2.5简单复合函数的求导法则 导学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

§5简单复合函数的求导法则 最新课程标准 学科核心素养 1.了解复合函数的概念.（数学抽象） 2.利用复合函数的求导法则会求简单复合函 能求简单的复合函数（限于形如(ax十b)的导 数的导数.（数学运算） 数 3.利用复合函数的求导法则会解决与曲线的 切线有关的问题.（数学运算） 导学 [教材要点] 要点一复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f)和u=ox)=a十b,如果给定x的一个值，就得到了u的 值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 称这个函数为函数y=fw)和u=9 e)的 ，记作 ,其中为中间变量. 要点二复合函数的求导法则 复合函数y=f9x)的导数和函数y=),u=ox)的导数间的关系为y'= 即y对x的导数是 总结（①）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自 变量的导数 (2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y=fx十b)型复合函数的求导， 不难得到y'=(ax十b)'f'(ax十b)=af'(ax十b). [练习] 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)函数y=log3c+1)是由y=log3t及t=x+1两个函数复合而成的.() (2)函数x)=ex的导数是fx)=ex.() (3)函数f)=ln(1一x)的导数是f)=() (4)函数fx)=sin2x的导数是fx)=2cos2x.() 2.(多选题)下列所给函数为复合函数的是() A.y=In (x-2) B.y=Inx+x-2 C.y=(x-2)Inx D.y=In 2x 3.若函数=3cos(2x+晋)，则f(号)等于() A.-35 B.35 C.-65 D.65 4.曲线y=ex在点(0,1)的切线方程为 导思 题型一求复合函数的导数 例1求下列函数的导数 0w=34: (2y=cos(2021x+8); (3y=e1-3x; (4)y=ln(2x-6. 总结 复合函数求导的步骤 分解 选定中间变量，正确分解复合关系，即 说明函数关系y=f),u=g) 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量 求导 对哪个变量求导)，要特别注意中间变 量对自变量求导，即先求y,再求， 回代 计算y。·,并把中间变量转化为自变 量的函数 跟踪训练1(1)y=(2x-1)4; 2w-a: (3y=sin(-2x+号)； (4)y=102x+3 题型二复合函数的导数与曲线的切线问题 例2(1)已知x)为偶函数，当x≤0时，x)=ex1一x,则曲线y=x)在点(1,2)处的 切线方程是 (2)己知函数fx)=c2+2n(2一x)(a∈R),设曲线y=fx)在点(1,1)处的切线为1，若直 线1与圆C:x2+y2=寺相切，则实数a的值为 总结 准确利用复合函数求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务 必做到准确。 跟踪训练2 (1)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与直线x十2y+1=0垂直，则a= (2)已知函数x)=ax2+2n(2一x),设曲线y=x)在点(1,1)处的切线为1，则切线1的 方程为 若直线1与圆C:x2十y2=相交，则实数u的取值范围为 题型三复合函数的导数在实际问题中的应用 例3某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s④=3sin（蛋t+晋)0≤1≤ 24,其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数，并解释它的实际意义， 总结 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某，点处的导数反映了函数在 该，点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况， 跟踪训练3放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减 少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克) 与时间（单位：年）满足函数关系：M④=M2元，其中M为t=0时绝137的含量.已知t =30时，铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年)，则M(60)=() A.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克 易错辨析对复合函数求导不完全致错 例4函数y=xel-2x的导数y= 解析：y'=el-2x十x(el-2y -el-2x+xel-2x.(1-2x)' =el-2x+xel-2x(-2) =(1-2x)e1-2x 答案：(1-2x)e1-2x 【易错点】 出错原因 纠错心得 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中 对el-2x的求导没有按照复合函数的求导法则 间变量的导数乘以中间变量对自变量的导 进行，导致求导不完全致错 数，分步计算时，每一步都要明确是对哪个 变量求导. [课时训练] 1.y=(3x2+2x)5的导数是( A.5(3x2+2x)4(6x+2) B.(6x+2)5 C.10(3x+2)4 D.5(3x+2)4(6x+2) 2.函数y=e2x4在点x=2处的切线方程为() A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.ex-y-2e+1=0 D.ex+v+2e-1=0 3.(多选题)下列导数运算正确的有() A.(安)'= B.(xe3)'=(x+l)e C.(e2x)'=2e2x D.(ln2x)'=爱 4.已知9=sin及，则f(π2)= 5.设函数四=aenx十g (1)求导函数f(x): (2)若曲线y=fx)在点(1,1)》处的切线方程为y=e(c一1)+2，求a,b的值. 温馨提示：请完成课时作业（十八）[FL)0] $5简单复合函数的求导法则 导学 要点一 x的函数复合函数y=人o(x) 要点二 ''y对u的导数与u对x的导数的乘积 [练习] 1.答案：(1)V(2)×(3)×(4)√ 2.解析：函数y=ln(x一2)是由函数y=lnu和u=gx)=x一2复合而成的，A符合；函 数y=ln2x是由函数y=nu和u=2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义.故 选AD 答案：AD 3.解析：由题意得f)=-6sin(2x+晋)， f(5)=-6sin(2×5+号) =6sin胃 -6×号 =35 答案：B 4.解析：y=ex, y'=-e-x, ∴y%x=0=-1, ∴.切线方程为y-1=一x, 即x+y-1=0 答案：x十y-1=0 导思 题型一 例1解析：(（1)设u=o6)=3-4,则y=0)=卡=w4, y=.G.=ryg-4y=(-4(-0兽=品 (2)设u=px)=2021x+8,则y=f0=cosu, .y=f(u)o'x)=(cos u)'(2021x+8)' =(-sinW)2021 =-2021sin(2021x+8): (3)设=p(x)=1一3x,则y=f0=e“, y=f)o'x)=(ey(1-3x)'=e“.(-3)=-3e1-3x (4)设u=o(x)=2x-6,则y=m)=1n,yx=f(w9'x)=In(2x-6'= 吉×2=忌6= 跟踪训练1解析：(1)设u=0x)=2x一1，则y=w)=4, yx=f()0'x)=()y(2x-1)'=43.2=8(2x-1)3 2设u=o9=1-2,则y=四=六=， ∴yx=f0o'e)=(ur3)'(1-2y=（-专ur)(-2) =(1-2x)= 1 42W1-23 (3)设u=ox)=一2x+号，则y=f0=sinu, y以=f0p'w)=(sin0(-2x+号)'=cosw-(-2) =-2cos（-2x+号) (4)设u=0x)=2x十3，则y=w)=10“, ∴y=f(w)o'x)=(100'-(2x+3)'=(10-ln10)×2=(2ln10)102x+3. 题型二 例2解析：(I)设x>0,则一x<0,因为x≤0时，fx)=e-1一x,所以术一x)=e-1+x, 又因为fx)为偶函数，所以w)=e-l十x,fx)=e1+1,f(I)=e11+1=2,所以切线方程为y-2 =2(x-1),即：2x-y=0. (2因为f1)=a,f6)=2am十是2(2)，所以f1)=2a-2, 所以切线1的方程为2(a-1x-y+2-a=0 24=克，解得a 因为直线1与圆相切，所以圆心到直线1的距离等于半径，即d=+ =号 答案：(1)2x-y=0(2号 跟踪训练2解析：(I)令y=x), 则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0),又切线与直线x十2y十1=0垂直，所 以fe)=(ea)}'=aea 所以f(0)=ae0=a, 故a=2. (2f)=2am+是2(<2)， ∴f1)=2a-2又1)=a, .切线1的方程为：y-a=(2a-2)(x-1), 即2(a-1x-y+2-a=0 若直线1与圆C:x2+y2=荐相交， 2 则圆心到直线1的距离d=号 解得a>号，即实数a的取值范围为（号，+∞） 答案：(1)2(22(a-1)x-y+2-a=0(号，+0) 题型三 例3解析：设f)=3sinx,x=o(0=吾t+ 由复合函数求导法则得 s0=f)'0=3cosx费=罩cos（5t+硻) 将t=18代入s(), 得s(18)=晋cos牙=晋mh). 它表示当t=18h时，潮水的高度上升的速度为言mh 跟踪训练3解析：M(④=-ln2×M2奇， 由M(30)=-翕1n2×Mo2蜀=-10n2, 解得Mo=600, 所以M④=600×2奇， 所以1=60时，铯137的含量为M60)=600×2号=600×年=150（太贝克）.故选D. 答案：D [课时训练] 1.解析：令u=3x2+2x,则y=,.W,=6r十2，yw=54, y,=y,=5(3x2+2x)4(6x+2).故选A 答案：A 2.解析：y=e24,求导得y=2e2x4, 则当x=2时，y'=20=2,所以切线的斜率为2. 又当x=2时，y=e2x4=e0=1,所以切点为(2,1). 所以切线方程为2x一y一3=0. 故选A 答案：A 3.解析：对于A,（良)=(x1)=-x2=一意，故错误； 对于B,(e)'=x'e*十x(ex)'=(c十l)e*,故正确： 对于C,（e2x)'=(2x)'e2x=2e2,故正确； 对于D,(1n2x)'=(2x)=袁，故错误. 故选BC 答案：BC 4.解析：由fe)=sin 及，可得f=cos、 () 故f(π2)=器=宗 答案：一宗 5.解析：()油)=aenx+g, 得f=(ae1n9y+(装)， =ae*lnx+髻+be'sbe 82 (2)由于切点既在曲线y=fx)上，又在切线y=ex-1)+2上， 将x=1代入切线方程得y=2, 将x=1代入函数)得1)=b, .b=2 将x=1代入导函数fx)中， 得f(I)=ae=e, ∴.a=1.