DB=3,点F在以点D为圆心、 3为半径的⊙D上，如图，连接AD,则当点F在AD上时，AF 的长最小，此时AF=AD-DF.:AD=√AC+CD= √+32=5，∴AF的最小值为5-3=2.3.75y2-2 2 解析：M是AB的中点，∴BM=号AB=2.如图，过点B作 BF⊥AC,垂足为F.△ABC为锐角三角形，∴.点F在线段AC 上.在Rt△BCF中，∠ACB=45°，.BF=CF,由勾股定理得 BF+CF=BC,BF=CF-号BC-,以点B为圆心 BF的长为半径画圆交AB于点G,当BP与AC垂直，且P1在 线段AB上时，MP1最小，BP1的最小值为BG,此时MP1的最 小值为BR,一BM=BG-BM=5y-2,以点B为圆心BC 2 的长为半径画圆交AB的延长线于点H,当P在线段AB的 延长线上，即在点H的位置时，MP最大，此时MP的最大 值为BM+BH=2十5=7.综上所述，线段MP1的最大值为 7,最小值为52-2. 2 1 B D (第3题) (第4题) 4.√5-1解析：由题意，得DF=CE.:四边形ABCD为正方 形，∴.CD=CB=AB,∠DCB=∠ABC=90°，'.CD-DF=CB AB-BC, CE,即CF=BE.在△ABE和△BCF中， /ABE=∠BCF, BE-CF. .△ABE≌△BCF(SAS),∴.∠BAE=∠CBF.·∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠CBF=90°，∴∠BAE+∠ABP=90°，∴.∠APB= 课时提优计划作业本·数 ·1 90°，.点P在以AB为直径的圆上.如图，取AB的中点O,连接 OP,OC在Rt△OBC中，OC=√OB+BC2=√JI2+22=√5」 CP≥OC-OP(当且仅当O、P、C三点共线时取等号)，∴.CP 的最小值为OC-OP=√5-1.5.4√2+4解析：如图，以 BC为一条弦作⊙O,过点A作AD⊥BC于点D,连接OB、 OC.当AD经过圆心O时，△ABC面积最大.，'∠BAC=45° ∠B0C-=90.BC-4,∴.QA=OB=0C=2/2,0D-号BC- 2,AD=0A+0D=22+2∴Sx=2BC·AD=2×4X (2√2+2)=4√2+4. O B D (第5题) (第6题) 6.2√2解析：如图，画△ABP的外接圆⊙O,连接OA、OB、 OP、OC.:△ABC是等边三角形，.∠ABD=∠BCE=60°， AB=BC=AC.又.'CD=AE,∴.BC-CD=AC-AE,即BD= (AB=BC, CE.在△ABD和△BCE中，∠ABD=∠BCE,,∴.△ABD≌ BD-CE. △BCE(SAS),.∠BAD=∠CBE.,∠BPD=∠ABE+ ∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，∴.∠APB=120°， ∴.点P的运动轨迹是劣弧AB,∠AOB=120°.：OA=OB, AC=BC,OC=OC,.△AOC≌△BOC(SSS),.∠OAC= ∠OBC,∠ACO=∠B0O=30°.，∠AOB+∠ACB=180°， ∴.∠OAC+∠OBC=180°，∴.∠QAC=∠OBC=90°.在Rt△OBC中， BC=2√6，由勾股定理得OB2+BC=OC=(2OB)2,解得 OB=2√2（负值舍去），∴.OC=4√2.当O、P、C三点共线时， CP取得最小值，最小值为CP=OC-OP=OC-OB=4√2 2√/2=2√2.7.存在.如图，构造等边三角形ABE,作△ABE 的外接圆⊙O,过点C作AB的平行线交⊙O于点M和M1, 则∠AMB=∠AMB=∠AEB=6O°.·MM∥AB,.SAAMB= S△M,B=S△ABc.分别作点M、M关于AB的对称点M2、M, 则点M、M也满足要求.故符合题意的点有4个，它们分别 是点M、M、M2、M. 543-2 Mi- (第7题) (第8题) 8.如图，先以AB为斜边作等腰直角三角形PAB,再以点P 为圆心、PA的长为半径作⊙P交y轴于点C,作PD⊥y轴于 点D,易得点P(1,2),PA=2√2，∴.PC=2√2，PD=1,OD=2, ∴.CD=√PC-PD=√(22)2-12=√7，∴.OC=OD+CD= 2+√7，点C(0,2+√7).同理可得点C(0,一2-√7)也满足条件 综上所述，满足条件的点C的坐标为(0,2十√7)或(0，一2一√7). 9.D解析：如图，连接AC交BD于点O,连接EO、AG.,四 学·九年级上册(SK版) 边形ABCD是菱形，∴.∠AOB=90°.EG是AP的垂直平分 线，∴.AE=PE,∠AEG=∠PEG=90°，.∴.AG=PG,∴.∠APG= ∠PAG,A、E,G、O四点共圆，∴.∠EOB=∠PAG=∠APG.又 ,四边形ABCD是菱形，.OA=OC,.OE∥BC,∠EOB= ∠DBC=∠ABC,·∠APG=号∠ABC.:菱形ABCD固 定，.∠ABC的度数不变，.∠APG的度数不变 A 0 (第9题) (第10题) 10.5解析：如图，取EF的中点D,连接OB.,∠EOF= 90°，∠ABC=90°，∴.O、E、B、F四点在以EF为直径的⊙D 上.OB≤EF,∴.当且仅当OB为⊙D的直径时，OB=EF :∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10.,O为AC的中点， ∴.OB=5,.当OB为⊙D的直径时，EF最小，最小值为5. 11.∠ABE=∠APE=90°，∴.A、B、E、P四点在以AE为直 径的圆上，∴.∠BPE=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°= 30°.如图，过点E作EG⊥BP于点G,则可设BG=EG=a, .PE=2EG=2a,∴.PG=√J3a,∴.PB=PG+BG=(3+1)a, 器法迦 2a 2 周练（五） 1.A解析：，AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°.，∠ADC 40°，.∠BDC=∠ADB-∠ADC=90°-40°=50°，∴.∠BAC= ∠BDC=50°，∴.∠C=∠BPC-∠BAC=70°-50°=20° 2.B3.B解析：连接OB.,弦AB与直径CD交于点E, 且D是AB的中点，∴.AB⊥CD,∠OEB=90°.：∠BAD 30°，∴∠BCD=∠BAD=30°，∴.∠EBC=90°-∠C=90° 30°=60°..OC=OB,.∠OBC=∠BCD=30°，∴.∠OBE= ∠EBC-∠OBC=60°-30°=30°.，⊙0的半径为3，∴.OE 号OB=号×3=号∴DE=0D-0E=3-是-号.4B 解析：，∠P=70°，∠P所对弧所对的圆心角度数是140° :360°÷140°=2号，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的 摄像头3个.5.50或130°解析：如图，当点B在点B位 置时，∠ABC=号∠A0C=号×10=50，：∠ABC+ ∠ABC=180°，.∠ABC=180°-∠AB'C=180°-50°=130°. 综上所述，∠ABC的度数为50°或130°. B (第5题) (第6题) 课时提优计划作业本·参 ·1 6.4√3解析：如图，作直径AD,连接BD,∴∠ABD=90°， 由圆周角定理得，∠D=∠ACB=60°，∴.∠DAB=30°，.DB= 合AD=2×8=4AB=VAD-D丽=V8-=4W3 7.45°解析：连接OM:AB是直径，AC=2BC,∠BOC= 号×180=60：M为BC的中点，即CM=4∴∠00M= ∠M0B=30.OM=0B,∠0BM-=∠OMB-号×(18o- 30)=75°.，OC∥MN,∴.∠MNB=∠COB=60°，∴.∠BMN= 180°-∠BNM-∠OBM=180°-60°-75°=45°. A D (第7题) (第8题) 8.130°解析：如图，连接BF、DF.∠A十∠E=230°， .BDF的度数十DAF的度数=460°，.BD的度数=460° 360°=100°，∴∠BFD=50°，.∠C=180°-∠BFD=180° 50°=130°.9.（-1，w3)解析：如图，连接AB,过点C作 CELA0于点E,作CFLOB于点P,OE=AE=号A0, BF=FO=号BO.:∠AOB=90,∴AB是直径.：点B的坐 标为(0,23)，∴.B0=23.AO=AO,.∠ABO=∠ADO 30,A0=2,E0=号A0=1,F0=2B0=5.点C在 第二象限，∴.点C的坐标为(-1W3). (第9题) (第10题) 10.√5+1解析：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点 M的轨迹是以OA为直径的⊙O,当点M在CO'的延长线上 时CM长的值最大.根据题意，得OA=OB=OC=2,OO= 含0A=1-0M,在R△00c中，0c=2,00=10C= √/22+1=√5，∴.CM=C0+0M=√5+1.11.(1)证明： .DB平分∠ADC,∴.∠ADB=∠CDB,∴.AB=BC.:OCL BD,∴BC=CD,.AB=CD,AB=CD.(2)如图，连接 OB,OC与BD交于点E.OC⊥BD,∴BE=DE=7BD= 号×8=4，∴CE=CD-DE=V尽-平-3设o0的半 径为r,∴.OE=r-3.在Rt△OBE中，OB2=OE十BE,即 产=+（一3，解得=罗⊙0的半径是票 6 学·九年级上册(SK版) 9一、课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))》》 专题3利用隐圆巧解几何题 目/类型一/共端点的几条线段长相等 1.如图，O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度 数为 ) A.130° B.140° C.150° D.160° (第1题) (第2题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6,D是BC的中点，E是边AB上的一个 动点，把△BDE沿直线DE翻折，得到△FDE,连接AF,则AF的最小值为 3.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,BC=5,∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向 旋转，得到△A1BC.M为线段AB的中点，P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆 时针方向旋转的过程中，点P的对应点是P1,则线段MP1长的最大值为 ,最小 值为 目/类型二/定角对定弦构造圆 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F、E分别以相同的速度从D、C两点同时出发向 点C和点B运动（任何一个点到达即停止），AE、BF交于点P,连接CP.在运动过程中，线 段CP的最小值为 (第4题) (第6题) 5.在△ABC中，∠BAC=45°，BC=4,则△ABC面积的最大值是 6.如图，已知等边三角形ABC的边长为2√6，D、E分别为BC、AC上的动点，且AE=CD,连 接BE、AD交于点P,连接CP,则CP的最小值是 64》 第2章对称图形—圆 7.如图，在△ABC中，∠C=120°，在△ABC所在的平面上是否存在点M,使△ABM的面积等 于△ABC的面积，且∠AMB=60°？若存在，画出该点的位置；若不存在，请说明理由. 8.在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)、B(一1,0)，C是y轴上的一个动点，当∠BCA 45时，求点C的坐标. 目/类型三/对角互补的四边形的四个顶点共圆 9.如图，在菱形ABCD中，P是边BC上的一个动点（点P和，点C不重合），连接AP,AP的垂 直平分线交BD于点G,交AP于点E.在点P从点B到点C的运动过程中，∠APG的大小 变化情况是 () A.变大 B.先变大后变小C.先变小后变大 D.不变 G (第9题) (第10题) 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,O为AC的中点，过点O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于点E、F,则EF的最小值为 11.如图，在正方形ABCD中，AC、BD是对角线，P为对角线BD上的一点，连接AP,作PE⊥ AP交BC于点E.若∠CAE=15°，求的值 《65