圆--隐圆和动圆 期末复习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

圆--隐圆和动圆 期末复习 2025-2026学年苏科版九年级上 一．定点定长 1．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝　 　 °﹒ 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为 　 　 ． 3．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CAD＝20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝（　　） A．150° B．160° C．130° D．60° 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　 　 ；DP的最大值为 　 　 ． 二．四点共圆 6．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝50°，∠DBC＝30°，则∠BAD＝　 　 °． 7．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB的中点，E是AC上一动点，过点D作DF垂直于DE交BC于点F，连接EF，则EF的最小值是 　 　 ． 三．定线定角 8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 　 　 ． 9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 　 　 ． 10．已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6． （1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离； （3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值． 四．定角定高 11．问题提出： （1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝4，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值； 问题解决： （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 五．最大张角 12．问题探究， （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由； （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由； 问题解决 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 6. 函数与动圆 13．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，已知B（0，），∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（1，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的P′的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　 　 时，⊙P与坐标轴相切． 15．已知以（0，4）为圆心的⊙M与直线l：y＝﹣x相切，从相切处开始，⊙M以每秒1个单位的速度沿y轴某一方向匀速运动． （1）⊙M的半径是　 　 ． （2）若⊙M在运动过程中截直线l所得的弦长为，求⊙M的运动时间． （3）若直线l同时以每秒个单位的速度沿x轴正方向运动，求⊙M与直线l再次相切时圆心的坐标． 7． 三角形 四边形与动圆 16．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　） A． B． C． D．πr2 17．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 　 　 （单位：秒） 18．在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动（P可以与点B重合），同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动（点Q可以与点C重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）如图1，几秒后，PQ的长度等于3cm？ （2）如图1，几秒后，△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的？ （3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．如图2，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值范围为 　 　 ．（直接写出结果，不需说明理由） 参考答案与试题解析 1．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝　150　 °﹒ 【解答】解：∵AB∥ED， ∴∠E＝180°﹣∠EAB＝180°﹣120°＝60°， ∵AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠EAD＝60°， ∴∠BAD＝∠EAB﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∵AB＝AC＝AD， ∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC， 在四边形ABCD中，∠BCD＝（360°﹣∠BAD）＝（360°﹣60°）＝150°． 故答案为：150． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为 　π　 ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3， ∴AC＝3， ∵将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置， ∴CB＝CD，∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD＝∠ACE＝60°， ∴点A的运动路径的长为＝π， 故答案为：π． 3．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CAD＝20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【解答】解：∵AC＝AD，∠CAD＝20°， ∴∠ACD＝∠ADC＝80°， 设∠ACB＝β，∠CBD＝α， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝β， ∴∠ABD＝β﹣α， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝β﹣α， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝80°﹣（β﹣α）， 在△BCD中，∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°， ∴α+80°﹣（β﹣α）+β+80°＝180°， ∴α＝10°， 即：∠CBD＝10°， 故选：A． 4．如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠DCB＝（　　） A．150° B．160° C．130° D．60° 【解答】解：∵AB∥ED， ∴∠E＝180°﹣∠EAB＝180°﹣120°＝60°， ∵AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠EAD＝60°， ∴∠BAD＝∠EAB﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∵AB＝AC＝AD， ∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC， 在四边形ABCD中，∠BCD＝（360°﹣∠BAD）＝（360°﹣60°）＝150°． 故选：A． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　10　 ；DP的最大值为 　2　 ． 【解答】解：△CDP的面积为 ； 由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD的一半，∴△CDP的面积为 ； 在Rt△APD中，PD＝， 当AP最大时，DP最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M三点共线，此时点P和M重合，DP的值最大，如图； 设AP＝x，则PB＝5﹣x，DN＝4， ∴CN＝3， 在Rt△PBC中，根据勾股定理有：（5﹣x）2+42＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴DP＝2， 故答案为：10，2． 6．如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝50°，∠DBC＝30°，则∠BAD＝　80　 °． 【解答】解：∵四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝50°， ∴点A，B，C，D共圆， ∴∠DAC＝∠DBC＝30°， ∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝50°+30°＝80°． 故答案为：80． 7．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB的中点，E是AC上一动点，过点D作DF垂直于DE交BC于点F，连接EF，则EF的最小值是 　2　 ． 【解答】解：连接CD， ∵AC＝BC＝4，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，AD＝BD，∠A＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝AB，∠DCF＝∠DCA＝∠ACB＝45°， ∴∠CDF＝∠A， ∵DF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠CDF＝∠ADE＝90°﹣∠CDE， 在△CDF和△ADE中， ， ∴△CDF≌△ADE（ASA）， ∴DF＝DE， ∴EF＝＝＝DE， ∴当DE⊥AC时，DE的值最小，此时EF的值最小， ∵CD＝AD，∠ADC＝90°，DE⊥AC， ∴DE＝AE＝AC＝2， ∴EF＝×2＝2， 故答案为：2． 8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 　π　 ． 【解答】解：如图，设AB的中点为O，连接OP，OC，OM， ∵OP＝OC，CM＝PM， ∴OM⊥PC， ∴∠CMO＝90°， ∴点M的运动轨迹是以OC为直径的⊙T， 设⊙T交AC于点E，交BC于点F，连接EF则EF是直径， ∴点M的运动轨迹在以OC为直径的⊙T上（即上）， ∵AC＝CB＝1，∠ACB＝90°， ∴AB＝＝＝， ∵OA＝OB， ∴OC＝AB＝， ∴点M的运动轨迹的长＝×2π×＝π， 故答案为：π． 9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 　　 ． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2， ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC+∠ACP＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴点P的运动轨迹是， 当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示： 此时PA＝PC，OB⊥AC， 则AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°， ∴PD＝AD•tan30°＝AD＝，BD＝AD＝， ∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝． 故答案为：． 10．已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6． （1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论； （2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离； （3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值． 【解答】解：（1）OD＝OD′，理由如下： 在Rt△AOB中，点D是AB的中点， ∴OD＝， 同理可得：OD′＝， ∵AB＝A′B′， ∴OD＝OD′； （2）如图1， 作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′，交AB于D， 当O运动到O′时，OC最大， 此时△AOB是等边三角形， ∴BO′＝AB＝6， OC最大＝CO′＝CD+DO′＝+BO′＝3+3； （3）如图2， 作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I， ∴AI＝＝3，∠AOB＝， 则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O， 此时△AOB的面积最大，此时OA＝OB， ∵OC＝CI+OI＝AB+3＝3+3， ∴S△AOB最大＝＝9+9， ∴当OA＝OB时，△AOB的最大面积是9+9． 11．问题提出： （1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝4，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值； 问题解决： （3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，如图①所示： 则∠ACB＝90°， ∴Rt△ACB即为所求； （2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示： 则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°， 设 OA＝OB＝OC＝r， 则OE＝r，BC＝2BE＝r， ∵AO+OE≥AD，AD＝4， ∴r+r≥4， 解得：r≥， ∴BC＝r≥， ∴BC最小值为 ∵S△ABC＝BC•AD， ∴△ABC面积的最小值为：××4＝； （3）四边形AECF的面积存在最大值，理由如下： 分别延长AB、DC交于点M，如图③所示： 则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形， ∵CB＝CD＝6m， ∴BM＝6m，CM＝12m，AD＝DM＝（12+6）m， ∴S四边形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（12+6）2﹣×（6）2＝（72+72）m2， ∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°， ∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线， ∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F， ∵S四边形ABCD为定值， ∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值， ∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°， ∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆， 设△CE′F的外接圆半径为rm，则E′F＝rm， 又∵OC+OD≥CD， ∴r+r≥6， ∴r≥12﹣12， 当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F＝r＝（24﹣12）m， ∴S△CE′F最小＝×（24﹣12）×6＝（72﹣72）（m2）， ∴S四边形AECF最大＝S四边形ABCD﹣S△CE′F最小＝72+72﹣（72﹣72）＝144（m2）． 12．问题探究， （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由； （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由； 问题解决 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图①中，结论：∠APB＞∠ADB． 理由：作PH⊥AB于H． ∵四边形ABCD是矩形，PH⊥AB， ∴∠ADP＝∠DAH＝∠AHP＝90°， ∴四边形ADPH是矩形， ∵AB＝CD＝2AD，DP＝PC， ∴DA＝DP， ∴四边形ADPH是正方形， ∴∠APH＝45°，同理可证∠BPH＝45°， ∴∠APB＝90°， ∵∠ADB＜90°， ∴∠APB＞∠ADB． （2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下： 假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P， 在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF， ∵∠AFB是△EFB的外角， ∴∠AFB＞∠AEB， ∵∠AFB＝∠APB， ∴∠APB＞∠AEB， 故点P位于CD的中点时，∠APB最大． （3）如图③中，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大， 作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r， ∵TA＝TB，TH⊥AB， ∴AH＝HB＝100（m）， ∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝（400+100）（m）， ∴QH＝OH＝（400+300）（m），∠OQH＝30°， ∴TQ＝2PT＝2r， ∵TH＝＝， ∴2r+＝400+300， 整理得：3r2﹣（1600+1200）r+600000+240000＝0， ∴（r﹣200）（3r﹣1000﹣1200）＝0， ∴r＝200或（1000+1200）（舍弃）， ∴AT＝200m， ∴AT＝2AH， ∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°， ∴∠APB＝∠ATB＝30°， ∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200﹣600＝（200+200）（m）． 13．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，已知B（0，），∠BAO＝30°，圆心P的坐标为（1，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的P′的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，作⊙P′与⊙P″切AB于D、E． ∵B（0，），∠BAO＝30°， ∴OA＝OBcot30°＝3．则A点坐标为（﹣3，0）； 连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB， 则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2， 同理可得，AP″＝2， 则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5， ∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1， ∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）． 故选：B． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的⊙P的圆心P从点A（8，m）（点A在直线y＝x﹣4上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝　2或6或10　 时，⊙P与坐标轴相切． 【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D， ∵直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（8，m）， ∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，x＝8时，y＝4， ∴A（8，4），B（4，0），C（0，﹣4）， ∴AB＝4，AC＝8，OB＝OC＝4， ∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°， ①当⊙P与x轴相切时， ∵点D是切点，⊙P的半径是2， ∴PD⊥x轴，PD＝2， ∴△BDP是等腰直角三角形， ∴BD＝PD＝2，PB＝2， ∴AP＝AB﹣PB＝2， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ∴t＝2； ②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时， ∵PB＝2， ∴AP＝AB+PB＝6， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ∴t＝6； ③当点P只与y轴相切时， ∵PC＝2， ∴AP＝AC+PC＝10， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ∴t＝10． 综上所述，则当t＝2或6或10秒时，⊙P与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 15．已知以（0，4）为圆心的⊙M与直线l：y＝﹣x相切，从相切处开始，⊙M以每秒1个单位的速度沿y轴某一方向匀速运动． （1）⊙M的半径是　2　 ． （2）若⊙M在运动过程中截直线l所得的弦长为，求⊙M的运动时间． （3）若直线l同时以每秒个单位的速度沿x轴正方向运动，求⊙M与直线l再次相切时圆心的坐标． 【解答】解：（1）如图1中，设⊙M与直线y＝﹣x相切于点C，设C（m，﹣m），作CH⊥y轴于H． ∵tan∠COH＝＝， ∴∠COH＝30°， 在Rt△COM中，∠MCO＝90°，OM＝4， ∴CM＝OM＝2， 故答案为2． （2）如图2中，设⊙M与直线y＝﹣x交于点A、B．作MC⊥AB于C，连接BM． ∵CM⊥AB， ∴AC＝CB＝， 在Rt△BCM中，CM＝＝， 在Rt△COM中，∵∠COM＝30°，OM＝2CM＝， ∴点M的运动距离＝4﹣＝， ∴t＝s． 根据对称性当M′（﹣，0）时，也满足条件， ∴点M的运动距离＝4+＝， ∴t＝s． 综上所述，⊙M在运动过程中截直线l所得的弦长为，所以⊙M的运动时间为s或s． （3）如图3中，①当⊙M向下平移时，⊙M与直线的切点为C，作ME∥直线l，作ED⊥直线l于D．则四边形MCDE是矩形， 易知CM＝ED＝2，在Rt△ADE中，AE＝， 在Rt△OME中，OM＝4﹣t，OE＝（4﹣t）， ∵OA＝t， ∴t＝（4﹣t）+， 解得t＝2， ∴M（0，2）． ②当⊙M向上平移时，同法可得t＝（4+t）+， 解得t＝4， ∴M（0，8）． 综上所述，满足条件的点M坐标为（0，2）或（0，8）． 16．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　） A． B． C． D．πr2 【解答】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时， 过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E， 连接AO1，则Rt△ADO1中，∠O1AD＝30°，O1D＝r，． ∴．由． ∵由题意，∠DO1E＝120°，得， ∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为＝． 故选：C． 17．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 t＝2或3≤t≤7或t＝8　 （单位：秒） 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝AM+MB＝4cm，∠A＝∠C＝∠B＝60°， ∵QN∥AC，AM＝BM． ∴N为BC中点， ∴MN＝AC＝2cm，∠BMN＝∠BNM＝∠C＝∠A＝60°， 分为三种情况： ①如图1， 当⊙P切AB于M′时，连接PM′， 则PM′＝cm，∠PM′M＝90°， ∵∠PMM′＝∠BMN＝60°， ∴M′M＝1cm，PM＝2MM′＝2cm， ∴QP＝4cm﹣2cm＝2cm， 即t＝2； ②如图2， 当⊙P于AC切于A点时，连接PA， 则∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝cm， ∴PM＝1cm， ∴QP＝4cm﹣1cm＝3cm， 即t＝3， 当⊙P于AC切于C点时，连接P′C， 则∠CP′N＝∠ACP′＝90°，∠P′NC＝∠BNM＝60°，CP′＝cm， ∴P′N＝1cm， ∴QP＝4cm+2cm+1cm＝7cm， 即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切； ③如图3， 当⊙P切BC于N′时，连接PN′ 则PN′＝cm，∠PN′N＝90°， ∵∠PNN′＝∠BNM＝60°， ∴N′N＝1cm，PN＝2NN′＝2cm， ∴QP＝4cm+2cm+2cm＝8cm， 即t＝8； 故答案为：t＝2或3≤t≤7或t＝8． 18．在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动（P可以与点B重合），同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动（点Q可以与点C重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）如图1，几秒后，PQ的长度等于3cm？ （2）如图1，几秒后，△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的？ （3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．如图2，若⊙Q与四边形CDPQ的边有三个公共点，则t的取值范围为 　0＜t＜﹣5　 ．（直接写出结果，不需说明理由） 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由题意知，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（3﹣t）cm， ∴PQ＝＝＝3， 解得t＝或t＝0， 故秒后，PQ的长度等于3cm； （2）∵四边形ABCD是矩形，AB＝3cm，BC＝4cm， ∴四边形ABCD的面积＝3×4＝12（cm）， ∵△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的， ∴＝， 解得t＝3或t＝0（不合题意舍去）， ∴3秒后，△BPQ的面积等于四边形ABCD面积的： （3）当t＝0时，如图2，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点； 如图3，当⊙Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，则QD＝PQ， 得方程（3﹣t）2+（2t）2＝9+（4﹣2t）2， 解得t＝﹣5﹣（舍）或t＝﹣5+． ∴当0＜t＜﹣5时，⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点． 故答案为：＜t＜﹣5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $