3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 章节导入 思考1：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个什么图形？ 截口曲线是一个圆. 思考2：如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? 章节导入 章节导入 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，分别是抛物线、椭圆和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案. 1、了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2、掌握椭圆的定义和标准方程； 3、会求椭圆的标准方程； 4、通过本节的学习，提升数学抽象、数学建模、数学运算等素养. 学习目标 新课导入 椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用. 那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础? 章节导入 开普勒第一定律： 所有行星绕太阳运转的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（椭圆定律） 知近日点/远日点与太阳的距离，如何求椭圆轨道的方程？ 新课探究 探究1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个______， 圆 探究2：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 追问：在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 笔尖到两定点的距离之和等于绳长. 新课探究 思考3: (1)移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ (2)与的大小关系是？ (3)若绳长与两定点的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点之间的距离吗？ 新知讲解——椭圆的定义 (1)文字语言：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫半焦距。 线段F1F2 不存在 (2)符号语言：椭圆上任一点P满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 常记作 常记作 概念辨析 B 线段F1F2 椭圆 不存在 新课探究 思考4：直线的点斜式方程、圆的标准方程是用什么方法推导出来的？ 思考5：用坐标法求轨迹方程分为几步？ 思考6：观察椭圆的形状，你准备如何建立平面直角坐标系？ 坐标法 建系、设点、列式、化简、证明 O x y O x y O x y M F1 F2 O x y F1 F2 M O x y 尽可能利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴. 能使方程的形式简单、运算简单； 新课探究 1.建系设点. 2.找动点满足的条件. 3.翻译列式. 4.变形化简P106 两次平方 新课探究 问题3：观察右图，你能从中找出表示a,c,b的线段吗？ 椭圆的特征三角形 焦点在x轴上： O x y F1 F2 M 新课探究 探究3：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上，则椭圆的方程是什么？ 焦点在x轴上： 焦点在y轴上： x,y交换位置 归纳总结 焦点在x轴上 焦点在y轴上 椭圆的定义 标准方程 焦点坐标 轨迹 a,b,c的关系 x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上 a c b 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 概念辨析 1、判断下列方程是椭圆吗？若是，指明并写出焦点坐标. (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) ，，， ，，， ，，， ? 概念辨析 追问1：何时表示椭圆？ 解：当，即时，方程表示椭圆. 追问2：何时表示焦点在轴上的椭圆？ 解：当，即时，方程表示焦点在轴上的椭圆. 概念辨析 焦点在x轴上的椭圆 焦点在y轴上的椭圆 椭圆 圆 若椭圆焦点位置不确定，可设为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n) 典例分析——求椭圆标准方程 典例分析 (法1) 知曲线上一点和焦点 (法2) 点代入方程 a,b,c的关系 椭圆定义求2a 巩固练习 练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在轴上，且经过两个点和； (3)经过点和点 解：(1)由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为. ∴∴. 故所求椭圆的标准方程为. (2)由于椭圆的焦点在轴上，∴设它的标准方程为. ∴故所求椭圆的标准方程为. 巩固练习 (3)经过点和点 解：(3)①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 依题意有，解得，故椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 依题意有解得∵，∴无解. 分类讨论 巩固练习 (3)经过点和点 解：(3)另解：设所求椭圆的方程为. 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为 . 若椭圆焦点位置不确定， 可设为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n) 归纳总结 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤： (1)先确定焦点位置； (2)设出方程； (3)寻求的等量关系； (4)求出的值，代入所设方程. 2、当焦点位置不确定时，可设方程为. 因为它包括焦点在轴上和焦点在轴上两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算. 典例分析 例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点. 解：(1)由题意焦点在轴上，且. 设它的标准方程为，故.① 又∵点在椭圆上，∴，即. ② 由①②得，， 所以所求椭圆的标准方程为. 典例分析 解：(法二)由题意，焦点为， 所以. 所以， 所以所求椭圆的标准方程为. 思考：你还有别的解法吗？ 例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点. 典例分析 思考：Anything else? 例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点. 解：(法三)设椭圆方程为，由题意得：， 即，解得或(舍). 所以所求椭圆的标准方程为. 归纳总结 共焦点： 探究与，与有何关系？ 与共焦点的椭圆可设为： 与共焦点的椭圆可设为： 巩固练习 典例分析——与椭圆相关的点的轨迹方程 例2：如图，在圆x2+y2=4上任意取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.) 这个求轨迹方程的 方法为 相关点法 归纳总结 相关点法求轨迹方程的一般步骤： 设点坐标：设目标动点的坐标为，另一动点的坐标为； 找关系：找与的等式关系、找与的等式关系； 标准化：代入消与，将剩下的只含与的方程进行方程标准化. 第一步 第二步 第三步 典例分析——与椭圆相关的点的轨迹方程 典例分析 解：设点的坐标为，因为点的坐标为， 所以直线的斜率为 同理，直线的斜率为 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程为. 点的轨迹是除去两点的椭圆. “杂点”可不要忘了哟 例3：如图，在A，B两点的坐标分别为(-5,0)，(5,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程. 这个求轨迹方程的 方法为 四步曲法 归纳总结 设坐标：设目标动点的坐标为； 符号化：找一个等式关系、并且用含的式子“符号化”等式关系； 标准化：将上述符号化后的方程进行化简，得到标准方程. 剔 点：把不满足题意的“点”，给剔除掉。比如例题3中斜率不存在时的点要剔除. 第一步 第二步 第三步 第四步 四步曲法求轨迹方程的四个步骤： 归纳总结 重要结论 椭圆的第三定义 推广： 巩固练习 练习：已知A，B两点的坐标分别为(-1,0)，(1,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 解： 课堂总结 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 三、有关椭圆的轨迹问题 $