专题06 线段相关压轴题分类训练（5种类型30道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06线段相关压轴题分类训练 (5种类型30道) 类型中点相关线段的计算 类型2动线段问题 线段相关压轴题 类型探究数量关系 类型4定值问题 类型5动点求值问题 目目 类型01 中点相关线段的计算 1.己知线段AB上的两点C、D,点D为线段BC的中点，AD+CD=12. A C D B Ac D F BE A C MDFB龙 图1 图2 图3 (1)如图1，求线段AB的长： (2)如图2，点E在AB的延长线上，点F在线段BD上，满足CD=2BF+BE,则点F是否为线段DE的中点？ 请作出判断，并说明理由； 3)如图3，在(2)的条件下，BE=2AC，点M为AB的中点，MF=4,求AC的长. 2.如图，己知点C、D、E是线段AB上的点，AB=18,BC=2AC,CD=5BD. E DB (1)求BD的长： 1/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 (2)若DE=。AC,点F是AB上一点，且CF=BD,求EF的长. 2 3.已知线段AD=60,点B、点C都是AD线段上的点。 A M B AB C D 图1 图2 (1)如图1，若点M为AB的中点，点N为BD的中点，则线段MN长为-： (2)若BC=I0,点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，请自己作图并求EF的长； (3)如图2，若AB=5,BC=10,点P,Q分别从B、C出发向点D运动，运动速度分别为每秒移动1个单 位和每秒移动4个单位，设运动时间为t秒，点E为AQ的中点，点F为PD的中点，若PE=QF,求t的值. 4.如图己知线段AB、CD, C MA B ND (1)线段AB在线段CD上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段AB=6,CD=14,M、N分别为AC、BD的中点，求MN的长。 ②M、N分别为AC、BD的中点，求证：MN=AB+CD) (2)线段CD在线段AB的延长线上，M、N分别为AC、BD的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直 接写出结论 5.如图，点C在线段AB上，AC=6cm,CB=4cm,点M、N分别是AC、BC的中点. M (1)求线段MN的长； (2)若C为线段AB上任一点，满足AC=acm,CB=bcm,点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN= cm」 (3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC=acm,CB=bcm(a>b),点M、N分别为AC、BC的中点，猜想： MN=cm 6.点C、D是线段AB上的两点，若AC=4,CD=8,DB=3, (1)如图，求图中所有小于线段AB的线段的长度和. (2)若点C在射线BA上，点D在直线AB上，点M、N分别为线段AC、DB的中点，求线段MN的长度. D B 2/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 目目 类型02 动线段问题 7. 己知点C在线段AB上，AC=2BC,线段DE在直线AB上移动（点D,E不与点A,B重合）. A D C B C ⊙ 备用图1 C B 备用图2 (1)若AB=I5,DE=6,线段DE在线段AB上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为BC中点时，求AD的长； ②点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上，AF=3AD,CF=3,求AE的长； 2若AB=2DE,CE=BC,请直接写出BD与CD存在的数量关系. 8.已知点C在线段AB上，AC=2BC,点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧. A D CEB 图1 (1)若AB=36,DE=15,线段DE在线段AB上移动 ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长： ②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长： BE3,则C 2)若AB=2DE,线段DE在直线AB上移动，且满足关系式4D+EC-4, AB 9.己知点C在线段AB上，AC=2BC,AB=48,点D,E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点 C的右侧，DE=16,线段DE在线段AB上移动 DC龙BADC龙B 图1 图2 (1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长： (2)如图2，当AD=5CE时，求BE的长 10.如图，点C在线段AB上，AC=10,BC=AB 3 A C B A C B 备用图 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求AB的长. (2)若DE=8,线段DE在线段AB上移动，且点D在点E的左侧. ①当D为AC的中点时，求BE的长 ②点F(不与点A,B,C重合)在线段AB上，且AF=2AD,CF=2,求出AE的长. 11.如图，己知点C在线段AB上，AC=2BC. A BA D C E B 图1 图2 (1)如图1，若AB=21,求AC和BC的长： (2)如图2，线段DE在线段AB上移动，且点D在点E的左侧（点D,E不与点A,B重合），若AC=18, DE=I1,当点E为BC中点时，求AD的长. 12.已知点C在线段AB上，AC=2BC,点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，若AB=30,DE=12 ,线段DE在线段AB上移动， A D CE B (1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长； (2)当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长. 目目 类型03 探究线段的数量关系 13.已知点A,C,F,E,B为直线1上的点，且AB=12,CE=6,F为AE的中点. A CF E B CAF龙 El 图① 图② (1)如图①，若CF=2,则BE为多少？若CF=m,则BE与CF的数量关系是什么？ (2)当点E沿直线I向左运动至图②的位置时，(1)中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由. 14.如图1，C是线段AB上一点，D,E分别是线段AC,BC的中点. D A D FC E B 图1 图2 (1)若AB=10,则DE的长为 若DE=6,则AB的长为 ;由此可推断AB与DE的数 量关系是」 (2)如图2，F是线段DE的中点，若AB=36,CF=3,求线段CE的长 15.已知点A,B,C,D,E在同一直线上 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C BA DC E B (1) (2) (1)C是线段AB的中点，D是线段AC上的点，AB=30, ①如图(1)，若CD=BD,求线段CD的长； ②如图(2)，E是线段AB上的点，D是线段AE的中点，若AD=2BE,求线段CE的长； (2)C是线段AB上一点，D是线段AE的中点.若AC=2BC=8CD,直接写出BE与AB的数量关系 16.己知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=18cm,C、D两点分别从A、M出发以1cm/s、2cm/s的 速度沿直线AB向右运动(C在线段AM上，D在线段BM上). 之 MD B (1)当点C、D运动了3s,求CM+BD的长度； (2)若点C、D运动时，总有BD=2CM,则AM=一Cm; (3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且满足AN-BN=MN,MN与AB的数量关系为 17.己知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=18cm,C、D两点分别从A、M出发以1cm/s、 2CmIs的速度沿直线AB向右运动(C在线段AM上，D在线段BM上). 。 A C M D B (1)当点C、D运动了3s,求CM+BD的长度： (2)若点C、D运动时，总有BD=2CM,则AM= cm: (3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且满足AN-BN=MN,MN与AB的数量关系为 18.如图，AB=13cm,点P是线段AB上一点，且AP=8cm,点C从点A出发，以2cm/s的速度向点B运 动.同时点D从点P出发，以4cms的速度沿射线PB运动，设运动的时间为s, L A C P D B (1)当1=1时，AC=」 cm,CD= Cm,此时线段AC,CD,AP之间的数量关系是 (2)当点C在线段AP上运动时，猜想线段AC,CD,AP之间的数量关系，并说明理由. (3)当点C在线段PB上运动时，请直接写出线段AC,CD,AP之间的数量关系， 目目 类型04 定值问题 5/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.如图，线段AB=24,动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点. A M P B (1)出发多少秒后，PB=2AM? (2)当点P在线段AB上运动时，试说明2BM-BP为定值； (3)当点P在AB延长线上运动，N为BP的中点时，有下列两个结论：①MN的长度不变；②MW+PN的值 不变.选出一个正确的结论，并求其值 20.如图，线段0A=18cm,动点P从点O出发，以每秒2cm的速度沿着射线OA的方向运动. 0 A (1)当点P出发多少秒后，OP的长度等于AP长度的2倍？ (2)当点P的运动时间超过9秒，设点B为OP的中点，点C为AP的中点，BC的长度是否是一个定值？如果 是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 21.如图，线段AB=10,动点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上一点. EB AD C 图1 图2 (1)如图1，当点E是线段BC的中点时， ①若AD=3,则BE=—: ②点C在线段AB上运动的过程中，线段DE的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请 说明理由， (2)如图2，当点E是线段BD的中点时，点C在运动的过程中，是否存在和点E重合的可能？如果存在，求 出重合时线段AC的长度；如果不存在，请说明理由. 22.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A的路线以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中 点，AD=10cm,设点B的运动时间为s(0≤1≤10). A B C D (1)当1=2时，则线段AB=」 cm,线段CD= cm: (2)当t为何值时，AB=CD? (3)点B从点A出发的同时，点E也从点A出发，以acm/s(0<a<2)的速度向点D运动，若当运动时间t满 足0≤1≤5时，线段C的长度始终是一个定值，求这个定值和a的值. 23.如图，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点. 6/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点P的运动时间为x秒. M B B 备用图 (1)若x=5时，求BM的长； (2)当P在线段AB上运动时，2BM-PB是定值吗？如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度， 24.如图，已知线段AB=24cm,点C是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），点D和点E分别是线 段AC、BC的中点. D C E B (1)线段DB-CE是图中哪条线段的长度； (2)若AC=18cm,求线段DE的长度： (3)若点C为线段AB的中点，则线段AD与线段AB的数量关系是一； (4)试说明，无论点C如何移动，线段DE的长度为定值，并求出这个定值. 目目 类型05 双动点问题 25. 线段AB=16,C,D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD=2,E为BC的中点， C D B 图1 D E B 图2 备用图 (1)如图1，当AC=4时，求DE的长. (2)如图2，F为AD的中点 ①点C,D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请 求出EF的长。 ②当CF=0.8时，请直接写出线段DE的长 7/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 26.如图，P是线段AB上一点，AB=I8cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发沿射线BA向左运动， 到达点A处即停止运动 AC P D B (1)若点C,D的速度分别是1cm/s,2cm/s. ①当动点C,D运动了2s,且点D仍在线段PB上时，AC+PD= cm; ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP:PB= ； (2)若动点C,D的速度分别是1cms,3cm/s,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的长 27.如图，动点B在线段AD上，沿A→D→A以2cms的速度往返运动1次，C是线段BD的中点， AD=10cm,设点B的运动时间为t秒(0≤1≤10). B C D (1)当1=2时， ①AB= cm; ②求线段CD的长度. (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度， 28.已知点C为线段AB上一动点，点D,E分别是线段AC和BC的中点. (1)若线段AB=10cm,点C恰好是AB的中点，则线段DE=cm; (2)如图，若线段AB=10cm,AC=4cm,求线段DE的长； 。 A→D →C E B (3)若线段AB的长为a,则线段DE的长为一（用含a的代数式表示）. 29.(1)如图：若点C在线段AB上，线段AC=10cm,BC=6cm,点M,N分别是AC,BC的中点，求线 段MN的长度； (2)若点C在线段BA的延长线上，点M,N分别是AC,BC的中点，设BC-AC=a,请根据题意画出图 形，并求MW的长度（用含a的式子表示）； (3)在(1)的条件下，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终 点为B,点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动， 求运动多少秒时，CP:CQ=1:2? M C N B 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 30.如图①，己知线段AB=12,点C为线段AB上的一点，点D,E分别是AC和BC的中点. A D C E ② ① (1)若AC=4,则DE的长为 (2)若BC=m,求DE的长； (3)如图②，动点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段 AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时， P,Q之间的距离为6？ 9/9 专题06 线段相关压轴题分类训练 （5种类型30道） 地 城 类型01 中点相关线段的计算 1．已知线段上的两点、，点为线段的中点，． (1)如图1，求线段的长； (2)如图2，点在的延长线上，点在线段上，满足，则点是否为线段的中点？请作出判断，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，点为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)点是线段的中点，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：因为为的中点， 所以． 因为， 所以； （2）解：点是线段的中点 理由如下：因为，， 所以， 所以， 即， 所以点为的中点． （3）解：由（1）可得， 设，则，．    因为为的中点， 所以． 所以． 由（2）知，为的中点， 所以． 所以， 所以 解得， 即． 2．如图，已知点、、是线段上的点，，，． (1)求的长； (2)若，点是上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)当点在上时，；当点在上时， 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，线段的和差，解题的关键是数形结合注意进行分类讨论． （1）先通过求出BC，再根据求出BD， （2）先由已知条件求出，再分点F在C点左边和右边两种情况讨论即可 【详解】（1）解：因为，， 所以，则， 所以． 因为，， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以，则． 因为， 所以． 当点在上时，； 当点在上时，． 3．已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析，或 (3)或 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： ； （2）如图，点在点的左侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴ 如图，点在点的右侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴， 综上，的长为或； （3）运动秒后，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴，或， 由得：或， 解得：或． 4．如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10，②见解析 (2)不成立，见解析 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 5．如图，点C在线段AB上，，点M、N分别是的中点． (1)求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，点M、N分别是的中点，猜想：　． (3)若C在线段AB的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，猜想：　　． 【答案】(1)5 (2) (3) 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度为5； （2）解：∵，点M是的中点， ∴， ∵，点N是的中点， ∴， ∴， ∴线段MN的长度为， 故答案为：； （3）解：当点C在线段的延长线时，如图： 则， ∵M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 6．点、是线段上的两点，若，，， (1)如图，求图中所有小于线段的线段的长度和． (2)若点在射线上，点在直线上，点、分别为线段、的中点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）解：（1）所有小于线段的线段有、、、、， ∵，，， ∴，， 故所有长度小于的线段的长度和等于． （2）当点在点左侧时， ①当点在的延长线上时，，，的长度不可能等于3，此种情况不成立； ②如图，当点在线段上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴； 当点在点右侧时， ①当点在的延长线上时，，，的长度不可能等于3，此种情况不成立； ②如图，当点在线段上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ 综上所述，或或或． 7．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）．地 城 类型02 动线段问题 (1)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长； (2)若，，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】(1)①；②的长为或 (2)或或或 【详解】（1）解：，， ，， ①为中点， ， ， ， ； ②如图1， 当点F在点C的右侧时， ， ， ， ； 当点F在点C的左侧时， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或． （2）解：①点E在点C右侧，点D在点E左侧时， 如图3所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点E在点C右侧，点D在点E右侧时，如图4所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ③点E在点C左侧，点D在点E左侧时，如图5所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ④点E在点C左侧，点D在点E右侧时，如图6所示， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或或或． 8．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②当点是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 【答案】(1)①15；②19或14 (2)或 【详解】（1）解：①， ， 为中点， ， ， 的长为15； ②点是线段的三等分点， 或， 当时，，则， ， ， ， 当时，，则，， ， ， ， 的长为19或14； （2）设，则，， ， ①当点在线段之间时，如图，    设，则，， ， ， ， ， ， ， ②当点在点的左侧时，如图，    设，则， ， ， ， ， ， ， ， ③当点在线段上及点在点右侧时，无解， 综上所述，或． 9．已知点C在线段上，，．点D，E在线段上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，，线段在线段上移动． (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)如图2，当时，求的长． 【答案】(1)24 (2)12 【分析】（1）根据题意得，求出，，再由E为中点求出，由求出，再根据求出结论即可； （2）首先求出，再由求出，再代入，求出结论即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴ 又E为中点 ∴ ∵ ∴ 又 ∴ （2）由（1）知，， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 10．如图，点C在线段上，，． (1)求的长． (2)若，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①当D为的中点时，求的长． ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，且，，求出的长． 【答案】(1) (2)①；②12或14 【分析】此题考查了线段的和差和中点的相关计算，分类讨论是解题的关键． （1）根据得到，即可求出的长； （2）①由中点的定义得到，则．由得到；②分两种情况讨论：点F在点C的左侧和点F在点C的右侧，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①∵D为的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ②分两种情况讨论： （ⅰ）如图1，当点F在点C的左侧时． ∵，， ∴. ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）如图2，当点F在点C的右侧时． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为12或14． 11．如图，已知点在线段上，． (1)如图1，若，求和的长； (2)如图2，线段在线段上移动，且点在点的左侧（点，不与点，重合），若，，当点为中点时，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 对于（1），先根据已知条件求出，即可得出答案； 对于（2），先求出，再根据中点的定义求出，接下来求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：因为，，， 所以， 所以， 所以； （2）解：因为，， 所以. 因为点为中点， 所以， 因为， 所以， 所以． 12．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，若，线段在线段上移动， (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)当点C是线段的三等分点时，求的长． 【答案】(1)13 (2)16或12 【分析】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是需要进行分类讨论求解． （1）根据已知条件得到，，由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到； （2）当点线段的三等分点时，分两种情况：当点靠近点时，当点靠近点时，由线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，， 为中点， ， ， ， ； （2）解：点是线段的三等分点，， 当点靠近点时，， ， ； 当点靠近点时，， ． 13．已知点为直线上的点，且 为的中点．地 城 类型03 探究线段的数量关系 (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（）由线段的和差关系可得，即得，进而得到，若，同理可得； （）由为的中点可得，进而根据线段的和差关系可得，即可求证； 本题考查了线段的中点的定义，线段的和差，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴仍然成立． 14．如图1，是线段上一点，，分别是线段，的中点． (1)若，则的长为__________；若，则的长为__________；由此可推断与的数量关系是__________． (2)如图2，是线段的中点，若，，求线段的长． 【答案】(1)5；12； (2) 【分析】本题考查了理解线段的中点的意义，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系，并根据图形求解． （1）根据线段中点的意义得到，再根据，则得到，再代入求值即可； （2）同（1）得到，据线段中点的意义得到，由即可计算． 【详解】（1）解：∵，分别是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5；12；； （2）解：因为，分别是线段，的中点，所以，． 因为，即， 所以． 因为是线段的中点，所以， 所以． 15．已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． （1）①根据中点定义求得的长度，根据，即可求解； ②设，则，根据，求解即可； （2）分当点在点的右侧时和左侧两种情况，讨论即可求解； 【详解】（1）解：①是线段的中点 ， 又， ， ②设，则， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意，当点在点的左侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， 则， 则， ， ， ； 根据题意，当点在点的右侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 则 综上所述，或 16．已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则______； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离，掌握线段法和差计算，两点间的距离，利用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况：如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 17．已知：如图，点是线段上一定点，cm，、两点分别从A、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则_________ ； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为________． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键． （1）由，，，可得； （2）根据，，得，得； （3）当点N在线段上时，根据， ，得，得，得；当点N在线段的延长线上时，根据， ，得． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故的长度为； （2）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 故答案为：6； （3）解：①当点N在线段上时，如图1， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2， ∵，， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 18．如图，，点是线段上一点，且，点C从点A出发，以的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为． (1)当时，___________，__________，此时线段，，之间的数量关系是___________． (2)当点C在线段上运动时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)当点C在线段上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查整式的加减，射线，线段的和差，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键． （1）根据题意分别求得，长度，找数量关系即可求解； （2）根据题意可知，根据，即可求解； （3）当点C在线段上运动时，分别求出，，的长度，找数量关系即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； ， 此时，； 故答案为：，， （2）解：猜想：； 证明：当点C在线段上运动时， 根据题意可知：，， ， ， 即； （3）解：猜想； 证明：点C在线段上运动时， ， ， ， ， 则． 19．如图，线段，动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，为的中点．地 城 类型04 定值问题 (1)出发多少秒后，？ (2)当点在线段上运动时，试说明为定值； (3)当点在延长线上运动，为的中点时，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】(1)出发6秒后 (2)见解析 (3)正确的结论是①的长度不变，为定值12 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：由（1）知，，， ； （3）解：选； 由（1）知，，，， （定值）； 变化． 20．如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【答案】(1)秒或秒 (2)的长度是一个定值，这个值是 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设运动时间为秒，得到，，得到或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， 或 解得或， 答：当点出发秒或秒后，的长度等于长度的2倍 （2）解：当点的运动时间超过9秒，则点P在点B的右侧， 点为的中点，点为的中点 ，， 又， ， 答：的长度是一个定值，这个值是． 21．如图，线段，动点在线段上，点是线段的中点，点是线段上一点． (1)如图1，当点是线段的中点时， ①若，则______； ②点在线段上运动的过程中，线段的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)如图2，当点是线段的中点时，点在运动的过程中，是否存在和点重合的可能？如果存在，求出重合时线段的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②是定值，其值为 (2)存在， 【分析】本题考查线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段的数量关系，根据题意，得到线段之间的数量关系，得到一元一次方程，进行解答，即可． （1）①根据题意，求出，根据，求出，即可得到；②根据题意，可得，，再根据，即可； （2）根据题意，，设，得到，当点和点重合时，，推出，解出，即可． 【详解】（1）解：①∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②是定值，理由如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 即是一个定值，其值为． （2）解：存在，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 设， ∴， 当点和点重合时，， ∴， 解得， ∴，即当点和点重合时，的长为． 22．如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3 (2)或 (3)，定值为5 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，， ∵是线段的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当点从时， 当点从时， ∵点沿的路线需要 故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图， 由题意得：点的速度是，点速度为 ∵， ∴点在点右侧， 由题意可知 ∴ ∵是线段的中点 ∴ 即 ∵线段的长度始终是一个定值 ∴ 故解得，定值为5 23．如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 24．如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 25．线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点，地 城 类型05 双动点问题 (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)4 (2)①不变，4；②4.2或5.8 【分析】（1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：因为 所以 因为为的中点． 所以，因为， 所以 （2）解：①因为是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 因为 所以线段的长度不会发生变化，． ②或． 提示：当点在点的左侧时，如图1所示。 因为， 所以． 由①知． 所以． 当点在点的右侧时，如图2所示． 因为． 所以 由①知，所以 综上所述，当时，线段的长为或． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 26．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 27．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 28．已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． （1）若线段，点C恰好是的中点，则线段______； （2）如图，若线段，，求线段的长； （3）若线段的长为a，则线段的长为______（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）5（2）（3） 【分析】（1）根据题意分别求得，根据即可求解； （2）先求得，进而根据中点的性质求得，再根据即可求解； （3）根据（1）的方法求解即可 【详解】（1），是的中点， 点D，E分别是线段和的中点 故答案为： （2），， cm 点D，E分别是线段和的中点 （3）， 点D，E分别是线段和的中点 故答案为： 【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点相关的计算，掌握线段中点的性质是解题的关键． 29．（1）如图：若点C在线段AB上，线段AC＝10cm，BC＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度； （2）若点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形，并求MN的长度（用含a的式子表示）； （3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，CP：CQ＝1：2？ 【答案】（1）线段MN的长度是8cm；（2）MN＝a，理由见解析；（3）当运动或时，CP：CQ＝1：2 【分析】（1）根据题意结合图形得出MN＝（AC+BC），即可得出答案； （2）直接根据题意画出图形，进而利用MN＝NC﹣MC＝求出即可； （3）根据动点P、Q的运动方向和速度用含t的式子表示出CP和CQ，再列方程可得结论． 【详解】解：（1）∵线段AC＝10cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点， ∴，， ∴MN ＝（AC+BC）＝×16＝8（cm）； 答：线段MN的长度是8cm； （2）如图： MN＝a．理由如下： ∵点M、N分别是AC、BC的中点， ∴MC＝AC，NC＝BC， ∵BC﹣AC＝a， ∴MN＝NC﹣MC＝BC﹣AC＝＝a． （3）∵点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动， 而AC＝10cm，BC＝6cm，CP：CQ＝1：2 ∴ ， 可分为三种情况讨论： 当点C在点P右侧，点Q的左侧时，有 ，此时 ， , 则 ，解得： ； 当点C在点P、Q的左侧时，有 ，此时，， 则，解得： ； 当点C在点P的左侧，Q的右侧时，有 ，此时，， 则，解得：，舍去， 综上所述，当运动 或 时，CP：CQ＝1：2． 30．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12 解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $