5 简单复合函数的求导法则(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ＝（３ｘ ２ － ｘ槡ｘ ＋ ５槡ｘ － ９）′ （槡ｘ）′ ＝（３ｘ ２）′ －（ｘ槡ｘ）′ ＋（５槡ｘ）′ （槡ｘ）′ ＝ ６ｘ － ３２ ｘ １ ２ ＋ ５ × １２ ｘ － １２ １ ２ ｘ － １２ ＝ ６ｘ － ３２槡ｘ ＋ ５ ２槡ｘ １ ２槡ｘ ＝ １２ｘ槡ｘ － ３ｘ ＋ ５． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 本题错解中，将商的导数公式误 记为ｆ（ｘ）ｇ（ｘ[ ]）′ ＝ ｆ ′（ｘ）ｇ′（ｘ）致误                ． 6789%:;< １．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ １ｘ的导数ｆ ′（ｘ）＝ （Ａ ） Ａ． １ － １ ｘ２ Ｂ． １ － １ｘ Ｃ． １ ＋ １ ｘ２ Ｄ． １ ＋ １ｘ ２．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｅｘ的导数是 （Ｄ ） Ａ． ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ Ｂ． ｆ ′（ｘ）＝ １ ＋ １ｘ Ｃ． ｆ ′（ｘ）＝ １ ＋ ｘｅｘ －１ Ｄ． ｆ ′（ｘ）＝ １ ＋ ｅｘ ３．若函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘｃｏｓ ｘ，则此函数图象在点（１， ｆ（１））处的切线的倾斜角为 （Ｄ ） Ａ． ０ Ｂ．锐角 Ｃ．直角 Ｄ．钝角 ４．若曲线ｙ ＝ ｘｌｎ ｘ上点Ｐ处的切线平行于直线 ２ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０，则点Ｐ的坐标为（ｅ，ｅ）　 ． 请同学们认真完成练案［１６                ］ § ５　 简单复合函数的求导法则 !"#$%&'( 学习目标 １．了解复合函数的求导法则． ２．能求简单复合函数的导数． 核心素养 通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 复合函数的概念 　 　 对于两个函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）和ｕ ＝ φ（ｘ），给定ｘ 的一个值，就得到了ｕ的值，进而确定了ｙ的 值，那么ｙ可以表示成ｘ的函数，称这个函数为 函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）　 和ｕ ＝ φ（ｘ）　 的复合函数，记作 ｙ ＝ ｆ（φ（ｘ））　 ，其中ｕ为中间变量． ［提醒］　 讨论复合函数的构成时，“内层” “外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函 数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 等．然后从外向内逐层求导          ． !&' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 想一想： 如何求复合函数ｙ ＝ ｆ（φ（ｘ））的定义域？ 练一练： 思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （１）复合函数ｙ ＝ ｆ（φ（ｘ））的定义域就是内 函数ｕ ＝ φ（ｘ）的定义域． （ × ） （２）复合函数ｙ ＝ ｆ（φ（ｘ））的定义域就是内 函数ｕ ＝ φ（ｘ）的值域． （ × ） （３）复合函数ｙ ＝ ｆ（φ（ｘ））的定义域就是外 函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）的定义域． （ × ） （４）（ｌｎ ｜ ｘ ｜）′ ＝ １ｘ ． （√ ） 复合函数的求导法则 　 　 复合函数ｙ ＝ ｆ（φ（ｘ））的导数为：ｙ′ｘ ＝ ［ｆ（φ （ｘ））］′　 ＝ ｆ ′（ｕ）φ′（ｘ），其中ｕ ＝ φ（ｘ）　 ． 想一想： 任何两个函数都能复合吗？ 练一练： １．函数ｙ ＝ １（３ｘ － １）２的导数是 （Ｃ ） Ａ． ｙ′ ＝ ６（３ｘ － １）３ Ｂ． ｙ′ ＝ ６ （３ｘ － １）２ Ｃ． ｙ′ ＝ － ６（３ｘ － １）３ Ｄ． ｙ′ ＝ － ６ （３ｘ － １）２ ２．已知函数ｆ（ｘ）＝（２ｘ ＋ ａ）２，且ｆ ′（２）＝ ２０，则ａ ＝ １　 　                                 ． /012%345 题型探究 题型一 复合函数的概念 １．函数ｙ ＝ １（２ｘ ＋ １）２可以看成哪两个函数 的复合？ 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 １．不是任意两个函数都能复 合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交 集非空时，才能复合． ２．一个复合函数有不同的复合形式，要根 据研究的需要进行选择． 对点训练? 函数ｙ ＝ ｅ２ｘ －１可以看成哪 两个函数的复合？ 题型二 复合函数的求导 ２．求下列函数的导数： （１）ｙ ＝（４ － ３ｘ）２； （２）ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ － π( )４ ； （３）ｙ ＝ ｌｎ（４ｘ － １）； （４）ｙ ＝ ｅｘ２ ． ［分析］　 先分析每个复合函数的构成，再 按照复合函数的求导法则进行求导                                   ． !&( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 求复合函数导数的步骤 分解 适当选取中间变量，正确分解复合关系成ｙ ＝ ｆ（ｕ），ｕ ＝ ｇ（ｘ） 的形式↓ 求导 分步逐层求导，即先求ｙ′ｕ，再求ｕ′ ｘ ↓  回代 计算ｙ′ｕ·ｕ′ｘ，并把ｕ ＝ ｇ（ｘ） 代入 对点训练? （１）函数ｙ ＝ ｘ２ｃｏｓ ２ｘ的导 数为 （Ｂ ） Ａ． ｙ′ ＝ ２ｘｃｏｓ ２ｘ － ｘ２ ｓｉｎ ２ｘ Ｂ． ｙ′ ＝ ２ｘｃｏｓ ２ｘ － ２ｘ２ ｓｉｎ ２ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ ｘ２ｃｏｓ ２ｘ － ２ｘｓｉｎ ２ｘ Ｄ． ｙ′ ＝ ２ｘｃｏｓ ２ｘ ＋ ２ｘ２ ｓｉｎ ２ｘ （２）若ｆ（ｘ）＝ ａｘ槡－ １，且ｆ ′（１）＝ １，则ａ的 值为 （Ｂ ） 　 　 Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ （３）函数ｆ（ｘ）＝（２ｘ ＋ １）５，则ｆ ′（０）的值为 １０　 　 ． 题型三 与复合函数有关的切线问题 ３．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（ｘ２ ＋ １）的图象在点 （１，ｆ（１））处的切线的倾斜角为 （Ｄ ） Ａ． ０ Ｂ． π２ Ｃ． π ３ Ｄ． π ４ （２）已知直线ｙ ＝ ｘ ＋ ２与曲线ｙ ＝ ｌｎ（ｘ ＋ ａ） 相切，则ａ ＝ ３　 　 　 ． ［分析］　 （１）先求出函数在切点处的导数 值，即为切线的斜率，从而求得切线在此处的倾 斜角． （２）先设出切点坐标，再求函数在切点处的 导数值，从而求得ａ的值． 　 　 ［规律方法］　 解决与复合函数有关的切线 问题的关键有两个： （１）求复合函数的导数，这是正确解答的前 提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不 要有遗漏． （２）求切线方程，注意切线所过的点是否为 切点． 对点训练? 已知ｆ（ｘ）为偶函数，当 ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝ ｅ － ｘ －１ － ｘ，则曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点 （１，２）处的切线方程是２ｘ － ｙ ＝ ０　 ． 易错警示 　 　 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变 量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外 层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中 间变量变成自变量的函数． ４．函数ｙ ＝ ｘｅ１ －２ｘ的导数为（１ －２ｘ）ｅ１ －２ｘ　 ． ［错解］　 ｙ′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘ（ｅ１ －２ｘ）′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘｅ１ －２ｘ ＝（１ ＋ ｘ）ｅ１ －２ｘ ． 　 　 ［正解      ］ 　 　 ［点评］　 错解中对ｅ１ －２ｘ求导数，没有按照 复合函数的求导法则进行，导致求导不完全                                                             ． 6789%:;< １．函数ｙ ＝（ｘ２ － １）ｎ的复合过程正确的是 （Ａ ） Ａ． ｙ ＝ ｕｎ，ｕ ＝ ｘ２ － １ Ｂ． ｙ ＝（ｕ － １）ｎ，ｕ ＝ ｘ２ Ｃ． ｙ ＝ ｔｎ，ｔ ＝（ｘ２ － １）ｎ Ｄ． ｙ ＝（ｔ － １）ｎ，ｔ ＝ ｘ２       － １ !&) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ２．已知ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（２ｘ ＋ １）－ ａｘ，且ｆ ′（２）＝ － １， 则ａ ＝ （Ａ ） Ａ． ７５ Ｂ． ６ ５ Ｃ． － ３ ５ Ｄ． － ４ ５ ３．设ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ２ｘ － ３ｘ，则ｆ ′ π( )２ ＝ （Ｂ ） Ａ． － ５ Ｂ． － ３ Ｃ． － ４ Ｄ． － ３π２ ４．曲线ｆ（ｘ）＝ ｅ －２ｘ ＋３在（１，ｆ（１））处的切线的斜 率是－ ２ｅ　 　 ． 请同学们认真完成练案［１７            ］ § ６　 用导数研究函数的性质 ６． １　 函数的单调性 !"#$%&'( 学习目标 １．了解函数的单调性与导数的关系． ２．能利用导数研究函数的单调性． ３．会求函数的单调区间． 核心素养 １．借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养． ２．通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 函数的单调性与导数 　 　 一般地，函数ｆ（ｘ）的单调性与导函数ｆ ′（ｘ） 的正负之间具有如下关系： 单调 递增 在某个区间（ａ，ｂ）上，如果ｆ ′（ｘ）＞ ０　 ，那么 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调递增 单调 递减 在某个区间（ａ，ｂ）上，如果ｆ ′（ｘ）＜ ０　 ，那么 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调递减 想一想： １．在某一区间上ｆ ′（ｘ）＞ ０（或ｆ ′（ｘ）＜ ０） 是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在该区间上单调递增（或单调递 减）的什么条件？ ２．若在某个区间上有有限个（或无限个不 连续）点使ｆ ′（ｘ）＝ ０，而其余点恒有ｆ ′（ｘ）＞ ０ （或ｆ ′（ｘ）＜ ０），该函数在这个区间上是否仍是 单调递增（或单调递减）的？ 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）若在某个区间（ａ，ｂ）内总有ｆ ′（ｘ）＝ ０， 则函数是常函数． （√ ） （２）函数ｆ（ｘ）在定义域上都有ｆ ′（ｘ）＜ ０， 则函数ｆ（ｘ）在定义域上单调递减． （ × ） （３）若函数ｆ（ｘ）的增区间是Ａ，且ｆ（ｘ）在区 间Ｂ上单调递增，则Ａ ＝ Ｂ． （ ×                            ） !&* 所以，所围三角形的面积为分x1×心： (2)y=(3)y'+(g)'=3n3+n10 3.C由y=e-x,得y'=e-1,设切点为(，en-),则 (3)y=c)'x+)-(x+)'e y'l.=ev-1. (x+1) 切线方程为y-e0+=(e-1)(x- =(x+D)-&=xe ,切线过点(e,-e), (x+1)2 (x+1)月 ,(e+1)e=x。e0,解得o=e+1, 例2：(1)，·fx)=x+x+b的导数'(x)=3x2+4. 切线方程为y-e'+e+1=(e1-1)(x-e-1),整理得 由题意可得/"(2)=12+a=13,八2)=8+2a+6=-6 y=(e1-1)x-e2 解得a=1,b=-16. 4.3x2-1 xln 3 f)=380=3 (2)切线与直线y=-4+3垂直， '(x)-g(x)=3-n3 ∴切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(。)，则f'(）=3x话+1=4。 §4导数的四则运算法则 ∴=±1 由/代x)=x2+x-16,可得%=1+1-16=-14，或6=-1-1 4.1导数的加法与减法法则 -16=-18.即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18). 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18。 4.2导数的乘法与除法法则 即y=4x-18或y=4x-14. 必备知识·探新知 对点训练21f'《)=4-f0)=a-1 知识点 又f代1)=a. f()+g()f(x)-()(g(a)-R( ∴切线I的斜率为a-1,且过点(1.a), g (x) ∴.切线（的方程为y-a=(a-1)(x-1). 想一想： 令x=0,得y=1,故1在y轴上的截距为1 两个函数的导数存在，则它们的和，差、积，商（商分母不为 零)必存在：若两个函数的导数不存在，则它们的和、差，积，商不 例3：y'= /3x2-xR+5x-9 一定不存在 练一练： LB求导得/"()=-21)+2. =(3x立)'-(x)'+(5)'-(9x÷) 所以f'(1)=1-2f(1)+2,解得f'(1)=1 则fx)=lnx-x2+2x-1. 2r 所以1)=1n1-1+2-1=0. 2.Df八x)=(x+1)2(x-1)=x2+x2-x-1f'(x)=3x =99 +2x-1∫'(1)=3+2-1=4. 3.Bfx)=(2mx)2=4m2x2 课堂检测·固双基 所以'(x)=8πxf'(-1)=8π2×(-1)=-8m2 关键能力·攻重难 1.A)=(+扩=+()=- 例1：(1)方法一：可以先展开后再求导： 2.D函数的导数为'(x)=1+e,故选D y=(2x2-1)(3x+1)=6r3+2x2-3x-1. i3.D由已知得f'(x)=e'cosx-e'sin x 六y‘=(6r3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3. ! =e(cos x sin x). 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： ∴f'(1)=e(c0%1-sin1). y'=(2x-1)"(3x+1)+(2x-1)(3x+1)'=4x(3x+1) +3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3. ~>1> (2)把函数的解析式整理变形可得： 而由正，余弦函数性质可得cs1<sn1. y=4出=++1-2红=1- 2x ∴f'(1)<0.即f(x)在(1，(1))处的切线的斜率k<0.切 x+x+1x+x+1 2+x+1 线倾斜角是纯角： y=2r+x+1)-2x(2x+1)。22-2 4.(e,e)设P(),则y=xnx在x=处的导数为lna+ (2+x+1) (x2+x+1) 1=2,所以=c,则a=e,则P点坐标为(e,c. (3)根据求导法则进行求导可得： §5简单复合函数的求导法则 y'=(3e)'-(2)'=(3)'e+3(e*)'-(2)‘=3ln3· e+3'e-2n2 必备知识·探新知 =(3e)'ln(3e）-2ln2. 知识点1 (4)利用除法的求导法则.进行求导可得： y=f(u)u=o(x)y=fo(x)) y=血'(x2+)-nx·(+ 想一想： (x2+1)月 由内函数u=p(x)的值域包含于外函数y=()的定义域 1(+10-nx2x 所求得的x的取值集合就是复合函数y=爪P(x)的定义域 x2(1-21nx)+1 练一练： (x2+1) (x2+1)3 (1)×(2)×(3)×(4)V 对点训练1：(1)：y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, 知识点2 y'=3x2-2x+1. [fp(x))]'f'(u)p'(x),其中u=(x) -143 想一想： 又%=ln(x。+a),∴%=0， 只有外函数y=爪)的定义域与内函数”=p(x)的值域的 又*y%=0+2=0,.x0=-2..n=3. 交集非空时才能复合： 对点训练3：2x-y=0设x>0,则-x<0,f(-x)=e 练一练： + 1 Cy3x-=(3-）, 又八x)为偶函数x)=f八-x)=e-'+x 所以当x>0时x)=e1+x y'=-2(3x-1)-3·(3x-1) 因此，当x>0时f'(x)=e-4+1f"(1)=e”+1=2. =-6(3x-1)3=(3x-1 6 则曲线y=八x)在点(1,2)处的切线的斜率为'(1)=2， 所以切线方程为y-2=2(x-1), 2.1易得f'(x)=4(2x+a), 即2x-y=0. 又f'(2)=20,即4(4+a)=20, 例4：y'=(1-2x)e-y'=e-+x(心-)'=e-+ 解得a=1. x0-2(1-2x)'=e-a+03·(-2)=(1-2x)e2 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 例1：函数r2+厅可以看成函数y=}与函数=(2x将-看作整体，记“=2-1，则y=(任-1)八由y=心 和u=x2-1复合而成 +1)产的复合，也可以看成函数y=(山】 与函数u=2x+1的2.Af'(x)=2x+a, 2 复合 对点训练1：函数y=e-可以看成函数y=c”与函数H 所以W2)=号-=1，解得a=子 2x-1的复合· 3.Bf'(x)=(cos2x）'-3=-2ain2x-3. 例2：(1)设y=n2,n=4-3x,则y'=2u,4,'=-3,于是y.' =y.·4,'=-6(4-3x)=18x-24, f(）=-2nm-3=-3 即y'=18x-24. 4.-2ef'(x)=e2.(-2x+3) (2)设y=es,4=2x-年， =-2e21 ∴f'(1)=-2e 则y.‘=-inu,w,‘=2. ,∴，所求切线的斜率k=-2e 于是y'=x.'·m,‘=-2sim(2x-） §6用导数研究函数的性质 即y-2n2-) 6.1函数的单调性 (3)设y=h,u=4x-1,则y.‘= 4,'=4, 必备知识·探新知 知识点1 4 于是y,'=y.'·4,'=4x- ∫'(x)>0f'(x)<0 想一想： 即y=4x一了 4 .充分不必要条件 2.是. (4)设y=e,4=x2,则y.=e,4,'=2x, 练一练： 于是y.'=y'…m,‘=e2.2x,即y=2xe 【,(1)√由常函数的导数为0可知此说法正确， 对点训练2：(1)By‘=(x2)'cs2x+x2(e%2x) =2xem2x+x2(-8in2x)·(2x) (2)×如八)=在定义域上都有f()<0,自函数 =2xcos 2x-2x'sin 2x. 爪x)=工在定义域上不单调递减 (2)B'(x)= 1 ·(ax-1)'= 2 Vax-1 2√ax-1 (3)×区间A和B应满足B二A 28后 (4)√若在某区间上有有限个点使∫'(x)=0,其余的点 :恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）. 解得a=2. 2.C因为函数八x)=3x-x. (3)10f'(x)=5(2x+1)'·(2x+1)‘=10(2x+1), 所以f'(x)=3-3x2=-3(x+1)(x-1) “f'(0)=10. 令f'(x)>0,解得-1<x<1. 所以函数y=3x-x的单调递增区间是(-1,1). 例3：1)Df'(x)=函数)=h(+)的 知识点2 图象在点(1)处的切线的斜率k='()=子=1.设函 范围陡峭较慢平缓 练一练： 数f八x)=n(x2+1)的图象在点(1八1)处的切线的倾斜角为 B由导数的图象可得，导函数f'(x)的值在[-1,0]上逐 0,则an0=1,0=牙 渐增大，故函数(x)在[-1,0]上增长速度逐渐增大，故函数 fx)的图象是下凹型的.导函数f'(x)的值在[0，I]上逐渐减 (2)3设切点为(xn), 小，故函数八x)在[0,1]上增长速度逐渐诚小，图象是上凸型 y=ln(xta).y=I(x+a)=-1 的，故选B x +u x+a 关键能力·攻重难 切线的斜率=十。 例1：(1)D由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f"(x) <0,函数f八x)是减函数：当xE(0,2)时，导函数f'(x)>0.函数 ∴.m+a=1. :尺x)是增函数，故函数f八x)的图象如图D. -144