卷8 新试题精选（八）数学试题-【创新教程】2026年高考数学新试题精选模拟仿真卷

新试题精运（八》 数 学 本试卷满分150分，用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需要改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 整 本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 好 1,若之=2+i+31,则= i A.1-5i B.1-i C.1+5i D.1+i 2.设集合A={x|x2-3x<0},B={xlog2x>1},则A∩(CRB)= A.(0,2) B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3) 3.已知a,b是非零平面向量，则“a·b<a2”是“|b<a”的 的 A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 和 4.记S,为等差数列{a,}的前n项和，若ag十a,=10,a:a,=65,则 A.14-n B.n-2 C.12-n D.n-4 5. 1+1 -x 展开式中，x3项的系数为 A.5 B.-5 C.15 D.-15 6.已知函数y=√3sin(wx十p)(w>0)的部分图象如图所示.若A,B,C,D四点在同一个圆 上，则w三 A.1 C.π D. 7.在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等m是在地球上看 到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10 秒差距(10秒差距≈32.6光年)时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等m 和绝对星等M满足m-M=5lg d 1 ,其中d是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A 距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A,B的视星等满足mB一mA= 4,则 () A.MB=M+4 B.MB=M+6 C.M=MB+1 D.M=MB+6 数学试题（八）第1页（共4页） 8已知双曲线乙-1(a>0,6>0)上的一点到双曲线的左、石焦点的距离之差为4，若抛 物线y=a上的两点A(1,B()关于直线y=x十m对称，且=一号，则m 的值为 () A是 R号 C.2 D.3 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是 () A.一组数5,7,9,11,3,13,15的第60百分位数是11 B.若随机变量5,7满足7=3一2，D()=3,则D()=9 C.一组数据(x;y:)(1≤≤15，i∈N)的经验回归方程为y=3.x十2，若x=2,则y=8 D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生 会，记选取的男生人数为X,则X服从超几何分布 10.在数列{a,}中，若对Vn∈N°，都有a+一a士=q(g为常数)，则称数列{a,}为“等差比 an+1一am 数列”，q为公差比，设数列{an}的前n项和是S,则下列说法一定正确的是 () A.等差数列{an}是等差比数列 B.若等比数列{an}是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C.若数列{Sn}是等差比数列，则数列{a+1}是等比数列 D.若数列{an}是等比数列，则数列{Sn}是等差比数列 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)十f(y),f(x十2)=一f(x),且对任 意x1,x2∈[-1,0]，都有(x1一x2)[f(x1)一f(x2)]>0,则下列结论正确的是() A.f(x)是周期为4的奇函数 B.f(x)图象关于直线x=1对称 C.f(x)在区间[1,2]上单调递增 D.f(2026)=0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在菱形ABCD中，E为边AD的中点，若AB·AC=2,则BE·AC= 13.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后， 反射光线平行于抛物线的轴.如图，抛物线C:y=4x的焦点为F,由点A 发出的光线经点B反射后经过点P,若点F在AB上，且|BP=|AB|, 0 ∠PAB=F,BF=3FA,则1PF= 14.函数f(x)的定义域为D,若满足：①f(x)在D上是单调函数， ②存在[号]=D使得f()在[号·]上的值城为a,,那么函数y=fx)为“优类函 数”.若函数y=log(c一t)(c>0,c≠1)是“优美函数”，则t的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)在△ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√3 (1)若BC=√6，求AC的长； (2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的长. 数学试题（八）第2页（共4页） 16.(本小题满分15分)为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期 购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联 表：(m≤40，m∈N) 购买新能源汽车（人数） 购买传统燃油车（人数） 男性 80-m 20+m 女性 60+m 40-m (1)当=0时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再 从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X,求 X的分布列与数学期望； (2)定义K”=A-B) Bi.i (2≤i≤3,2≤j≤3，i,j∈N),其中A.为列联表中第i行第 j列的实际数据，B为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得 到的理论频数.基于小概率值α的检验规则：首先提出零假设H。(变量X,Y相互独立)， 然后计算K的值，当K≥x。时，我们推断H。不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯 错误的概率不超过α；否则，我们没有充分证据推断H。不成立，可以认为X和Y独立. 根据K的计算公式，求解下面问题： (ⅰ)当m=0时，依据小概率值α=0.005的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新 能源汽车有关； (ⅱ)当m<10时，依据小概率值α=0.1的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新 能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车？ 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2ae+2(a-1)e-x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 数学试题（八）第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)若A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的不同两点，弦AB(不平行于y 轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>p 时，点P(x。,0)存在无穷多条“相关弦”. (1)证明：点P(x。,0)(x。>p)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2)当p=2时，试问：点P(x。,0)(x。>2)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存 在，求其最大值（用x。表示）；若不存在，请说明理由. 态小题满分17分)已知椭圆C:无十1(a>b>0)的右焦点为F1,0),右顶点为A 直线l:x=4与x轴交于点M,且|AM=a|AF|, (1)求C的方程； 些 (2)B为1上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P、Q, ①证明：直线BP、BF、BQ的斜率成等差数列； ②⊙N经过B、P、Q三点，是否存在点B,使得∠PVQ=90°？若存在，求|BM;若不存 在，请说明理由. 烯 数学试题（八）第4页（共4页） 新试题精运（八） 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区（居中） 缺考 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真在规定位置贴 正确填涂 好条形码。 ■ 违纪 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字 错误填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ☑×OD 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 )0三 选择题(1~8小题，每小题5分，共40分9~11小题，每小题6分，共18分)（需用2B铅笔填涂） 正确填涂 1 ABCD 4ABg回 7AB@回 10ABC回 2ABg而 5AE@回 8A®C回 11AEg回 在各题 3 ABCD 6AE@回 9ABCD 的 题 非选择题（需用0.5毫米黑色签字笔书写） 域 填空题（每小题3分，共15分） 作 12. 13. 超 14. 解答题（共77分） 答案无效 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（八）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（八）第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座号 考生 姓名 座 号 的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，填写样例：若座号02，则填写为 必填 @包 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（八）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（八）第4页（共4页）参考答案 若|d3-3|=4,则d3=7,d2-2=3或d2-2|=2 或d2-2|=1, 当n>0时，lcn-u=|(-1)d-n+2 当d2-2|=3时，d2=5,此时|d1-1∈{2,1,0}， =-(-1)d+m-2=(-d+1)n+d-2, d1∈{3,2,1}， 一d十1>0，aw一n随的增大而增大，则d<-1, 当d2-2|=2时，d2=4,d1-1|=1或|d1-1= 所以{cn}的公差d的取值范围是（一o∞，-1）U(1,十∞). (3)由d∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9(i=1,2,3,4), 0,此时d1=2或d1=1, 得d,一n最小值为0，最大值为5， 当|d2-2|=1时，d2=3或d3=1,此时d1-1=0, ①若d4-4|=5,则d4=9,d3-3|=2,3,4, d1=1,因此数列{d,}的个数为3十2十2=7： 若d-3|=2,则d3=1或d3=5,d2-2=1,d2=1或 ②若d4-4=4,则d1=8,d3-3=2,3,由①得数 d2=3,此时d1-1=0, 列{dn}的个数为4+4=8； d1=1,因此数列{dn}的个数为2×2×1=4： ③若d4-4|=3,则d4=7,1,d-3|=2, 若|d3-3|=3,则d3=6,d2-2=2或d2-2=1, 则d3=1,5,d2-2|=1,d2=1,3, 当d2-21=2时，d2=4, d1-1|=0,d1=1,因此数列{dn}的个数为2×2×2 |d1-1=1或d1-1=0,此时d1=2或d1=1: =8, 当d2-2|=1时，d2=3或d3=1, 此时d1-1=0,d1=1,因此数列{dn}的个数为2+ 所以所有满足条件的数列{dm}的个数是4十4+7十8 2=4: +8=31. 新试题精选（八） 选择题答案速查 题号 1 2 6 6 9 10 11 答案 B B B D B D C A ACD BCD ABD 1.B[因为之=2+i+3i=2i++31=一2i+1+3i 2 3 =1+i,所以之=1-i.] 2.B[由log2x>1,得x>2,即B={x|x>2},CRB= BE {xx≤2}，由x2-3x<0得0<x<3,即A={x|0<x <3. /3 所以A∩(CRB)={x0<x≤2}=(0,2].] 3.B[由|bl<al,得a·b=a|bcos(a,b)<aa 故√（）+3=解得m=] c0s〈a,b)≤a2,故必要性成主： 由a·b<a2,得|a|blcos(a,b)<|a|a, 7.C[由题意mA-M=5e(0） 得blcos(a,b)<a, |b<|a不一定成立，故充分性不成立. ma-Mn=5(） 所以“a·b<a2”是“|b|<a”的必要不充分条件.] 两式相减可得：mA一MA一mB十MB 4.D[已知{an》是等差数列，根据等差数列的性质可得 a3十a7=a5十a5=2a5=10,则a5=5. =(9）-5e(0】 =-5, 又因为a5ag=65,所以5ag=65,解得ag=13.设等差 文mB-mA=4,所以MB-MA=-1, 数列{an}的公差为d,根据等差数列通项公式a,=a1 所以MA=MB+1.] 十a一D1,可得侣a十好ig湖得=2 8.A[由双曲线的定义知2a=4,得a=2, 所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1), 一3.根据等差数列的前n项和公式可得Sn=n× B(x2,y2)在抛物线y=2.x2上，所以y1=2.x, （-3)+n12D×2=-3m+n(-1）=2-4m. y2=2x,两式相减得y1-y2=2(x1一x2)(x1十x2), 不妨设x<x2,又A,B关于直线y=x十m对称， 将S=n2-4代入S可得.S=0二4=1-4.] 所以二兴=-1，故1十=分而n8=-司 1 x1一x2 5B[+}-)广=1+1-，1+1-2 解得1=-1，=名设A(.B物)的中 表示5个(1-x1-x)相乘， 展开式中出现x3有两种情况，第一种是(1十x1-x)5 点为M(x0%),则0=十2=一1 2 %=+ 2 中选出3个一x和2个1， 第二种是(1十x1-x)5中选出4个一x和1个x1, 22-景周为中点M在直线y+0上， 2 所以展开式中含有x3项有C号(-x)3×12=一10.x3 和Cg(-x)4(x-1)1=5x3, 所以 子+m,解得m=号] 所以x3项的系数为-10十5=-5.] 9.ACD[对于数据组5,7,9,11,3,13,15，排序后为3， 6.D[连接BC交x轴于E, 5,7,9,11,13,15. 由于A,B,C,D四点在同一个圆上，且A,D和B,C 计算第60百分位数： 均关于点E对称， 根据人教版教材方法，位置计算为nXp%=7×0.6 故E为圆心， 4.2,向上取整到第5个位置，对应数值11，因此选项 故AE=|BE, A正确； ·29· 数学 选项B分析： 方法二：设AB,BE在AC上的投影向量分别为a,B,易 随机变量7=3-2，已知D()=3,根据方差性质： 方差线性变换公式为D(7)=32×D()=9X3=27, 知B=一 a,由数量积的几何意义可知，AB·AC 1 选项B中D(7)=9错误； 选项C分析： aAC=2,BE,AC=B,AC=-之u·AC= 经验回归方程y=3.x十2必经过样本均值，点(x,y),当 x=2时，代入方程得y=3×2十2=8，选项C正确； 合×2=-1 选项D分析： 从12名候选人(7男5女)中不放回地抽取5人，男生 答案：-1 人数X服从超几何分布H(12,7,5),选项D正确.] 13.解析：如图，在△ABP中，|BP 10.BCD[等差数列{an}若为常数列，则am+1一aw=0, =|AB|,所以∠BPA=∠PAB u+2一a无意义，所以等差数列{an}不一定是等 an+1-an 差比数列，A选项错误；若公比为g的等比数列{an}是 所以∠ABP=π一∠BPA一 0 等差比数列，则{an}不是常数列，a,=a1q”1,9≠1， 2n+2-am+1_=a1q"+1-a1g” ∠PAB=2x」 3 0aa1g-a1g=g,即该数列的公比与 又因为BP∥x轴，所以∠BFx 公差比相同，B选项正确； 若教列{S,是等差比数列，则2一Sl=Q+2 =子，因此km=1an号=6， 3 S+1-S a+1 故直线AB的方程为y=√5(x一1)，联立 9,所以数列{aw十1}是等比数列，故C选项正确 若数列{a》是等比数列，公比为q,则+2 y=5x-5,得3x2-10x+3=0, y2=4x aw十1 Sn+2-S+1=q, 10 设A(x1y),B(x2y2),则x1+2=3 S+1-S 所以数列{S,}为等差比数列，故D选项正确.] 由抛物战的定义知AB=十十p=吕。 11.ABD[任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0,则f(0十0)=2f(0)=f(0),解得f(0) 而BF=3FA,所以BF到=是AB=4, =0, 任意x∈R,令y=一x,则f(x-x)=f(x)十f(-x) 在△PBF中，∠ABP-径，BP=AB=。 =0, 即f(一x)=一f(x),所以f(x)是奇函数，则f(x)的 由余弦定理，得|PF|2=|BF|2+|BP|2-2|BF 图象关于原点对称： 又f(x十2)=-f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的 1BPo-16+25-24××(←）-g 图象关于直线x=1对称： 又f(x十2)=-f(x),则f(x十4)=-f(.x十2)=f 解得PF=4V3 3 (x), 所以函数y=f(x)为周期函数，4为函数y=f(x)的 答案，43☑ 3 一个周期， 14.解析：当0<c<1时，内层函数u=cx一t为减函数， 故A,B正确： C项，对任意x1,x2∈[-1,0]，都有(x1-x2)[f(x1) 外层函数y=logW为增函数， -f(x2)]>0, 由复合函数法可知，函数y=log(cx一t)在定义域上 故f(x)在[一1,0]单调递增，又f(x)图象关于原，点 为增函数； 对称， 当c>1时，内层函数“=cx一t为增函数，外层函数 则f(x)在[0,1]单调递增，又f(x)的图象关于直线 y=logu为增函数， x=1对称， 由复合函数法可知，函数y=log(c一t)在定义域上 则f(x)在[1,2]单调递减，故C错误； 为增函数 D项，由f(x)的周期为4，且f(x)的图象关于直线x 综上所述，函数y=log。(c2一t)(c>0,c≠1)在定义 =1对称， 域上为增函数， 则f(2026)=f(2024+2)=f(2)=-f(0)=0,故D 正确. 报据题意，存在[学合]D使得f()在 12.解析：方法一：BE·AC (AE-AB)·AC [台受]小上的位线为a, (-A)·C (logc (c-1)=a 则 2AD·AC-AB·AC, (log。(c÷-t)=b' 所以关于x的方程log(c2-t)=2x至少有两解，即 AB·AC=2,且由对称性易知AD·AC=AB·AC cx-t=c2x,可得c22-cx十t=0, =2B酝花=adC-A店.C=合×2 m=c*>0,f(m)=m2-m+t, 由题意可知，函数f(m)有两个不等的正零，点 2=-1. m1、1m2, ·30· 参考答案 ,△=1-4t>0 所以 m1十m2=1>0,解得0<1<4 BX0=1x号+2×毫+3X日-2 (m1m2=t>0 (2)(1)零假设为Ho: 因此，实数1的取值范国是(0，) 性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购 买新能源汽车无关联 答案：(0，)》 当m=0时， A2.2=80,B2,2=70,A2,3=20,B2.3=0.5X0.3×200 15.解：(1)如图，在△DBC中， =30, CD=√5，BC=√6，BD=1, A3,2=60,B3,2=0.5×0.7×200=70, 根据余弦定理，得os∠DBC A3.3=40,B3,3=0.5×0.3×200=30, BD2+BC2-CD2 K2=A8B2)+A8-Ba2十 2BD·BC B2,2 B2,3 12+(6)2-(3)2_ (A3,2-B3.2)2 (A3.3-B3.3)2 (80-70)2 2×1×√6 3 B3.2 B3,3 70 又在△ABC中，co∠ABC=5,BC=5,AB=2, (20-302+60-70)2+40-302-200≈9.524， 30 70 30 21 根据余弦定理，得coS∠ABC=AB2+BC2-AC 9.524>7.879=x0.005, 2AB·BC .根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断 22+(√6)2-AC√6 H。不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关 联，此推断犯错误的概率不超过0.005， 2X2×√6 3 解得AC=√2： （i)K2=（80-m-70)2+20+030)2+ 70 30 (2)如图，延长BA,使AE= AC,则△AEC为等腰三角形， (60+m-70)2+40-m-30)2_210-m)2 70 30 21 ∠AEC=∠ACE, ∠BAC=∠AEC+∠ACE= 由题唐可知210，m)2≥2.706， 21 2∠AEC, 又∠BAC=2∠BCD,所以 D 整理得(10-m)2≥28.413， ∠BCD=∠AEC,所以∠BDC 又m∈N,m<10,.m≤4，所以m的最大值为4， =∠BCE, 又80一4=76，∴至少有76名男性购买新能源汽车 所以△BDC∽∠BCE, 17.解：(1)f(x)的定义域为（一o,十∞）， 则器品 f'(x)=4ae2x+2(a-1)e'=(2ae2-1)·(2e2+1) 若a≤0，则f(x)<0,则f(x)在(-o∞，+∞)上单调 即AB+AE-BC 递减； CB BD 若a>0,则由f(x)=0,得x=-ln2a. 所以2先C=C则C=2+AC 当x∈(-o∞，-ln2a)时，f'(x)<0: CB 当x∈(-ln2a,+o∞)时，f'(x)>0, 又AC-AD+DC,BC-BD+DC. 所以f(x)在(-∞，一ln2a)上单调递减， 在(-ln2a,十o∞)上单调递增. 所以|AC12=|AD+DC12=|AD12+|DC12+ 综上，当a≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递减； 2|ADI·IDC1cos∠BDC, 当a>0时，f(x)在(-o∞，-ln2a)上单调递减， 在(-ln2a,十o∞)上单调递增. |BC2=|BD+DC2=|BD12+|DC12+21BD1· (2)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点. |DCIcos.∠ADC, 若a>0,由(1)知， 所以1AC2+1BC12=2(1AD12+1DC2) 当x=-ln2a时，f(x)取得最小值， =2[12+(5)2]=8, 最小值为f(-ln2a)=1-2+ln2a, 所以AC2+AC+2=8,即AC2+AC-6=0,解得AC =2或AC=-3(舍). ①当a=号时，由于f(-h2a）=0,故fx)只有- 16.解：(1)当m=0时，用分层抽样的方法抽取购买传统 个零点： 燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人.由题意可 知，X的可能取值为1,2,3. @当a∈（合十）时，因为1一云单调运培，1n2a P(X-1)- e-gX=a clc3 C5, 单调递特，所以1-云十n2如单羽递增， P(X=3)= C9 所以12a+n2a12x是+ln(x2=0, Cg5’ X的分布列如下表： f(-ln2a)>0,故f(x)没有零点； 1 2 ©当a∈(0，号)时，由于1-2元+1n2a<0, P 5 即f(-ln2a)<0, 又f(-2)=2ae4+2(a-1)e2+2 ·31· 数学 -(日+1)+2-2>2号>0， 所以0<g(t)<16(x0一2)，即AB引不存在最大值. 综上，当x0>3时，点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中 故f(x)在(-∞，-ln2a)有一个零点. 存在最大值，且最大值为2(x0一1)： 当2<x0≤3时，点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中不 设正整数而满足≥1n(会一)小 存在最大值。 19.解：(1)由右焦点为F(1,0),得c=1, f(o)=e"(2ae"+2a-2)-10>e”。-n0>0, 因为AM=aAF|,所以|4-a=a(a-1), 故f(x)在(-ln2a,十o∞)有一个零点. 若a≥4，则4-a=-a(a-1),得a2-2a十4=0， 综上，实数a的取值范国为(0)】 无解， 若a<4,则4-a=a(a-1),得a2=4,所以b2=3,因 18.解：(1)证明：设AB为点P(x0,0)(xo>p)的任意一 条“相关弦”， 此C的方复为号+号 且点A,B的坐标分别是(ny1),(x22)(x1≠x2), (2)设B(4,t),易知过B Y 则y月=2px1y吃=2px2, 且与C相切的直线斜率 两式相减得(y1十y2)(y1一y2)=2p(x1一x2), 存在，设为y一t=k(x一 因为x1≠x2,所以y1十y2≠0. 4), 设直线AB的斜率为k,弦AB的中点是M(xmym), y-t=k(x-4) 则k=一2=2单=22=卫 联立 ,消 x1-x2 y1+y2 2ym ym +苦1 可得AB的垂直平分线l的方程为 去y得(3+4k2)x2+8k(t y-ym=- u(z-2m), -4k)x+4(t-4k)2-12=0, 由△=64k2(t-4k)2-4(3+4k2)[4(t-4k)2-12]= 又点P(x0,0)在直线1上， 0,得12k2-8th+t2-3=0, 所以-=-会山- 设两条切线BP、BQ的斜率分别为k1、k2,则k1十k2 因为ym≠0，可得xm=x0一p, 0-g2 故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都为 x0一p,即横坐标相同. ①设BP的斜率为k,则，=石-子 (2)由()得，弦AB所在直线的方程为y一ym=k(x一xm), 且k=2 因为k1十妇=号=2张，所以BD,BF,BQ的斜丰成 ,x1十t2=2xmxm=x0-2, ym 等差数列， 联立方程组ym=k(x-xn) ②在y-t=k1(x一4)中，令x=0,得yp=t-4k1,所 y2=4x 以P(0,t-4k1), 整理得2x2十2[k(ym-kxm)-2]x十(ym一kxm)2=0, 同理，得Q(0,t-4k2),所以PQ的中垂线为y=t一2 ）2 (k1+k2), 易得BP中点为(2，t一2k1),所以BP的中垂线为y -(-广--2 5-人（x2)+1-2k,9 则1AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 y=t2(k1+k2) =(1+k2)[(x1十x2)2-4x1x2] --2+1-2% 联立 ,解得N(2k1k2+2,t =(（+是)[-2-2门 -2(k1十k2), 所以NP=(-2k1k2-2,2k2-2k1),NQ=(-2k1k2 -2,2k1-2k2), =-y4十4(xm-1)y2n十16xm 要使NP·NQ=0,即4(k1k2+1)2-4(k1-k2)2=0, =-[y2-2(xm-1)]2+4(xm+1)2 整理得k1k2十1=k1-k2, =-[y2-2(x0-3)]2+4(0-1)2. 而 1k1-k2|=√(k1十k2)2-4k1k2 因为0<y2<4xm=4(x0-2)=4x0-8, 令t=y品，则t∈(0,4x0-8),记g(t)=-[t-2(x0 3 3)]2+4(x0-1)2,则g(t)=|AB2, 当x0>3时，则2(x0-3)∈(0,4x0-8), 所以2+平，每得=71=士，因 3 因此当t=2(x0一3)时，g(t)有最大值4(x0-1)2,即 此|BM=√7， |AB|的最大值为2(x0-1); 当2<x0≤3时，则2(x0-3)≤0，g(t)在区间(0,4x0 故存在符合题意的点B,使得NP·NQ=O,此时 -8)上单调递减， |BM=√7. ·32·