第21章 二次根式（知识清单）数学华东师大版九年级上册

第21章 二次根式 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如 的式子叫做 ，如等式子，都叫做二次根式. 特别说明：①二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. ②次根式：形如的代数式叫做 ，其中若为偶数，则必须满足 ． 2.二次根式的性质 特别说明：① 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. ②中的取值范围可以是 ，即不论取何值，一定有意义. ③化简时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. ④与的异同 不同点：中可以取 ，而中的必须取 ； = ，= （）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是 ； （2）被开方数中 . 满足上述两个条件的二次根式，叫做 .如等都是最简二次根式. 特别说明：最简二次根式有两个要求：①被开方数 ；②被开方数中每个因式的 . ✮化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用 进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们 ，然后把能 的因数或因式开出来。 4.同类二次根式 几个二次根式化成 后， ，这几个二次根式就叫 . 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的 化简公式： 二次根式的 化简公式： 特别说明： ①当二次根式的前面有 时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. ②被开方数a、b一定是 （在分母上时只能为正数）.如. （2）．乘法公式的推广： ①； ②； ③． （3）．二次根式的分母有理化 定义：在二次根式中，将无理数的 的过程． 方法：分子分母同时乘以 （有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）． ①单项根式的分母有理化，同乘以 ．例：． ②两项根式的分母有理化，同乘以 ．例：． 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别说明： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式 ，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 3.混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先 ，再 ，最后 ，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 ✮二次根式比较大小的方法 （1） 平方法：若两个二次根式同号，则可先将两个二次根式分别 ，再根据比较实数大小的方法比较即可。如当时，若，则。 （2） 比较被开方数法：先把 的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大。 （3） 作商法：同号两数 ，比较商与1的大小，如当都是正数时， ①. 若，则; ②. 若，则; ③. 若，则。 （4）倒数法：若，则与互为倒数。因此比较大小时，可把 转化为，从而转化为分母大小的比较，分母大的反而小。 ✮估值 估值通常在无理数中使用。一般采用 确定无理数所在的范围，具体地说，先确定无理数的被开方数，找出 的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在那两个整数之间。 4.二次根式的化简求值 （1）二次根式的化简求值，一定要 ． （2）二次根式运算的最后，注意 ，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【易错点一】混淆二次根式与算术平方根的概念 问题：误认为所有带根号的式子都是二次根式，或混淆与平方根的区别 例题1：下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： C（A中被开方数为负；B是立方根；D表示平方根含±）。 例题2：若的算术平方根是3，则______。 答案与解析： ，得出，注意算术平方根的非负性）。 【易错点二】忽略二次根式有意义的条件 问题：未考虑被开方数必须非负（），导致自变量取值错误 例题1：函数的自变量范围是（ ） A. B. 且 C. D. 答案与解析： B（需同时满足且分母）。 例题2：若在实数范围内有意义，则的最小整数值是______。 答案与解析： ，（由得出）。 【易错点三】二次根式化简时符号错误 问题：化简时未分类讨论，直接写成（正确应为） 例题1：化简的结果是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： B（）。 例题2：若，则______。 答案与解析： ，（，原式）。 【易错点四】二次根式运算中合并同类项错误 问题：误将不同类二次根式（如与）直接合并 例题1：计算的结果是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： B（，合并为）。 例题2：下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： C（，相减为；A、B、D均运算错误）。 【易错点五】分母有理化时漏乘或符号错误 问题：有理化时未对分子分母同乘共轭根式，或漏负号 例题1：分母有理化后为（ ） A. B. C. D. 答案与解析： B（分子、分母同乘，得）。 例题2：若，则______。 答案与解析： （有理化得，代入后原式）。 【易错点六】混合运算顺序错误 问题：忽略"先乘除后加减，有括号先算括号内"的规则 例题1：计算： 错误做法： 正确解析： 先算乘法：，再算加法：。 例题2：计算： 错误做法： 正确解析： 先算括号：，再算除法：，最后加法：。 【易错点七】比较大小方法不当 问题：未通过平方、倒数或作差法科学比较 例题1：比较与的大小。 错误做法：直接估算得错误结论。 正确解析： 取倒数：， ∵，∴。 例题2：比较与的大小。 解析： 平方：，，∵，∴。 【易错点八】求字母范围忽略隐含条件 问题：在复合根式中遗漏多个约束条件 例题1：代数式有意义的范围是______。 解析： 需同时满足：解得，解得，解得（在内自动满足）， ∴。 例题2：函数的取值范围是______。 解析： 需满足：解得，解得， ∴。 【易错点九】性质应用忽略条件 问题：错误应用或（忽略的条件） 例题1：化简。 错误做法：（无意义）。 正确解析： 直接计算：（性质要求被开方数非负）。 例题2：计算。 解析： ∵，∴（不可拆为）。 【易错点十】解方程时忽略检验 问题：解含根式方程时未检验增根或忽略自变量取值 例题1：解方程： 错误做法：平方后得或，未检验。 正确解析： 检验：时，左边，右边（舍）；时，左边，右边（成立）。 例题2：解方程： 解析： 移项平方得，检验：左边，右边（成立）。 【核心要点总结】 解决二次根式问题需紧扣三大核心： ①自变量取值优先 始终牢记被开方数必须 ≥ 0，这是二次根式存在的前提条件。 ②性质条件严审 应用公式时，必须检查公式成立的前提条件（如a≥0, b>0等）。 ③运算规范 严格遵守运算顺序，正确合并同类项，合理使用分母有理化。 通过例题对比强化易错点辨析，养成检验习惯，避免概念混淆与步骤跳步。 重难点01二次根式的定义 （1）二次根式的定义：形如的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 一．二次根式的定义 【典例1】下列式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： （1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝ ； （2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值 【典例3】已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ） A．0 B．6 C．3 D．2 2． 二次根式有意义的条件 【典例1】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2 【典例2】如果y＝，则2x+y的值是 ． 【典例3】使等式成立的条件时 ． 【典例4】已知实数x，y，a，b满足+＝×．求a+b的值及7x﹣y2023的值． 重难点02二次根式的性质与化简 【典例1】化简二次根式的结果为（ ） A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a 【典例2】若，则（ ） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 【典例3】已知≈1.414，则的近似值为 （结果保留小数点后两位）． 【典例4】化简： ， ． 【典例5】已知的算术平方根是，且,则的平方根是 . 【典例6】三边分别为、、，为斜边，则代数式的化简结果为 ． 重难点03最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： ①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式； ②被开方数中不含有能开方的因数或因式． 【典例1】下列各式中是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】化简成最简二次根式： ； ． 【典例3】二次根式中最简二次根式是 ． 【典例4】将式子化为最简二次根式 ． 重难点04二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法： （2）二次根式的除法： 【典例1】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【典例2】计算×的结果是 ． 【典例3】计算的结果正确的是　　 A．1 B．2.5 C．5 D．6 【典例4】已知，那么的值是 ． 【典例5】已知：，．求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣xy+y2． 重难点05商的算术平方根与分母有理化 （1）商的算术平方根的性质： （2）分母有理化： ，分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式。 【典例1】化简： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）÷． 【典例2】若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab． （1）求多项式M和N． （2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值． 【典例3】已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【典例4】下列二次根式中，与互为有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【典例5】阅读下列材料，然后解答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝：（一） ＝＝：（二） ＝＝＝：（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝＝＝＝．（四） 请解答下列问题： （1）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得＝ ； ②参照（四）式得＝ ＝ ＝ ； （2）化简：++；（保留过程） （3）猜想：+++…+的值．（直接写出结论） 【典例6】【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法． 如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路． 除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质＝|a|． 如：对于，设． 由，可知x＞0． 由，解得． 即． 【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简． 重难点06同类二次根式 同类二次根式的概念： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 【典例1】下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A．16 B．0 C．2 D．不确定 【典例3】若最简根式与是同类二次根式，则m＝ ． 重难点06二次根式的加减法 （1）二次根式的加减运算法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）具体步骤： ①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。 ②对二次根式进行化简。 ③合并同类二次根式。 【典例1】如果与的和等于3，那么a的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】）计算下列各题； (1) ； （2） 【典例3】计算：． 【典例4】计算：． 【典例5】计算： （1）3﹣5+4； （2）﹣； （3）+﹣； （4）﹣（3+）． 重难点07二次根式的混合运算 二次根式的混合运算法则： 同有理数的混合运算法则相同，先去乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。 【典例1】计算 （1）； （2）． 【典例2】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + ＝（ + ）2； （3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【典例3】计算： （1）； （2）； （3）． 重难点08二次根式的化简求值 （1）二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． （2）二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【典例1】已知，，求． 【典例2】先化简，再求值：a+，其中a＝2020． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1） 的解法是错误的； 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2． 【典例3】已知a＝，b＝．求： （1）a2b﹣ab2的值； （2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值． 【典例4】先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，； 由于，，即，， ． 由上述例题的方法化简： （1）． （2）． （3）． 【典例5】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． （1）已知：，求：①＝ ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； （2）代数式中x的取值范围是 ，最大值是 ，最小值是 ； （3）计算：． 【典例6】设，求不超过的最大整数 ． 重难点08二次根式的应用 【典例1】如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 【典例2】如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 【典例3】秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝，那么三角形的面积为：s＝． （1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积． （2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长． 【典例4】阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：． 类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【典例5】阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数a，b，由于，所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)比较大小： 2x（其中）， 2（其中），（填“≥”、“≤”或“＝”）； (2)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是 （填序号）； (3)已知：，求代数式的值； (4)当x为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 重难点09二次根式的估算 估值通常在无理数中使用。一般采用夹逼法确定无理数所在的范围，具体地说，先确定无理数的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在那两个整数之间。 【典例1】估计的运算结果应在（ ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【典例2】估计的值应在（　　） 【典例3】如何估算（为不是平方数的正整数），记（其中为小于的最大平方数），则推导的思路如下： ，按照以上推导思路请估算 ；（结果精确到百分位） 重难点10二次根式的大小比较 【典例1】比较和的大小（平方法） 【典例2】比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【典例3】已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例4】已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【典例5】设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【典例6】 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，， ，点在上，且，这样就可以得出与的大小关系． 请写出与的大小关系并结合图形通过计算说明理由． 8 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 特别说明：①二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. ②次根式：形如的代数式叫做次根式，其中若为偶数，则必须满足． 2.二次根式的性质 特别说明：① 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. ②中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. ③化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. ④与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 特别说明：最简二次根式有两个要求：①被开方数不含分母；②被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. ✮化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 特别说明： ①当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. ②被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. （2）．乘法公式的推广： ①； ②； ③． （3）．二次根式的分母有理化 定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程． 方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式）． ①单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例：． ②两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式．例：． 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别说明： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 3.混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 ✮二次根式比较大小的方法 （1） 平方法：若两个二次根式同号，则可先将两个二次根式分别平方，再根据比较实数大小的方法比较即可。如当时，若，则。 （2） 比较被开方数法：先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大。 （3） 作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当都是正数时， ①. 若，则; ②. 若，则; ③. 若，则。 （4）倒数法：若，则与互为倒数。因此比较大小时，可把 转化为，从而转化为分母大小的比较，分母大的反而小。 ✮估值 估值通常在无理数中使用。一般采用夹逼法确定无理数所在的范围，具体地说，先确定无理数的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在那两个整数之间。 4.二次根式的化简求值 （1）二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． （2）二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【易错点一】混淆二次根式与算术平方根的概念 问题：误认为所有带根号的式子都是二次根式，或混淆与平方根的区别 例题1：下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： C（A中被开方数为负；B是立方根；D表示平方根含±）。 例题2：若的算术平方根是3，则______。 答案与解析： ，得出，注意算术平方根的非负性）。 【易错点二】忽略二次根式有意义的条件 问题：未考虑被开方数必须非负（），导致自变量取值错误 例题1：函数的自变量范围是（ ） A. B. 且 C. D. 答案与解析： B（需同时满足且分母）。 例题2：若在实数范围内有意义，则的最小整数值是______。 答案与解析： ，（由得出）。 【易错点三】二次根式化简时符号错误 问题：化简时未分类讨论，直接写成（正确应为） 例题1：化简的结果是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： B（）。 例题2：若，则______。 答案与解析： ，（，原式）。 【易错点四】二次根式运算中合并同类项错误 问题：误将不同类二次根式（如与）直接合并 例题1：计算的结果是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： B（，合并为）。 例题2：下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 答案与解析： C（，相减为；A、B、D均运算错误）。 【易错点五】分母有理化时漏乘或符号错误 问题：有理化时未对分子分母同乘共轭根式，或漏负号 例题1：分母有理化后为（ ） A. B. C. D. 答案与解析： B（分子、分母同乘，得）。 例题2：若，则______。 答案与解析： （有理化得，代入后原式）。 【易错点六】混合运算顺序错误 问题：忽略"先乘除后加减，有括号先算括号内"的规则 例题1：计算： 错误做法： 正确解析： 先算乘法：，再算加法：。 例题2：计算： 错误做法： 正确解析： 先算括号：，再算除法：，最后加法：。 【易错点七】比较大小方法不当 问题：未通过平方、倒数或作差法科学比较 例题1：比较与的大小。 错误做法：直接估算得错误结论。 正确解析： 取倒数：， ∵，∴。 例题2：比较与的大小。 解析： 平方：，，∵，∴。 【易错点八】求字母范围忽略隐含条件 问题：在复合根式中遗漏多个约束条件 例题1：代数式有意义的范围是______。 解析： 需同时满足：解得，解得，解得（在内自动满足）， ∴。 例题2：函数的取值范围是______。 解析： 需满足：解得，解得， ∴。 【易错点九】性质应用忽略条件 问题：错误应用或（忽略的条件） 例题1：化简。 错误做法：（无意义）。 正确解析： 直接计算：（性质要求被开方数非负）。 例题2：计算。 解析： ∵，∴（不可拆为）。 【易错点十】解方程时忽略检验 问题：解含根式方程时未检验增根或忽略自变量取值 例题1：解方程： 错误做法：平方后得或，未检验。 正确解析： 检验：时，左边，右边（舍）；时，左边，右边（成立）。 例题2：解方程： 解析： 移项平方得，检验：左边，右边（成立）。 【核心要点总结】 解决二次根式问题需紧扣三大核心： ①自变量取值优先 始终牢记被开方数必须 ≥ 0，这是二次根式存在的前提条件。 ②性质条件严审 应用公式时，必须检查公式成立的前提条件（如a≥0, b>0等）。 ③运算规范 严格遵守运算顺序，正确合并同类项，合理使用分母有理化。 通过例题对比强化易错点辨析，养成检验习惯，避免概念混淆与步骤跳步。 重难点01二次根式的定义 （1）二次根式的定义：形如的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 一．二次根式的定义 【典例1】下列式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 【典例2】定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： （1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝ ； （2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值． 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【解答】解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式， ∴2a＝6， ∴a＝＝， 故答案为：； （2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式， ∴（4+）（8﹣m）＝26， ∴8﹣m＝＝＝8﹣2， ∴m＝2． 【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算． 【典例3】已知是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ） A．0 B．6 C．3 D．2 【分析】先分解质因数，再根据是一个正整数和a为正整数得出答案即可． 【解答】解：∵是一个正整数， 又∵72＝62×2，a为正整数， ∴正整数a的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能正确分解质因数是解此题的关键． 2． 二次根式有意义的条件 【典例1】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可． 【解答】解：二次根式在实数范围内有意义， 则x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【典例2】如果y＝，则2x+y的值是 5或﹣3 ． 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0， ∴x2＝4， 解得x＝±2， y＝1， ∴2x+y＝2×2+1＝4+1＝5， 或2x+y＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3， 综上所述，2x+y的值是5或﹣3． 故答案为：5或﹣3． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 【典例3】使等式成立的条件时 　﹣3≤x＜2　． 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件解决此题． 【解答】解：由题意得：x+3≥0且2﹣x＞0． ∴x≥﹣3且x＜2．∴﹣3≤x＜2．故答案为：﹣3≤x＜2． 【点评】本题主要考查二次根式有意义条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决本题的关键． 【典例4】已知实数x，y，a，b满足+＝×．求a+b的值及7x﹣y2023的值． 【分析】化简×，再根据非负数的性质可得出a+b的值； 由非负数的性质可得，解二元一次方程组可得x，y的值，将x，y的值代入7x﹣y2023即可得出答案． 【解答】解：∵×＝＝， ∴2022﹣（a+b）＝0， ∴a+b＝2022． ∵+＝×， ∴+＝0， ∴， ①×2，得6x﹣2y﹣14＝0③， ③﹣②，得5x﹣10＝0， 解得x＝2， 将x＝2代入①，得6﹣y﹣7＝0， 解得y＝﹣1， 将x＝2，y＝﹣1，代入7x﹣y2023， 得7×2﹣（﹣1）2023＝14﹣（﹣1）＝14+1＝15． ∴7x﹣y2023＝15． 【点评】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质解答本题的关键． 重难点02二次根式的性质与化简 【典例1】化简二次根式的结果为（ ） A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a 【分析】先判断a的正负，再化简二次根式． 【解答】解：∵﹣8a3≥0， ∴a≤0 ∴＝2|a| ＝﹣2a 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的化简，此题容易忘记判断a的正负而出错． 【典例2】若，则（ ） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即3﹣b≥0． 【解答】解：∵＝3﹣b， ∴3﹣b≥0，解得b≤3． 故选：D． 【点评】解答此题，要弄清以下问题： 1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：＝|a|． 【典例3】已知≈1.414，则的近似值为 2.83 （结果保留小数点后两位）． 【分析】化简的值即可得出答案． 【解答】解：＝2≈2.83， 故答案为：2.83． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握＝•（a≥0，b≥0）是解题的关键． 【典例4】化简：______，______． 【答案】          【分析】根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查二次根式的性质，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键． 【典例5】已知的算术平方根是，且,则的平方根是_______. 【答案】±5 【解析】根据实数的性质，算术平方根的定义可得方程=0,从而求得x,y的值，代入可得答案． 解：根据二次根式的意义，=0， 则a=0 由题意，得 ， 解得x=9，y=1． ∴3x-2y=25， ∴3x-2y的平方根是±=±5． 故答案为±5. 【点评】利用二次根式的性质化简二次根式，即=，同时联系绝对值的意义正确解答. 【典例6】三边分别为、、，为斜边，则代数式的化简结果为 　　． 【分析】将代数式化简为，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：三边分别为、、，为斜边， ，．故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，根据勾股定理和二次根式的性质进行化简是解题关键． 重难点03最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式： ①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式； ②被开方数中不含有能开方的因数或因式． 【典例1】下列各式中是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 【典例2】化简成最简二次根式：　　；　　． 【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：（1）原式，故答案为：；（2）原式．故答案为：． 【点评】此题考查的是二次根式，掌握其性质概念是解决此题关键． 【典例3】二次根式中最简二次根式是______． 【答案】、、 【解答】解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数， 第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数， 第三个根式为最简二次根式， 第四个根式为最简二次根式， 第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式， 第六个根式为最简二次根式， 故答案为 【点评】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 【典例4】将式子化为最简二次根式　　． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ，原式故答案为： 【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 重难点04二次根式的乘除法 （1）二次根式的乘法： （2）二次根式的除法： 【典例1】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算，本题属于基础题型． 【典例2】计算×的结果是 2 ． 【分析】利用二次根式的乘法公式，直接计算即可． 【解答】解：原式＝＝＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，题目比较简单，掌握×＝是解决本题的关键． 【典例3】计算的结果正确的是　　 A．1 B．2.5 C．5 D．6 【分析】先化简原式，再运算即可求解． 【解答】解：，故选：． 【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【典例4】已知，那么的值是　4　． 【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：，，，，故答案为：4 【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型． 【典例5】已知：，．求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣xy+y2． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加法法则求出x+y的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x＝+，y＝﹣， ∴xy＝（+）×（﹣） ＝（）2﹣（）2 ＝7﹣5 ＝2； （2）∵x＝+，y＝﹣， ∴x+y＝（+）+（﹣）＝2， ∵xy＝2， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x+y）2﹣3xy ＝（2）2﹣3×2 ＝28﹣6 ＝22． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 重难点05商的算术平方根与分母有理化 （1）商的算术平方根的性质： （2）分母有理化： ，分子分母所乘的式子叫做分母的有理化因式。 【典例1】化简： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）÷． 【分析】（1）直接进行化简即可； （2）直接进行化简即可； （3）先进行加法运算，然后进行化简即可； （4）先计算根号下的数值，然后进行化简即可； （5）先计算根号下的数值，然后进行化简即可； （6）先进行除法运算，然后进行化简； （7）先进行除法运算，然后进行化简． 【解答】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝＝； （4）原式＝＝； （5）原式＝＝； （6）原式＝＝2； （7）原式＝＝3． 【典例2】若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab． （1）求多项式M和N． （2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值． 【分析】（1）将已知两个等式联立方程组，解之可得M、N； （2）先将所求M、N表示的多项式代入化简，再将a、b的值代入计算可得． 【解答】解：（1）将M+N＝2a2，M﹣N＝2ab组成方程组，得， ①+②，得2M＝2a2+2ab，所以M＝a2+ab， ①﹣②，得2N＝2a2﹣2ab，所以N＝a2﹣ab． （2）＝＝＝， 当a＝+1，b＝﹣1时， ＝＝＝＝． 【点评】本题主要考查分母有理化，以及分式的值，解题的关键是掌握整式、分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运输能力． 【典例3】已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【分析】求出a与b的值即可求出答案． 【解答】解：∵a＝＝+2，b＝2+， ∴a＝b， 故选：A． 【典例4】下列二次根式中，与互为有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据有理化因式的定义得出答案． 【解答】解：∵， ∴二次根式的有理化因式是：． 故选：A． 【典例5】阅读下列材料，然后解答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝：（一） ＝＝：（二） ＝＝＝：（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝＝＝＝．（四） 请解答下列问题： （1）请用不同的方法化简． ①参照（三）式得＝ ﹣ ； ②参照（四）式得＝ ＝＝﹣ ； （2）化简：++；（保留过程） （3）猜想：+++…+的值．（直接写出结论） 【分析】根据分母有理化，可得答案． 【解答】解：（1）结果为﹣； ②参照（四）式得＝＝＝﹣； （2）化简：++ ＝﹣1+﹣+﹣＝﹣1； （3）猜想：+++…+＝（﹣1）． 【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键． 【典例6】【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法． 如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路． 除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质＝|a|． 如：对于，设． 由，可知x＞0． 由，解得． 即． 【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简． 【分析】利用题干材料的方法解答即可． 【解答】解：设x＝， ∵， ∴x＜0． ∵x2＝＝6﹣3+6+3﹣2＝6， ∴x＝﹣． 原式＝﹣ ＝5﹣2﹣ ＝5﹣3． 【点评】本题主要考查了分母有理化，二次根式的性质与化简，实数大小的比较，乘法公式，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中方法是解题的关键． 重难点06同类二次根式 同类二次根式的概念： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 【典例1】下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 【解答】解：A、＝2，与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、与是同类二次根式，正确； D、与不是同类二次根式； 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【典例2】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为（　　） A．16 B．0 C．2 D．不确定 【分析】先把化简为3，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到a+2＝2，从而得到a的值． 【解答】解：∵＝3， 而最简二次根式与是同类二次根式， ∴a+2＝2， 解得a＝0． 故选：B． 【典例3】若最简根式与是同类二次根式，则m＝ 2 ． 【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴﹣2m+9＝5m﹣5， 解得m＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键． 重难点06二次根式的加减法 （1）二次根式的加减运算法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成 最简二次根式 ，再把 被开方数 相同的二次根式进行合并。 （2）具体步骤： ①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。 ②对二次根式进行化简。 ③合并同类二次根式。 【典例1】如果与的和等于3，那么a的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵与＝2的和等于3， ∴＝3﹣2＝， 故a+1＝3， 则a＝2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键． 【典例2】）计算下列各题； (1) ； （2） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解； （2）先利用二次根式的性质化简各个根式，再合并同类二次根式即可求解． （1）解： ； （2）解： ． 【点评】本题考查二次根式的性质及加减运算，正确化简各个二次根式是解答的关键． 【典例3】计算：． 【分析】根据二次根式的性质化简各数，然后根据二次根式的加减法进行计算即可求解． 【解答】解：原式＝＝． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，正确地计算是解题的关键． 【典例4】计算：． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【解答】解：原式＝2×2﹣3+4＝4﹣3+4＝5． 【点评】此题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【典例5】计算： （1）3﹣5+4； （2）﹣； （3）+﹣； （4）﹣（3+）． 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （3）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （4）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）3﹣5+4＝2； （2）﹣ ＝﹣ ＝； （3）+﹣ ＝6+﹣ ＝+； （4）﹣（3+） ＝×2﹣3×﹣ ＝﹣﹣ ＝﹣． 重难点07二次根式的混合运算 二次根式的混合运算法则： 同有理数的混合运算法则相同，先去乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。 【典例1】计算 （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案； （2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案． 【解答】解：（1）原式＝（6﹣4）÷﹣+ ＝2÷﹣+ ＝2﹣+ ＝2﹣； （2）原式＝12+1﹣4﹣（12﹣18） ＝12+1﹣4+6 ＝19﹣4． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 【典例2】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2＝（1+）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 28 + 16 ＝（ 4 + 2 ）2； （3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可； （2）设a+＝（m+）2，根据完全平方公式求出（m+）2＝m2+3+2m，得出2m＝1，a＝m2+3，再求出答案即可； （3）根据完全平方公式求出（m+n）2＝m2+3n2+2mn，求出2mn＝4，a＝m2+3n2，求出mn＝2，根据m、n为正整数得出m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，再求出a即可． 【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn， 又∵a+b＝（m+n）2， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn， 故答案为：m2+3n2，2mn； （2）设a+b＝（m+n）2， ∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∴2mn＝b，a＝m2+3n2， 取n＝2，m＝4，则b＝16，a＝16+12＝28， 故答案为：28，16，4，2； （3）（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∵a+4＝（m+n）2， ∴2mn＝4，a＝m2+3n2， ∴mn＝2， ∵m、n都为正整数， ∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2， 当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝4+3＝7； 当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝1+12＝13， 所以a的值是7或13． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关键． 【典例3】计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加法和减法法则进行计算即可； （3）根据平方差公式和二次根式四则混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）， ＝， ＝1； （2）， ＝， ＝； （3）， ＝， ＝． 重难点08二次根式的化简求值 （1）二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． （2）二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【典例1】已知，，求． 【分析】利用二次根式的性质将a，b的值化简，求得a+b，ab的值，再利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：∵a＝＝＝4， b＝＝＝4﹣， ∴a+b＝8，ab＝（4+）（4﹣）＝16﹣15＝1． ∴原式＝ ＝ ＝ ＝62． 【典例2】先化简，再求值：a+，其中a＝2020． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1） 小亮 的解法是错误的； 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝|a| ； （2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2． 【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，把a＝﹣2代入计算即可． 【解答】解：（1）小亮的解法是错误的， 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝|a|， 故答案为：小亮；＝|a|； （2）原式＝a+2＝a+2|a﹣3|， ∵a＝﹣2＜3， ∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝8． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键． 【典例3】已知a＝，b＝．求： （1）a2b﹣ab2的值； （2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值． 【分析】先将a和b进行化简，然后代入各式中进行求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝＝3+2， b＝＝3﹣2， ∴a2b﹣ab2 ＝ab（a﹣b） ＝（3+2）（3﹣2）（3+2﹣3+2） ＝1×4 ＝4． （2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015 ＝a（a2﹣5a﹣6）﹣b+2015 ＝（3+2）（9+8+12﹣15﹣10﹣6）﹣（3﹣2）+2015 ＝（3+2）（2﹣4）﹣（3﹣2）+2015 ＝6﹣12+8﹣8﹣3+2+2015 ＝2008． 【典例4】先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，； 由于，，即，， ． 由上述例题的方法化简： （1）． （2）． （3）． 【分析】先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． 解：（1） ． （2） ． （3）． 【点评】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 【典例5】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． （1）已知：，求：①＝　2　； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； （2）代数式中x的取值范围是 　2≤x≤10　，最大值是 　4　，最小值是 　2　； （3）计算：． 【分析】（1）①根据平方差公式可解答； ②两边同时平方将根号化去，解方程并进行检验； （2）根据被开方数大于等于0，列不等式组可得结论； （3）分别进行分母有理化可解答． 【解答】解：（1）①∵（+）×（﹣）＝（）2﹣（）2＝20﹣x﹣4+x＝16，且， ∴﹣＝2； 故答案为：2； ②， ＝8﹣， 两边同时平方得：20﹣x＝64﹣16+4﹣x， ＝3， 两边同时平方得：4﹣x＝9， ∴x＝﹣5， 经检验：x＝﹣5是原方程的解； （2）由题意得：， 解得：2≤x≤10， 当x＝2时，＝＝2， 当x＝6时，＝2+2＝4， ∴最大值是4，最小值是2； 故答案为：2≤x≤10，4，2； （3） ＝+++…+ ＝﹣+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣ ＝． 【典例6】设，求不超过的最大整数______． 【答案】 【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案． 【详解】解： ， ， 不超过的最大整数． 故答案为：． 【点评】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键． 重难点08二次根式的应用 【典例1】如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积． 【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可； （2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入即可求出答案． 【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2； （2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得： （20+2）（20﹣2）﹣4×（）2 ＝400﹣8﹣4×2 ＝400﹣8﹣8 ＝384． 【点评】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系． 【典例2】如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长； （2）先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积． 【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC＝， 正方形ECFG的边长为：CF＝； （2）∵BF＝BC+CF，BC＝2，CF＝4， ∴BF＝6； ∴S△BFG＝GF•BF＝24； 又S△ABD＝AB•AD＝4， ∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD ＝8+32﹣24﹣4， ＝12． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．第（2）题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算． 【典例3】秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝，那么三角形的面积为：s＝． （1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积． （2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求BE的长． 【分析】（1）根据题目的指示，了解海伦﹣秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）根据角平分线的性质的到ED＝EH＝EF，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦﹣秦九韶公式求得△ABC的面积．再根据，即可求DE，根据勾股定理求出BE． 【解答】解：（1）p＝， ∴； （2）如图，过点E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足为F，H． 由角平分线的性质可得：ED＝EH＝EF． 在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦—秦九韶公式： 求得p＝， △ABC的面积为：＝． S△ABC＝S△ABE+S△BEC+S△CAE， ∴， 即，； 又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D， ∴， ∴在Rt△BDE中，由勾股定理得： BE＝＝． 【点评】本题考查二次根式的应用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦﹣秦九韶公式求三角形的面积． 【典例4】阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：． 类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ． 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）. 【解析】解：类比应用： （1）根据题意可得： =； （2）根据题意可得： = = = =2； 拓展延伸： （1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD的宽AB=1， 则黄金矩形ABCD的长BC===； （2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=， ∴FD=EC=AD-AF==， ∴=， 故矩形DCEF为黄金矩形； （3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，AD=， ∴AE=， 在△AED中，S△AED =， 即，则， 解得DG=， ∴点D到线段AE的距离为. 【典例5】阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数a，b，由于，所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)比较大小： 2x（其中）， 2（其中），（填“≥”、“≤”或“＝”）； (2)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是 （填序号）； (3)已知：，求代数式的值； (4)当x为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)≥；≥；(2)①②④；(3)；(4)x=-2时，有最小值3. 【解析】解：（1）∵，， ∴，即， ∵，， ∴，即， 故答案为：≥；≥. (2)∵分子分母的次数都为1，、分子的次数大于分母的次数， ∴①②④属于假分式， 故答案为：①②④. (3)由，可得， . (4)由题意可得， ∵， ∴为非负数，即， ∴，此时，解得， ∴x=-2时，有最小值3. 重难点09二次根式的估算 估值通常在无理数中使用。一般采用夹逼法确定无理数所在的范围，具体地说，先确定无理数的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在那两个整数之间。 【典例1】估计的运算结果应在（ ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C. 【解析】解：原式， ∵， 即， ∴， 故选：C． 【典例2】估计的值应在（　　） A．16和17之间 B．17和18之间 C．18和19之间 D．20和21之间 【答案】C. 【解析】解： ，即， ， ， 故选：C. 【典例3】如何估算（为不是平方数的正整数），记（其中为小于的最大平方数），则推导的思路如下： ，按照以上推导思路请估算 ；（结果精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．仿照题干中的推导思路，可得，即可求解． 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ∴． 故答案为： 重难点10二次根式的大小比较 【典例1】比较和的大小（平方法） 【答案】 【分析】利用平方法，即可比较出大小． 解：，， ， ， 又，， ． 【点评】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键． 【典例2】比较大小：______（填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 【典例3】已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 【典例4】已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【典例5】设，，，将用“>”进行排列，则排列后的顺序是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分母有理化，比较二次根式的大小．先把把各式化为最简根式或分母有理化，然后用求差法比较各数的大小． 【详解】解：，， 由，则， 由，则， ∴b最大， 又∵， 则．故． 故答案为：． 【典例6】 “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，， ，点在上，且，这样就可以得出与的大小关系． 请写出与的大小关系并结合图形通过计算说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出，根据，即可得到． 【详解】解；，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 12 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$