第二章 基本不等式讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 基本不等式 知识梳理 知识点1基本不等式 若a>0,b>0,则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立). ①a+也叫做正数a,b的算术平均数，ab叫微正数a,b的几何平均数。 2 ②基本不等式的几何证明 OC=+6 2 CD=Vab D、O a=b (当点 重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是a>0,b>0;二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 知识点2基本不等式及其变形 2abst0档且仅当a=b时等号成立 1,1 a b (调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值) 第1页共11页 以上不等式把常见的二元关系（倒数和，乘积，和，平方和）联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ①a+b≥2ab,积定求和： a+b ②ab≤ 和定求积： 2 ③a+b≥a+b联系了a+b与平方和0+b的 2 @ab≤4，b联系了ab与平方和a+b3) 知识点3对勾函数 ①概念形如y=x+C(a>0)的函数. X ②图像 ③性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当0<x<Va时，函数递减，当x>a时，函数递增. ④与基本不等式的关系 由图很明显得知当x>0时，x=√a时取到最小值ymn=2a, 第2页共11页 其与基本不等式+之2女日-204时取到最小值6是一致的 X X 考点精析 考点一对基本不等式的理解 【例1-1】下列不等式恒成立的是( ) A.x+1≥2 B.a+b≥2Wab c. (a+b≥+b 2 2 D.d+bz2ab 变式1：下列不等式中正确的是() A.a+ 4≥4 C.Vab≥a+b a 8226 2 D.a2+b2≥4ab 考点二利用基本不等式求最值 【例2-1】已知0<x<2,则函数y=x0-2)的最大值是() 1 A.z B.4 1 C.8 D. 第3页共11页 变式1：V3-a(a+6),(-6<a<3)的最大值为 【例2-2】设20：则a+0牛4 。的最小值为( ) A.5 B.3 C.4 D.9 变式1：若0则x+4 +x+1的最小值为 4>1’则4-3a+11 【例2-3】已知。 a-1二的最小值为 x一1x>的最大值为一 变式1：2-4x+7 【例2-4】已知正数xy满足x少 足+1，求x+2y的最小值为 变式1：（多选题）设a>0,b>0,且a+2b=4,则下列结论正确的是() A.二+的最小值为2 B. a b 2+的最小值为2 第4页共11页 C. 1+子的最小值为4 1,2 D. a b a+1b+1>恒成立 【例2-5】已知正实数a,b满足2a+b-9ab=0,则a+2b的最小值为( ) 1 A.3 B.1 C.9 D.3 变式1：若正数x,y满足x+y=y,则x+2y的最小值是() A.6 B.3+22 C.2+32 D.2+2√5 考点三基本不等式中的恒成立问题 1.4、2 【例3-1】已知。be(0,+w,若。+方之a+b恒成立，则实数元的取值范围为（ A.1≥5 B.1≥9 C.2≤5 D.2≤9 21 变式：已知0,0，且是+=1，若x+2y之m㎡恒成立，则实数m的取值范围是（) A.m≤-2V2或m22V√2 B.m≤-4或m22 C.-2<m<4 D.-2V2<m<2√2 第5页共11页 考点四基本不等式的应用 【例4-1】党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统 筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、 节约集约、绿色低碳发展.某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若乡财政下拨一项专款400百万 元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资 金，（单位：百万元）的函数M()(单位：百万元)：M=8:处理污染项目五年内带来的生态收 1 益可表示为投放资金，（单位：百万元）的函数N(y(单位：百万元)：N()=4x, ()设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元)，则两个生态项目五年内带来的收益总和为少（百万元）， 写出y关于x的函数解析式： (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋.试求出y的最大值，并求 出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 第6页共11页 变式1：某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润'（单位：万元）与 机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最 大值是 万元. 考点五对勾函数 【例5-1】设-2≤x<0'则x+的取值范围是 变式1：“m>4”是“函数y=x+x>0)的最小值大于4”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分层提分 题组A基础过关练 1.y=x+4(x≥》的最小值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知正数y满足x+y=4,则y的最大值() A.2 B.4 c.6 D.8 第7页共11页 11 3.若两个正实数，y满足x+y=?则，+的最小值为() A.4 B.4V2 C.2D.22 4.某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为01万元，已知使用x 年的维修总费用为”)1”万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（了 A.10 B.9 C.8 D.7 5.实数xy满足x+y=-山r>0,则x-的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 28 6.已知a>0'b>0?且a+h=2,则 +1b+i的最小值是() 9 A.2 B.4 C.9 D.2 7.(多选题)下列说法正确的是( ) A.X+1(x>0)的最小值是2 B. x2+2 X x2+2 的最小值是2 X2+5的最小值是2 C.可×+4 D.2-3x-4的最大值是2-43 8.已知2x+3y=6(x>0,y>0),则y的最大值是 第8页共11页 9若<1”则2+3 一1严的最大值是。 4 10.(1)已知x>3”求x-3+x的最小值： 13 (2)已知x,y是正实数，且x+y=4,求x+)的最小值. 题组B能力提升练 1.已知a,b为正实数，且ab+2a+b=6,则下列选项错误的是() 第9页共11页 A.ab的最大值为2 B.2a+b的最小值为4 C4+b的最小值为3 D.1+1 a+1b+2的最小值为 2.(多选)下列结论中，正确的是() A.若y>0,2x+y=y,则2x+y的最小值为8 B.若x<-3,则函数y=+x+3的最小值为1 C.已知正数a,b满足b=a+b,则 1622 D.已知a>0,b>0,且a2+b=1,则a+Vb≤V2 14 3.已知正实数a,b满足a+b=3,则1+a4+b的最小值为 4.为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更 新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为'万 元与总座椅数千套，两者满足关系式：y=,650≤x≤8,15年的总维修费用为80万元，记w为15年的 总费用.（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）·请问当设置多少套座椅时，15年的总费用w 最小，并求出最小值. 第10页共11页第二章 基本不等式 知识梳理 知识点1基本不等式 若a>0,b>0,则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立). ①a+也叫做正数a,b的算术平均数，ab叫微正数a,b的几何平均数。 2 ②基本不等式的几何证明 OC=+6 2 CD=Vab D、O a=b (当点 重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是a>0,b>0;二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 知识点2基本不等式及其变形 2abs9t0当且仪当a=b时等号成立 1,1 a b (调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值) 第1页共16页 以上不等式把常见的二元关系（倒数和，乘积，和，平方和）联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ①a+b≥2Vab,积定求和： ②ab≤ a+b 和定求积： 2 ③a+b≥a+b成系了a+b与平方和a+b的 2 @ab≤a,b联系了ab与平方和a+b的 知识点3对勾函数 ①概念形如y=x+C(a>0)的函数. X ②图像 ③性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当0<x<Va时，函数递减，当x>a时，函数递增. ④与基本不等式的关系 由图很明显得知当x>0时，x=Va时取到最小值ymn=2Va, 第2页共16页 其与基本不等式+之2女日-2904时取到最小值6是一玫的 X X 考点精 考点一对基本不等式的理解 【例1-1】下列不等式恒成立的是( ) A.x+1≥2 B.a+b≥2Wab C. a+b≥2+b 、2 2 D.a2+b2≥2ab 【答案】D【详解】解：对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，a+b≥2√ab成立的条件为a≥0，b≥0，故错误；对于C选项，当a=-b≠0时，不等式显然不成 立，故错误：对于D选项，由于a2+b-2ab=(a-b)≥0，故a2+b2≥2ab,正确.故选：D 变式1：下列不等式中正确的是() A.a+4≥4 +≥25 B.x2+3 c.Vab≥a+b a 2 D.a2+b224ab 【答案】B【详解】A当，0时，a+4<0,故错误：B.r+3 è2 .3 a<0 25，当组仅当是即 x=±5时，取等号，故正确：C当a>0.b>0时，Vb≤ 2，故错误；D.由重要不等式得a2+b2≥2ab 故错误； 考点二利用基本不等式求最值 第3页共16页 【例2-1】已知0<x<2,则函数y=x1-2)的最大值是(） A. 1 B.4 c.8 【路案】c【谓解】0<分1-2x00-2=×2-20s2+g-2- 2 当且仅当2x=1-2x时，即x=4时等号成立，因此，函数y=-2x0<x<宁的最大值为g 变式1：V3-a(a+6,(-6<a<3)的最大值为 9 【答案】2/4.5【详解】因为6<a<3,所以3-4>0’a+6>0:由基本不等式可得 -10可2二”6-}尚仅当g。。6即a=,等9成立.所以，3-90：而， 2 (-6<a<3)的最大值为2 【例2-2】设g>0则a+中4 的最小值为( ) A.5 B.3 C.4 D.9 =a+4+1≥2,0.4 【答案】A【详解】因为。0所以a+24-a+ 15，当仅当a=君即a=2时取等号 ya a a 所以a+a+4 的最小值为5，故选：A 4 变式1：若x>0?则x+x+的最小值为 4 【答案】3【详解】因为x>0由基本不等式得：+x x+1 x+1 当且仅当x+1=4 =x+1:且x>0,即x=1时等号成立.故答案为：3 第4页共16页 【例23】知。1'则。和”的短个值为 a-1 【答案】5【详解】令t=a-l(t>0),则a=t+1,所以 d-l.-y-4l.-+9=+-2 a-1 t t 1=5,当且仅当=}，即，=3时取等号.所以 a2-3a+11 a-1的在最小值为5故答案为：5 =1x>)的最大值为一· 变式1：x2-4x+7 【答案】2【详解】令x-1=t,则x=t+1,t>0,所以 x-1 t 1 1 ≤4 -4+70+0-40+0+7-2+442222,当且仅当-即，-2时，等号成立 tt=2 所以记>的敏大值为；放答米为：} 【倒2】已知正数y满起，求+y的放小省为 。1+1=1,所以 【答案】3+2522+3【详解】因为正数x'y满足x+ 1+1=1 当且仅当 x y 2y.x=3+25 2少x·即 x y V x y x y 2+r=14时， 2 取等号，所以x+2y的最小值为3+2W2,故答案为：3+2V2 变式1：（多选题）设a>0,b>0,且a+2b=4,则下列结论正确的是() 第5页共16页 A.+的最小值为2 B. 2+的最小值为2 a b a b c。+后的最小为 9 D1 b a、8 +1b+1>气恒成立 【答案】BC【解析】因为a>0,b>0,且a+2b=4,对于A, 66-。o+26=3+83422,当且仅0=452-4，b=4-22别取等号，放 4 速项A蜡误：对于B名+号-2片a+20-4+兽+月4+4到=2.当且议0=2b=1时取等 号，故选项B正确：对于C,。+台4。+台 1+2=+2a+2b)=5+2b+20)=5+4)=9 4 a b 4 当且仅当 0子b封收等号，他选项C正痛：对于D,当0-学b=,a+20=4但 4 4 4 4 b 38 a+1+b+14,+ 2+17政选项D错误.故选：BC 4 3 【例2-5】已知正实数a,b满足2a+b-9ab=0,则a+2b的最小值为( ) A.3 B.1 C.9 1+2 【答案】B【详解】因为2a+b-9ab=0,变形得。+69.由题意 (a+2b)1+2） 5+2b,2a a+2b= +a十b≥5+24=当且仅当2b_20,即a=6=}时，等号成立. 9 9 9 a b 3 变式1：若正数x,y满足x+y=y,则x+2y的最小值是() A.6 B.3+2W2 C.2+3W2 D.2+2V3 第6页共16页 +y1+=1,所以 【答案】B【详解】因为正数，y满足x十y=y所以=十x 2 等号成立，所以x+2y的最小值为3+2√2故选：B 考点三基本不等式中的恒成立问题 【例3已如h0,+，若。+才之，。恒成立，则实致，的取值范围为0 A.25 B.1≥9 C.≤5 D.2≤9 【答案】D【详解】因为。b∈0，+o,由已知可得2≤(a+ 因为 时等号成立，故实数，的取值范围为(-0,9，变 21 式1：已知0,0，且+y=1,若x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是（） A.m≤-2V2或m≥2√2 B.m≤-4或m22 C.-2<m<4 D.-2√2<m<2√2 【答案】D【详解】0,20且子+，+2y=c+2 2+》=4++524+2,=8当且仅当 （xy x y Vx y 4y_x xy,即x=4,y=2时取等号，+2min=8,要使x+2>m恒成立，只需+2m>m2恒成立，即 8>m,解得-2√2<m<2W2.故选：D 考点四基本不等式的应用 第7页共16页 【例4-1】党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统 筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、 节约集约、绿色低碳发展.某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若乡财政下拨一项专款400百万 元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资 金：（单位：百万元)的函数M()（单位：百万元)：M如；处理污染顶目五年内帮来的生态收 1 益可表示为投放资金x(单位：百万元)的函数N(x)(单位：百万元)：N()=4x. 4 (1)设分配给植绿护绿项目的资金为x(百万元)，则两个生态项目五年内带来的收益总和为少（百万元）， 写出y关于x的函数解析式： (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋.试求出'的最大值，并求 出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 80x1 【答案】(1)y 20+x4+100,x∈0,4012y的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污 染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）· 【详解】(1)解：由题意可得处理污染项目投放资金为400-，百万元，则Mx)=,80x 20+x’ =20+x4x+100,x∈0,401 V400-d4400=x10045y80x1 (2)解：由(1)可得，y= E)0x-4x+100=180-x-1600 Γ420+x 6400 =185-(x+20)+ 20+x s185- 6400 20+x: 21 20+x =145, 6400 当且仅当20+x= 20+x,即x=60时等号成立，此时400-x=340·所以y的最大值为145（百万元)，分别 投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）· 变式1：某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润卫（单位：万元）与 机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x+18x-25(x∈N),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最 大值是 万元. 第8页共16页 【答案】8【详解】每台机器运转年的年平均利润为=18-（+空)，而>0故兰≤18-2方=8，当 25 且仅当x=5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元. 考点五对勾函数 【例5-1】设-2≤r<0?则x+文的取值范围是 【答案】(-，-习【详解】设函数)=x+,则当2，-时，f)=x+单调递增，北时 1 st2 当x-L0时，1)=x+单调递减，此时/e-,2:故-20，则x+的取值范国是-，-2引 故答案为：（-00，-2] “m≥4”是“函数=x+x>0)的最小值大于4”的( 变式1：“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】c【详解】解：若m之4，则八国=+x>0的最小值为2Vm>2G=4 若y=x+x>0的最小值大于4，则m>0:且2m>4则m>4故选：C. 分层提分 题组A基础过关练 4 1.y=x+-(x≥)的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 第9页共16页 【答案】C【详解】因为y=+≥，所以x+手2女手=4，当且仪当x4即，时等号成立 x V x xx=2 所以当：-2时，函数y=+有最小值4故选：C 2.已知正数y满足x+y=4,则y的最大值() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B【详解】因为正数x,y满足x+y=4,所以有4=x+y≥2√y→Vy≤2→y≤4，当且仅当 x=y=2时取等号， 11 3.若两个正实数x,y满足x+y=1则的最小值为（) A.4 B.4√2 C.2D.2√2 【答案】A【详解】：x+y=1'x>0'y>0' 1+1=+y+x+y=2+2+≥2+2，.x=4, x y x y x y Vx y 当且仅当x=y=2时取“=”故选：A 4.某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x 的维修总费用为2万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（一 A.10 B.9 C.8 D.7 2+x+0.1x+3 【答案】B【详解】由题意可得：该设备年平均费用y=27 -x337(xEN) 27'x'2701 0则v奇是那3后器器仅分- X一十 即x=9∈N时，等号成立， 所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选：B. 第10页共16页