第一单元 长方体和正方体（期中知识清单）数学苏教版六年级上册

第一单元 长方体和正方体 期中复习知识清单 考点一：长方体和正方体的认识 1．长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2．正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3．正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 考点二：长方体和正方体的表面积 1．长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2．正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3．利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 考点三：体积和容积的认识及其单位 1．体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2．容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3．体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4．容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 考点四：长方体和正方体的体积 1．长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2．正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3．运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4．体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 考点五：体积单位间的进率 1．相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 2．高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 3．体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 题型1：长方体和正方体的认识 【例1】（24-25六年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长方体物品的长、宽、高，请你根据具体数据估计这可能是（    ）。 A．书包 B．文具盒 C．数学书 D．电视机 【答案】B 【分析】根据生活经验、数据大小及对长度单位的认识，结合长方体的特征可知，书包、数学书、电视机不可能是长25cm，宽10cm，高4cm的长方体，据此选择。 【解答】A．书包的高超过4cm，所以这个物品不可能是书包； B．文具盒的长约是25cm，宽约是10cm，高约是4cm，所以这个物品可能是文具盒； C．数学书的高小于4cm，所以这个物品不可能是数学书； D．电视机的长大于25cm，宽大于10cm，高大于4cm，所以这个物品不可能是电视机。 故答案为：B 【练1】（24-25六年级上·江苏南通·期中）用下面的材料焊接一个长方体框架（不对铁条进行切割）。如果在这个长方体外面糊上一层包装纸，在里面最多可以放（ ）个棱长3厘米的小正方体。 铁条长度 25cm 20cm 15cm 9cm 铁条根数 5 6 3 4 【答案】144 【分析】依据题意可知，长方体的长是25cm，宽是20cm，高是9cm，然后计算长有几个3厘米，宽有几个3厘米，高有几个3厘米，再计算有多少个棱长为3厘米的正方体。 【解答】依据题意可知，长方体的长是25cm，宽是20cm，高是9cm。 25÷3＝8（个）……1（厘米） 20÷3＝6（个）……2（厘米） 9÷3＝3（个） 8×6×3＝144（个） 所以，在里面最多可以放144个棱长3厘米的小正方体。 题型2：长方体和正方体的展开图 【例2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下列三幅图形，关于能否围成长方体或者正方体有多种叙述，其中正确的是（    ）。 A．图1和图2可以围成 B．图2和图3可以围成 C．图1和图3可以围成 【答案】A 【分析】根据正方体展开图、长方体展开图的特征进行解答。 【解答】 图1，，属于正方体展开图的“2－3－1”型，能围成正方体； 图2，，属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体； 图3，，不属于长方体展开图的特征，不能围成长方体。 下列三幅图形，关于能否围成长方体或者正方体有多种情况，其中正确的是图1和图2可以围成。 故答案为：A 【点评】熟练掌握正方体、长方体展开图的特征是解答本题的关键。 【练2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下列三幅图形，关于能否围成长方体或者正方体有多种叙述，其中正确的是（    ）。 A．图1和图2可以围成 B．图2和图3可以围成 C．图1和图3可以围成 【答案】A 【分析】根据正方体展开图、长方体展开图的特征进行解答。 【解答】 图1，，属于正方体展开图的“2－3－1”型，能围成正方体； 图2，，属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体； 图3，，不属于长方体展开图的特征，不能围成长方体。 下列三幅图形，关于能否围成长方体或者正方体有多种情况，其中正确的是图1和图2可以围成。 故答案为：A 【点评】熟练掌握正方体、长方体展开图的特征是解答本题的关键。 题型3：长方体和正方体的表面积 【例3】（24-25六年级上·江苏苏州·期中）根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】40 【分析】观察可知，长方体的长是5厘米，宽2.5厘米，高1厘米，根据，代入数据计算即可。 【解答】 （平方厘米） 根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是40平方厘米。 【练3】（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】44 【分析】把正方体切成2个长方体，表面积比原来增加了2个正方形面的面积，已知原来正方体的表面积是48平方厘米，用表面积除以6即可求出1个面的面积，进而求出2个面的面积；然后用原来正方体的表面积加上增加的面积，即可求出现在2个长方体的表面积，最后减去第一个长方体表面积，即可求出第二个长方体表面积。 【解答】48÷6＝8（平方厘米） 8×2＝16（平方厘米） 48＋16＝64（平方厘米） 64－20＝44（平方厘米） 第二个长方体的表面积是44平方厘米。 题型4：长方体和正方体的体积 【例4】 （24-25六年级上·江苏苏州·期中）一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】288 【分析】由题意可知，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，即减少了长为2厘米的长方体的侧面积，用48除以2即可求出长方体的底面周长，根据正方形的周长公式：C＝4a，据此求出长方体的底面的宽和高，最后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此计算即可。 【解答】48÷2＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） （6＋2）×6×6 ＝8×6×6 ＝48×6 ＝288（立方厘米） 则原来长方体的体积是288立方厘米。 【练4】（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长之和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】64 152 96 【分析】观察长方体的展开图的可知，这个长方体的长是8厘米、宽是6厘米、高是2厘米；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【解答】（8＋6＋2）×4 ＝16×4 ＝64（厘米） （8×6＋8×2＋6×2）×2 ＝（48＋16＋12）×2 ＝76×2 ＝152（平方厘米） 8×6×2 ＝48×2 ＝96（立方厘米） 这个长方体的棱长之和是64厘米，表面积是152平方厘米，体积是96立方厘米。 题型5：体积单位、容积单位间的换算 【例5】 （23-24六年级上·江苏·期中）4.5升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米 3080立方厘米＝（ ）立方分米＝（ ）升 【答案】4500 4500 3.08 3.08 【分析】根据1升＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米，1立方分米＝1升；明确高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【解答】4.5升＝4500毫升＝4500立方厘米 3080立方厘米＝3.08立方分米＝3.08升 【点评】本题主要考查了体积（容积）单位的换算，明确高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率。 【练5】（23-24六年级上·江苏盐城·期中） 立方分米＝（ ）立方厘米   1.35立方分米＝（ ）升（ ）毫升 3立方米20立方分米＝（ ）立方米       5.4升＝（ ）毫升 【答案】200 1 350 3.02 5400 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【解答】立方分米＝200立方厘米 1.35立方分米＝1350毫升 1350毫升＝1000毫升＋350毫升＝1升350毫升 20立方分米＝0.02立方米 3＋0.02＝3.02立方米 3立方米20立方分米＝3.02立方米 5.4升＝5400毫升 【点评】熟练掌握单位间的进率是解题的关键。 题型6：测量不规则物体的体积 【例6】 （24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体玻璃缸，长6分米，宽5分米，高6分米，其中水深2.8分米，若投入一个棱长为3分米的正方体铁块（底部与玻璃缸底部完全接触），则水面上升（ ）分米。 【答案】0.9 【分析】根据题意，正方体铁块的体积＝上升的水的体积，上升的水的形状是长6分米，宽5分米的长方体。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可求出正方体铁块的体积，即上升的水的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用上升的水的体积除以玻璃缸的长和宽，即可求出水面上升的高度。 【解答】3×3×3＝27（立方分米） 27÷6÷5＝0.9（分米） 则水面上升0.9分米。 【练6】（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下面是测量一个土豆体积的实验步骤，但顺序被打乱了。 ①列式计算出土豆的体积。 ②找一个长方体无盖透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米。 ③将土豆完全浸没在水中，量出水面高度22厘米。 ④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 实验的正确顺序应该是： → → → （填序号）。 算一算，这个土豆的体积是（ ）立方厘米。 【答案】② ④ ③ ① 336 【分析】（1）根据实验步骤：要先量长方体塑料罐的长、宽、高，再倒入水，量出水面的高度，然后将土豆完全浸没在水中，再量出此时水面的高度，升高的水的体积就是土豆的体积，最后即可列式计算土豆的体积。按这样的顺序排列即可； （2）土豆的体积＝容器的底面积×水面上升的高度； 【解答】实验的正确顺序应该是：②→④→③→① （立方厘米） 这个土豆的体积是336立方厘米。 一、填空题 1．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图，一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积是1立方厘米的正方体。这个玻璃容器的容积是（ ）立方厘米。 【答案】60 【分析】看图可知，长方体容器的长4厘米，宽3厘米，高5厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出这个玻璃容器的容积。 【解答】4×3×5＝60（立方厘米） 这个玻璃容器的容积是60立方厘米。 2．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）用铝合金做一个长、宽、高分别是70厘米、15厘米和120厘米的长方体广告灯箱（如图），至少需铝合金条（ ）分米。在灯箱外面的各个面用灯箱布围成，至少（ ）平方分米的灯箱布。 【答案】82 225 【分析】用铝合金做一个长方体灯箱，需要用到铝合金条长度就是长方体的棱长之和，长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，可得到答案；灯箱外面用灯箱布围成，则计算长方体的表面积：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此计算得出答案。 【解答】至少需要铝条： （70＋15＋120）×4 ＝205×4 ＝820（厘米）＝82分米 至少需要灯箱布： （70×15＋70×120＋15×120）×2 ＝（1050＋8400＋1800）×2 ＝11250×2 ＝22500（平方厘米）＝225平方分米 3．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了（ ）平方厘米，体积增加了（ ）立方厘米。 【答案】96 192 【分析】根据题意可知，高增加3厘米，表面积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的侧面积；根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出增加部分的面积；体积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】（8×3＋8×3）×2 ＝（24＋24）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 表面积增加了96平方厘米，体积增加了192立方厘米。 4．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用一根长为96厘米的铁丝做成一个最大的正方体，并在表面糊上彩纸，糊彩纸的面积是（ ）平方厘米，做成的正方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】384 512 【分析】根据题意，铁丝长度就等于正方体的棱长和。先算出正方体的棱长，用96除以12即可。再根据正方体的表面积公式：边长×边长×6，代入数据，即可求出糊彩纸的面积。再根据正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据计算即可。 【解答】96÷12＝8（厘米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 所以糊彩纸的面积是384平方厘米，做成的正方体的体积是512立方厘米。 5．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】44 【分析】把正方体切成2个长方体，表面积比原来增加了2个正方形面的面积，已知原来正方体的表面积是48平方厘米，用表面积除以6即可求出1个面的面积，进而求出2个面的面积；然后用原来正方体的表面积加上增加的面积，即可求出现在2个长方体的表面积，最后减去第一个长方体表面积，即可求出第二个长方体表面积。 【解答】48÷6＝8（平方厘米） 8×2＝16（平方厘米） 48＋16＝64（平方厘米） 64－20＝44（平方厘米） 第二个长方体的表面积是44平方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏淮安·期中）一个无盖的长方体泡沫箱，从外面量长6分米、宽5分米、高4分米，泡沫厚5厘米，平放在地上占地面积最小是（ ），体积是（ ）立方分米，最多能盛（ ）升的水。 【答案】20平方分米/20dm2 120 70 【分析】（1）根据长方体的特征可知，这个长方体泡沫箱的6个面都是长方形；根据长方形的面积＝长×宽，比较长方体每个面的面积，把长方体泡沫箱面积最小的面平放在地上，就是占地最小的面积。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出泡沫箱的体积； （3）求这个泡沫箱最多能盛水的体积，就是求长方体泡沫箱的容积；因为泡沫厚5厘米即0.5分米，从里面量泡沫箱的长是（6－0.5－0.5）分米，宽是（5－0.5－0.5）分米，高是（4－0.5）分米；根据长方体的容积＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”即可求解。 【解答】（1）6×5＞6×4＞5×4 占地面积最小是：5×4＝20（平方分米） （2）体积：6×5×4＝120（立方分米） （3）5厘米＝0.5分米 里面的长：6－0.5－0.5＝5（分米） 里面的宽：5－0.5－0.5＝4（分米） 里面的高：4－0.5＝3.5（分米） 容积：5×4×3.5＝70（立方分米） 70立方分米＝70升 填空如下： 平放在地上占地面积最小是（20平方分米），体积是（120）立方分米，最多能盛（70）升的水。 二、选择题 7．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）长方体的游泳池，长25米，宽10米，深2米，绕池口走一圈至少要走（    ）米。 A．24 B．54 C．70 D．111 【答案】C 【分析】绕池口走一圈，求长方体的底面周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入公式解答。 【解答】（25＋10）×2 ＝35×2 ＝70（米） 绕池口走一圈至少要走70米。 故答案为：C 8．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）如图，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来相同 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意可知，将这个长方体挖掉一个小长方体，表面积减少了小长方体的上面与前面的2个小长方形的面积，但又增加了小长方体的后面、下面、左面和右面4个小长方形的面积，根据长方体的相对的面面积相等，所以挖掉一个小长方体后的长方体比原来的长方体的表面积增加了2个小长方形的面积；据此解答。 【解答】据分析可知，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积比原来大。 故答案为：A 9．（24-25六年级上·江苏南通·期中）观察下图中数字1、2、3所在位置，挖掉（    ）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 【答案】B 【分析】挖掉数字1处的一个小正方体，表面积不变；挖掉数字2处的一个小正方体剩下部分表面积增加了4个小正方形的面积，挖掉数字3处的一个小正方体，增加2个小正方形的面积，所以挖掉数字2处的小正方体后剩下部分的表面积最大。据此解答即可。 【解答】由分析可知： 挖掉数字2处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 10．（24-25六年级上·江苏泰州·期中）用一些1立方厘米的小正方体摆出一个大正方体，大正方体的体积可能是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，由于每个小正方体的体积是1立方厘米，所以它的棱长是1厘米。要摆出一个大正方体，大正方体的每条棱长至少是由几个小正方体的棱长组成的。因此大正方体的棱长可能是：2厘米、3厘米…… 以此类推。那么大正方体的体积就可能是：2×2×2＝8（立方厘米）、3×3×3＝27（立方厘米）……以此类推，大正方体的体积应该是一个数的立方；据此逐项判断即可。。 【解答】A．4＝2×2＝22，该选项不符合题意； B．8＝2×2×2＝23，该选项符合题意； C．16＝4×4＝2×2×2×2＝24＝42，该选项不符合题意； D．32＝2×2×2×2×2＝25，该选项不符合题意； 所以大正方体的体积可能是8立方厘米。 故答案为：B 11．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）把一张A4纸（长约30厘米、宽21厘米）从四个角各剪去一个相同的正方形，可以折成一个无盖的长方体纸盒。下面哪一种剪法折成的纸盒容积最大？（    ） A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】B 【分析】在长方形纸的四个角上各剪去一个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒，那么这个无盖长方体纸盒的长等于长方形的长减去2个正方形的边长，长方体的宽等于长方形的宽减去2个正方形的边长，高等于正方形的边长；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，代入数据计算，即可求出纸盒的容积，再比较大小即可。 【解答】①（30－3－3）×（21－3－3）×3 ＝24×15×3 ＝1080（立方厘米） ②（30－4－4）×（21－4－4）×4 ＝22×13×4 ＝1144（立方厘米） ③（30－6－6）×（21－6－6）×6 ＝18×9×6 ＝972（立方厘米） 1144＞1080＞972 图②的剪法折成的纸盒容积最大。 故答案为：B 12．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A．增加了；没有变 B．没有变；减少了 C．减少了；增加了 D．无法确定 【答案】B 【分析】从正方体顶点处挖去一个小正方体，看上去表面积减少了3个小正方形，又出现了同样的3个小正方形，因此表面积不变；现在的体积＝大正方体体积－小正方体体积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此分析。 【解答】原来正方体表面积：3×3×6＝54（cm2） 现在表面积：3×3×6＝54（cm2） 原来正方体体积：3×3×3＝27（cm3） 现在体积：3×3×3－1×1×1 ＝27－1 ＝26（cm3） 54＝54、26＜27 这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积没有变。体积和原来的正方体相比减少了。 故答案为：B 三、计算题 13．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个底面是边长为2厘米的正方形的长方体被截去一段，求下图形体的体积。 【答案】48立方厘米 【分析】 如图，将这个图形分成两部分，这个图形的体积＝下边长方体的体积＋上边立体图形的体积，而上边立体图形的体积＝长方体的体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【解答】2×2×10＋2×2×（14－10）÷2 ＝40＋4×4÷2 ＝40＋8 ＝48（立方厘米） 这个图形的体积是48立方厘米。 14．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）计算如图组合物体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】2000平方厘米；5000立方厘米 【分析】组合物体的表面积＝长是20厘米，宽是20厘米，高是10厘米的长方体的表面积＋棱长是10厘米的正方体的4个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形面积公式：面积＝棱长×棱长，代入数据，即可解答； 组合物体的体积＝长是20厘米，宽是20厘米，高是10厘米的长方体的体积＋棱长是10厘米的正方体的体积；根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【解答】（20×20＋20×10＋20×10）×2＋10×10×4 ＝（400＋200＋200）×2＋100×4 ＝（600＋200）×2＋400 ＝800×2＋400 ＝1600＋400 ＝2000（平方厘米） 20×20×10＋10×10×10 ＝400×10＋100×10 ＝4000＋1000 ＝5000（立方厘米） 表面积是2000平方厘米，体积是5000立方厘米。 四、操作题 15．（22-23六年级上·江苏徐州·期中）刘恒宇同学在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图，但他不会画外盒的展开图，请你帮他在方格纸上画出这个火柴盒外盒的展开图。 【答案】见详解 【分析】由题意知，火柴盒的内盒是由5个面组成的，1个底面和4个侧面；火柴盒的内盒长是4格，宽是3格，高是1格；外盒是由4个面组成，外盒与内盒的长、宽、高的长度一一对应。据此画图。 【解答】由分析可得火柴盒的外盒展开图如下： 【点评】此题主要考查长方体的展开图，关键是明确火柴盒的外盒是由4个面组成，内盒是由5个面组成。 五、解答题 16．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）下图是一个无盖长方体纸盒的部分展开图，在方格纸中将其余的面画完整。如果每个小方格的边长表示1厘米，做这样一个纸盒需要卡纸（    ）平方厘米。 【答案】图见详解 52 【分析】根据长方体的展开图，相邻的面不相对，相对的面中间隔一个画图即可；由图可知，长方体的长为5厘米，宽是2厘米，高是3厘米，根据无盖长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2解答即可。 【解答】如下图： （图形不唯一） 5×2＋（5×3＋2×3）×2 ＝10＋（15＋6）×2 ＝10＋21×2 ＝10＋42 ＝52（平方厘米） 所以做这样一个纸盒需要卡纸52平方厘米。 17．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长50厘米，宽40厘米，高30厘米。在鱼缸中注入40升水，水深多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】20厘米 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，可得长方体的高＝体积÷底面积，因此用水的体积40升除以鱼缸的底面积（长×宽），即可求出水深多少厘米。据此解答。 【解答】40升＝40立方分米＝40000立方厘米 40000÷（50×40） ＝40000÷2000 ＝20（厘米） 答：水深20厘米。 18．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）一个密封的长方体塑料盒，长12厘米，宽5厘米，高6厘米，里面水深4厘米，如果以这个容器的左面为底放在桌上。 （1）这时水深多少厘米？ （2）此时水与塑料盒接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）8厘米 （2）206平方厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，即水的体积为12×5×4＝240立方厘米；以这个容器的左面为底放在桌上，则底面积为5×6＝30平方厘米，然后用水的体积除以底面积即可求出水深； （2）此时水与塑料盒接触的面积应是长为6厘米，宽为5厘米，高为8厘米的长方体的五个面的面积（除去上面），即水与塑料盒接触的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，据此进行计算即可。 【解答】（1）（12×5×4）÷（5×6） ＝240÷30 ＝8（厘米） 答：这时水深8厘米。 （2）（6×8＋5×8）×2＋6×5 ＝（48＋40）×2＋6×5 ＝88×2＋6×5 ＝176＋30 ＝206（平方厘米） 答：此时水与塑料盒接触的面积是206平方厘米。 19．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为20厘米的小正方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的体积是多少？（铁皮的损耗不计） 【答案】64000立方厘米 【分析】看图可知，制成的长方体盒子长是（100－80）厘米，宽是（80－20×2）厘米，高是小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【解答】（100－20）×（80－20×2）×20 ＝80×（80－40）×20 ＝80×40×20 ＝64000（立方厘米） 答：这个盒子的体积是64000立方厘米。 20．（23-24六年级上·江苏常州·期中）当当家有一个长10分米，宽4分米，深4.5分米的鱼缸，但他不小心把鱼缸的前面打碎了（如图所示）。 （1）如果这种鱼缸的玻璃每平方分米3元，要把打碎的玻璃重新配一块，需要多少钱？ （2）把这个坏的鱼缸倾斜盛水（如图所示），算一算，这个坏的鱼缸最多能盛水多少升？ 【答案】（1）135元；（2）90升 【分析】（1）通过观察可知，鱼缸前面的面积＝长×高，代入数据即可求出前面的面积，再根据单价×数量＝总价，代入数据即可求出重新配一块需要的总价； （2）通过观察可知，可把水的体积看作底面是个直角三角形、高为10分米的立体图形，两条直角边分别是4分米、4.5分米，先根据三角形的面积＝底×高÷2求出底面积，再根据立体图形等于底面积乘高，代入数据即可求出水的体积，最后把单位换算成升。 【解答】（1）10×4.5×3 ＝45×3 ＝135（元） 答：需要135元。 （2）4×4.5÷2＝9（平方分米） 9×10＝90（立方分米） 90立方分米＝90升 答：这个坏的鱼缸最多能盛水90升。 21．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体蓄水池，长50米，宽20米，深1.2米。 （1）如果要在这个蓄水池的底部和四周墙壁上贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多大？ （2）如果向这个蓄水池内注入800立方米的水，水深多少米？ 【答案】（1）1168平方米；（2）0.8米 【分析】（1）要在这个蓄水池的底部和四周墙壁上贴瓷砖，贴瓷砖的面积就是长方体缺少上面的其余五个面的面积之和。 （2）将注入的水看作一个长方体，已知体积、长和宽，求高，用体积÷（长×宽）即可。据此解答。 【解答】（1）50×20＋50×1.2×2＋20×1.2×2 ＝1000＋120＋48 ＝1168（平方米） 答：贴瓷砖的面积有1168平方米。 （2）800÷（50×20） ＝800÷1000 ＝0.8（米） 答：水深0.8米。 22．（24-25六年级上·江苏泰州·期中）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3.5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）83平方分米 （2）2分米 （3）8立方分米 【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，把数据代入公式解答。 （3）根据题意可知，把一些鹅卵石放入鱼缸中，水面上升了0.4分米，上升部分水的体积就等于这些鹅卵石的体积，根据长方体的体积公式解答。 【解答】（1）5×4＋5×3.5×2＋4×3.5×2 ＝20＋35＋28 ＝83（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃83平方分米。 （2）40升＝40立方分米 40÷5÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：水深2分米。 （3）5×4×0.4 ＝20×0.4 ＝8（立方分米） 答：鹅卵石的体积是8立方分米。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 长方体和正方体 期中复习知识清单 考点一：长方体和正方体的认识 1．长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2．正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3．正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 考点二：长方体和正方体的表面积 1．长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2．正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3．利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 考点三：体积和容积的认识及其单位 1．体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2．容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3．体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4．容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 考点四：长方体和正方体的体积 1．长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2．正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3．运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4．体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 考点五：体积单位间的进率 1．相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 2．高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 3．体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 题型1：长方体和正方体的认识 【例1】（24-25六年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长方体物品的长、宽、高，请你根据具体数据估计这可能是（    ）。 A．书包 B．文具盒 C．数学书 D．电视机 【练1】（24-25六年级上·江苏南通·期中）用下面的材料焊接一个长方体框架（不对铁条进行切割）。如果在这个长方体外面糊上一层包装纸，在里面最多可以放（ ）个棱长3厘米的小正方体。 铁条长度 25cm 20cm 15cm 9cm 铁条根数 5 6 3 4 题型2：长方体和正方体的展开图 【例2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下列三幅图形，关于能否围成长方体或者正方体有多种叙述，其中正确的是（    ）。 A．图1和图2可以围成 B．图2和图3可以围成 C．图1和图3可以围成 【练2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下列三幅图形，关于能否围成长方体或者正方体有多种叙述，其中正确的是（    ）。 A．图1和图2可以围成 B．图2和图3可以围成 C．图1和图3可以围成 题型3：长方体和正方体的表面积 【例3】（24-25六年级上·江苏苏州·期中）根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【练3】（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 题型4：长方体和正方体的体积 【例4】 （24-25六年级上·江苏苏州·期中）一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 【练4】（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长之和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 题型5：体积单位、容积单位间的换算 【例5】 （23-24六年级上·江苏·期中）4.5升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米 3080立方厘米＝（ ）立方分米＝（ ）升 【练5】（23-24六年级上·江苏盐城·期中） 立方分米＝（ ）立方厘米   1.35立方分米＝（ ）升（ ）毫升 3立方米20立方分米＝（ ）立方米       5.4升＝（ ）毫升 题型6：测量不规则物体的体积 【例6】 （24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体玻璃缸，长6分米，宽5分米，高6分米，其中水深2.8分米，若投入一个棱长为3分米的正方体铁块（底部与玻璃缸底部完全接触），则水面上升（ ）分米。 【练6】（24-25六年级上·江苏扬州·期中）下面是测量一个土豆体积的实验步骤，但顺序被打乱了。 ①列式计算出土豆的体积。 ②找一个长方体无盖透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高30厘米。 ③将土豆完全浸没在水中，量出水面高度22厘米。 ④倒入适量的水，量出水面高度15厘米。 实验的正确顺序应该是： → → → （填序号）。 算一算，这个土豆的体积是（ ）立方厘米。 一、填空题 1．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图，一个长方体玻璃容器中，摆了若干个体积是1立方厘米的正方体。这个玻璃容器的容积是（ ）立方厘米。 2．（23-24六年级上·江苏扬州·期中）用铝合金做一个长、宽、高分别是70厘米、15厘米和120厘米的长方体广告灯箱（如图），至少需铝合金条（ ）分米。在灯箱外面的各个面用灯箱布围成，至少（ ）平方分米的灯箱布。 3．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了（ ）平方厘米，体积增加了（ ）立方厘米。 4．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）用一根长为96厘米的铁丝做成一个最大的正方体，并在表面糊上彩纸，糊彩纸的面积是（ ）平方厘米，做成的正方体的体积是（ ）立方厘米。 5．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 6．（24-25六年级上·江苏淮安·期中）一个无盖的长方体泡沫箱，从外面量长6分米、宽5分米、高4分米，泡沫厚5厘米，平放在地上占地面积最小是（ ），体积是（ ）立方分米，最多能盛（ ）升的水。 二、选择题 7．（24-25六年级上·江苏徐州·期中）长方体的游泳池，长25米，宽10米，深2米，绕池口走一圈至少要走（    ）米。 A．24 B．54 C．70 D．111 8．（24-25六年级上·江苏连云港·期中）如图，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来相同 D．无法确定 9．（24-25六年级上·江苏南通·期中）观察下图中数字1、2、3所在位置，挖掉（    ）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 10．（24-25六年级上·江苏泰州·期中）用一些1立方厘米的小正方体摆出一个大正方体，大正方体的体积可能是（    ）立方厘米。 A．4 B．8 C．16 D．32 11．（24-25六年级上·江苏扬州·期中）把一张A4纸（长约30厘米、宽21厘米）从四个角各剪去一个相同的正方形，可以折成一个无盖的长方体纸盒。下面哪一种剪法折成的纸盒容积最大？（    ） A．① B．② C．③ D．无法确定 12．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A．增加了；没有变 B．没有变；减少了 C．减少了；增加了 D．无法确定 三、计算题 13．（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个底面是边长为2厘米的正方形的长方体被截去一段，求下图形体的体积。 14．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）计算如图组合物体的表面积和体积。（单位：厘米） 四、操作题 15．（22-23六年级上·江苏徐州·期中）刘恒宇同学在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图，但他不会画外盒的展开图，请你帮他在方格纸上画出这个火柴盒外盒的展开图。 五、解答题 16．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）下图是一个无盖长方体纸盒的部分展开图，在方格纸中将其余的面画完整。如果每个小方格的边长表示1厘米，做这样一个纸盒需要卡纸（    ）平方厘米。 17．（22-23六年级上·江苏盐城·期中）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长50厘米，宽40厘米，高30厘米。在鱼缸中注入40升水，水深多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） 18．（23-24六年级上·江苏泰州·期中）一个密封的长方体塑料盒，长12厘米，宽5厘米，高6厘米，里面水深4厘米，如果以这个容器的左面为底放在桌上。 （1）这时水深多少厘米？ （2）此时水与塑料盒接触的面积是多少平方厘米？ 19．（23-24六年级上·江苏连云港·期中）在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为20厘米的小正方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的体积是多少？（铁皮的损耗不计） 20．（23-24六年级上·江苏常州·期中）当当家有一个长10分米，宽4分米，深4.5分米的鱼缸，但他不小心把鱼缸的前面打碎了（如图所示）。 （1）如果这种鱼缸的玻璃每平方分米3元，要把打碎的玻璃重新配一块，需要多少钱？ （2）把这个坏的鱼缸倾斜盛水（如图所示），算一算，这个坏的鱼缸最多能盛水多少升？ 21．（23-24六年级上·江苏常州·期中）一个长方体蓄水池，长50米，宽20米，深1.2米。 （1）如果要在这个蓄水池的底部和四周墙壁上贴瓷砖，贴瓷砖的面积有多大？ （2）如果向这个蓄水池内注入800立方米的水，水深多少米？ 22．（24-25六年级上·江苏泰州·期中）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3.5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 试卷第1页，共3页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $