第二十二章 二次函数 单元提优试卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数单元提优试卷2025-2026学年人教版九年级数学上册 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若抛物线经过点，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.抛物线过，，三点，则，，大小关系是(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是  (    ) A. B. C. D. 4.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.图是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为，，以点为原点，水平直线为轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线，桥拱与桥墩的交点恰好在水面，有轴，若米，则桥面离水面的高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则满足条件的的值可以是(    ) A. B. C. D. 7.某种商品的成本是元，试销阶段每件商品的售价元与产品的销售量件满足当时，，当时，，且是的一次函数，为了获得最大利润元，每件产品的销售价应定为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8.将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有个公共点，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9.如图，正方形和正方形的对角线，都在直线上，将正方形沿着直线从点与点重合开始向右平移，直到点与点重合为止，设点平移的距离为，，，两个正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 10.对于任意的实数、，定义符号的含义为，之间的最大值，如，定义一个新函数：，则时，的取值范围为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知点，是抛物线上的两点，当时，的值是          ． 12.已知一元二次方程的两根为和，则抛物线与轴的交点坐标为          ． 13.已知二次函数的图象经过，，则的值为          ． 14.如图，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度即的长为___          ___． 15.二次函数的图象如图所示，一次函数的图象过该二次函数图象上的点，，则满足的的取值范围是          ． 16.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是           17.图是一个高脚杯截面图，杯体呈抛物线状杯体厚度不计，点是抛物线的顶点，，，点是的中点，当高脚杯中装满液体时，液面，此时最大深度液面到最低点的距离为，将高脚杯绕点缓缓倾斜倒出部分液体，当时停止，此时液面为，则液面到平面的距离是          ；此时杯体内液体的最大深度为          ． 18.如图，矩形中，，，为的平分线，为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知抛物线经过点． 求此抛物线的函数解析式； 判断点是否在此抛物线上； 求出抛物线上横坐标为的点的坐标． 20.本小题分 已知二次函数． 将二次函数化成的形式； 在平面直角坐标系中画出的图象； 结合函数图象，直接写出时的取值范围． 21.本小题分 如图，正比例函数的图象与抛物线相交于点，抛物线的顶点是． 求与的值； 点在函数的图象上，求的面积； 若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 22.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线是常数与轴交于点，，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴． 直接写出抛物线的解析式及对称轴； 如图，点在轴上方的抛物线上，且点在直线的右侧，连接，过点作，交直线于点设点的横坐标为，若，求的值． 23.本小题分 如图，利用一面墙墙长米，用总长度米的栅栏图中实线部分围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． 若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； 矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 24.本小题分 某超市购入一批进价为元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量盒与销售单价元是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 销售量盒 求与之间的函数表达式； 糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 若超市决定每销售一盒糖果就向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为元，求的值． 25.本小题分 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点的特征线有：，，，． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形，点在第一象限，，分别在轴和轴上，抛物线经过，两点，顶点在正方形内部． 直接写出点所有的特征线用含有，的式子表示； 若点有一条特征线是，求此抛物线的解析式； 点是边上除点外的任意一点，连接，将沿着折叠，点落在点的位置，当点在平行于坐标轴的点的特征线上时，将满足中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在上？ 26.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线经过． 用含的式子表示． 已知和是抛物线上的两点． 若，当，时，求的最大值； 若对任意，，，，都有，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 1.【答案】A 【解析】解：~抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3)， ·-(-2)2-2b+c=3, 整理得，-2b+c=7, ·.2c-4b-9=2(c-2b)-9=2×7-9=5, 故选：A. 2.【答案】B 【解答】 解：在二次函数y=2(x-1)2+c中，对称轴x=1, 在图象上的三点(-2y),(0y2),(3y),点(-2，y1)离对称轴的距离最远，点(3y3)离对称轴的距离最近， y1>y2>y3, 故选：B. 3.【答案】A 【解析】【解法一】设y=(x-x1)(x-x2),则x1、x2是函数y和x轴的交点的横坐标，令y=(x-x1)(x-x2 )+1=0,即(x-x1)(x-x2)=-1,而y=(x-x1)(x-x2)+1=y'+1,即函数y向上平移1个单位得到函 数y,则两个函数的图像如图所示（省略y轴）， m n 从图像看，x1<m<n<x2,故选A. 【解法二】m,n(m<n)可看作二次函数y=(x-x1)(x-x2)和y=-1的两个交点的横坐标，作示意图（图 略)可得x1<m<n<x2,故选A. 4.【答案】D 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】A 第1页，共15页 【解答】 解：如图所示，过点B的直线y=2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到与抛物线有且只有一个 交点C时，此时与新图象也有三个公共点， B 令y=x2-5x-6=0,解得：x=-1或6，即点B坐标(6,0)， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2-5x-6=2x+b,整理得：x2-7x-6-b=0, △=49-4(-6-b)=0,解得：b=-7至， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y=2x+b得：0=12+b,解得：b=-12, 综上，直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为-12或-孕， 故选：A. 9.【答案】A 【解析】解：如图(1)，当0≤x≤2时，S=2×DE2=2x2; H D G 1 图(1) 如图(2)，当2<x<4时，正方形ABCD在正方形EFGH内部， 则S=2×BD2=2×2=2: 第2页，共15页 D 图(2) 如图(3)，当4≤x≤6时，BG=2-(x-4)=6-x, 5=×BG2=6-2综上所述，选项1符合题意. H B G 图(3) 故选：A. 10.【答案】A 【解析】符号max的含义是取较大的值，则本题实为函数比较大小的问题. 【详解】解：令1=x,y2=字2+x+星 如图所示，则max的值为函数较大的值， 0 “比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值， (y=xl 联立方程 =-2+x+ 第3页，共15页 解得代=1二3 y=-2+x+=3时，解得，1=1，x2=3, 当y=x=3时，解得：x=±3 ·当y≥3时，x≤-3或x≥1 故选：A 11.【答案】0 12.【答案】(-1,0)和(-3,0) 13.【答案】4 14.【答案】40米 解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： D 200m 150m A←80m B* ∴.A(-40,0),B(40,0),E(0,200), 设内侧抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40), 将(0,200)代入，得：200=a(0+40)(0-40), 解得：a=君 “内侧抛物线的解析式为y=合2+200， 将y=150代入得：合2+200=150， 解得：x=±20， ∴.C(-20,150),D(20,150), 第4页，共15页 .CD=40m, 故答案为：40米. 15.【答案】1≤x≤4 【解析】【分析】 根据函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点）的x的取值范围即可. 本题考查了二次函数与不等式的关系，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键 【解答】 解：由图可知，当1≤x≤4时，一次函数图象在二次函数图象上方（含交点）， 所以，满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围是1≤x≤4. 故答案为：1≤x≤4. 16.【答案】20 【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数最值的求法是解题的关键. 将二次函数解析式化为顶点式，再求其最值即可， 【解答】 解：h=-5t2+20t=-5(t-2)2+20, -5<0, ·当t=2时，h有最大值，最大值为20， 故答案为：20. 17.【答案】103 a 第5页，共15页 解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图： D 由题意得： A(0,0),B(0,9),C(-2V3,21),D(23,21), 设抛物线的解析式为：y=ax2+9, 将D(23,21)代入得： 21=a×(2V3)2+9, 解得：a=1, y=x2+9. 将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图， H 由题意得： A(0,0),F(V3,0),E(-3,0),B(0,9),C(-2V3,21),D(2V3,21), 由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD/几， ~AF=V3,且∠EFH=30°，∠NAF=90°， w-指=1， N(-1,0), 设直线的解析式为：y=kx+b, 第6页，共15页 把点F(V3,0)、N(-1,0)代入可得直线的解析式为：y=3x-1, 3 又GD/L, k0=k=号 “设直线GD的解析式为y=马x+p, 将D(2V3,21)代入，解得p=19, “直线GD的解析式为y=3x+19, 3 ·.M(0,19), MN=20. 过点M作MP⊥于点P, ∠EFH=30°，∠FAN=90°， .∠ANF=60, 在Rt△MNP中，MN=20,∠NMP=30° .NP=10 .MP=√MW2-WP2=10V3 过抛物线最低点Q作QL//儿，L为QL于MP的交点， 设直线QL的解析式为y=3x+q, 3 由P=x2+9 U-t 得： x2-3x+9-q=0, 31 只有一个交点Q, △=0， 349-9)=0, 9=107, 12 K0, 在RtAMKL中，MK=AM-AK=号，∠MKL=60 .∠KML=30°， 第7页，共15页 ·KL=121 241 由勾股定理可得，ML=VMK2-K2=V3。 故答案为：103,3. 18.【答案】2v2 【解答】 解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， A M E AB=2,BC=4, ·点A(0,2),点C(4,0),点D(4,2), AE为∠BAD的角平分线， ∴.∠BAE=∠DAE=45°， ·∠BAE=∠AEB=45°， .AB=BE=2, ·点E(2,0), 设直线AE的解析式为y=kx+b, 将点A(0,2),E(2,0)代入上式，得： (b=2 2k+b=0 解得： 6=2 :直线AE解析式为y=-x+2, 设点F(a,-a+2), M为DF的中点， 第8页，共15页 点M,2, BM2=(t92+(+92=2+16+80++16-80=2+8, 4 4 ,0≤a≤2， .当a=0时，BM的最小值为2V2, 故答案为2√2： 19.【答案】【小题1】 解：把A(-2,-8)代入y=ax2中，解得a=-2,·y=-2x2; 【小题2】 当x=-1时，y=-2×(-1)2=-2≠-4，·.点B(-1,-4)不在此抛物线上； 【小题3】 当x=-3时，y=-2x2=-2×(-3)2=-18,横坐标是-3的点的坐标是(-3，-18). 【解析】1.略 2.略 3.略 20.【答案】解：(1)y=-x2-2x+3 =-(x2+2x+1-1)+3 =-(x+1)2+4: (2)抛物线的顶点坐标为(-1,4)， 当x=0时，y=-x2-2x+3=3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3) 当y=0时，-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,则抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0)： 如图， 第9页，共15页 -10 23 -1i 2 -3 4 (3)-3<x<1. 21.【答案】【小题1】 把A(1,b)代入y=2x,得b=2.·.A(1,2)把A(1,2)代入y=ax2+3,得a=-1 【小题2】 把B(m,4)代入y=2x,得m=2.·B(2,4).易得抛物线y=ax2+3的顶点C的坐标是(0,3)， 0C=3.5.ABc=S.0ac-5.0ac=×3×2-2×3×1=月 【小题3】 设点C关于x轴的对称点为C',则点C'的坐标为(0，-3)，连接AC交x轴于点P,此时PA+PC最小.设直线AC对 应的函数解折式为y=kx+n把C0,-,A(1,习代入，得化+m22解得货=53.y=5x-3当y=0时， 3 5x-3=0,x=号÷点P的坐标是(（得，0) 22.【答案】【小题1】 解：y=-x2+2x+3,对称轴为直线x=1; 【小题2】 过点P作PE⊥AB于点E,过点D作DF⊥EP交EP的延长线于点F,·∠PEA=∠F=90°.~PD⊥PA, PA=PD,·.∠PAE+∠APE=90°，∠DPF+∠APE=90°，∠PAE=∠DPF,△PAE≌△DPF(AAS), PE=DF.P(m,-m2+2m+3),A(-1,0),PE=DF=-m2+2m+3,点D的横坐标为m-(-m2 +2m+3)=m2-m-3,~直线的解析式为x=1,点D在直线上，m2-m-3=1,解得m=1±互.点 2 P在直线的右侧，1<m<3,m=1+亚 2 第10页，共15页