卷2 新试题精选（二）数学试题-【创新教程】2026年高考数学新试题精选模拟仿真卷

新试题精运（二》 数 学 本试卷满分150分，用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需要改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 整 本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 斯 符合题目要求的.) 1.小明所在的学校每周都要进行数学周测，他将近8周的周测成绩统计如下：112,101,93， 99,106,105,114,119,则这组数据的第25百分位数是 ( A.99 B.100 C.101 D.113 2.复数之= 1+3i 1-i 一i,则川x= A.√/13 B.√5 C.2 D.√2 和 3.已知集合A={xx≥0}，集合B={xx>1},则以下命题为真命题的是 A.]x∈A,x∈B B.3x∈B,x氏A C.Hx∈A,x∈B D.Hx∈B,x在A 4.已知F是抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点，过F的直线L与C交于A,B两点，且A,B 到直线y=一5的距离之和等于|AB一2，则= ) A.6 B.8 C.12 D.14 毁 5.已知正数x,y满足2·4=4，则2x十y的最小值是 A.2√2 B.9 C.2 D.13 6.2025年6月5日中国环境日主题为“美丽中国我先行”.保护环境功在当代，利在千秋，良好的 生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废 气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫米/升)与过滤时间t (单位：小时)之间的函数关系为P=P。·e(t≥0)，其中k为常数，k>0,P。为原污染物 数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继 续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的 参考数据： ≈0.585 A.12% B.10% C.9% D.14% 7.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的 比为 A.2:1 B.3:2 C.7:3 D.7:4 数学试题（二）第1页（共4页） 8.已知a,β∈ ,引2号2.则mg A.2 B.1 c. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.已知函数f(x)=sin(ωx+p) o>0.lgI<z 的部分图象如图所示， 则下列结论正确的是 A,函数f()的图象可由y=sin2x的图象向左平移于个单位长度得到 B.直线x=一 是)图象的一条对称轴 C.若f(x)-f(x川=2，则|x-2的最小值为号 D.直线y一与函数=)在[0,9]上的图象有7个交点 10.已知双曲线E,二--=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过原点的直线1与双 2b2 曲线交于A,B两点，若四边形AF,BF。为矩形且|AF,|=2|AF2|,则下列正确的是 () A.|AB=2√5a B.E的渐近线方程为y=士√2x C.矩形AF,BF。的面积为4a D.L的斜率为士号 11.定义：(x)是函数f(x)的导数，若方程f(x)=0有实数解，则称点(xo,f(x)为函数 y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函 数图象的对称中心.已知函数f(x)-ar-bx2+}(ab≠0)的对称中心为(-1，-1D.则 下列选项正确的有 A.a=36=-1 R0)+〔-0)+f-局)++(-18)+f-2)的值是-21 C.函数f(x)有一个零点 D.过(-3，)可以作三条直线与y=f(x)图象相切 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，在△ABC中，AD⊥AB,BD=2DC,|AD|=1,则AC·AD 数学试题（二）第2页（共4页） 13.2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津.现需将6名工作人 员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一 项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作 人员，则不同的安排方法有 种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安 排相同工作的概率为 14.正三棱台ABCA1B,C1的上、下底边长分别为6,18，该正三棱台内部有一个内切球（与 上、下底面和三个侧面都相切)，则正三棱台的表面积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=3. (I)若C-红，求△ABC面积的最大值， (2)若cosB=日，求a只的值。 tan A 16.(本小题满分15分)已知动点M(x,)与定点F(32,0)的距离与它到定直线1：c=3区 2 的距离的比是常数√2. (1)求动点M的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点P作轨迹的切线与两直线y=士x分别交于A、B两点，证明：三 角形AOB的面积是定值. 17.(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABC一A1B,C1中，AC=2AB =2AA1=2,A1B∩AB1=M,A1B⊥B1C. (1)求证：AB⊥AC; (2)若点N在线段A,C上，满足MN∥平面ABC,求直线B,N与平 面A1BC所成角的正弦值. 数学试题（二）第3页（共4页） 18.（本小题满分17分)已知函数f(x)=工 (1)求f(x)的极值； (2)若f(x)≤2kx十k恒成立，求k的取值范围； (3)证明之，！ e 2(i+1)+<8(e-D(neN). 19.(本小题满分17分)《最强大脑》“脑王争霸”是节目中最激烈的高智商对抗环节，通常由 往届擂主与多名挑战者进行多轮脑力对决.现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙， (1)擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该擂主与甲、乙、丙比赛 努 获胜的概率分别为2，了，求该描主连胜三局的概率； (2)若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比 赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获 胜的概率为α，乙获胜的概率为3，且每局比赛结果相互独立. (ⅰ)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值； （i)若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M,证明：P(M0=。 些 a2+B 数学试题（二）第4页（共4页） 新试题精这（二》 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区（居中） 缺考 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真在规定位置贴 正确填涂 好条形码。 ■ 违纪 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字 错误填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 ☑×O 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 )0三 选择题(1~8小题，每小题5分，共40分9~11小题，每小题6分，共18分)（需用2B铅笔填涂） 正确填涂 1 ABCD 4ABg回 7A®@回 10ABC回 2 A BCD 5AEg回 8A®C回 11AEg回 在各题 3 ABCD 6A回@回 9ABg回 的 题 非选择题（需用0.5毫米黑色签字笔书写） 域 填空题（每小题3分，共15分） 作 12. 13. 超 14. 出 解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二）第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 B A ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二)第2页（共4页) 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座号 考生 姓名 座 号 的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，填写样例：若座号02，则填写为 必填 @包 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二）第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡（二）第4页（共4页）参考答案 当x≥1时，(x+1)3(x-1)-x3(x+2) =-2.x-1<0, 因为2-1=√1+√g+√g1+… 所以W/(x+1)3(x-1)<√x3(x+2), +-1, 所以f(x)<0,f(x)在区间[1，十oo)上单调递减， 即之-1=√-1+√g1+-1+… 所以f(n)>f(n十1)，an+1-an>an+2一an+1: 所以an+2十an≤2an+1, +/(②x-x-x2-…-xw1)2-1. 所以{an}是“上凸数列”. (2)(1)证明：因为{an》是“上凸数列”，由题意可得 所以2/-1≥√1-1+1)-1+√号-1+… 对任意1≤i≤n(i∈N*), +√(2x-x1-x2-xw-1十x1-1)2-1 a;十an-i计1≥a:-1十an-i计2≥a:-2十an-i+3…≥a2十 an-1≥a1+au, √-1+√x2-x2+10)+… 所以2S=(a1+an)+(a2十aw-1)+…+(aw-1+ +/(②x4-1-x2-…-xw-1十x2-1)2-1… a2)+(an+a)2n(ai+a), 所以S,≥号a十a, ≥0+0+0+…+J(2x:-n+1)2-1 (i)令an=√n2-1, /(2,-)2-1, 当且仅当=x2=…=xw-1时等号成立， 由(1)可得当a,=√n2-1时，{an}是“上凸数列”， 所以入≥1一1. 由题意可知，当m≥1十2(m,n∈N*)时，am十an≤ 综上所述，入的最小值为1一1. am-1十a1+1. 新试题精选（二） 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C A C B BCD AD BD 1.B[这组数据从小到大排列为93,99,101,105,106， 再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为 112,114,119,由8×25%=2，得这组数据的第25百 分位数是99+101=100.] 2 B:e-Rxe=BX(传) 1 2D[国为= -i=1+3i)1+D ≈5×0.585×P0≈12%P,.即废气中污染物的残留 (1-i)(1+i) -i=-1+i, 量约为原污染物的12%.] 所以x=√2] 7.C[如图，O1,O2分别为底 3.A[由题知，集合A={xx≥0，集合B={xx>1}, 面中心，O为O1O2的中点， 所以B是A的真子集， D为AB的中点， 所以]x∈A,x∈B或]x∈A,x在B或Hx∈B, 设正六棱柱的底面边长 x∈A,只有A选项符合要求.] 为2， 4.C[依题意，设点A(xA,yA), 若正六棱柱有内切球，则 B(xB,yB),而抛物线C:x2= O01=O1D=√3， D 2py的准线方程为x=一 即内切球的半径r=√3， B 2 则AB=A十合十g十台 OA2=OO+OA2=7,即外接球的半径R=√7， =-5 则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 yA十yB十p,点A,B到直线y=-5的距离和为yA十 4πR2:4πr2=R2:r2=7:3.] yB十10，因此yA+yB十p-2=yA+yB+10,所以p 8.B[由3-simg=2得：-sima=1-2cos2g9sina= =12.] 2-cos2B 5.C[由22·4y=4y,则22·22y=22y, cos 28, 即x+2y=2.xy,则 1+1=1, 再两边平方得：sin2a=cos223→1-cos2a=1-sin223 2y x →cos2a=sin223, 所以2x+y=(2x+(公+宁）) +y+5≥ y 2 又因为a,c(0,受)所以cosa=sin29, 则tan atan2g- 器器器1 当且仅当号=之，即x=)=子时等号成立， 9.BCD[对于A选项，由题图可知，函数f(x)的最小 所以2十y的荒小债是是] 正周期为T=4×(侣+)=，则w经=2。 6.A[因为前9个小时废气中的污染物怡好被过滤掉 又因为f(臣)sim(+9)=1.-<g<受， 80%,所以卫，e=日P,即e=司 所以e3= ) 所以9十=受则9=晋 。 5· 数学 所以f)=sin(2x+)=sin[2(e+)] 国为f)=ar-br2+号的对称中心为(-1，-D. 故函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移 即f(x)十f(-2-x)=-2, 晋个单位长度得到，A错：对于B选项， 令s=0+f()十f(-品)+…+f(8) f(晋)=n(5+晋)m(警)1， +f(-2), 所以直线=晋老f)因象的一条对搭轴，B正 则s=f-2)+f(18)+…+f(0)十f0, 确；对于C选项，因为|f(x1)-f(x2)川=2=f(x)nmax 所以2s-0+-2]+[()+f()] 一frm,所以2-1的最小值为吾=受，C ++[f(-2)+f(0]=-2×21=-42, 所以S=一21，故B正确： 正确； 对于D选项，当0<<19时，营<2x+受≤7x, 因为f(x)=- -22+ 3 3 则f(x)=-2x2-4x=-2x(x十2)， 由)=m(十）可知2x+的可能取 所以当-2<x<0时，f(x)>0,当x<-2或x>0 时，f'(x)<0, 雀集合为{晋11，产2警，3严} 所以函数f(x)在（一∞，一2），(0，十∞)上单调递减， 6 66 66 在（一2,0）上单调递增， 所以直线)与品y=f)在[01g]上的园象 因光函数f)的板大值为0)=日 有7个交点，D正确.] 10.AD[不妨设点A在第一象 极小值为f(-2)=-? 3 限，如图，由题意可得，四边形 AF1BF2为平行四边形， 又f1)=号-3》=3即f0-2f0)<0. 由双曲线的定义，可得AF1 f(0)f(1)<0,f(-3)f(-2)<0, |AF2|=2|AF2-AF2= 所以f(x)在(-3，-2)，(-2,0)和(0,1)上存在零 |AF2|=2a,则|AF=2AF2 点，所以函数f(x)有三个零，点，故C错误； =4a, 设切点为T(x0yo),则切线方程为 对于A,,四边形AFBF2为矩 y 形，则|AB=|FF2=√TAF12+AF22 (号8-26+3）-2i+2m-0. =√(4a)十(2a)z=2√5a,A正确；对于B,由选项A 又切线过(3）则-（导-2+） 可知2c=2√5a,则c=√5a,b=√2-a2=2a,注意到 -2(x8+2x0)(-3-x0), 双曲线E的焦点在x轴上，则E的渐近线方程为 化简得8.x8十48.x8+72.x0十1=0， y=士么x=士2x,B错误：对于C,矩形AF1BF2的 令g(x)=8.x3+48x2+72.x+1, 则g'(x)=24x2+96.x+72=24(x+1)(x十3)， 面积为S=2X2AF,X1AF=4a×2a=8a2,C 当x<-3或x>-1时，g(x)>0,g(x)单调递增， 当-3<x<-1时，g'(x)<0, 错误；对于D,可知|OA|=|OF2|=√5a,|AF2 g(x)单调递减，而g(-3)=1>0,g(-1)=-31<0, =2a, x→-∞，g(x)→-00，x>十∞，g(x)→十∞，所以 则cos∠AOF2= OA12+1OF212-|AF212 g(x)有3个零点，即方程8.x8+48x8+72.x0十1=0 2OA·OF2 -+5cc-号且∠0F,e(0,) 有3个不等实根，所以过(3，后）可以作三条直线 10a2 与y=f(x)图象相切，故D正确.] 可得in∠A0F,--osZA0F-号 12.解析： 故tan∠AOF2 sim∠AOF2=4 A花.AD=(AD+DO)·AD=(A+BD)·AD cos∠AOF23' =(+2BA+2A可)·AD=-A,AD+ 由双曲线的对称性可得1的斜率为士号，D正确.] 市， 1.BD[由f0=ar2-br2+子 由于AD⊥AB,则AB·AD=0, 所以f(x)=3a.x2-2hx,f(x)=6a.x-2b, 令f)=0,得急向西数)=a-h2+的 则aC.=A市=是A=号 对称中心为（一1，一1）， 答案： 所以3a =-1且(-1D=-a-b什3=-1 13.解析：根据题意可将6名工作人员分成三组，符合题 意的分组为2,1,3或2,2,2： 年程a=一号6=2，故人错说： 因此不同的安排方法有CClA号+CC号=120+90= 210种： 6 参考答案 若三项工作各安排2人，共有 $$C _ { 6 } ^ { 2 } C _ { 4 } ^ { 2 } = 9 0$$ 种， (2)设点 坐标为 $$\left( x _ { 0 } ， y _ { 0 } \right) ，$$ ，设曲线在点P处的切线 甲和乙安排相同工作的方法有 $$C _ { 3 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } = 1 8$$ 种 方程为y一yo=k(x一x)， $$y - y _ { 0 } = k \left( x - x _ { 0 } \right) ，$$ $$y - y _ { 0 } = k \left( x - x _ { 0 } \right)$$ ) ，消去y，可得 所以甲和乙安排相同工作的概率为 $$P = \frac { C _ { 3 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } } { C _ { 6 } ^ { 2 } C _ { 4 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 5 } ，$$ 与双曲线方程联立 y， $$\left\{ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 9 \right.$$ 答案： $$： 2 1 0 \frac { 1 } { 5 }$$ $$x ^ { 2 } - \left[ k \left( x - x _ { 0 } \right) + y _ { 0 } \right] ^ { 2 } = 9 ，$$ 整理得 $$\left( 1 - k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } + \left( 2 k ^ { 2 } x _ { 0 } + 2 k y _ { 0 } \right) x - k ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } -$$ 14.解析：由题意知，正三棱台 $$A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 的上、下底 2ky o-y-9=0， $$2 k y _ { 0 } x _ { 0 } - y _ { 0 } ^ { 2 } - 9 = 0 ，$$ 边长分别为6和18 所以 $$1 - k ^ { 2 } e 0$$ 0 且 $$\triangle = \left( 2 k ^ { 2 } x _ { 0 } + 2 k y _ { 0 } \right) ^ { 2 } - 4 \left( 1 - k ^ { 2 } \right)$$ 可得上下底正三角形的高分别为 $$\sqrt { 6 ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } } = 3 \sqrt 3 ，$$ $$\left( - k ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 2 k y _ { 0 } x _ { 0 } - y _ { 0 } ^ { 2 } - 9 \right) = 0 ，$$ $$\sqrt { 1 8 ^ { 2 } - 9 ^ { 2 } } = 9 \sqrt 3 ，$$ 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为 解得 $$k = \frac { x _ { 0 } } { y _ { 0 } } ，$$ 代入 $$y - y _ { 0 } = k \left( x - x _ { 0 } \right) ，$$ ，得 $$y _ { 0 } y - y _ { 0 } ^ { 2 } =$$ 上下底的重心， $$x _ { 0 } x - x _ { 0 } ^ { 2 } ，$$ 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 所以切线方程为xx一oy=9， $$x _ { 0 } x - y _ { 0 } y = 9 ，$$ 设内切球半径为 ，则 $$2 r = \sqrt { \left( 4 \sqrt 3 \right) ^ { 2 } - \left( 2 \sqrt 3 \right) ^ { 2 } } ，$$ 解得 与 y=x 联立得 $$x _ { A } = \frac { 9 } { x _ { 0 } - y _ { 0 } } ， 5$$ y=-x 联立 r=3， ，所以正三棱台的高为 6， 所以 $$= 3 \times \left( 6 + 1 8 \right) \times 4 \sqrt 3 \div 2 + \frac { \sqrt 3 } { 4 } \times 6 ^ { 2 } + \frac { \sqrt 3 } { 4 } \times$$ $$x _ { B } = \frac { 9 } { x _ { 0 } + y _ { 0 } } ，$$ $$1 8 ^ { 2 } = 2 3 4 \sqrt 3 .$$ $$S _ { \triangle A D B } = \frac { 1 } { 2 } | \sqrt 2 x _ { A } \cdot \sqrt 2 x _ { B } | = | \frac { 8 1 } { x _ { 0 } ^ { 2 } - y _ { 0 } ^ { 2 } } | = \frac { 8 1 } { 9 } = 9 ，$$ B A 为定值. $$\sqrt 3$$ 17.解：(1)证明 $$\because A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$ 为直三棱柱， C $$\sqrt 3$$ $$\therefore A A _ { 1 } \bot$$ 平面 $$A B C ， \therefore A A _ { 1 } \bot A B ， A A _ { 1 } \bot A C ，$$ $$B _ { 1 }$$ 又 $$A A _ { 1 } = A B ，$$ ，所以四边形 $$A A _ { 1 } B _ { 1 } B$$ 为正方形， $$A _ { 1 }$$ 6 $$3 \sqrt 3$$ $$\therefore A _ { 1 } B \bot A B _ { 1 } ，$$ ，又 $$A _ { 1 } B \bot { B _ { 1 } } { C } ， A B _ { 1 } \cap { B _ { 1 } } { C _ { 1 } } = B _ { 1 } ，$$ 2 $$2 \sqrt 3$$ 3 $$A B _ { 1 } ， B _ { 1 } C \subset$$ 平面 $$A B _ { 1 } C ，$$ $$3 \sqrt 3$$ $$\therefore A _ { 1 } B \bot$$ 平面 $$A B _ { 1 } C ，$$ ，又 AC⊂ 平面 $$A B _ { 1 } C ，$$ $$C _ { 1 }$$ $$\therefore A _ { 1 } B \bot A C ，$$ 甲 乙 又 $$A C \bot A A _ { 1 } ， A _ { 1 } B \cap A A _ { 1 } = A _ { 1 } ，$$ 答案： $$： 2 3 4 \sqrt 3$$ $$A _ { 1 } B ， A A _ { 1 } \subset$$ 平面 $$A A _ { 1 } B _ { 1 } B ，$$ 15.解：(1)由余弦定理得 $$c ^ { 2 } = 9 = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a b \cos C \ge$$ ∴AC⊥ 平面 $$A A _ { 1 } B _ { 1 } B ，$$ ，又 AB⊂ 平面 $$A A _ { 1 } B _ { 1 } B ，$$ 2ab+ab=3ab， ，则 ab≤3， ∴AC⊥AB. $$S = \frac { 1 } { 2 } a b \sin C = \frac { \sqrt 3 } { 4 } a b \le \frac { 3 \sqrt 3 } { 4 } ，$$ (2) )连接 $$A _ { 1 } C ， M N ， B _ { 1 } N .$$ ∵MN∥ 平面 ABC， 又 MN⊂ 平面 $$A _ { 1 } B C ，$$ ，平面 $$A _ { 1 } B C \cap$$ 1平面 ABC=BC， 当且仅当 $$a = b = \sqrt 3$$ 时，等号成立， ∴MN∥BC. .又 M 为 $$A _ { 1 } B$$ 的中点， 所以 △ABC 面积的最大值为 $$\frac { 3 \sqrt 3 } { 4 } .$$ ∴N 为 $$A _ { 1 } C$$ 的中点， 以 A 为坐标原点， AB， $$z _ { i }$$ (2)由 $$\cos B = \frac { 1 } { a } = \frac { 3 } { 3 a } = \frac { c } { 3 a } ，$$ $$A C ， A A _ { 1 }$$ 所在直线分别为 $$C _ { 1 }$$ N 则根据正弦定理得 sinC=3sinAcosB， x轴 y轴，z轴建立如图 $$B _ { 1 }$$ 所示的空间直角坐标系， 又 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， $$\widehat { M }$$ $$\overrightarrow { A }$$ y 则 $$A _ { 1 } \left( 0 ， 0 ， 1 \right) ， B \left( 1 ， 0 ， 0 \right) ，$$ 则 2sinAcosB=cosAsinB， $$C \left( 0 ， 2 ， 0 \right) ， B _ { 1 } \left( 1 ， 0 ， 1 \right) ，$$ ， 所以 tanB=2tanA， $$P \frac { \tan B } { \tan A } = 2 .$$ $$N \left( 0 ， 1 ， \frac { 1 } { 2 } \right)$$ 16.解：(1)根据题意得 $$\frac { \sqrt { \left( x - 3 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 1 } \sqrt { 2 } | } = \sqrt 2 ，$$ (x一32)²+y-，则可得 $$\therefore \overrightarrow { B _ { 1 } N } = \left( - 1 ， 1 ， - \frac { 1 } { 2 } \right) ，$$ $$- \frac { 3 \sqrt 2 } { 2 }$$ 设平面 $$A _ { 1 } B C$$ 的法向量为 n=(x，y，z)， $$\sqrt { \left( x - 3 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \sqrt 2 | x - \frac { 3 \sqrt 2 } { 2 } | .$$ $$\overrightarrow { A _ { 1 } B } = \left( 1 ， 0 ， - 1 \right) ， \overrightarrow { A _ { 1 } C } = \left( 0 ， 2 ， - 1 \right) ，$$ 将上式两边平方，得( $$\left( x - 3 \sqrt 2 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } =$$ 由 $$\left\{ \begin{array}{l} n \cdot \overrightarrow { A _ { 1 } B } = 0 \\ n \cdot \overrightarrow { A _ { 1 } C } = 0 \end{array} \right. ，$$ $$， 则 \left\{ \begin{array}{l} x - z = 0 \\ 2 y - z = 0 \end{array} \right. ，$$ ，不妨取z=2， z=2， $$2 \left( x - \frac { 3 \sqrt 2 } { 2 } \right) ^ { 2 } ，$$ 所以平面 $$A _ { 1 } B C$$ 的一个法向量为 n=(2，1，2)， 设直线 $$B _ { 1 } N$$ 1与平面 $$A _ { 1 } B C$$ 所成角为 θ， 整理得 $$x ^ { 2 } - 6 \sqrt 2 x + 1 8 + y ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } - 6 \sqrt 2 x + 9 ，$$ ，所以 $$x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 9 ，$$ 则 si 所以 $$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ，$$ $$= | \cos \left( \overrightarrow { B _ { 1 } N } ， n \right) \right\} | = \frac { | \overrightarrow { B _ { 1 } N } \cdot | n | } { | B _ { 1 } N | n | } = \frac { 2 } { \frac { 3 } { 2 } \times 3 } = \frac { 4 } { 9 } ，$$ 故动点M的轨迹方程为 $$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 .$$ 所以直线 $$B _ { 1 } N$$ 与平面 $$A _ { 1 } B C$$ 所成角的正弦值为 $$\frac { 4 } { 9 } ，$$ · 7 7· 数学 18.解：D由f)=三得f(x)= 19.解：(1)设该擂主连胜三局为事件A,该擂主与甲、 e 由f'(x)>0可得x<1:由f(x)<0可得x>1: 乙、丙比赛获胜分别为事件B,C,D,则P(B)=2, 所以f(x)在(-o∞，1)上单调递增：在(1，十o∞)上单 调递减 PC=子PD)=子 所以代)有板大彼)=。无板小位： 由题知，事件A,B,C相互独立， (2)由题意，k(2.x十1)≥f(x)对x∈R恒成立. 1 所以P(A)=P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=X号 当x=子时，k(2x+1D≥x)显然成立 当x<-时，由2r十1D≥f), 所以该擂主连胜三局的概率为办 等≤2千1e:当>-名时，由6(2x十1)≥ (2)(ⅰ)因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲 获胜”或者“乙获胜”，则a十B=1, f(x),得k≥ (2r+1)ex 由题意得X的所有可能取值为：2,4,5， 设画数h（r）=2千e,则（x) P(X=2)=a2+ P(X=4)=(a8+a)a2+(a3+a)g=2a3(a2+2), (2x+1)-x(2x+3)=(x+1)(1-2.x) P(X=5)=(a3+a)·(a3+a)·a+(a8+Ba)·(a3 (2.x+1)2e (2x+1)2e +a)·B=4a2g, 当x<-1或x>2时，M()<0:当-1<<号且 所以X的分布列为： x≠-时，(x)>0. X 2 5 P 所以M)在（一∞，一1）和（分，十∞）上单调递减， a2+B 2a3(a2+2) 4a2 所以X的期望为： 在(1，)（宁·）上单阴适塔， E(X)=2(a2+g2)+8a8(a2+2)+20a2g 号时，()nm=h(-1D=e =2(1-2a3)+8a3(1-2a8)+20a2g 所以当x< =4a2g2+4a8+2, 由1=a十≥2V丽，得长子，当且仅当。=g=司 所以表的取维范网关[侣] 时取等号，则0<a子 (3)由(2)知，e(2.x+1)≥f(x), 因此E(X)=4a2+4a3+2=(2a3+1)2+1≤ 故(2.x+1)e+1≥x(x∈R). (2x+1)°+1- 2 令=h-1eN 所以ECX)的最大值为是 ()设事件A,B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜” 化简并整理，得士31n汁21 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， j+1+1+11 由题设可知前两局比赛结果可能是AA,BB,AB, 故0+3n号>1. BA,其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 所以(G+3)lnG+2)-(G+2)ln(G+1)≥1+ln(G+1). 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB,BA表示“甲、 累加，得2[G+3)1nG+2)-G+21nG+1D]≥ 乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与 [1+1n(j+1)](≥2，且iN*). 比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以(i+2)ln(i+1)-3ln2≥(i-1)+ln(i!), 所以P(MD=P(AA)·1+P(BB)·0+P(AB)· 故n+≥na!·e-). P(M)+P(BA)·P(M 前以≥·， 8 =P(A)P(A)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M) ≤（当 =a2+a3P(M)+BaP(M)=a2+2aBP(M), =1时也成立)， 所以空≤名多=卡×士 图此1-29P(M=a2,得P(M0=2a3了 而a十g=1,所以P(M0=a+B2-2@3 a2 a2 a2+2a8+g-2a8a2+ ·8·